计时双基练78

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计时双基练七十八 绝对值不等式

1.(2015·山东卷)不等式|x -1|-|x -5|<2的解集是( )

A .(-∞,4)

B .(-∞,1)

C .(1,4)

D .(1,5)

解析 当x ≤1时,不等式可化为(1-x )-(5-x )<2,即-4<2,满足题意;

当1

当x ≥5时,不等式可化为(x -1)-(x -5)<2,即4<2,不成立。 故原不等式的解集为(-∞,4)。

答案 A

2.不等式⎪⎪⎪⎪

⎪⎪ax -1x >a 的解集为M ,且2∉M ,则a 的取值范围为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,+∞

B.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫14,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤0,12 解析 由已知2∉M ,可得2∈∁R M 。

于是有⎪⎪⎪⎪

⎪⎪2a -12≤a , 即-a ≤2a -12≤a ,解得a ≥14,故选B 。

答案 B

3.对任意x ,y ∈R ,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

解析 ∵|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|

=(|1-x |+|x |)+(|1-y |+|1+y |)

≥|(1-x )+x |+|(1-y )+(1+y )|=1+2=3,

当且仅当(1-x )·x ≥0,(1-y )·(1+y )≥0,即0≤x ≤1,-1≤y ≤1时取等号,

∴|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3。

答案 C

4.(2015·重庆卷)若函数f (x )=|x +1|+2|x -a |的最小值为5,则实数a =________。

解析 当a ≤-1时,

f (x )=|x +1|+2|x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧ -3x +2a -1,x -1,

所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x =a 处取得最小值f (a )=-a -1,

由-a -1=5得a =-6,符合a ≤-1;

当a >-1时,

f (x )=|x +1|+2|x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧ -3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x ≤a ,

3x -2a +1,x >a 。

所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x =a 处取最小值f (a )=a +1,

由a +1=5,得a =4,符合a >-1。

综上,实数a 的值为-6或4。

答案 -6或4

5.设a ,b ∈R ,|a -b |>2,则关于实数x 的不等式|x -a |+|x -b |>2的解集是________。

解析 函数f (x )=|x -a |+|x -b |的值域为:

[|a -b |,+∞),因此,∀x ∈R ,f (x )≥|a -b |>2。

所以,不等式|x -a |+|x -b |>2的解集为R 。

答案 R

6.若存在实数x 满足不等式|x -4|+|x -3|

解析 解法一:令y =|x -4|+|x -3|,

则有y =⎩⎪⎨⎪⎧ -2x +7,x ≤3,1,34,可得y min =1,

又因为原不等式有实数解,

所以a 的取值范围是(1,+∞)。

解法二:|x -4|+|x -3|的几何意义是x 在数轴上对应点P 到3,4对应的点A ,B 的距离之和|P A |+|PB |,

通过讨论x >4,3

可得|P A |+|PB |的最小值为1,

又因为原不等式有实数解,

所以a 的取值范围是(1,+∞)。

解法三:因为|x -4|+|x -3|≥|(x -4)-(x -3)|=1,所以y =|x -4|+|x -3|的最小值为1,

又因为原不等式有实数解,所以a 的取值范围是(1,+∞)。 答案 (1,+∞)

7.设函数f (x )=x +1a +|x -a |(a >0)。

(1)证明:f (x )≥2;

(2)若f (3)<5,求a 的取值范围。

解 (1)证明:由a >0,有f (x )

=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1a +|x -a |≥⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x +1a -(x -a ) =1a +a ≥2。所以f (x )≥2。

(2)f (3)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3+1a +|3-a |。 当a >3时,f (3)=a +1a ,由f (3)<5得3

f (3)=6-a +1a ,由f (3)<5得1+52

综上,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1+52

,5+212。 8.(2015·甘肃兰州诊断)已知函数f (x )=|2x -a |+a 。

(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |-2≤x ≤3},求实数a 的值;

(2)在(1)的条件下,若存在实数n 使f (n )≤m -f (-n )成立,求实数m 的取值范围。

解 (1)由|2x -a |+a ≤6,得|2x -a |≤6-a ,

∴a -6≤2x -a ≤6-a ,即a -3≤x ≤3,

∴a -3=-2,∴a =1。

(2)由(1)知f (x )=|2x -1|+1,

令φ(n )=f (n )+f (-n ),

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