应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)

注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )

1
2
exp
1 2
(2 x12

x22

2 x1 x2

22 x1
14 x2

65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
2 1

I I
p p
Ip I
p



1 1


2 2
1 2

2 1

I I
p p
Ip I
p



2(1 O

2
)
O
2(1


2
)

由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相
互独立.
7
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y


X X
(1) (1)

X X
(2) (2)

~
N2 p
(1) (1)

(2) (2)
,

2(1 O
2)
O 2(1
2
)
所以 X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )); X (1) X (2) ~ N p ( (1) (2) ,2(1 2 )).
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
2(1 0
)
0 2(1

)

由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
(2) 因
Y


X1 X1

X2 X2

~
N2


1 1
2 2
,

2

2(1 0
)
0 2(1

)
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知


002,
A


0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
设f
(x1,
x2
)

1 2
exp
1 2
(2x12

x22

2x1x2

22x1
14x2

65)

1 2 1 2
1
2
exp

1
212
2 2
(1


2
)
[
2 2
(
x1

1 ) 2
21 2(x1
1)(x2

2
)


2 1
(
x2

2
)
2
]
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
Cov(Y1,Y2 )

1
1

11


2 1

1



11

0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y

YY12

E[( X1 4)( X 2 3)]
(x1 4)(x2 3) f (x1, x2 )dx1dx2
令uu21

x1 x2
4 3

u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12

u22

2u1u2 )]du1du2

1
2

u12
u1e 2
X 2 ~ N (0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
Y

X1

X2

X 0
1

X1,
当-1 其它
X1
1
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第二章 多元正态分布及参数的估计
P{Y 0} P{X1 1或X1 1} P{X1 1} P{X1 1} (X1 ~ N(0,1)) 2(1) 0.3174 0
Y


X X
(1) (1)

X X
(2) (2)



I I
p p
Ip I
p

X X
(1) (2)


CX
6
第二章 多元正态分布及参数的估计
则 Y ~ N2 p (C,CC)
因D(Y
)

CD(
X
)C


I I
p p
Ip I
p

1 2

比较上下式相应的系数,可得:

1 2
2 2

1 2


2
1

2 1
1
1 2 1

2 1
1
2
1/

21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21

22 14
12
2 2

22
2 1
21 212
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中



1 2
,


2
1


1
.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,


1
2
u2e

1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1


1
2

u12
u1e 2

1
2


(u2

u1
)e

1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1

e

1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1




1
2
u e
2
u12 2
1
du1

1

0
P{X1 1} P{1 X1 1} P{1 X1 x}
P{X1 x} (x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X 2 x} P{X 2 1} P{1 X 2 x} P{X1 1} P{x X1 1} P{X1 1} P{1 X1 x} P{X1 x} (x)
( y1 7)2 ( y2 4)2
2即1 e 21 e
1 2
(
2
x12

x22

2
x1
x2

22
x1
14
x2

65)

x1 x2
y2 y1
y2

1[( 2
y1
7
)2
(
y2

4
)
2
]
g( y1, y2 )
设函数 g( y1, y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
X2


X
X 1,
1
,
当-1 其它.
X1 1,
(1)证明X2 ~N(0,1);
(2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
证明(1):任给x,当x≤-1时
P{X 2 x} P{X1 x} (x)
当x≥1时, P{X 2 x}
P{X 2 1} P{1 X 2 1} P{1 X 2 x}


X1 X1

X2 X2


11
11
X1 X2


CX
则 Y ~ N2 (C,CC)
因ΣY

CC

11
11
2

1


1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11
11


2
11


1111
11

2

(x )