导数零点
导数零点问题解题技巧
导数零点问题解题技巧
在高等数学中，导数零点问题是经常出现的一类问题。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
以下是导数零点问题解题技巧：
1. 确定函数的定义域和导数的存在范围。
2. 求出函数的导数，并将导数化为简单的形式。
3. 分析导数零点的性质，确定其是否为单调递增或递减的。
4. 找出导数零点的位置，并求出其对应的函数值。
5. 利用导数零点的性质，判断函数在该点处的取值情况，进而确定函数的最大值或最小值。
6. 通过画出函数的图像，验证求得的最大值或最小值是否正确。
掌握以上技巧和方法，能够有效地解决导数零点问题，提高数学解题能力。
- 1 -。
导数零点问题总结
导数零点问题导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f (x )的单调性，往往需要解方程f ′(x )＝0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？猜——猜出方程f ′(x )＝0的根[典例] 设f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数f (x )在(a ，a ＋1)上有极值，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，求实数k 的取值范围． [方法演示]解：(1)因为f ′(x )＝－ln xx 2，当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )的极大值点为x ＝1，所以a <1<a ＋1，即0<a <1，故所求实数a 的取值范围是(0,1)．(2)方程f (x )＝x 2－2x ＋k 有实数解，即f (x )－x 2＋2x ＝k 有实数解．设g (x )＝f (x )－x 2＋2x ，则g ′(x )＝2(1－x )－ln xx 2. 接下来，需求函数g (x )的单调区间，所以需解不等式g ′(x )≥0及g ′(x )≤0，因而需解方程g ′(x )＝0. 但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．可得g ′(1)＝0，且当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (1)＝2.当x →0时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→－∞，所以函数g (x )的值域是(－∞，2]，所以所求实数k 的取值范围是(－∞，2]．[解题师说]当所求的导函数解析式中出现ln x 时，常猜x ＝1；当函数解析式中出现e x 时，常猜x ＝0或x ＝ln x .[应用体验]1．函数f (x )＝e x ＋12x 2－(2＋ln 2)x 的最小值为________．答案：2－2ln 2－12ln 22解析：f ′(x )＝e x ＋x －(2＋ln 2)．接下来，需求函数f (x )的单调区间，所以需解不等式f ′(x )≥0及f ′(x )≤0，因而需解方程f ′(x )＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．易知f ′(x )是增函数，所以方程f ′(x )＝0至多有一个实数根，且可观察出此实数根就是ln 2，所以函数f (x )在(－∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2－12ln 22.设——设出f ′(x )＝0的根[典例] (2015·(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .[方法演示]解：(1)法一：f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点．当a >0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，所以当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．法二：f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)．令方程f ′(x )＝0，得a ＝2x e 2x (x >0)．因为函数g (x )＝2x (x >0)，h (x )＝e 2x (x >0)均是函数值为正值的增函数，所以由增函数的定义可证得函数u (x )＝2x e 2x (x >0)也是增函数，其值域是(0，＋∞)．由此可得，当a ≤0时，f ′(x )无零点；当a >0时，f ′(x )有唯一零点．(2)证明：由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0. 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，当且仅当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a(基本不等式)．所以当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .[解题师说]本题第(2)问的解题思路是求函数f (x )的最小值．因此需要求f ′(x )＝0的根．但是f ′(x )＝2e 2x－ax ＝0的根无法求解．故设出f ′(x )＝0的根为x 0，通过证明f (x )在(0，x 0)和(x 0，＋∞)上的单调性知f (x )min ＝f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．[应用体验]2．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．①令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)． 又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.证——证明方程f ′(x )＝0无根[典例] 已知m ∈R ，函数f (x )＝mx －m －1x －ln x ，g (x )＝1x＋ln x .(1)求函数g (x )的极小值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值范围； (3)设h (x )＝2ex ，若∃x 0∈[1，e]使得f (x 0)－g (x 0)>h (x 0)，求实数m 的取值范围．[方法演示]解：(1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝1为g (x )的极小值点，极小值g (1)＝1.(2)∵y ＝mx －m －1x －1x －2ln x ＝mx －m x －2ln x . ∴y ′＝m ＋m x 2－2x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即m ≥2x x 2＋1在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，所以m ≥1.所以实数m 的取值范围为[1，＋∞)．(3)由题意知，关于x 的不等式f (x )－g (x )>h (x )在[1，e]上有解，即关于x 的不等式2e ＋2x ln x x 2－1<m (1<x ≤e)有解．设u (x )＝2e ＋2x ln x x 2－1(1<x ≤e)，则u ′(x )＝2x 2－4e x －2－(2x 2＋2)ln x(x 2－1)2(1<x ≤e)，但不易求解方程u ′(x )＝0. 可大胆猜测方程u ′(x )＝0无解，证明如下：由1<x ≤e ，可得－(2x 2＋2)ln x <0，2x 2－4e x －2＝2(x －e)2－2e 2－2<0， 所以u ′(x )<0，u (x )在(1，e]上是减函数，所以函数u (x )的值域是4ee 2－1，＋∞，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫4ee 2－1，＋∞.[解题师说]当利用导函数求函数f (x )在区间[a ，b ]，[a ，b )或(a ，b ]上的最值时，可首先考虑函数f (x )在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则f (x )在区间的端点处取得最值(此时若求f ′(x )＝0的根，则此方程是无解的)．[应用体验]3．(理)若存在x 使不等式x －mex >x 成立，则实数m 的取值范围为________．答案：(－∞，0)解析：法一：(理)由题意，知存在x 使不等式－m >x e x －x 成立．设x ＝t (t ≥0)，则存在t ≥0使不等式－m >t e t 2－t 2成立．设f (t )＝t e t 2－t 2(t ≥0)，则f ′(t )＝e t 2(2t 2＋1)－2t (t ≥0)，需解方程f ′(t )＝0，但此方程不易求解．可大胆猜测方程f ′(t )＝0无解(若方程f ′(t )＝0无解，则f ′(t )的值恒正或恒负(否则由零点存在性定理知方程f ′(t )＝0有解)，得f (t )是增函数或减函数，此时研究函数f (t )就很方便)，证明如下：f ′(t )＝e t 2(2t 2＋1)－2t ≥22t e t 2－2t ≥0(t ≥0)，所以f ′(t )>0(t ≥0)，所以函数f (t )是增函数，故其最小值为f (0)＝0. 所以－m >0，即m <0.(文)由题意，知存在x 使不等式－m >x e x －x 成立，当x ＝0时，m <0，当x >0时，令f (x )＝x e x－x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x e x －1，不易求方程f ′(x )＝0的根，故可大胆猜测方程f ′(x )＝0无解，即f ′(x )的值恒正或恒负．证明如下：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x e x －1≥212x ·x e x －1＝2e x －1，∵x >0，∴2e x >2，∴2e x －1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )>f (0)＝0，∴－m >0，即m <0.综上可知m 的取值范围为(－∞，0)．法二：不等式x －m e x ＞x 成立，等价于m ＜x －x ·e x . 故存在x 使不等式x －mex ＞x 成立，等价于m ＜(x －x ·e x )max . 令f (x )＝x －x e x ，则f ′(x )＝1－⎝⎛⎭⎫12x ＋x e x <0. ∴f (x )＝x －x e x 在[0，＋∞)上是单调递减函数，故(x －x ·e x )max ＝0，∴m ＜0.1．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2. 解：(1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x，因为f ′(1)＝0，所以1－k ＝0，即k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x. 易知h (x )＝1x －ln x －1在(0，＋∞)上是减函数，且h (1)＝0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)证明：由(2)可知，当x ≥1时，g (x )＝xf ′(x )≤0<1＋e －2，故只需证明g (x )<1＋e －2在0<x <1时成立．当0<x <1时，e x >1，且g (x )>0，∴g (x )＝1－x ln x －xe x<1－x ln x －x .设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0,1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)，当x ∈(0，e －2)时，F ′(x )>0，当x ∈(e－2,1)时，F ′(x )<0，所以当x ＝e－2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －2. 所以g (x )<F (x )≤1＋e －2.综上，对任意x >0，g (x )<1＋e －2.2．已知函数f (x )＝k e x －x 2有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求k 的取值范围； (2)求f (x 1)，f (x 2)的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝k e x －2x ，所以由f ′(x )＝0，得k ＝2x e x . 设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2e x (1－x )．当x <1时，φ′(x )>0，当x >1时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，φ(x )max ＝2e . 作出函数φ(x )的图象如图所示．因为函数f (x )有两个极值点，所以y ＝k 与y ＝φ(x )的图象有两个交点，所以由图可得k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，2e . (2)由f ′(x 1)＝k e x 1－2x 1＝0，得k e x 1＝2x 1，所以f (x 1)＝k e x 1－x 21＝2x 1－x 21＝1－(1－x 1)2由图可得x 1的取值范围是(0,1)，所以f (x 1)的取值范围是(0,1)．同理，可得f (x 2)＝k e x 2－x 22＝2x 2－x 22＝1－(x 2－1)2，由图可得x 2的取值范围是(1，＋∞)，所以f (x 2)的取值范围是(－∞，1)． 3．设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R)．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，所以f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)．由f ′(x )>0，得x >ln 2或x <0；由f ′(x )<0，得0<x <ln 2，所以函数f (x )的递增区间是(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，递减区间是(0，ln 2)．(2)f ′(x )＝x (e x －2k )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln 2k .事实上，可证ln 2k <k ，设g (k )＝ln 2k －k ⎝⎛⎭⎫12<k ≤1，则g ′(k )＝1－k k ≥0⎝⎛⎭⎫12<k ≤1， 所以g (k )在⎝⎛⎦⎤12，1上是增函数，所以g (k )≤g (1)＝ln 2－1<0，即ln 2k <k .所以f (x )在(0，ln 2k )上是减函数，在(ln 2k,1]上是增函数，所以M ＝max{f (0)，f (k )}． 设h (k )＝f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3＋1⎝⎛⎭⎫12<k ≤1，则h ′(k )＝k (e k －3k )⎝⎛⎭⎫12<k ≤1. 又令φ(k )＝e k －3k ⎝⎛⎭⎫12<k ≤1，则φ′(k )＝e k －3≤e －3<0⎝⎛⎭⎫12<k ≤1，所以函数φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上是减函数．又因为φ⎝⎛⎭⎫12>0，φ(1)<0，所以函数φ(k )在⎝⎛⎭⎫12，1上存在唯一的零点k 0(该零点就是函数φ(k )的隐零点)．所以当12<k <k 0时，φ(k )>0，即h ′(k )>0，当k 0<k ≤1时，φ(k )<0，即h ′(k )<0，所以函数h (k )在12，1上是先增后减．又因为h ⎝⎛⎭⎫12＝78－e 2>0，h (1)＝0，所以h (k )＝f (k )－f (0)≥0，f (k )≥f (0)⎝⎛⎭⎫12<k ≤1， 故M ＝f (k )＝(k －1)e k －k 3.4．(2015·山东高考)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 解：(1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2.又f ′(x )＝ln x ＋ax ＋1，所以a ＝1. 当a ＝1时，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线2x －y －2＝0与直线2x －y ＝0平行，所以所求a 的值为1.(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )＜0. 又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增．所以当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0(x 0就是函数f (x )－g (x )的隐零点)，且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2ex ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减． 可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.。
导数零点个数的关系
导数零点个数的关系
导数零点个数的关系是微积分中的重要概念之一。
在这个概念中，导数指的是函数在
某一点的斜率，其零点个数指的是函数的极值点的个数和函数在某些点的拐点的个数。
在微积分中，导数可以描述函数在某一点的瞬时变化率，也可以用来刻画函数的凸凹
性质。
函数的导数存在且连续时，函数的凸凹性质可以通过导数的符号来描述。
具体而言，若函数的导数在某一点小于零，则该点为函数的局部最大值点；若函数的导数在某一点大
于零，则该点为函数的局部最小值点。
同时，若函数的导数在某一点为零，这种情况下，
函数在该点可能是取极值，也可能是函数的拐点。
在实际应用中，导数零点个数的关系可用来解决很多问题。
比如，我们可以将导数零
点个数的问题应用到优化和逼近问题中。
这种方法可以找到函数的最大值和最小值点，从
而帮助我们建立数学模型。
此外，在物理学、经济学等领域同样存在大量的应用。
在计算导数零点个数时，我们可以使用求导数的方法。
对于一般的函数，我们可以使
用牛顿莱布尼茨公式求出其导数。
在求导数过程中，我们通常使用微积分中的求导法则，
比如数乘法则、相加法则、链式法则等。
同时，在计算导数零点个数时，我们还需要使用
代数知识，比如解方程和因式分解。
总之，导数零点个数的关系是微积分中的一个非常重要的概念。
它可以帮助我们刻画
函数的凸凹性质，实现优化和逼近等应用，以及在多个领域中发挥作用。
因此，我们对这
个概念的理解和掌握显得非常重要。
高中数学导数求零点做题方法及例题
高中数学导数求零点做题方法及例题《高中数学导数求零点做题方法及例题》导数求零点是高中数学中的一个重要概念和解题方法。
理解和掌握此方法，对于解决各种数学问题以及考试取得优异成绩都非常关键。
本文将介绍导数求零点的做题方法，并通过例题加深理解。
首先，我们回顾一下导数的定义。
在数学中，给定一个函数f(x)，若其在某一点x_0处的导数f'(x_0)等于0，那么x_0就被称为函数f(x)的一个零点。
换句话说，零点就是函数曲线与x轴相交的点，即函数取值为零的位置。
那么，如何求解导数为零的点呢？我们可以运用微积分中的导数概念以及一些求根的方法，例如二分法、牛顿迭代法等。
下面以实际例题来说明导数求零点的做题方法。
例题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求其在(-∞,+∞)上的所有零点。
解：首先，我们需要求出导数f'(x)。
对于f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求导后可得到f'(x)=3x^2-6x-9。
其次，我们将求得的导数f'(x)令为0，并解方程得到零点。
即3x^2-6x-9=0，两侧同时除以3，化简得到x^2-2x-3=0。
利用求根公式或配方法，解得x=-1，x=3。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在(-∞,+∞)上的零点为 x=-1 和 x=3。
通过此例题，我们可以总结出求导数零点的方法：1. 求函数的导数。
2. 将导数等于0，即f'(x)=0，转化为方程。
3. 解方程得到零点。
导数求零点的方法在高中数学中经常出现，它常被应用于曲线的切线问题、函数图像的性质研究等。
掌握此方法不仅可以提升解题效率，还可以更加深刻地理解函数的性质。
总结起来，导数求零点是一种常用的数学方法，通过对函数的导数进行求解得到函数的零点。
掌握了此方法，我们可以在解决各种数学问题时更加轻松而高效。
因此，同学们在学习数学时，应该注重理解和运用导数求零点的做题方法，才能在考试中取得好成绩。
导数求零点个数的方法
导数求零点个数的方法导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数的极值、拐点和零点等信息。
在本文中，我们将介绍如何利用导数来求函数的零点个数。
我们需要知道什么是函数的零点。
函数的零点是指函数取值为零的点，也就是函数图像与x轴相交的点。
例如，函数f(x)=x^2-1的零点为x=-1和x=1。
接下来，我们来看如何利用导数求函数的零点个数。
假设我们有一个函数f(x)，我们可以先求出它的导数f'(x)。
然后，我们需要找出导数f'(x)的所有零点。
这些零点就是函数f(x)的驻点。
驻点是指函数图像在该点处的斜率为零的点。
在这些点处，函数图像可能是极大值、极小值或拐点。
因此，我们需要进一步分析这些驻点的性质，以确定它们是极值点还是拐点。
具体来说，我们可以利用二阶导数f''(x)来判断驻点的性质。
如果f''(x)>0，则该驻点为函数的极小值点；如果f''(x)<0，则该驻点为函数的极大值点；如果f''(x)=0，则该驻点可能是函数的拐点。
我们需要注意的是，函数的零点可能不仅仅存在于驻点处。
例如，函数f(x)=x^3-x的导数f'(x)=3x^2-1的零点为x=±sqrt(1/3)，但是函数f(x)的零点还有一个x=0。
因此，我们需要将驻点和其他可能的零点都考虑在内，才能得到函数的所有零点个数。
利用导数求函数的零点个数需要以下步骤：求出函数的导数，找出导数的所有零点，分析这些零点的性质，将驻点和其他可能的零点都考虑在内，最终得到函数的所有零点个数。
这种方法可以帮助我们更快地求出函数的零点个数，从而更好地理解函数的性质和行为。
导数大题零点问题解题技巧
导数大题零点问题解题技巧
导数大题零点问题的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 确定函数的单调性：通过求导数并判断导数的正负，可以确定函数的单调性。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的值域就是连续的，因此在这个区间内函数最多只有一个零点。
2. 利用零点存在定理：如果函数在区间端点的函数值异号，即 f(a)f(b)<0，则函数在这个区间内至少有一个零点。
3. 构造函数：通过构造函数，可以将问题转化为求函数的最值问题，从而找到函数的零点。
4. 结合图像：通过画出函数的图像，可以直观地观察函数的零点位置和个数。
5. 转化问题：将问题转化为其他形式，例如转化为求函数的最值问题、不等式问题等，从而简化问题。
在解题过程中，要注意以下几点：
1. 确定函数的定义域和值域，确保函数的连续性和可导性。
2. 注意函数的奇偶性和周期性，这些性质可能会影响函数的零点位置和个数。
3. 注意函数的极值点和拐点，这些点可能是函数的零点或拐点。
4. 注意题目中的隐含条件，例如函数在某点的导数值、函数在某区间的单调性等。
5. 注意计算精度和误差控制，避免计算错误导致答案不准确。
导数与零点问题教学设计
导数与零点问题教学设计引言：数学中的导数与零点问题是高中数学中的重要概念之一。
导数是微积分的基础概念，而零点问题则是导数应用的一种常见情境。
学生在学习导数与零点问题时往往需要深入理解它们的概念，掌握它们的求解方法，并能够在实际问题中应用它们。
本文将为教师设计一堂导数与零点问题的教学活动，旨在帮助学生更好地学习与理解这一概念，提高解决实际问题的能力。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解导数的定义与概念；2. 掌握求导的基本方法；3. 熟练应用导数求解实际问题中的零点问题。
二、教学重点和难点教学重点：导数的定义与求导方法的掌握。
教学难点：如何将导数与实际问题相结合，解决零点问题。
三、教学准备1. 教师准备讲解导数的定义与求导方法的教学材料；2. 准备一些实际问题的应用例题，以帮助学生理解导数与零点问题的应用。
四、教学过程步骤一：导入与概念解释（15分钟）教师可通过用图形与实际问题引入导数的概念，例如向学生展示一条直线的斜率与导数的关系，或者通过介绍汽车行驶的速度与位移的关系引导学生理解导数的定义。
教师还可以利用丰富的图像资料和实例解释导数的概念和意义，帮助学生加深对导数的理解。
步骤二：导数的基本求导方法与实例演示（20分钟）教师将重点介绍导数的基本求导方法，包括常数的导数、幂函数的导数、乘积与商的导数等。
通过一些简单的实例演示，教师引导学生掌握这些基本方法，并强调求导的注意事项。
教师还可以设计一些练习题，提供给学生进行计算练习，巩固求导方法的应用。
步骤三：导数与零点问题的应用（30分钟）教师将重点讲解如何利用导数解决实际问题中的零点问题。
通过给出一些应用实例，例如求函数的最值、求函数的单调区间、求切线方程等问题，教师引导学生运用导数的概念和求导方法，将实际问题转化为数学模型，最终求得问题的解。
教师还可以帮助学生分析解决问题的步骤与方法，培养学生的问题解决能力。
步骤四：实践应用与讨论（30分钟）在这一步骤中，教师设计一些小组合作活动或者个人练习题，供学生进行实践应用与讨论。
导数及其应用讲导数与函数的零点
汇报人：日期:•导数概念•导数与函数零点•导数在几何中的应用目•导数在物理中的应用•导数的实际应用录导数概念函数f在x=x0点的导数是指当h趋近于0时，f(x0+h)与f(x0)之差与h的商的极限。
函数在某一点的导数描述了函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义导数的几何意义函数在某一点的导数1 2 3若函数f和g可导，则其和、差、积、商的导数等于各自导数的和、差、积、商。
线性性质若函数f和g可导，则f乘以g的导数为f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
乘积法则幂函数的导数是幂函数的系数与自然对数的和。
幂函数的导数导数的运算性质导数与函数零点函数图像与x轴交点的横坐标称为函数的零点。
零点函数的零点实际上就是对应方程的根。
函数的零点与方程的根函数在零点两侧的函数值异号。
零点存在的条件函数零点的定义利用导数找函数零点导数与单调性函数的导数可以判断函数的单调性，如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0，函数单调递减。
找零点的步骤第一步，求函数的导数；第二步，根据导数判断函数的单调性；第三步，求出函数与x轴的交点，即函数的零点。
定理内容如果函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)上有导数，那么函数在(a,b)上至少有一个零点。
定理证明利用中值定理，当f'(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)上有导数时，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，从而证明了定理。
函数零点存在性定理导数在几何中的应用导数可以用来表示函数图像在某一点的切线斜率。
当函数在某一点处可导时，函数图像在该点的切线斜率等于该点的导数值。
切线斜率给定曲线上的一个点以及该点的切线斜率，可以得出该点的切线方程。
切线方程在几何上描述了曲线在这一点处的切线。
切线方程切线斜率与曲线在某点的切线方程导数小于0的区间，函数值单调递减；导数大于0的区间，函数值单调递增。
极值点是导数为0的点。
最值在一定区间内，函数值有最大值和最小值。
最值点可能是区间的端点或是极值点。
导数求零点问题的通解
2
2 2
ln
x e
2 2
a
e
2
)
t ln t
2a
e
2
有两个零点。
1
x
略解：y ( 令t
2.y
x
ln
1
x
a)
1
x
,y (t ln t a ) 的零点即为原函数的零 点。
x
x e
x
a ( a R ) ,讨论函数的零点。
略解：令e t ,x ln t
y t ln t a的零点即为原函数的零 点。
3. f(x )
x ln x a
(a R ),试求f(x ) 的零点，并证明结论。
略解：f (x ) 2 x ln
x a 2 ( x ln
x
a
2
)
令 x t ,y t ln t
a
2
的零点即为原函数的零 点。
4. f(x ) ln x ax
1 1
(a R ),讨论f(x ) 的零点个数。
2ax
ex
ex
e
令
1
ex
t ,y t ln t 2a
Байду номын сангаас
2a
e
有两个零点， 1
即0
e
2
1
e
,得0 a
e
.
6. f (x )
x
ln x
x
2
a,
求证：a (0, ),f (x ) 有且仅有两个零点。 2
e
f (x )
令t
e (x 2 e x ,y e
导数中的零点问题
导数中的零点问题题型一：零点的基本解法（两种）1、已知函数],1[,ln 2)(22e ex mx x x x f ∈+-=有两个零点，求实数m 的取值范围.2、已知函数()()21+-=x a xe x f x (1)若e a =，求函数)(x f 的极值；(2)若函数)(x f 有两个零点，求实数a 的取值范围．3、已知函数()()x e a ae x f x x --+=22（1）讨论()x f 的单调性：（2）若()x f 有两个零点，求a 的取值范围。
4、已知函数()())0(2212>-++-=a e x ax ax x f x （1）求函数()x f 的单调区间；（2）若函数()x f 存在3个零点，求a 的取值范围。
1、曲线3x y =在点()1,1处的切线方程为 ；过点()1,1处的切线方程为 。
2、已知函数),()(23R n m nx mx x x f ∈++=． （1）若()x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围；（2）若0)1(='f ，且过点)1,0(p 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切，求实数m 的值．3、已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）求函数()x f 的解析式；（2）若过点),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．1、已知函数)(36)(23R t t x x x x f ∈++-=.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）设函数)()(x f x g =有三个不同的极值点，求t 的取值范围．（3）设函数)()(x f e x g x =有三个不同的极值点，求t 的取值范围．题型四：隐藏零点问题1.（直接观察）求证：1ln -≤x xx2.已知0ln )1(>--a x x 恒成立，求实数a 的取值范围.【名师点睛】如果导函数存在零点，但是令导数为零后，出现超越方程，直接求解比较困难，此时可先用特殊值试探出方程的一个根，再通过二次求导研究其单调性，并证明是唯一的.一般地，导函数式含有ln x 时，可试根1，e 或1e等，当导函数式含有x e 时可试根0或1. 3.（虚设零点）设函数)0()1ln(1)(>++=x x x x f ，若1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值.变式1已知函数x x x f ln )(=.若k 为正整数，且k x k x f -->)1()(对任意1x >恒成立，求k 的最大值．3.已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且0)(≥x f ．（1）求a ；（2）证明：()x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e4.已知)2ln()(+-=x e x f x ，求证：0)(>x f 恒成立.变式2. 已知函数)(ln )(R x m x x x f ∈--=．（1）若函数有两个零点，求m 的取值范围；（2）关于x 的不等式0)2()(<-+x e x f x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，上恒成立, 求m 能取到的最小整数。
高考数学导数专题：零点
高考数学导数专题：零点理论一：零点个数。
①在一个单调区间中：两个端点的函数值同时为正或者同时为负，在这个单调区间中函数没有零点。
②在一个单调区间中：两个端点的函数值一正一负，在这个单调区间中函数有一个零点。
例题一：2020年高考文科数学新课标Ⅰ卷第20题：已知函数)2()(+-=x a e x f x。
（1）当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围。
本题解析：（1）当1=a 时：2)2()(--=+-=x e x e x f xx。
定义域：R x ∈；导函数：1)('-=xe xf ；令导函数1010)('≥⇒≥-⇒≥xxe e xf ，010≥⇒≥⇒=x e e e x。
如下图所示：所以：当)0,(-∞∈x 时：导函数0)('<x f ，原函数)(x f 单调递减；当),0[+∞∈x 时：导函数0)('≥x f ，原函数)(x f 单调递增。
（2）令0)(=x f ，)2()(+-=x a e x f xxxex a x a e =+⇒=+-⇒)2(0)2(2+=⇒x e a x 。
假设：2)(+=x e x g x。
)(x f 的零点为方程)(x g a =的解（)(x g 与直线a y =的交点）。
导函数：22)2()1()2(1)2()('++=+⋅-+=x x e x e x e x g x x 。
令导函数1010)('-≥⇒≥+⇒≥x x x g 。
如下图所示：x ∞-)1,(--∞1-),1[+∞-∞+)('x g -+)(x g ∞+↓e1↑∞+ee e e g 1121)1(111===+-=----。
如下图所示：)(x g 与直线a y =有两个交点ea 1>⇒。
所以：a 的取值范围为：),1(+∞e。
例题二：2020年高考文科数学新课标Ⅲ卷第20题：已知函数23)(k kx x x f +-=。
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法(原卷版)
导数专题：利用导数研究函数零点的4种常见考法一、函数零点问题常规求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴（或y=k）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。
二、利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
三、利用函数的零点求参数范围的方法1、分离参数（a=g(x)）后，将原问题转化为y=g(x)的值域（最值）问题或转化为直线y=a 与y=g(x)的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
四、导函数的零点不可直接求时的应对策略1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：①当含有ln x 的函数中，通常选取k x e =，特别的，选当0k =时，1x =来试探；②在含有x e 的函数中，通常选取ln x k =，特别的，选取当1k =时，0x =来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。
2、“虚设和代换法”：当导函数()f x '的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为0x ，接下来通常有两个方向：①由0()0f x '=得到一个关于0x 的方程，再将这个关于0x 的方程的整体或局部代入0()f x ，从而求得0()f x ，然后解决相关的问题；②根据导函数()f x '的单调性，得出0x 两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
2025届高考数学一轮复习教案：导数-导数的函数零点问题
第2课时导数的函数零点问题【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.【核心考点·分类突破】题型一利用导数探究函数的零点个数[例1]设函数f(x)=ln x+,m∈R,讨论函数g(x)=f'(x)-3零点的个数.【解析】由题意知g(x)=f'(x)-3=1-2-3(x>0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x>0).设φ(x)=-13x3+x(x>0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,所以x=1也是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=23.结合y=φ(x)的图象(如图)可知,①当m>23时,函数g(x)无零点;②当m=23时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<23时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>23时,函数g(x)无零点;当m=23或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<23时,函数g(x)有两个零点.【解题技法】利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法(1)构造函数:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.【对点训练】(2023·郑州质检)已知函数f(x)=e x-ax+2a,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)=e x-ax+2a,定义域为R,且f'(x)=e x-a,当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)在R上单调递增;当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln a,当x<ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(2)令f(x)=0,得e x=a(x-2),当a=0时,e x=a(x-2)无解,所以f(x)无零点,当a≠0时,1=-2e,令φ(x)=-2e,x∈R,所以φ'(x)=3-e,当x∈(-∞,3)时,φ'(x)>0;当x∈(3,+∞)时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(-∞,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,且φ(x)max=φ(3)=1e3,又x→+∞时,φ(x)→0,x→-∞时,φ(x)→-∞,所以φ(x)的大致图象如图所示.当1>1e3,即0<a<e3时,f(x)无零点;当1=1e3,即a=e3时,f(x)有一个零点;当0<1<1e3,即a>e3时,f(x)有两个零点;当1<0,即a<0时,f(x)有一个零点.综上所述,当a∈(0,e3)时,f(x)无零点;当a∈(-∞,0)∪{e3}时,f(x)有一个零点;当a∈(e3,+∞)时,f(x)有两个零点.【加练备选】已知函数f(x)=x e x+e x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)e x,令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减-12单调递增所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),单调递增区间是(-2,+∞).当x=-2时,f(x)有极小值,为f(-2)=-1e2,无极大值.(2)令f(x)=0,得x=-1,当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0,且f(x)的图象经过点(-2,-1e2),(-1,0),(0,1).当x→-∞时,f(x)→0;当x→+∞时,f(x)→+∞,根据以上信息,画出f(x)大致图象如图所示.函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数为y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数,所以关于函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数有如下结论:当a<-1e2时,零点的个数为0;当a=-1e2或a≥0时,零点的个数为1;当-1e2<a<0时,零点的个数为2.题型二利用函数零点问题求参数范围[例2]已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=e x-x-2,则f'(x)=e x-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)f'(x)=e x-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意;当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a≤1e,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在1个零点,不合题意; (ii)若a>1e,则f(ln a)<0.因为f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上存在唯一零点.易知,当x>2时,e x-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e2·e2-a(x+2)>e ln(2a)+2-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)上存在唯一零点,从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.综上,a,+∞.【解题技法】由函数零点求参数范围的策略(1)涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围.(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.(3)含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数图象,根据图象特征求参数的范围.【对点训练】(一题多法)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=e x-(x+2),f'(x)=e x-1,令f'(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)方法一:当a≤0时,f'(x)=e x-a>0恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,不符合题意;当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)的极小值也是最小值为f(ln a)=a-a(ln a+2)=-a(1+ln a).又当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞;所以要使f(x)有两个零点,只要f(ln a)<0即可,则1+ln a>0,可得a>1e.综上,若f(x)有两个零点,则a的取值范围是(1e,+∞).方法二:若f(x)有两个零点,即e x-a(x+2)=0有两个解,显然x=-2不成立,即a=e r2(x≠-2)有两个解,令h(x)=e r2(x≠-2),则有h'(x)=e(r2)-e(r2)2=e(r1)(r2)2,令h'(x)>0,解得x>-1,令h'(x)<0,解得x<-2或-2<x<-1,所以函数h(x)在(-∞,-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,且当x<-2时,h(x)<0,而当x→(-2)+(从右侧趋近于-2)时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以当a=e r2(x≠-2)有两个解时,有a>h(-1)=1e,所以满足条件的a的取值范围是(1e,+∞).【加练备选】已知函数f(x)=x ln x,g(x)=(-x2+ax-3)e x(a∈R).(1)当a=4时,求曲线y=g(x)在x=0处的切线方程;(2)如果关于x的方程g(x)=2e x f(x)在区间[1e上有两个不等实根,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=4时,g(x)=(-x2+4x-3)e x,g(0)=-3,g'(x)=(-x2+2x+1)e x,g'(0)=1,所以所求的切线方程为y+3=x-0,即y=x-3.(2)由g(x)=2e x f(x),可得2x ln x=-x2+ax-3,a=x+2ln x+3.设h(x)=x+2ln x+3(x>0),所以h'(x)=1+2-32=(r3)(-1)2,所以x在[1e,e]上变化时,h'(x),h(x)的变化如表:x[1,1)1(1,e]h'(x)-0+h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增又h(1e)=1e+3e-2,h(1)=4,h(e)=3e+e+2,且h(e)-h(1e)=4-2e+2e<0,所以实数a的取值范围为(4,e+2+3e].题型三与函数零点有关的证明[例3](2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=e x-x,g(x)=x-ln x.(1)判断直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)的交点分别有几个;(2)证明:曲线y=f(x)和y=g(x)有且只有一个公共点;(3)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】(1)设S(x)=e x-x-b,S'(x)=e x-1,当x<0时,S'(x)<0,当x>0时,S'(x)>0,故S(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以S(x)min=S(0)=1-b.当b<1时,S(x)min=1-b>0,S(x)无零点;当b=1时,S(x)min=1-b=0,S(x)有1个零点;当b>1时,S(x)min=1-b<0,而S(-b)=e->0,S(b)=e b-2b,设u(b)=e b-2b,其中b>1,则u'(b)=e b-2>0,故u(b)在(1,+∞)上单调递增,故u(b)>u(1)=e-2>0,故S(b)>0,故S(x)=e x-x-b有两个不同的零点.设T(x)=x-ln x-b,T'(x)=-1,当0<x<1时,T'(x)<0,当x>1时,T'(x)>0,故T(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以T(x)min=T(1)=1-b.当b<1时,T(x)min=1-b>0,T(x)无零点;当b=1时,T(x)min=1-b=0,T(x)有1个零点;当b>1时,T(x)min=1-b<0,而T(e-)=e->0,T(e b)=e b-2b>0,所以T(x)=x-ln x-b有两个不同的零点.综上可知,当b<1时,直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)的交点个数都是0;当b=1时,直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)的交点个数都是1;当b>1时,直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)的交点个数都是2.(2)由f(x)=g(x)得e x-x=x-ln x,即e x+ln x-2x=0,设h(x)=e x+ln x-2x,其中x>0,故h'(x)=e x+1-2.设s(x)=e x-x-1,x>0,则s'(x)=e x-1>0,故s(x)在(0,+∞)上单调递增,故s(x)>s(0)=0,即e x>x+1,所以h'(x)>x+1-1≥2-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=e-2>0,h(1e3)=e1e3-3-2e3<e-3-2e3<0,故h(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0,且1e3<x0<1,当0<x<x0时,h(x)<0,即e x-x<x-ln x,即f(x)<g(x),当x>x0时,h(x)>0,即e x-x>x-ln x,即f(x)>g(x),所以曲线y=f(x)和y=g(x)有且只有一个公共点.(3)由(2)知,若存在直线y=b与曲线y=f(x),y=g(x)有三个不同的交点,则b=f(x0)=g(x0)>1,此时e x-x=b有两个不同的解x1,x0(x1<0<x0),x-ln x=b有两个不同的解x0,x2(0<x0<1<x2),故e1-x1=b,e0-x0=b,x2-ln x2-b=0,x0-ln x0-b=0,所以x2-b=ln x2,即e2-=x2,即e2--(x2-b)-b=0,故x2-b为方程e x-x=b的解,同理x0-b也为方程e x-x=b的解,所以{x1,x0}={x0-b,x2-b},而b>1,故0=2-,1=0-,即x1+x2=2x0.【解题技法】1.证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0;2.证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.【对点训练】已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.(1)求证:f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)求证:f(x)有且仅有两个不同的零点.【证明】(1)设g(x)=f'(x)=1-1+2cos x,当x∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-12<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为g(π3)=3π-1+1>0,g(π2)=2π-1<0,所以g(x)在(0,π)上有唯一的零点.(2)设f'(x)在(0,π)上的唯一零点为α,由(1)知π3<α<π2.①当x∈(0,α)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(α,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点α,所以f(α)>f(π2)=lnπ2-π2+2>2-π2>0,又因为f(1e2)=-2-1e2+2sin1e2<-2-1e2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点.又因为f(π)=lnπ-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点.②当x∈[π,2π)时,sin x≤0,f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,h'(x)=1-1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,所以当x∈[π,2π)时,f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2.设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1-1<0,所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个不同的零点.。
关于导数零点的小诗
关于导数零点的小诗摘要：一、前言二、导数零点的概念三、导数零点与函数图像的关系四、导数零点的求解方法五、导数零点在实际问题中的应用六、总结正文：一、前言在微积分的世界里，导数零点是一个十分重要的概念。
它不仅是导数研究的基础，还在实际问题中有着广泛的应用。
今天，让我们通过一首小诗，来了解关于导数零点的知识。
二、导数零点的概念导数零点，又称函数的驻点，是指函数在某一点处的导数等于零。
用数学符号表示，即f"(x)=0。
导数零点是函数在这一点的切线斜率为零，表示函数图像在这一點处无斜率，也就是曲线在此处上升或下降的速率为零。
三、导数零点与函数图像的关系导数零点与函数图像的关系密切。
在二维平面直角坐标系中，导数零点是函数图像上的拐点，即函数图像在此处发生转折。
同时，导数零点也是函数的极值点和鞍点。
当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，该区间内的导数零点是函数的极值点；当函数在某一区间内既不单调递增也不单调递减时，该区间内的导数零点是函数的鞍点。
四、导数零点的求解方法求解导数零点的方法主要有以下几种：1.直接求导法：通过求解f"(x)=0，直接得出导数零点。
2.隐函数求导法：在已知函数表达式的情况下，通过求解对应的隐函数方程f"(x)=0，得出导数零点。
3.参数方程求导法：在已知参数方程的情况下，通过求解参数方程的导数等于零的方程，得出导数零点。
五、导数零点在实际问题中的应用导数零点在实际问题中有着广泛的应用，例如：在物理学中，求解运动物体的加速度；在经济学中，求解市场需求和价格的关系；在生物学中，求解生物种群的增长速率等。
六、总结通过这首小诗，我们了解了关于导数零点的概念、与函数图像的关系、求解方法以及在实际问题中的应用。
导数零点作为微积分中的一个重要概念，不仅具有理论价值，还具有实践意义。
导数与零点问题解题技巧
导数与零点问题解题技巧
1. 嘿，你想知道怎么通过导数来巧妙找到函数的零点吗？就像在一片迷雾中找到那关键的线索！比如求函数f(x)=x³-3x+2 的零点，咱通过求导找到极值点，就能逐步逼近零点啦，是不是很神奇？
2. 哇哦，注意啦！导数可是解决零点问题的一把利器呀！好比你找宝藏有了精确的地图。
像对于函数 g(x)=e^x-x-1，用导数不就能轻松分析它零点的情况嘛！
3. 嘿呀，有没有觉得导数和零点问题之间像是有一条神秘的纽带呀！就像侦探和线索一样。
比如分析函数 h(x)=sinx+x 在某个区间的零点，导数能帮大忙呢！
4. 哎呀，学会这些解题技巧那可真是太棒啦！简直像是掌握了绝世武功。
想想函数i(x)=lnx+x²，用导数去攻克零点问题，多有成就感！
5. 天呐，导数与零点问题的结合简直妙不可言！就如同给你一双慧眼。
拿函数 j(x)=x^4-4x² 来说，导数能让我们快速看清零点的分布呢。
6. 哇塞，这些解题技巧你可不能错过呀！这就好比游戏里的通关秘籍。
像是函数 k(x)=x+cosx ，利用导数去求解零点，厉害吧！
7. 嘿，你知道用导数解决零点问题能带来多大的乐趣吗？那可比发现新大陆还让人兴奋！好比函数l(x)=x³/3-x²+2x 的零点求解。
8. 总之，导数与零点问题解题技巧真的超有用的啦！你一定要好好掌握哦！就像拥有了一把打开数学难题大门的钥匙！不管遇到什么函数，都能轻松应对！。
导数零点差问题
导数零点差问题二级标题1三级标题1.1导数零点差问题是微积分中的一个重要概念，指的是函数在零点附近的导数值的变化情况。
导数是描述函数在某一点的瞬时变化率，通过求导可以得到函数的导函数，也就是函数在每个点的导数值。
零点是函数在自变量取某一特定值时，函数值为零的点。
导数零点差问题，即研究函数在零点附近导数值的变化。
三级标题1.2在计算导数的过程中，我们可以通过导数的定义来求解，也可以利用一些常用的导数法则和公式进行计算。
导数的零点差问题实际上是在研究函数在零点附近的局部极值问题，通过求导并令导数等于零，可以得到函数的极值点。
这样的极值点可以是局部极大值或者局部极小值。
二级标题2三级标题2.1导数的零点差问题在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，通过研究函数的导数零点差可以确定函数的极值点，从而求解最大值和最小值的问题。
在物理学中，导数的零点差问题与速度、加速度和位移等相关联。
研究物体的位移随时间变化的规律，可以通过求解速度和加速度的关系来得到。
而速度和加速度的关系又可以通过导数零点差问题来推导。
三级标题2.2导数零点差问题也在经济学和工程学中有着应用。
在经济学中，可以利用导数零点差来研究供求曲线和市场均衡问题。
在工程学中，导数的零点差问题可以帮助我们优化设计和改进工艺。
通过求解导数的零点差，可以确定最优解，从而提高效率和降低成本。
三级标题3.1当函数的导数为常数时，导数零点差问题也有着特殊的情况。
此时，函数在整个定义域上是单调增加或单调减少的。
通过求导并令导数等于零，我们可以得到导数为常数的解。
这样的解在导数零点差问题中被称为临界点。
临界点是函数在其定义域内使导数为零的点或者不导数的点。
通过对临界点的研究，可以进一步得到函数的极值点和拐点。
三级标题3.2导数零点差问题的解决方法多种多样。
除了通过求导和求解导数的零点差来确定函数的极值点外，还可以利用图像的性质和数值计算等方法来解决。
当函数无法直接进行导数计算时，可以利用数值方法进行近似求解。
导数与函数零点问题
导数与函数零点问题（2023年8月1日）一、知识提要1. 零点存在定理 如果()f x 在[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且___________________,则()f x 在(,)a b 内必存在零点。
推论：如果()f x 在[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，()()0f a f b <，且___________________,则()f x 在(,)a b 内必存在唯一的零点。
2. 为了更准确地画出函数的图象，或利用参数分离法求参数范围问题，遇到最值不存在的情况，有时需利用洛比达法则：若lim ()0(),lim ()0()x a x af xg x →→=∞=∞，且(),()f x g x 在x a =处及附近可导，且//()lim ()x a f x g x →存在，则()lim ()x a f x g x →=______________ 3. 解决函数零点问题（判断含参数的函数零点个数或已知含参数函数的零点个数求参数的取值范围）的常见策略（1）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能参数分离，作出函数的图像，根据图像特征求参数的范围；（2）根据零点的个数（方程的根个数）寻找函数在给定区间的极值、区间端点的函数值与0的关系、特殊函数值的符号结合零点存在定理、利用函数的凹凸性，从而确定参数的取值范围。
二、方法规律例1设R ∈a ,已知函数x a x x f ln 2)(2-=.（1）求函数)(x f 的单调区间;（2）若0>a ,求使方程ax x f 2)(=有唯一解的a 的值.例2已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间,上各恰有一个零点,求的取值范围.例3已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(200,x e ⎤∈⎦，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ⎤⎦内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．2231,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．223,e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．22,e e e e ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ D ．21,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦例4若对任意0a >，函数32()1f x x ax bx =+++在(,0)-∞内有且只有一个零点，求实数b 的取值范围。