中考数学(甘肃)总复习练习题:第四章 三角形
【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案
题型一 规律探索类型一 数与式规律探索 1.(2017·百色)观察以下一列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是(B )A .-121B .-100C .100D .121 2.(2017·武汉)按照一定规律排列的n 个数:-2、4、-8、16、-32、64、…,若最后三个数的和为768,则n 为(导学号 35694235)(B )A .9B .10C .11D .123.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为x 1,第二个三角形数记为x 2,…,第n 个三角形数记为x n ,则x n +x n+1=__(n +1)2__.4.若x 是不等于1的实数,我们把11-x 称为x 的差倒数,如2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数为11-(-1)=12,现已知x 1=-13,x 2是x 1的差倒数,x 3是x 2的差倒数,x 4是x 3的差倒数,…,以此类推,则x 2018=__34__.5.观察下列等式:1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,则1+3+5+7+…+2015=__1016064__.6.小明写出如下一组数:15,-39,717,-1533,…,请用你发现的规律,猜想第2014个数为__-22014-122015+1__.7.(2017·云南)观察下列各个等式的规律: 第一个等式:22-12-12=1,第二个等式:32-22-12=2,第三个等式:42-32-12=3,…请用上述等式反映出的规律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的. 解:(1)第四个等式为:52-42-12=4;(2)第n 个等式为:(n +1)2-n 2-12=n;证明如下:∵(n +1)2-n 2-12=n 2+2n +1-n 2-12=2n 2=n ,∴左边=右边,等式成立.类型二 图形规律探索 1.(2017·德州)观察下列图形,它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图①);对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…将这种做法继续下去(如图②,图③…),则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C )A .121B .362C .364D .7292.如图,在△ABC 中,BC =1,点P 1,M 1分别是AB ,AC 边的中点,点P 2,M 2分别是AP 1,AM 1的中点,点P 3,M 3分别是AP 2,AM 2的中点,按这样的规律下去,P n M n 的长为__12n__(n 为正整数).3.如图,在△ABC 中,∠A =m °,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2,得∠A 2;…∠A 2016BC 和∠A 2016CD 的平分线交于点A 2017,则∠A 2017=__m22017__°.4.如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图⑤中三角形的个数是(C )A .8B .9C .16D .17 5.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,依此规律,第11个图案需(B )根火柴.A .156B .157C .158D .1596.观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n 个图形中所有点的个数为__(n +1)2__(用含n 的代数式表示).(导学号 35694237)类型三 与坐标系结合的规律探索1.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置,点B 、O 分别落在点B 1、C 1处,点B 1在x 轴上,再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置,点C 2在x 轴上,将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置,点A 2在x 轴上,依次进行下去…,若点A (53,0),B (0,4),则点B 2016的横坐标为(D )A .5B .12C .10070D .100802.如图,在平面直角坐标系中有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(3,-1)…,根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D )A .(14,0)B .(14,-1)C .(14,1)D .(14,2)3.如图,已知菱形OABC 的两个顶点O (0,0),B (2,2),若将菱形绕点O 以每秒45°的速度逆时针旋转,则第2017秒时,菱形两对角线交点D 的坐标为.4.(2017·赤峰)在平面直角坐标系中,点P (x ,y )经过某种变换后得到点P ′(-y +1,x +2),我们把点P ′(-y +1,x +2)叫做点P (x ,y )的终结点.已知点P 1的终结点为P 2,点P 2的终结点为P 3,点P 3的终结点为P 4,这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…,若点P 1的坐标为(2,0),则点P 2017的坐标为__(2,0)__.(导学号 35694238)5.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC,且∠A=120°,点O、B在y轴上,OA =1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1、B2、B3…,连续翻转2017次,则B2017的坐标为__(1345.5,2)__.题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1.(2017·陕西)如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)(导学号35694239)解:如解图,点P即为所求.2.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)解:如解图所示,作CD的垂直平分线,∠AOB的平分线的交点P即为所求,此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等.P和P1都是所求的点.3.(2017·绥化)如图,A、B、C为某公园的三个景点,景点A和景点B之间有一条笔直的小路,现要在小路上建一个凉亭P,使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离,请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明,只保留作图痕迹)解:如解图,连接AC,作线段AC的垂直平分线MN,直线MN交AB于点P.点P即为所求的点.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上找一点D,使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹,不写作法)解:如解图,点D即为所求.类型二作角平分线和垂直平分线1.(2017·福建)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)解:BQ就是所求的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.2.(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.(1)解:如解图所示,AF即为所求;(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AF平分∠BAD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4,∴CE=CF.3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°.(1)作边AB的垂直平分线MN;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的度数.(导学号35694240)解:(1)如解图①即为所求垂直平分线MN;(2)如解图②,连接BD,∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,∵∠A=40°,∴∠ABD=∠A=40°,∵AB=AC,∴∠ABC =∠C =12(180°-∠A)=70°,∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =70°-40°=30°. 4.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母)①作线段AC 的垂直平分线l ,交AC 于点O ;②连接BO 并延长,在BO 的延长线上截取OD ,使得OD =OB ; ③连接DA 、DC ;(2)判断四边形ABCD 的形状,并说明理由. (1)①②③如解图所示; (2)四边形ABCD 是矩形,理由:∵在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,BO 是AC 边上的中线, ∴BO =12AC ,∵BO =DO ,AO =CO ,∴AO =CO =BO =DO ,∴四边形ABCD 是矩形.类型三 作圆1.如图,在图中求作⊙P ,使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解:如解图所示,⊙P 即为所作的圆.2.如图,已知在△ABC 中,∠A =90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P ,使圆心P 在AC 边上,且与AB ,BC 两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明);(2)若∠B =60°,AB =3,求⊙P 的面积.解:(1)如解图所示, ⊙P 为所求作的圆; (2)∵∠B =60°, BP 平分∠ABC ,∴∠ABP =30°, ∵tan ∠ABP =AP AB, ∴AP =3, ∴S ⊙P =3π.3.(2017·舟山)如图,已知△ABC ,∠B =40°.(1)在图中,用尺规作出△ABC 的内切圆O ,并标出⊙O 与边AB ,BC ,AC 的切点D ,E ,F(保留痕迹,不必写作法);(2)连接EF ,DF ,求∠EFD 的度数. 解:(1)如解图①,⊙O 即为所求;(2)如解图②,连接OD ,OE , ∴OD ⊥AB ,OE ⊥BC , ∴∠ODB =∠OEB =90°, ∵∠B =40°,∴∠DOE =140°,∴∠EFD =70°.4.已知△ABC 中,∠A =25°,∠B =40°.(1)求作:⊙O ,使得⊙O 经过A 、C 两点,且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法);(2)求证:BC 是(1)中所作⊙O 的切线. (1)解:作图如解图①;(2)证明:如解图②,连接OC ,∵OA =OC ,∠A =25°,∴∠BOC =50°, 又∵∠B =40°,∴∠BOC +∠B =90°, ∴∠OCB =90°,∴OC ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.5.如图,在直角三角形ABC 中,∠ABC =90°. (1)先作∠ACB 的平分线,设它交AB 边于点O ,再以点O 为圆心OB 为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)证明:AC 是所作⊙O 的切线;(3)若BC =3,sin A =12,求△AOC 的面积.(1)解:作图如解图所示:(2)证明:过点O 作OE ⊥AC 于点E , ∵FC 平分∠ACB ,∴OB =OE ,∴AC 是所作⊙O 的切线;(3)解:∵sin A =12,∠ABC =90°,∴∠A =30°,∴∠ACO =∠OCB =12∠ACB =30°,∵BC =3,∴AC =23,BO =BC tan 30°=3³33=1, ∴S △AOC =12AC·OE =12³23³1= 3.题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算类型一 与三角形有关的证明与计算 1.(2017·黄冈)已知:如图,∠BAC =∠DAM ,AB =AN ,AD =AM ,求证:∠B =∠ANM.证明:∵∠BAC =∠DAM ,∠BAC =∠BAD +∠DAC ,∠DAM =∠DAC +∠NAM , ∴∠BAD =∠NAM , 在△BAD 和△NAM 中,⎩⎨⎧AB =AN ,∠BAD =∠NAM ,AD =AM ,∴△BAD ≌△NAM(SAS ),∴∠B =∠ANM. 2.(2017·孝感)如图,已知AB =CD ,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E ,F ,BF =DE ,求证:AB ∥CD.证明:∵AE ⊥BD , CF ⊥BD ,∴∠AEB =∠CFD =90°, ∵BF =DE ,∴BF +EF =DE +EF , ∴BE =DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中,⎩⎨⎧AB =CD ,BE =DF ,∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL ), ∴∠B =∠D ,∴AB ∥CD. 3.(2017·连云港)如图,已知等腰三角形ABC 中,AB =AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且AD =AE ,连接BE 、CD ,交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A 、F 的直线垂直平分线段BC.(1)解:∠ABE =∠ACD ;理由如下:在△ABE 和△ACD 中,⎩⎨⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AE =AD ,∴△ABE ≌△ACD(SAS ),∴∠ABE =∠ACD ; (2)证明:∵AB =AC , ∴∠ABC =∠ACB ,由(1)可知∠ABE =∠ACD , ∴∠FBC =∠FCB , ∴FB =FC , ∵AB =AC ,∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上,即直线AF 垂直平分线段BC. 4.(2017·荆门)已知:如图,在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,点D 是AB 的中点,点E 是CD 的中点,过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F.(1)求证:△ADE ≌△FCE ;(2)若∠DCF =120°,DE =2,求BC 的长.(1)证明:∵点E 是CD 的中点, ∴DE =CE , ∵AB ∥CF ,∴∠BAF =∠AFC , 在△ADE 与△FCE 中,⎩⎨⎧∠DAF =∠AFC ,∠AED =∠FEC ,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE(AAS ); (2)解:由(1)得,CD =2DE , ∵DE =2,∴CD =4.∵点D 为AB 的中点,∠ACB =90°, ∴AB =2CD =8,AD =CD =12AB.∵AB ∥CF ,∴∠BDC =180°-∠DCF =180°-120°=60°, ∴∠DAC =∠ACD =12∠BDC =12³60°=30°,∴BC =12AB =12³8=4.5.(2017·重庆A )在△ABM 中,∠ABM =45°,AM ⊥BM ,垂足为M ,点C 是BM 延长线上一点,连接AC.(1)如图①,若AB =32,BC =5,求AC 的长;(2)如图②,点D 是线段AM 上一点,MD =MC ,点E 是△ABC 外一点,EC =AC ,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点,求证:∠BDF =∠CEF.(导学号 35694241)(1)解:AC =13;(2)证明:如解图,延长EF 到点G ,使得FG =EF ,连接BG. ∵DM =MC ,∠BMD =∠AMC , BM =AM ,∴△BMD ≌△AMC(SAS ), ∴AC =BD ,又∵CE =AC ,∴BD =CE , ∵BF =FC ,∠BFG =∠CFE , FG =FE ,∴△BFG ≌△CFE(SAS ),∴BG =CE ,∠G =∠CEF ,∴BD =CE =BG ,∴∠BDG =∠G =∠CEF. 6.(2017·呼和浩特)如图,等腰三角形ABC 中,BD ,CE 分别是两腰上的中线. (1)求证:BD =CE ;(2)设BD 与CE 相交于点O ,点M ,N 分别为线段BO 和CO 的中点,当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN 的形状,无需说明理由.(1)证明:由题意得,AB =AC , ∵BD ,CE 分别是两腰上的中线, ∴AD =12AC ,AE =12AB ,∴AD =AE ,在△ABD 和△ACE 中,⎩⎨⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS ).∴BD =CE ; (2)解:四边形DEMN 是正方形,证明:略7.△ABC 的三条角平分线相交于点I ,过点I 作DI ⊥IC ,交AC 于点D. (1)如图①,求证:∠AIB =∠ADI ;(2)如图②,延长BI ,交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系,并说明理由; ②若∠BAC =70°,求∠F 的度数.(1)证明:∵AI 、BI 分别平分∠BAC ,∠ABC , ∴∠BAI =12∠BAC ,∠ABI =12∠ABC ,∴∠BAI +∠ABI =12(∠BAC +∠ABC)=12(180°-∠ACB)=90°-12∠ACB ,∴在△ABI 中,∠AIB =180°-(∠BAI +∠ABI)=180°-(90°-12∠ACB)=90°+12∠ACB ,∵CI 平分∠ACB ,∴∠DCI =12∠ACB ,∵DI ⊥IC ,∴∠DIC =90°,∴∠ADI =∠DIC +∠DCI =90°+12∠ACB ,∴∠AIB =∠ADI ;(2)解:①结论:DI ∥CF.理由:∵∠IDC =90°-∠DCI =90°-12∠ACB ,∵CF 平分∠ACE ,∴∠ACF =12∠ACE =12(180°-∠ACB)=90°-12∠ACB ,∴∠IDC =∠ACF ,∴DI ∥CF ;②∵∠ACE =∠ABC +∠BAC ,∴∠ACE -∠ABC =∠BAC =70°, ∵∠FCE =∠FBC +∠F , ∴∠F =∠FCE -∠FBC ,∵∠FCE =12∠ACE ,∠FBC =12∠ABC ,∴∠F =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC)=35°.8.(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°,P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合),连接AP ,延长BC 至点Q ,使得CQ =CP ,过点Q 作QH ⊥AP 于点H ,交AB 于点M.(1)若∠PAC =α,求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示);(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系,并证明.(导学号 35694242)解:(1)∠AMQ =45°+α;理由如下:∵∠PAC =α,△ACB 是等腰直角三角形, ∴∠BAC =∠B =45°,∠PAB =45°-α, ∵QH ⊥AP , ∴∠AHM =90°, ∴∠AMQ =180°-∠AHM -∠PAB =45°+α;(2)PQ =2MB.理由如下:如解图,连接AQ ,作ME ⊥QB , ∵AC ⊥QP ,CQ =CP , ∴∠QAC =∠PAC =α, ∴∠QAM =45°+α=∠AMQ ,∴AP =AQ =QM , 在△APC 和△QME 中,⎩⎨⎧∠MQE =∠PAC ,∠ACP =∠QEM ,AP =QM ,∴△APC ≌△QME(AAS ),∴PC =ME , ∴△MEB 是等腰直角三角形,∴12PQ =22MB ,∴PQ=2MB.类型二 与四边形有关的证明与计算1.在▱ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且AE =CF. (1)求证:△ADE ≌△CBF ;(2)若DF =BF ,求证:四边形DEBF 为菱形.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,∠A =∠C , 在△ADE 和△CBF 中,⎩⎨⎧AD =BC ,∠A =∠C ,AE =CF ,∴△ADE ≌△CBF(SAS );(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AB =CD , ∵AE =CF ,∴DF =EB ,∴四边形DEBF 是平行四边形,又∵DF =FB ,∴四边形DEBF 为菱形.2.如图,四边形ABCD 中,BD 垂直平分AC ,垂足为点F ,E 为四边形ABCD 外一点,且∠ADE =∠BAD ,AE ⊥AC.(1)求证:四边形ABDE 是平行四边形;(2)如果DA 平分∠BDE ,AB =5,AD =6,求AC 的长. (导学号 35694243)(1)证明:∵AE ⊥AC ,BD 垂直平分AC , ∴AE ∥BD ,∵∠ADE =∠BAD , ∴DE ∥AB ,∴四边形ABDE 是平行四边形; (2)解:∵DA 平分∠BDE , ∴∠BAD =∠ADB , ∴AB =BD =5,设BF =x ,则52-x 2=62-(5-x)2, 解得x =75,∴AF =AB 2-BF 2=245,∴AC =2AF =485. 3.(2017·上海)已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =CD ,E 是对角线BD 上一点,且EA =E C .(1)求证:四边形ABCD 是菱形;(2)如果BE =BC ,且∠CBE ∶∠BCE =2∶3,求证:四边形ABCD 是正方形.证明:(1)在△ADE 和△CDE 中,⎩⎨⎧AD =CD ,DE =DE ,EA =EC ,∴△ADE ≌△CDE(SSS ), ∴∠ADE =∠CDE ,∵AD ∥BC ,∴∠ADE =∠CBD , ∴∠CDE =∠CBD ,∴BC =CD , ∵AD =CD ,∴BC =AD ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∵AD =CD ,∴四边形ABCD 是菱形; (2)∵BE =BC ,∴∠BCE =∠BEC , ∵∠CBE ∶∠BCE =2∶3, ∴∠CBE =180°³22+3+3=45°,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE =45°, ∴∠ABC =90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.如图,在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交CD 于点E ,交BC 的延长线于点F ,连接BE ,∠F =45°.(1)求证:四边形ABCD 是矩形;(2)若AB =14,DE =8,求sin ∠AEB 的值.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠DAF =∠F =45°.∵AE 是∠BAD 的平分线, ∴∠EAB =∠DAE =45°, ∴∠DAB =90°,又∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形;(2)解:如解图,过点B 作BH ⊥AE 于点H , ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =CD ,AD =BC , ∠DCB =∠D =90°,∵AB =14,DE =8,∴CE =6. 在Rt △ADE 中,∠DAE =45°, ∴AD =DE =8,∴BC =8. 在Rt △BCE 中,由勾股定理得BE =BC 2+CE 2=10, 在Rt △AHB 中,∠HAB =45°, ∴BH =AB·sin 45°=72, ∵在Rt △BHE 中,∠BHE =90°, ∴sin ∠AEB =BH BE =7210.5.(2017·大庆)如图,以BC 为底边的等腰△ABC ,点D ,E ,G 分别在BC ,AB ,AC 上,且EG ∥BC ,DE ∥AC ,延长GE 至点F ,使得BE =BF.(1)求证:四边形BDEF 为平行四边形; (2)当∠C =45°,BD =2时,求D ,F 两点间的距离.(导学号 35694244) (1)证明:∵△ABC 是等腰三角形, ∴∠ABC =∠C ,∵EG ∥BC ,DE ∥AC , ∴∠AEG =∠ABC =∠C ,∴四边形CDEG 是平行四边形, ∴∠DEG =∠C , ∵BE =BF ,∴∠BFE =∠BEF =∠AEG =∠ABC , ∴∠F =∠DEG ,∴BF ∥DE , ∴四边形BDEF 为平行四边形; (2)解:∵∠C =45°,∴∠ABC =∠BFE =∠BEF =45°, ∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形,∴BF =BE =22BD =2, 作FM ⊥BD 于点M ,连接DF ,如解图所示,则△BFM 是等腰直角三角形, ∴FM =BM =22BF =1, ∴DM =3,在Rt △DFM 中,由勾股定理得: DF =12+32=10,即D ,F 两点间的距离为10. 6.(2017·张家界)如图,在平行四边形ABCD 中,边AB 的垂直平分线交AD 于点E ,交CB 的延长线于点F ,连接AF ,BE.(1)求证:△AGE ≌△BGF ;(2)试判断四边形AFBE 的形状,并说明理由.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠AEG =∠BFG , ∵EF 垂直平分AB , ∴AG =BG ,在△AGE 和△BGF 中,⎩⎨⎧∠AEG =∠BFG ,∠AGE =∠BGF ,AG =BG ,∴△AGE ≌△BGF(AAS );(2)解:四边形AFBE 是菱形,理由如下: ∵△AGE ≌△BGF ,∴AE =BF ,∵AD ∥BC ,∴四边形AFBE 是平行四边形, 又∵EF ⊥AB ,∴四边形AFBE 是菱形.7.如图,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AO =CO ,BO =DO ,且∠ABC +∠ADC =180°.(1)求证:四边形ABCD 是矩形.(2)若∠ADF ∶∠FDC =3∶2,DF ⊥AC ,则∠BDF 的度数是多少?(1)证明:∵AO =CO ,BO =DO∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠ABC =∠ADC ,∵∠ABC +∠ADC =180°, ∴∠ABC =∠ADC =90°,∴四边形ABCD 是矩形;(2)解:∵∠ADC =90°,∠ADF ∶∠FDC =3∶2, ∴∠FDC =36°,∵DF ⊥AC ,∴∠DCO =90°-36°=54°, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴OC =OD ,∴∠ODC =54°,∴∠BDF =∠ODC -∠FDC =18°. 8.(2017·娄底)如图,在▱ABCD 中,各内角的平分线分别相交于点E ,F ,G ,H. (1)求证:△ABG ≌△CDE ;(2)猜一猜:四边形EFGH 是什么样的特殊四边形?证明你的猜想; (3)若AB =6,BC =4,∠DAB =60°,求四边形EFGH 的面积.(1)证明:∵GA 平分∠BAD ,EC 平分∠BCD , ∴∠BAG =12∠BAD ,∠DCE =12∠DCB ,∵在▱ABCD 中,∠BAD =∠DCB ,AB =CD ,∴∠BAG =∠DCE ,同理可得,∠ABG =∠CDE ,∵在△ABG 和△CDE 中,⎩⎨⎧∠BAG =∠DCE ,AB =CD ,∠ABG =∠CDE ,∴△ABG ≌△CDE(ASA ); (2)解:四边形EFGH 是矩形.证明:∵GA 平分∠BAD ,GB 平分∠ABC , ∴∠GAB =12∠BAD ,∠GBA =12∠ABC ,∵在▱ABCD 中,∠DAB +∠ABC =180°,∴∠GAB +∠GBA =12(∠DAB +∠ABC)=90°,即∠AGB =90°,同理可得,∠DEC =90°,∠AHD =90°=∠EHG , ∴四边形EFGH 是矩形;(3)解:依题意得:∠BAG =12∠BAD =30°,∵AB =6,∴BG =12AB =3,AG =33=CE ,∵BC =4,∠BCF =12∠BCD =30°,∴BF =12BC =2,CF =23,∴EF =33-23=3,GF =3-2=1, ∴S 矩形EFGH 的面积=EF·GF = 3.题型四解直角三角形的实际应用1.(2017·镇江)如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°,顶部的仰角为37°,已知教学楼和实验楼在同一平面上,观测点距地面的垂直高度AB为15 m,求实验楼的垂直高度即CD长.(精确到1 m,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)解:作AE⊥CD于E,如解图,∵AB=15 m,∴DE=AB=15 m,∵∠DAE=45°,∴AE=DE=15 m,在Rt△ACE中,tan∠CAE=CE AE,则CE=AE·tan37°=15³0.75≈11 m,∴CD=CE+DE=11+15=26 m.答:实验楼的垂直高度CD长为26 m.2.(2017·宜宾)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°,∠β=45°,量得BC长为100米,求河的宽度.(结果保留根号)解:过点A作AD⊥BC于点D,如解图,∵∠β=45°,∠ADC=90°,∴AD=DC,设AD=DC=x m,则tan 30°=x x +100=33, 解得x =50(3+1).答:河的宽度为50(3+1) m . 3.(2017·宿迁)如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点A 处测得正前方小岛C 的俯角为30°,面向小岛方向继续飞行10 km 到达B 处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度.(结果保留根号)(导学号 35694245)解:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,如解图,设CD =x , ∵∠CBD =45°, ∴BD =CD =x ,在Rt △ACD 中, ∵tan ∠CAD =CDAD,∴AD =CD tan ∠CAD =x tan 30°=x33=3x ,由AD +BD =AB 可得3x +x =10,解得x =53-5.答:飞机飞行的高度为(53-5) km . 4.(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B 处时,测得该岛位于正北方向20(1+3)海里的C 处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A 处的渔监船前往C 处护航,已知C 位于A 处的北偏东45°方向上,A 位于B 的北偏西30°的方向上,求A 、C 之间的距离.解:如解图,作AD ⊥BC ,垂足为D ,由题意得,∠ACD =45°, ∠ABD =30°.设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,在Rt△ABD中,可得BD=3x,又∵BC=20(1+3),CD+BD=BC,即x+3x=20(1+3),解得:x=20,∴AC=2x=202(海里).答:A、C之间的距离为20 2 海里.5.(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间,八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高,他们在旗杆正前方台阶上的点C处,测得旗杆顶端A的仰角为45°,朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处,测得旗杆顶端A的仰角为60°,已知升旗台的高度BE为1米,点C距地面的高度CD为3米,台阶CF的坡角为30°,且点E、F、D在同一条直线上,求旗杆AB的高度.(计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:如解图,过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形,∴ME=DC=3,CM=ED,在Rt△AEF中,∠AFE=60°,设EF=x,则AF=2x,AE=3x,在Rt△FCD中,CD=3,∠CFD=30°,∴DF=33,在Rt △AMC 中, ∠ACM =45°,∴∠MAC =∠ACM =45°,∴MA =MC , ∵ED =CM ,∴AM =ED ,∵AM =AE -ME ,ED =EF +DF , ∴3x -3=x +33,解得x =6+33, ∴AE =3(6+33)=63+9,∴AB =AE -BE =9+63-1≈18.4米. 答:旗杆AB 的高度约为18.4米. 6.(2016·贺州)如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC 是10米,坡面10米处有一建筑物HQ ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC 的倾斜角∠BDC =30°,若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)(导学号 35694246)解:由题意得,AH =10米,BC =10米, 在Rt △ABC 中,∠CAB =45°, ∴AB =BC =10,在Rt △DBC 中,∠CDB =30°, ∴DB =BCtan ∠CDB=103,∴DH =AH -AD =AH -(DB -AB)=10-103+10=20-103≈2.7(米), ∵2.7米<3米,∴该建筑物需要拆除.7.(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M 处出发,向前走3米到达A 处,测得树顶端E 的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C 处,测得树的顶端E 的仰角是60°,再继续向前走到大树底D 处,测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB =2米,∠BCA =30°,且B 、C 、D 三点在同一直线上.(1)求树DE 的高度;(2)求食堂MN 的高度. 解:(1)如解图,设DE =x ,∵AB =DF =2,∴EF =DE -DF =x -2, ∵∠EAF =30°, ∴AF =EFtan ∠EAF =x -233=3(x -2),又∵CD =DE tan ∠DCE =x 3=33x ,BC =AB tan ∠ACB =233=23,∴BD =BC +CD =23+33x , 由AF =BD 可得3(x -2)=23+33x , 解得:x =6,∴树DE 的高度为6米;(2)延长NM 交DB 延长线于点P ,如解图,则AM =BP =3, 由(1)知CD =33x =33³6=23,BC =23, ∴PD =BP +BC +CD =3+23+23=3+43,∵∠NDP =45°,且MP =AB =2, ∴NP =PD =3+43,∴NM =NP -MP =3+43-2=1+43, ∴食堂MN 的高度为1+4 3 米.题型五 与圆有关的证明与计算类型一 与切线判定有关的证明与计算1.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ,过点D 作DF ⊥AC 于点F.(1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为2,BC =22,求DF 的长. (导学号 35694247)(1)证明:连接OD ,如解图,∵OB =OD ,∴∠ABC =∠ODB , ∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB , ∴OD ∥AC ,∵DF ⊥AC ,∴DF ⊥OD ,∴DF 是⊙O 的切线;(2)解:连接AD ,如解图, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC ,又∵AB =AC ,∴BD =DC =2,∴AD =AB 2-BD 2=42-(2)2=14, ∵DF ⊥AC ,∴△ADC ∽△DFC ,∴AD DF =AC DC ,∴14DF =42,∴DF =72. 2.如图,在△ABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ,∠ABD =∠ACB. (1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =4,tan ∠AEB =53,AB ∶BC =2∶3,求⊙O 的直径.(1)证明:∵BC 是直径, ∴∠BDC =90°,∴∠ACB +∠DBC =90°,∵∠ABD =∠ACB , ∴∠ABD +∠DBC =90°, ∴∠ABC =90°, ∴AB ⊥BC , ∴AB 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt △AEB 中,tan ∠AEB =53,∴AB BE =53,即AB =53BE =203, 在Rt △ABC 中,AB BC =23,∴BC =32AB =10,∴⊙O 的直径为10.3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,点D 是BC ︵的中点,DE ⊥AC 于点E ,DF ⊥AB 于点F.(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若OF =2,求AC 的长度.(导学号 35694248)(1)证明:如解图①,连接OD 、AD , ∵点D 是BC ︵的中点,∴BD ︵=CD ︵,∴∠DAO =∠DAC , ∵OA =OD ,∴∠DAO =∠ODA ,图①∴∠DAC =∠ODA ,∴OD ∥AE , ∵DE ⊥AE ,∴∠AED =90°, ∴∠AED =∠ODE =90°, ∴OD ⊥DE , ∴DE 是⊙O 的切线;图②(2)解:如解图②,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥AE,∴∠DOB=∠EAB,∵∠DFO=∠ACB=90°,∴△DFO∽△BCA,∴OFAC=ODAB=12,即2AC=12,∴AC=4.4.(2017·张家界)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.(1)证明:连接OD,如解图所示,∵AC=BC,OB=OD,∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,∴∠A=∠ODB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线;(2)解:∵AC=BC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵OD=OB,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD =60°,∵DF ⊥OD ,∴∠ODG =90°,∴∠G =30°, ∴DG =3OD =63,∴S 阴影部分=S △ODG -S 扇形OBD =12³6³63-60π³62360=183-6π.5.(2017·安顺)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD ⊥BC 于点D ,过点C 作⊙O 的切线,交OD 的延长线于点E ,连接BE.(1)求证:BE 与⊙O 相切;(2)设OE 交⊙O 于点F ,若DF =1,BC =23,求阴影部分的面积.(1)证明:连接OC ,如解图, ∵CE 为切线,∴OC ⊥CE , ∴∠OCE =90°,∵OD ⊥BC ,∴CD =BD , 即OD 垂中平分BC , ∴EC =EB ,在△OCE 和△OBE 中,⎩⎨⎧OC =OB ,OE =OE ,EC =EB ,∴△OCE ≌△OBE ,∴∠OBE =∠OCE =90°, ∴OB ⊥BE ,∴BE 与⊙O 相切;(2)解:设⊙O 的半径为r ,则OD =r -1, 在Rt △OBD 中,BD =CD =12BC =3,∴(r -1)2+(3)2=r 2,解得r =2, ∵tan ∠BOD =BDOD =3,∴∠BOD =60°,∴∠BOC =2∠BOD =120°, 在Rt △OBE 中,BE =3OB =23, ∴S 阴影部分=S 四边形OBEC -S 扇形BOC =2S △OBE -S 扇形BOC=2³12³2³23-120π³22360=43-43π.类型二 与切线性质有关的证明与计算 1.(2017·绵阳)如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为H ,与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ,交AB 的延长线于点E ,切点为F ,连接AF 交CD 于点N.(1)求证:CA =CN ;(2)连接OF ,若cos ∠DFA =45,AN =210,求⊙O 的直径的长度.(1)证明:连接OF ,则∠OAF =∠OFA ,如解图①所示, ∵ME 与⊙O 相切, ∴OF ⊥ME. ∵CD ⊥AB ,∴∠M +∠FOH =180°.∵∠BOF =∠OAF +∠OFA =2∠OAF ,∠FOH +∠BOF =180°, ∴∠M =2∠OAF. ∵ME ∥AC ,∴∠M =∠C =2∠OAF.∵CD ⊥AB ,∴∠ANC +∠OAF =∠BAC +∠C =90°, ∴∠ANC =90°-∠OAF ,∠BAC =90°-∠C =90°-2∠OAF , ∴∠CAN =∠OAF +∠BAC =90°-∠OAF =∠ANC , ∴CA =CN ;(2)解:连接OC ,如解图②所示. ∵cos ∠DFA =45,∠DFA =∠ACH , ∴CH AC =45. 设CH =4a ,则AC =5a ,AH =3a , ∵CA =CN ,∴NH =a ,∴AN =AH 2+NH 2=(3a )2+a 2=10a =210, ∴a =2,AH =3a =6,CH =4a =8. 设⊙O 的半径为r ,则OH =r -6,在Rt △OCH 中,OC =r ,CH =8,OH =r -6, ∴OC 2=CH 2+OH 2,r 2=82+(r -6)2, 解得:r =253,∴⊙O 的直径的长度为2r =503.2.(2017·大连)如图,AB 是⊙O 直径,点C 在⊙O 上,AD 平分∠CAB ,BD 是⊙O 的切线,AD 与BC 相交于点E.(1)求证:BD =BE ;(2)若DE =2,BD =5,求CE 的长. (导学号 35694249)(1)证明:设∠BAD =α,∵AD 平分∠BAC ,∴∠CAD =∠BAD =α,∵AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∴∠ACB =90°, ∴∠ABC =90°-2α,∵BD 是⊙O 的切线,∴BD ⊥AB ,∴∠DBE =2α,∠BED =∠BAD +∠ABC =90°-α, ∴∠D =180°-∠DBE -∠BED =90°-α, ∴∠D =∠BED ,∴BD =BE ;(2)解:设AD 交⊙O 于点F ,CE =x ,则AC =2x ,连接BF ,如解图, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFB =90°,∵BD =BE ,DE =2,∴FE =FD =1,∵BD =5,∴BF =2, ∵∠BAD +∠D =90°,∠D +∠FBD =90°, ∴∠FBD =∠BAD =α,∴tan α=FD BF =12,∴AB =BF sin α=255=25,在Rt △ABC 中,由勾股定理可知(2x)2+(x +5)2=(25)2, 解得x =-5(舍去)或x =355,∴CE =355.3.(2017·南京)如图,PA ,PB 是⊙O 的切线,A ,B 为切点,连接AO 并延长,交PB 的延长线于点C ,连接PO ,交⊙O 于点D.(1)求证:PO 平分∠APC ; (2)连接DB ,若∠C =30°,求证:DB ∥AC.证明:(1)如解图,连接OB , ∵PA ,PB 是⊙O 的切线, ∴OA ⊥AP ,OB ⊥BP , 又OA =OB ,∴PO 平分∠APC ;(2)∵OA ⊥AP ,OB ⊥BP , ∴∠CAP =∠OBP =90°,∵∠C =30°, ∴∠APC =90°-30°=60°, ∵PO 平分∠APC ,∴∠OPC =12∠APC =12³60°=30°,∴∠POB =90°-∠OPC =90°-30°=60°,又∵OD =OB ,∴△ODB 是等边三角形, ∴∠OBD =60°,∴∠DBP =∠OBP -∠OBD =90°-60°=30°, ∴∠DBP =∠C ,∴DB ∥AC.4.如图,直线l 经过点A(4,0),B(0,3).(1)求直线l 的函数表达式;(2)若圆M 的半径为2,圆心M 在y 轴上,当圆M 与直线l 相切时,求点M 的坐标.(1)∵A(4,0),B(0,3),∴直线l 的解析式为:y =-34x +3;(2)作MH ⊥AB ,垂足为H ,如解图所示, ∵M 在y 轴上,∴设M(0,t),2S △ABM =BM·AO =AB·MH , ∴|3-t|³4=5³2, 解得t 1=12,t 2=112,∴M 1(0,12),M 2(0,112).题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 探究特殊三角形的存在性问题 1.(2017·乌鲁木齐)如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合),过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ,交直线AB 于点E.①当PE =2ED 时,求P 点坐标;②是否存在点P ,使△BEC 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(导学号 35694250)解:(1)∵点B(4,m)在直线y =x +1上, ∴m =4+1=5,∴B(4,5),把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧a -b +c =0,16a +4b +c =5,25a +5b +c =0, 解得⎩⎨⎧a =-1,b =4,c =5,∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5;(2)①设P(x ,-x 2+4x +5),则E(x ,x +1),D(x ,0),则PE =|-x 2+4x +5-(x +1)|=|-x 2+3x +4|,DE =|x +1|, ∵PE =2ED ,∴|-x 2+3x +4|=2|x +1|,当-x 2+3x +4=2(x +1)时,解得x =-1或x =2,但当x =-1时,P 与A 重合不合题意,舍去,∴P(2,9);当-x 2+3x +4=-2(x +1)时,解得x =-1或x =6,但当x =-1时,P 与A 重合,不合题意,舍去,∴P(6,-7);综上可知,P 点坐标为(2,9)或(6,-7);②点P 的坐标为(34,11916)或(4+13,-413-8)或(4-13,413-8)或(0,5)时,△BEC 为等腰三角形.2.(2017·阜新)如图,抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图①,点E(x ,y)为抛物线上一点,且-5<x<-2,过点E 作EF ∥x 轴,交抛物线的对称轴于点F ,作EH ⊥x 轴于点H ,得到矩形EHDF ,求矩形EHDF 周长的最大值;(3)如图②,点P 为抛物线对称轴上一点,是否存在点P ,使以点P ,A ,C 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把A(-5,0),B(1,0)代入y =-x 2+bx +c ,得到⎩⎨⎧-25-5b +c =0,-1+b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4,c =5.∴抛物线的函数表达式为y =-x 2-4x +5;(2)如解图①,∵抛物线的对称轴为直线x =-2,E(x ,-x 2-4x +5), ∴EH =-x 2-4x +5, EF =-2-x ,∴矩形EFDH 的周长=2(EH +EF)=2(-x 2-5x +3)=-2(x +52)2+372,∵-2<0,∴x =-52时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为372;(3) 如解图②,设P(-2,m),①当∠ACP =90°时, AC 2+PC 2=PA 2,∴(52)2+22+(m -5)2=32+m 2, 解得m =7, ∴P 1(-2,7).②当∠CAP =90°时, AC 2+PA 2=PC 2,∴(52)2+32+m 2=22+(m -5)2, 解得m =-3,∴P 2(-2,-3).③当∠APC =90°时,PA 2+PC 2=AC 2,∴32+m 2+22+(m -5)2=(52)2, 解得m =6或m =-1,∴P 3(-2,6),P 4(-2,-1),综上所述,满足条件的点P 坐标为(-2,7)或(-2,-3)或(-2,6)或(-2,-1). 3.(2017·重庆A )如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =33x 2-233x -3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点E(4,n)在抛物线上.(1)求直线AE 的解析式;(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE.当△PCE 的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是CP 上的一点,点N 是CD 上的一点,求KM +MN +NK 的最小值;(3)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y =33x 2-233x -3沿x 轴正方向平移得到抛物线y′,y ′经过点D ,y ′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q ,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)直线AE 的解析式为y =33x +33.(2)设直线CE 的解析式为y =mx -3, ∴直线CE 的解析式为y =233x - 3. 过点P 作PF ∥y 轴,交CE 于点F.如解图①, 设点P 的坐标为(x ,33x 2-233x -3), 则点F(x ,233x -3),则FP =-33x 2+433x.∴△EPC 的面积=-233x 2+833x.∴当x =2时,△EPC 的面积最大.∴P(2,-3).如解图②,作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ,连接G 、H 交CD 和CP 于N 、M.∵K 是CB 的中点,∴K(32,32).∴tan ∠KCP =33.∵OD =1,OC =3, ∴tan ∠OCD =33. ∴∠OCD =∠KCP =30°. ∴∠KCD =30°.∵K 是BC 的中点,∠OCB =60°, ∴OC =CK.∴点O 与点K 关于CD 对称. ∴点G 与点O 重合. ∴点G(0,0).∵点H 与点K 关于CP 对称,∴点H 的坐标为(32,-332).∴KM +MN +NK =MH +MN +GN.当点G 、N 、M 、H 在一条直线上时,KM +MN +NK 有最小值,最小值=GH. ∴GH =(32)2+(332)2=3. ∴KM +MN +NK 的最小值为3.(3)点Q 的坐标为(3,-43+2213)或(3,-43-2213)或(3,23)或(3,-235).类型二 探究特殊四边形的存在性问题1.(2017·宜宾)如图,抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式;(2)在第二象限内取一点C ,作CD 垂直x 轴于点D ,连接AC ,且AD =5,CD =8,将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位,当点C 落在抛物线上时,求m 的值;(3)在(2)的条件下,当点C 第一次落在抛物线上记为点E ,点P 是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q ,使以点B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(导学号 35694251)解:(1)抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5; (2)∵AD =5,且OA =1,∴OD =6, 又∵CD =8,∴C(-6,8),设平移后的点C 的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可得8=-x 2+4x +5,解得x =1或x =3,∴C ′点的坐标为(1,8)或(3,8), ∵C(-6,8),∴当点C 落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,∴m 的值为7或9;(3)Q 点的坐标为(-2,-7)或(6,-7)或(4,5)时,以点B 、E 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形.。
2020年中考数学三轮复习专项练习:《三角形》(含答案)
备战2020中考数学三轮复习专项练习:《三角形》1.如图,▱ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,F 是AE 上一点,∠FBE =45°,FC ⊥CD 于点C . (1)若AB =2,BF =2,求△ABF 的面积;(2)如图2,连接AC ,求证:AF +BC =AC .2.如图,点A 的坐标为(﹣6,6),AB ⊥x 轴,垂足为B ,AC ⊥y 轴,垂足为C ,点D ,E 分别是射线BO 、OC 上的动点,且点D 不与点B 、O 重合,∠DAE =45°.(1)如图1,当点D 在线段BO 上时,求△DOE 的周长;(2)如图2,当点D 在线段BO 的延长线上时,设△ADE 的面积为S 1,△DOE 的面积为S 2,请猜想S 1与S 2之间的等量关系,并证明你的猜想.3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是∠ACB内部一点,连接CE,作AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为点D,E.(1)求证:△BCE≌△CAD;(2)若BE=5,DE=7,则△ACD的周长是.4.点C为线段AB上一点,以AC为斜边作等腰Rt△ADC,连接BD,在Rt△ABD外侧,以BD 为斜边作等腰Rt△BED,连接EC.(1)如图1,当∠DBA=30°时:①求证:AC=BD;②判断线段EC与EB的数量关系,并证明;(2)如图2,当0°<∠DBA<45°时,EC与EB的数量关系是否保持不变?对于以上问题,小牧同学通过观察、实验,形成了解决该问题的几种思路:想法1:尝试将点D为旋转中心,过点D作线段BD垂线,交BE延长线于点G,连接CG;通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题;想法2:尝试将点D为旋转中心,过点D作线段AB垂线,垂足为点G,连接EG.通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题;想法3:尝试利用四点共圆,过点D作AB垂线段DF,连接EF,通过证明D、F、B、E四点共圆,利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法,证明EC=EB(一种方法即可).5.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是△ABC外一点,点D与点C在直线AB的异侧,且点D,A,C不共线,连接AD,BD,CD.(1)如图1,当α=60°.∠ADB=30°时,画出图形,直接写出AD,BD,CD之间的数量关系;(2)当α=90°,∠ADB=45°时,利用图2,继续探究AD,BD,CD之间的数量关系并证明;(提示:尝试运用图形变换,将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中)(3)当∠ADB=时,进一步探究AD,BD,CD之间的数量关系,并用含α的等式直接表示出它们之间的关系.6.已知△ABC是等边三角形,点D为平面内一点,连接DB、DC,∠BDC=120°.(1)如图①,当点D在BC下方时,连接AD,延长DC到点E,使CE=BD,连接AE.①求证:△ABD≌△ACE;②如图②,过点A作AF⊥DE于点F,直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系;(2)若AB=2,DC=6,直接写出点A到直线BD的距离.7.如图1,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,满足BD<CD,连接AD,以点A为中心,将射线AD顺时针旋转60°,与△ABC的外角平分线BM交于点E.(1)依题意补全图1;(2)求证:AD=AE;(3)若点B关于直线AD的对称点为F,连接CF.①求证:AE∥CF;②若BE+CF=AB成立,直接写出∠BAD的度数为°.8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O,M分别是Rt△ABC的内心和外心,连接OA,OB,OM.(1)求∠AOB的度数;(2)延长AC至点D,使AD=AB,连接BD,求证:AO⊥BD;(3)在(2)中,延长BC至点E,使BE=AB,连接DE,找出DE与OM之间的等量关系,并证明这个结论.9.若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍,我们把这个三角形叫做好玩三角形.(1)在△ABC中,AB=1,BC=,AC=3,求证:△ABC是好玩三角形.(2)一个等腰三角形的腰长为m,底边长为n,当这个等腰三角形为好玩三角形时,求的值.(3)如图1,△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形,点A,B都在直线DE上,连结AC,BC.若∠A+∠B=45°,求证:线段AD,DE,BE三条线段组成的三角形是好玩三角形.(4)如图2,在Rt△ABC中,点D,E,F,G都在线段AB上,以DE,EF,FG为边分别向上作正方形,H,K,M,N分别落在Rt△ABC的边上.以DE,EF,FG为三边长恰好能组成好玩三角形,直接写出的值.10.如图,△ABC是等边三角形,过AB边上点D作DG∥BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使ED=CG,连接AE,CD.(1)求证:AE=DC;(2)过E作EF∥DC,交BC于点F,求证:∠AEF=∠ACB.11.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.D是边AB的中点,点E为边AC上的一个动点(与点A、C不重合),过点E作EF∥AB,交边BC于点F.联结DE、DF,设CE=x.(1)当x=1时,求△DEF的面积;(2)如果点D关于EF的对称点为D′,点D′恰好落在边AC上时,求x的值;(3)以点A为圆心,AE长为半径的圆与以点F为圆心,EF长为半径的圆相交,另一个交点H恰好落在线段DE上,求x的值.12.如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC于D.(1)点E、F分别在DA、DC的延长线上,且AE=CF,连接BE、AF,猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系,并证明你的结论;(2)如图2,连接EF,将△DEF绕点D顺时针旋转角α(0°<α<90°),连接AE、CE,若四边形ABCE恰为平行四边形,求DA与DE的数量关系;(3)如图3,连接EF,将△DEF绕点D逆时针旋转,当点A落在线段EF上时,设DE与AB交于点G,若AE:AF=3:4,求的值.13.在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BOC的度数;(2)若∠ABC=60°,OB=4,且△ABC的周长为16,求△ABC的面积.14.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,AD⊥BC于点D.点G是射线AD上一点.(1)若GE⊥GF,点E,F分别在AB,AC上,当点G与点D重合时,如图①所示,容易证明AE+AF=AD.当点G在线段AD外时,如图②所示,点E与点B重合,猜想并证明AE,AF与AG存在的数量关系.(2)当点G在线段AD上时,AG+BG+CG的值是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.15.已知△ABC,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,EF是BD的中垂线,且分别交BC于点E,交AB于点F,交BD于点K,连接DE,DF.(1)证明:DE∥AB.(2)若CD=3,求四边形BEDF的周长.16.如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q、∠A之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP、QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,请直接写出∠A的度数.17.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,D为BC边的中点,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D顺时针旋转,它的两边分别交AB、AC于点E、F.(1)求证:△ADE≌△CDF;(2)求四边形AEDF的面积;(3)如图2,连接EF,设BE=x,求△DEF的面积S与x之间的函数关系式.18.如图,在等边△ABC中,延长AB至点D,延长AC交BD的中垂线于点E,连接BE,DE.(1)如图1,若DE=3,BC=2,求CE的长;(2)如图2,连接CD交BE于点M,在CE上取一点F,连接DF交BE于点N,且DF=CD,求证:AB=EF;(3)在(2)的条件下,若∠AED=45°,直接写出线段BD,EF,ED的等量关系.参考答案1.解:(1)∵AE⊥BC,∠FBE=45°,∴∠FEB=∠BFE=45°,∴BE=EF,∵BE2+EF2=BF2=4,∴BE=EF=,∴AE===3,∴AF=AE﹣EF=2,∴△ABF的面积=×AF×BE=2;(2)∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵FC⊥CD,∴∠FCD=90°,∴∠ABC+∠FCE=90°,∵AE⊥BC,∴∠ABC+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠ECF,又∵BE=EF,∠AEB=∠CEF=90°,∴△ABE≌△CFE(AAS),∴AE=CE,∴AC=AE,∵AF+BC=AF+BE+EC=AF+EF+AE=2AE,∴AF+BC=AC.2.解:(1)∵点A的坐标为(﹣6,6),AB⊥x轴,AC⊥y轴,∴AB=AC=OC=OB=6,如图1,将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,∴BF=CE,AF=AE,∠BAF=∠CAE,∵∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°,∴∠BAD+∠BAF=45°=∠DAF=∠DAE,又∵AF=AE,AD=AD,∴△ADF≌△ADE(SAS),∴DE=DF,∴△DOE的周长=DE+OD+OE=BD+CE+OD+OE=OB+OC=12;=18+,(2)猜想:S1理由如下:如图2,将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,∴BF=CE,AF=AE,∠BAF=∠CAE,∵∠DAE=45°,∴∠CAD+∠CAE=45°,∴∠CAD+∠BAF=45°=∠DAF=∠DAE,又∵AF=AE,AD=AD,∴△ADF≌△ADE(SAS),∴DE=DF,设BF=CE=x,OD=y,则OE=6+x,DF=6﹣x+y=DE,∵DE2=OE2+OD2,∴(6﹣x+y)2=(6+x)2+y2,∴xy=6y﹣12x,=×OD×OE=×(6+x)y=6y﹣6x,∴S2=DF×AB=×(6﹣x+y)×6=18+,∵S1=18+.∴S13.(1)证明:∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△BCE和△CAD中,,∴△BCE≌△CAD(AAS);(2)解:∵:△BCE≌△CAD,BE=5,DE=7,∴BE=DC=5,CE=AD=CD+DE=5+7=12.∴由勾股定理得:AC=13,∴△ACD的周长为:5+12+13=30,故答案为:30.4.解:(1)①如图1,过点D作DF⊥AC于F,则∠DFC=90°,∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC,∴AC=2DF,在Rt△DFB中,∠DBA=30°,∴BD=2DF,∴AC=BD;②∵△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°,∵∠DBA=30°,∴∠CDB=∠ACD﹣∠DBA=15°,∵△BDE是等腰直角三角形,∴∠BDE=45°,∴∠CDE=∠CDB+∠BDE=60°,在Rt△ADC中,AC=DC,在Rt△BDE中,BD=BE=DE,由①知,AC=BD,∴BE=CD=ED,∴△CDE是等边三角形,∴DE=CE,∴EC=EB;(2)如图2,过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G,连接CG,∴∠BDG=90°=∠ADC,∴∠ADB=∠CDG,∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED,∴∠BED=90°,∠DBE=45°,∴∠DGE=90°﹣∠DBE=45°=∠DBE,∴BD=GD,∵AD=CD,∴△ADB≌△CDG(ASA),∴∠DCG=∠DAB,∵∠ACD=45°,∴∠BCG=∠ACG=90°,在Rt△BDG中,DB=DG,∠BED=90°,∴EG=EB,∴BE=BE(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半).5.解:(1)AD2+BD2=CD2,理由:如图1,过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE,连接BE,则AD=DE=AE,∠DAE=∠ADE=60°,∵∠ADB=30°,∴∠BDE=∠DBA+∠ADE=90°,在Rt△BDE中,根据勾股定理得,BD2+DE2=BE2,∴BD2+AD2=BE2,∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD,∴AD2+BD2=CD2;(2)如图2,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE,DE,∴∠ADE=45°,∵∠BDA=45°,∴∠BDE=90°,根据勾股定理得,DE2+BD2=BE2,∵DE2=2AD2,∴2AD2+BD2=BE2,∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD,∴2AD2+BD2=CD2;(3)如图3,将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE,连接DE,BE,∴∠ADE=(180°﹣∠DAE)=90°﹣α,∵∠ADB=α,∴∠BDE=90°,根据勾股定理得,DE2+BD2=BE2,∵∠DAE=∠BAC=α,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD,∴DE2+BD2=CD2,过点A作AF⊥DE于F,则DE=2DF,∴∠DAF=90°﹣∠ADE=α,在Rt△ADF中,sin∠DAF=,∴DF=AD•sin∠DAF=AD•sin,∴DE=2DF=2AD•sin,即:(2AD•sin)2+BD2=CD2.6.证明:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC=360°,∠BDC=120°,∴∠ABD+∠ACD=180°,∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ACE=∠ABD,又∵AB=AC,BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS);②∵△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°,∴∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴AD=ED,∵AF⊥DE,AD=AE,∴DF=DE=AD,∠DAF=30°,∴AF=DF=AD,∵DE=CD+CE=CD+BD,∴AF=AD=(CD+BD);(2)如图②,若点D在BC下方时,∵△ABD≌△ACE,∴点A到直线BD的距离=点A到直线CE的距离,设DF=x,则AF=x,∵AC2=AF2+CF2,∴52=3x2+(6﹣x)2,∴x1=4,x2=﹣1(舍去),∴AF=4,如图3,若点D在BC上方时,过点C作CH⊥BD交BD延长线于H,过点D作DF⊥BC于F,过点A作AN⊥BD,交BD的延长线于N,∵∠BDC=120°,∴∠CDH=60°,∵CH⊥BD,∴∠DCH=30°,CD=6,∴DH=3,CH=DH=3,∵BH===5,∴BD=BH﹣DH=2,∵S△BDC=BD×CH=×BC×DF,∴2×3=2×DF,∴DF=,∵∠BDC=120°,∴∠DBC+∠DCB=60°,又∵∠ABD+∠DBC=60°,∴∠ABD=∠DCB,∴sin∠ABD=sin∠DCB=,∴,∴AN=,综上所述:点A到直线BD的距离为4或.7.解:(1)补全图形如图1所示;(2)由旋转知,∠DAE=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,∴∠DAE=∠BAC,∴∠BAE=∠CAD,∵BE是△ABC的外角的平分线,∴∠ABM=(180°﹣60°)=60°=∠C,在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AD=AE;(3)①如图2,连接AF,∵点F是点B关于AD的对称点,∴∠BAD=∠FAD,AF=AB,∴AF=AC,∴∠AFC=∠ACF,设∠BAD=α,则∠FAD=α,∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD=60°﹣2α,∴∠ACF=(180°﹣∠CAF)=60°+α,由(2)知,∠BAE=∠CAD=60°﹣α,∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=60°﹣α+60°=120°﹣α,∴∠ACF+∠CAE=60°+α+120°﹣α=180°,∴AE∥CF;②如图2,连接BF,设∠BAD=α,∵点F是点B关于AD的对称点,∴AD⊥BF,垂足记作点G,则∠AGB=90°,∴∠ABG=90°﹣α,∵∠ABC=60°,∴∠CBG=30°﹣α,连接DF,则BD=DF,∴∠CDF=2∠CBG=60°﹣2α,由(2)知,△ABE≌△ACD,∴BE=CD,∵BE+CF=AB,∴CD+CF=BC=BD+CD,∴BD=CF,∴DF=CF,∴∠DCF=∠CDF=60°﹣2α,由①知,∠ACF=60°+α,∴∠DCF=∠ACF﹣∠ACB=α,∴60°﹣2α=α,∴α=20°,即∠BAD=20°,故答案为:20.8.(1)解:∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵点O是△ABC的内心,∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=45°,∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=135°.(2)证明:如图1中,∵点O是△ABC的内心,∴OA平分∠BAD,∵AD=AB,∴AO⊥BD(等腰三角形三线合一).(3)解:结论:DE=2OM.理由:如图2中,连接OE,OD,延长OM到K,使得MK=OM,连接AK,BK.∵BE=BA,∠OBE=∠OBA,BO=BO,∴△OBE≌△OBA(SAS),∴OA=OE,∠BOE=∠BOA=135°,∴∠AOE=90°,同法可证∠DOB=90°,OD=OB,∵AM=MB,OM=MK,∴四边形AOBK是平行四边形,∴AK=OB=OD,AK∥OB,∴∠KAO+∠AOB=180°,∵∠AOB+∠EOD=180°,∴∠KAO=∠EOD,∵OA=OE,AK=OD,∴△OAK≌△EOD(SAS),∴OK=ED,∴OK=2OM,∴DE=2OM.9.(1)证明:∵AB=1,BC=,AC=3,∴BC2=()2=6,AB•AC=1×3=3,∴BC2=2AB•AC,∴△ABC是好玩三角形;(2)解:∵等腰三角形为好玩三角形,∴m2=2mn或n2=2m•n=2m2,∴=2或=;(3)证明:∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形,∴∠DCE=90°,∠CED=∠CDE=45°,∴∠A+∠ACD=45°,∵∠A+∠B=45°,∴∠ACD=∠B,∵∠CDE=∠DEC=45°,∴CD=CE,∠ADC=∠CEB=135°,∴△ADC∽△CEB,∴,在Rt△CDE中,CD=CE,∴DE2=2CD2,∴CD•CE=AD•BE,∴CD2=AD•BE,∴DE2=2AD•BE,∴线段AD,DE,BE三条线段组成的三角形是好玩三角形;(4)设DE=a,EF=b,FG=c,∵四边形DEPH是正方形,∴∠ADH=∠AEK=90°,DH=DE=a,在Rt△ADH中,AD==①,同理:AE=②,BG=c•tan A③,BF=b•tan A④,②﹣①得,AE﹣AD==a⑤,④﹣③得,BF﹣BG=(b﹣c)tan A=c⑥,⑤×⑥得,(b﹣a)(b﹣c)=ac,∴b2﹣bc﹣ab+ac=ac⑦,∵以DE,EF,FG为三边长恰好能组成好玩三角形,∴(b)2=2ac,∴b2=8ac⑧,将⑧代入⑦得,8ac﹣bc﹣ab+ac=ac,∴8ac=b(a+c)⑨,由⑧得,b=2,将b=2代入⑨中,得8ac=2(a+c),∴a2﹣6ac+c2=0,∴a==(3±2)c,∴=3±2,即=3±2.10.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,∵DG∥BC,∴∠ADG=∠AGD=60°,∴△ADG是等边三角形,∴AD=DG,∠ADE=∠DGC=120°,在△ADE和△DGC中,∴△ADE≌△DGC(SAS),∴AE=CD;(2)∵△ADE≌△DGC,∵∠AED=∠DCG,∵EF∥CD,∴∠FEG=∠CDG,∵DG∥BC,∴∠CDG=∠DCB,∴∠FEG=∠DCB,∴∠AEF=∠ACB.11.解:(1)如图1,过E作EM⊥AB于M,当x=1时,CE=1,AE=4﹣1=3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,∴AB=5,sin∠A==,∴,∴EM=,∵EF∥AB,∴,即,∴EF=x=,∴△DEF的面积=•EM==;(2)如图2,过E作EN⊥AB于N,连接DD',交EF于Q,∵点D关于EF的对称点为D′,∴DD'⊥EF,QD=DD',∴∠EQD'=90°,∵EF∥AB,∴∠ADQ=∠EQD'=90°,∵D是AB的中点,∴AD=AB=,tan∠A=,∴DD'==,∴QD=,∵EF∥AB,EN⊥AB,QD⊥AB,∴∠END=∠NDQ=∠EQD=90°,∴四边形ENDQ是矩形,∴EN=QD=,Rt△AEN中,sin∠A=,∴,AE=4﹣x,∴x=;(3)如图3,连接AF,交ED于G,Rt△CEF中,∠ECF=90°,tan∠CEF=tan∠CAB=,∴,CF=x,∴EF=x,∴AF===,∵EF∥AB,∴,即=,∴,∴AG=,∵⊙A与⊙F相交于点E、H,且H在ED上,∴AF⊥DE,∴∠AGE=90°,∴∠AGE=∠ACF=90°,∵∠EAG=∠FAC,∴△AEG∽△AFC,∴,即AG•AF=AC•AE,∴=4(4﹣x),解得:x1=0(舍),x2=.12.解:(1)BE=AF,BE⊥AF,理由如下:延长FA交BE于H,∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠BAD=∠ACD=45°,AB=AC,∴∠BAE=∠ACF=135°,又∵AB=AC,AE=CF,∴△ABE≌△CAF(SAS),∴AF=BE,∠EBA=∠FAC,∵∠BAF=∠ABE+∠BHA=∠BAC+∠CAF,∴∠BAC=∠BHA=90°,∴BE⊥AF;(2)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AD=BC,∵四边形ABCE恰为平行四边形,∴AE=BC=2AD,AE∥BC,∴∠EAD=∠ADB=90°,∴DE===AD;(3)如图3,连接BE,过点E作EH⊥AB于H,DN⊥AB于N,由图1可得:∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AD=BD=CD,AD⊥CD,又∵AE=CF,∴DE=DF,∴△DEF是等腰直角三角形,∴∠DFE=∠DEF=45°由图3可得:∠EDF=∠BDA=90°,∴∠ADF=∠BDE,又∵AD=BD,DE=DF,∴△ADF≌△BDE(SAS),∴BE=AF,∠DFE=∠BED=45°,∴∠AEB=90°,∵AE:AF=3:4,∴设AE=3a,AF=BE=4a,∴AB===5a,∵AD=BD,∠ADB=90°,DN⊥AB,∴DN=BN=AN=a,=AE×BE=AB×EH,∵S△ABE∴EH==a,∴AH==a,∵∠BED=∠AED=45°,∴,∴BG=,AG=,∴GH=a,GN=a,∴EG==a,DG==a,∴==.13.解:(1)∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,∵∠ABC=60°,∠ACB=40°∴∠OBC=30°,∠OCB=20°,∴∠COB=180°﹣(30°+20°)=130°;(2)过O作OD⊥AB于D点,OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,连接AO,如图,∵∠ABC=60°,OB=4∴∠OBD=30°,∴OD=OB=2,∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴OE=OF=2,∵S△ABC =S△AOB+S△AOC+S△BOC=×2×AB+×2×AC+×2×BC=AB+BC+AC,又∵△ABC的周长为16,∴S△ABC=16.14.解:(1)AE+AF=AG,理由如下:如图,过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H,∵∠BAC=90°,AB=AC=6,AD⊥BC,∴∠DAB=∠DAC=45°,∴∠AHG=∠BAD=45°,∴AG=HG,∴AH=AG,∵∠EGF=∠AGH=90°,∴∠AGF=∠EGH,又∵∠AHG=∠FAG=45°,∴△AGF≌△HGE(ASA),∴AF=BH,∴AH=AE+BH=AE+AF=AG;(2)如图,将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G',连接GG',B'C,过点B'作B'N ⊥AC,交CA的延长线于点N,∴AB=AB'=6,AG=A'G,∠BAB'=60°,∠GAG'=60°,BG=B'G,∴△AGG'是等边三角形,∴AG=GG',∴AG+BG+CG=GG'+B'G+CG,∴当点B',点G',点G,点C共线时,AG+BG+CG的值最小,最小值为B'C的长,∵∠B'AC=∠B'AB+∠BAC=60°+90°=150°,∴∠B'AN=30°,∴B'N=3,AN=B'N=3,∴CN=6+3,∴B'C===3+3,∴AG+BG+CG的最小值为3+3.15.解:(1)∵∠ABD=∠BDE,∴DE∥AB,∴∠EBD=∠BDE,∵∠BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠BDE,∴DE∥AB.(2)∵∠ABD=∠BDE,∴BF∥FD,∴∠ABD=∠FDB,∵∠BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD,∴∠FDB=∠CBD,∴DF∥BC,∵DE∥AB,∴四边形BEDF是菱形,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ABC=∠DEC,∴CD=DE=3,∴四边形BEDF的周长为4×3=12.16.(1)解:∵∠A=80°.∴∠ABC+∠ACB=100°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣×100°=130°,(2)∵外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(360°﹣∠ABC﹣∠ACB)=(180°+∠A)=90°+∠A∴∠Q=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;(3)延长BC至F,∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,那么分四种情况:①∠EBQ=3∠E=90°,则∠E=30°,∠A=2∠E=60°;②∠EBQ=3∠Q=90°,则∠Q=30°,∠E=60°,∠A=2∠E=120°;③∠Q=3∠E,则∠E=22.5°,解得∠A=45°;④∠E=3∠Q,则∠E=67.5°,解得∠A=135°.综上所述,∠A的度数是60°或120°或45°或135°.17.(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,D为BC中点,∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴AD=DC=BD,∵∠ADE+∠ADF=90°,∠ADF+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(ASA);(2)解:∵△ADE≌△CDF,∴四边形AEDF的面积=S△ADC =S△ABC,∵S△ABC=AB•AC=,∴四边形AEDF的面积=;(3)解:∵BE=x,∴AE=AB﹣BE=3﹣x,∵△ADE≌△CDF,∴FC=AE=3﹣x,∴AF=AC﹣FC=x,∴△DEF的面积S=四边形AEDF的面积﹣△AEF的面积=﹣×x×(3﹣x)=x2﹣x+(0<x≤3).18.解:(1)过点E作EH⊥BD于H,∵点E在BD的中垂线上,∴EB=ED=3,∵EH⊥BD,∴BH=HD,∵等边△ABC中,BC=2,∴∠A=60°,AB=BC=AC=2,∴∠AEH=30°,∴EH=AH=(2+BH)=6+BH,AE=2AH=2(2+BH),∵BE2=EH2+BH2,∴90=36+3BH2+12BH+BH2,∴BH=(负值舍去),∴CE=AE﹣AC=2+2BH=9﹣;(2)延长CA到H,使∠AHD=∠DEF,∴DH=DE=BE,∴∠DFC=∠DCF,∴∠DFE=∠DCH,∴△DFE≌△DCH(AAS),∴EF=CH,∵∠CAB=∠ABC=60°=∠ACB,∴∠CBD=∠AED+∠ADE=120°=∠EBD+∠CBE,∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∴∠CBE=∠AED=∠AHD,又∵∠BCE=∠HAD=120°,DH=BE,∴△HAD≌△BCE(AAS),∴BC=AH,∵EF=CH=AH+AC,∴AB=EF;(3)如图3,过点D作DP⊥AE于P,∵CD=DF,DP⊥AE,∴CP=PF,∵∠A=60°,DP⊥AE,∴∠ADP=30°,∴AD=2AP,DP=AP,∵∠AED=45°,DP⊥AE,∴∠AED=∠EDP=45°,∴DE=DP,∵AD=2AP,DP=PE=AP,∴AP=(AB+BD)=EF+BD,DP=AP=EF+BD,∴DE=DP=EF+BD.。
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.如图,在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点,P是以点C(2,2)为圆心,半径长1的圆上一动点,连结AP,Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2,则k的值为()A.−12B.−32C.−2D.−142.如图,已知AB∥CD,点E在线段AD上(不与点A,点D重合),连接CE.若∠C=20°,∠AEC=50°,则∠A=()A.10°B.20°C.30°D.40°3.如图,在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB垂足为E.若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为()A.2√3cm B.3cm C.4cm D.5cm4.如图,矩形纸片ABCD中AD=8cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=10cm,则AB的长为()A.12cm B.14cm C.16cm D.18cm5.如图,直线l∥m,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,若∠1=25°,则∠2的度数为()A.20°B.25°C.30°D.15°6.如图,锐角∠ABC的两条高BD,CE相交于点O,且CE=BD,若∠CBD=20°,则∠A的度数为()A.20°B.40°C.60°D.70°7.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是()A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,28.如图,在∠ABC中AB=AC,BE=CD,BD=CF,若∠A=40°,则∠EDF等于()A.40°B.50°C.60°D.70°9.若点O是等腰∠ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则∠ABC的面积为() A.2+√3B.2√3C.2+√3或2-√3D.4+2√3或2-√3310.如图,等边ΔABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则∠ECF的度数为()A.15°B.22.5°C.30°D.45°11.如图,在△ABC中∠A=30°,∠ABC=100°,观察尺规作图的痕迹,则∠BFC的度数为()A.130°B.120°C.110°D.100°12.在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测得AB=5厘米,EF=6厘米,圆形容器的壁厚是()A.5厘米B.6厘米C.2厘米D.12厘米二、填空题13.如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,在AB的垂线段BF上取两点C、D,使BC=CD,过D作BF的垂线DE,与AC的延长线交于点E,若测得DE的长为20米,则河宽AB长为米.14.如图1,点P从△ABC的项点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t(s)变化的关系图象,其中点M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.15.如图,在正方形ABCD中AC为对角线,E为AC上一点,连接EB,ED,BE的延长线交AD于点F,∠BED=120∘,则∠EFD的度数为.16.如图,△ABC中∠A=40°,D、E是AC边上的点,把△ABD沿BD对折得到△A′BD,再把△BCE沿BE对折得到△BC′E,若C′恰好落在BD上,且此时∠C′EB=80°,则∠ABC=.17.如图,测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系:AB+AC BC(填“ >”,“ =”或“ <”).18.如图,已知AB是∠O的弦,AB=8,C是∠O上的一个动点,且∠ACB=45°.若M,N分别是AB,BC的中点,则线段MN长度的最大值是三、综合题19.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a,b,c分别为∠ABC三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断∠ABC的形状,并说明理由;(2)如果∠ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.20.如图,在Rt∠OAB中∠OAB=90°,OA=AB=6,将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1.(1)线段OA1的长是,∠AOB1的度数是;(2)连接AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形.21.已知一次函数y=2x−2的图像为l1,函数y=12x−1的图像为l2.按要求完成下列问题:(1)求直线l1与y轴交点A的坐标;求直线l2与y轴的交点B的坐标;(2)求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标;(3)求由三点P、A、B围成的三角形的面积.22.在图中利用网格点和三角板画图或计算:(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;(2)图中AC与A′C′的关系怎样?(3)记网格的边长为1,则△A′B′C′的面积为多少?23.如图,在∠ABC中点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD 于点M,连接AM.(1)求证:EF= 12AC;(2)若EF∠AC,求证:AM+DM=CB.24.如图①,Rt△ABC中∠C=90°,AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动,动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时,点P开始运动;P点到达终点时,P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts,△APQ的面积为ycm2,y与t的函数关系图像如图②所示.(1)点P运动的速度a=cm/s,AB=cm;(2)当t为何值时,△APQ的面积为12cm2;(3)是否存在t,使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.参考答案1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】D13.【答案】2014.【答案】1215.【答案】105º16.【答案】60°17.【答案】2.0;>18.【答案】4√219.【答案】(1)解:ΔABC是等腰三角形;理由:把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0,则a=b,所以ΔABC为等腰三角形(2)解:∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0,x2=−1.20.【答案】(1)6;135°(2)证明:∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1=90°,∠OA1B1=90°,OA1=A1 B1=OA=6∴∠AO A1=∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1=OA∴四边形OAA1B1是平行四边形.21.【答案】(1)解:当x =0时,y= -2,即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0,−2)当x =0时,y= -1,即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0,−1);(2)解:∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23,−23);(3)解:三点P 、A 、B 围成的三角形,如下图,作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为:23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积:13.22.【答案】(1)解:如图,∠A′B′C′为所作;(2)解:线段AC 与A′C′的位置关系是平行,数量关系是相等 (3)解:∠A′B′C′的面积=12×4×4=8.23.【答案】(1)证明:连接CE∵CD=CB,点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC;(2)解:∵点F是AC中点∴AF=FC,又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM,且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24.【答案】(1)1;10(2)解:当运动时间为t时,AQ=t+2,BP=t,AP=10−t 如图,作PH⊥AC,则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时,解方程12=2(t+2)(10−t)5,得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时,△APQ的面积为12cm2;(3)解:∵S△ABC=24cm2,C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由(2)可知,当t=4−√6时,△APQ的面积为12cm2此时,AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12,即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时,直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分;②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N,作PM⊥BC则有:△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC,∴PM=3t5,BM=4t5,MC=8−4t5∵PM QC=MNCN,∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时,解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12,得t=5或t=4(舍去)此时,PM=3,BM=4,BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时,不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分;∴综上,当t=4−√6时,直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分;当4<t≤10时,不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。
2022年中考数学总复习微专题 第四章 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型模型一平移模型典例1(2021·湖南衡阳)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.【答案】∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE,∵BC∥EF,∴∠ABC=∠DEF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).平移模型的本质是两个全等的三角形,其中一个可以通过另一个平移得到,所以这种模型往往与平行相联系.常见的平移模型的图形有:模型二对称模型典例2(2021·云南)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.【答案】在△ACD和△BCD中,∴△ACD≌△BDC(SSS),∴∠DAC=∠CBD.对称模型的本质是两个全等的三角形能关于某条直线对称.常见的对称模型的图形有:模型三旋转模型类型1不共顶点的旋转模型典例3如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:BC∥EF.【答案】∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,∴AC=DF.在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.类型2共顶点的旋转模型(手拉手模型)典例4(2021·湖南湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠BCD,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED;(2)求∠AFE的度数.【答案】(1)∵∠ECA=∠BCD,∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD,即∠DCE=∠ACB.由旋转可得AC=EC,在△BCA和△DCE中,∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB=ED.(2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°,又∵BC=CD,∴∠B=∠BDC=70°,∴∠ADE=180°-∠BDE=180°-70°×2=40°,∴∠AFE=∠ADE+∠A=40°+10°=50°.无论哪种类型,图中两个全等三角形都满足其中一个可以通过另一个旋转得到.其常见图形有:典例5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.【答案】如图所示,将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△ACF,连接DF.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°.由旋转可知∠FCE=90°,CF=CE,AF=BE,∠FAC=∠B=45°,∴∠FAD=90°.∵∠DCE=45°,∴∠DCF=45°,∴∠DCF=∠DCE,∴△CDF≌△CDE(SAS),∴DF=DE.∵AD2+AF2=DF2,∴AD2+BE2=DE2.半角模型也是旋转模型的特殊情况.等边三角形含半角(∠BDC=120°)等腰直角三角形含半角正方形含半角模型四一线三等角模型典例6如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E,AD=3,BE=1,求DE的长.【答案】∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠ACB=∠BCE+∠DCA=90°,∴∠EBC=∠DCA.在△CEB和△ADC中,∴△CEB≌△ADC(AAS),∴DC=BE=1,CE=AD=3,∴DE=CE-DC=3-1=2.一线三等角模型是以一条直线构造三个相等的角构造全等三角形.常见图形有:提分训练1.如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长.解:连接BE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.∵AC=BC=6,∴AB =6.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,BE ==9,∴AD=9.2.(2021·陕西改编)如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,求线段CE的长度.解:过点B作BM⊥AC于点M,过点D作DN⊥CE于点N.∵BA=BC,DC=DE,∴AM=CM=3,CN=EN.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90°,∴∠CBM=∠DCN.在△BCM和△CDN中,∴△BCM≌△CDN(AAS),∴BM=CN.在Rt△BCM中,∵BC=5,CM=3,∴CN=BM==4,∴CE=2CN=2×4=8(cm).3.(2021·贵州黔东南州)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.【探究发现】(1)如图1,若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°.求证:AD+AB=AC; 【拓展迁移】(2)如图2,若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由.解:(1)∵AC平分∠BAD,∠BAD=120°,∴∠DAC=∠BAC=60°.∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ACD=∠ACB=30°,∴AD=AC,∴AD+AB=AC.(2)AD+AB=AC.理由:过点C分别作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.∵AC平分∠BAD,∴CF=CE.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠EDC+∠ADC=180°,∴∠FBC=∠EDC.在△CED和△CFB中,∴△CED≌△CFB(AAS),∴FB=DE,∴AD+AB=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AFCE中,由(1)知AE+AF=AC,∴AD+AB=AC.。
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
2.(2016·江西 12 题 3 分)如图是一张长方形纸片 ABCD,已知 AB=8,AD=7, E 为 AB 上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上,则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示, 当∠B′ED=90°时,点 C 与点 E 重合.
∵AB′=10,AC=6,∴B′E=4. 设 BD=DB′=x,则 DE=CD=8-x. 在 Rt△B′DE 中,DB′2=DE2+B′E2,即 x2=(8-x)2 +42.解得 x=5,∴BD=5. 综合所述,BD 的长为 2 或 5.
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
(1)两底角相等,即∠B=∠C; (2)两腰相等,即 AB=AC; 性质 (3)是轴对称图形,有一条对称轴,即 AD; (4)“三线合一”(即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合)
• (2)若图形中含折叠,考虑用折叠的性质,然后在直角三角形中,设 未知量,列方程求解.
• (3)若所求为线段和(或可转化为线段和的形式),考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 (2018·宜春模拟)如图,Rt△ABC 纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8, 点 D 在边 BC 上,以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D,AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形,则 BD 的长是__2_或__5___.
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题(每小题3分,共36分)1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为()A.85°B.75°C.65°D.60°(第1题图)(第2题图)2.如图,平行线AB,CD 被直线EF 所截,过点B 作BG⊥EF 于点G,已知∠1=50°,则∠B=()A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图,太阳光线与水平线成70°角,窗子高AB=2米,要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC,使光线不能直接射入室内,则遮阳板DC 的长度至少是()A.米B.2sin70°米C.米D. 2.2cos70°米(第3题图)(第5题图)4.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若斜边AB 是直角边BC 的3倍,则tanB 的值是()A.B.3C.D.5.如图,每个小方格的边长为1,A,B 两点都在小方格的顶点上,点C 也是图中小方格的顶点,并且△ABC 是等腰三角形,那么点C 的个数为()A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x 为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.137.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为AB 边上的高,CE 为AB 边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D.(第7题图)(第8题图)8.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,DE 是BC 的垂直平分线,点E 是垂足.已知DC=5,AD=2,则图中长为的线段有()A.4条B.3条C.2条D.1条9.如图,在△ABC 外任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,连接DE,EF,DF,得△DEF,则下列说法错误的是()A.△ABC 与△DEF 是位似图形B.△ABC 与△DEF 是相似图形C.△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D.△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1(第9题图)(第10题图)10.如图,在数轴上有A,B,C,D 四个整数点(即各点均表示整数),且2AB=BC=3CD,若A,D 两点表示的数分别为-5和6,且AC 的中点为E,BD 的中点为M,BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N,则该数轴的原点为()A.点EB.点FC.点MD.点N 11.如图,将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠,使∠CAB=45°,则折叠后重叠部分的面积为()(第11题图)(第12题图)12.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠C,将△ABC 绕点B。
2020年中考数学总复习专题演练《三角形综合》(含解析)
中考数学复习专题训练:《三角形综合》1.在△ABC与△ABD中,∠DBA=∠CAB,AC与BD交于点F(1)如图1,若∠DAF=∠CBF,求证:AD=BC;(2)如图2,∠D=135°,∠C=45°,AD=2,AC=4,求BD的长.(3)如图3,若∠DBA=18°,∠D=108°,∠C=72°,AD=1,直接写出DB的长.2.如图,已知CD是△ABC的高,AD=1,BD=4,CD=2.直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点,AE交直线CD于点G,EF所在直线交直线AB于点F.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)若G为AE的中点,求tan∠EAF的值;(3)在点E的运动过程中,若,求的值.3.如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,m),B(﹣m,0),C(n,0),AC=5且∠OBA=∠OAB,其中m,n满足.(1)求点A,C的坐标;(2)点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动,设点P的运动时间为t秒.连接BP、CP,用含有t的式子表示△BPC的面积为S(直接写出t的取值范围);(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使得S△PAB =S△POC,若存在,请求出t的值,并直接写出BP中点Q的坐标;若不存在,请说明理由.4.一副三角板直角顶点重合于点B,∠A=∠C=45°,∠D=60°,∠E=30°.(1)如图(1),若∠AFE=75°,求证:AB∥DE;(2)如图(2),若∠AFE=α,∠BGD=β,则α+β=度.(3)如图(3),在(1)的条件下,DE与AC相交于点H,连接CE,BH,若DG=2CG=2GH ,BC =10,S △CEH =S △BEH ,求△BDH 的面积.5.在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =AC ,PC =PA ,设∠APB =α,∠BPC =β.(1)如图1,当点P 在△ABC 内, ①若β=153°,求α的度数;小明同学通过分析已知条件发现:△ABC 是顶角为120°的等腰三角形,且PC =PA ,从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形.于是,他过点A 作∠DAP =120°,且AD =AP ,连接DP ,DB ,发现两个不同的三角形全等: ≌ 再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数.请利用小王同学分析的思路,通过计算求得α的度数为;②小王在①的基础上进一步进行探索,发现α、β之间存在一种特殊的等量关系,请写出这个等量关系,并加以证明.(2)如图2,点P在△ABC外,那么a、β之间的数量关系是否改变?若改变,请直接写出它们的数量关系;若不变,请说明理由.6.在△ABC中,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交边BC于点D,分别过D作DE∥AC交边AB于点E,DF∥AB交边AC于点F.(1)如图1,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由;(2)如图2,若AD=4,点H,G分别在线段AE,AF上,且EH=AG=3,连接EG 交AD于点M,连接FH交EG于点N.(i)求EN•EG的值;(ii)将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′,求证:H,F,M′三点在同一条直线上7.如图1,△ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC,CD=CE,AC>CD,∠ACB=∠DCE =α,且点A、D、E在同一直线上,连结BE(1)求证:AD=BE.(2)如图2,若α=90°,CM⊥AE于E.若CM=7,BE=10,试求AB的长.(3)如图3,若α=120°,CM⊥AE于E,BN⊥AE于N,BN=a,CM=b,直接写出AE 的值(用a,b的代数式表示).8.已知,点A(t,1)是平面直角坐标系中第一象限的点,点B,C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点,连接AB,AC,BC.(1)如图1,若OB=1,OC=,且A,B,C在同一条直线上,求t的值;(2)如图2,当t=1,∠ACO+∠ACB=180°时,求BC+OC﹣OB的值;(3)如图3,点H(m,n)是AB上一点,∠A=∠OHA=90°,若OB=OC,求m+n的值.9.在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),且a,b满足a2﹣2ab+b2+(b﹣4)2=0,点C为线段AB上一点,连接OC.(1)直接写出a=,b=;(2)如图1,P为OC上一点,连接PA,PB,若PA=BO,∠BPC=30°,求点P的纵坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点M是AB上一动点,以OM为边在OM的右侧作等边△OMN,连接CN.若OC=t,求ON+CN的最小值(结果用含t的式子表示)10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=16,BC=12,点D、E分别为边AB、BC中点,点P从点A出发,沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动,到点B 停止.当点P不与点A重合时,过点P作PQ∥AC,且点Q在直线AB左侧,AP=PQ,过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M.设点P运动的时间为t(秒)(1)用含t的代数式表示线段DM的长度;(2)求当点Q落在BC边上时t的值;(3)设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S(平方单位),当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时,求S与t的函数关系式;(4)当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时,直接写出此时t的值.11.如图,平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点A 在x 轴的负半轴上,点B 在x 轴的正半轴上,以AB 为斜边向上作等腰直角△ABC ,BC 交y 轴于点D ,C (﹣2,4). (1)如图1,求点B 的坐标;(2)如图2,动点E 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正半轴运动,设运动时间为t 秒,连接CE ,设△ECD 的面积为S ,请用含t 的式子来表示S ;(3)如图3,在(2)的条件下,当点E 在OD 的延长线上时,点F 在直线CE 的下方,且CF ⊥CE ,CF =CE .连接AD ,取AD 的中点M ,连接FM 并延长交AO 于点N ,连接FO ,当S △NFO =10S △AMN 时,求S 的值.12.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABC的顶点A(﹣2,0),点B,C分别在x轴和y轴的正半轴上,∠ACB=90°,∠BAC=60°(1)求点B的坐标;(2)点P为AC延长线上一点,过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q,若点P的横坐标为t,线段PQ的长为d,请用含t的式子表示d;(3)在(2)的条件下,点E是线段CQ上一点,连接OE、BP,若OE=PB,∠APB﹣∠OEB=30°,求PQ的长.13.在平面直角坐标系中,点A(0,m),C(n,0).(1)若m,n满足.①直接写出m=,n=;②如图1,D为点A上方一点,连接CD,在y轴右侧作等腰Rt△BDC,∠BDC=90°,连接BA并延长交x轴于点E,当点A上方运动时,求△ACE的面积;(2)如图2,若m=n,点D在边OA上,且AD=11,G为OC上一点,且OG=8,连接CD,过点G作CD的垂线交CD于点F,交AC于点FH.连接DH,当∠ADH=∠ODC,求点D的坐标.14.如图,平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别为x、y轴正半轴上一点,其中a、b满足:b﹣8=+,C为AB的中点.(1)求A、B两点坐标;(2)E为OB上一点,连CE交x轴于D,若BE=AD,如图1,求D点坐标;(3)F为x轴上的点,连FC,在(2)的条件下,若∠ACF=45°,求F点坐标.15.如图所示,M为等腰三角形ABD的底边AB的中点,过D作DC∥AB,连接BC,AB =6cm,DM=3cm,DC=3﹣cm.动点P自A点出发,在AB上匀速运动,动点Q自点B出发,在折线BC﹣CD上匀速运动,速度均为1cm/s,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动t(s)时,△MPQ的面积为S.(1)当点P在线段AM上运动时,PM=.(用t的代数式表示)(2)求BC的长度;(3)当点P在MB上运动时,求S与t之间的函数关系式.16.如图,射线AN上有一点B,AB=5,tan∠MAN=,点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动,过点C作CD⊥AN交射线AM于点D,在射线CD上取点F,使得CF=CB,连结AF.设点C的运动时间是t(秒)(t>0).(1)当点C在点B右侧时,求AD、DF的长.(用含t的代数式表示)(2)连结BD,设△BCD的面积为S平方单位,求S与t之间的函数关系式.(3)当△AFD是轴对称图形时,直接写出t的值.17.阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题.数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE,连接CD.探究线段AE 与CD的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:小明:“通过观察和度量,发现∠ABE与∠DBC相等.”小伟:“通过全等三角形证明,再经过进一步推理,可以得到线段BC平分∠ACD.”…老师:“保留原题条件,连接AD,F是AB的延长线上一点,AD=DF(如图2),如果BD=BF,可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系.”(1)求证:∠ABE=∠DBC;(2)求证:线段BC平分∠ACD;(3)探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系,并加以证明.18.在△ABC中,AC=BC,点G是直线BC上一点,CF⊥AG,垂足为点E,BF⊥CF于点F,点D为AB的中点,连接DF.(1)如图1,如果∠ACB=90°,且G在CB边上,设CF交AB于点R,且E为CR的中点,若CG=1,求线段BG的长;(2)如图2,如果∠ACB=90°,且G在CB边上,求证:EF=DF;(3)如图3,如果∠ACB=60°,且G在CB的延长线上,∠BAG=15°,请探究线段EF、BD之间的数量关系,并直接写出你的结论.19.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,其中AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE.(1)如图①,连接BE、CD,求证:BE=CD;(2)如图②,连接BE、CD,若∠BAC=∠DAE=60°,CD⊥AE,AD=3,CD=4,求BD的长;(3)如图③,若∠BAC=∠DAE=90°,且C点恰好落在DE上,试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系,并加以说明.20.已知△ABC中,AB=AC.(1)如图1,在△ADE中,AD=AE,连接BD、CE,若∠DAE=∠BAC,求证:BD=CE;(2)如图2,在△ADE中,AD=AE,连接BE、CE,若∠DAE=∠BAC=60°,CE⊥AD 于点F,AE=4,,求BE的长;(3)如图3,在△BCD中,∠CBD=∠CDB=45°,连接AD,若∠CAB=45°,求的值.参考答案1.(1)证明:∵∠DFA=∠CFB,∠DAF=∠CBF,∴∠D=∠C,在△DAB和△CBA中,,∴△DAB≌△CBA(AAS),∴AD=BC;(2)解:在FC上取一点E,使得∠FBE=∠DAF,如图2所示:由(1)知,△DAB≌△EBA(AAS),∴BE=AD=2,DB=EA,∠BDA=∠AEB=135°,∴∠BEC=45°,∵∠C=45°,∴∠BEC=∠C,∴BC=BE=2,∠EBC=90°,∴EC=BE=2,∵AC=4,∴AE=AC﹣EC=4﹣2,∴BD=AE=4﹣2.(3)解:在FC上取一点E,使得∠FBE=∠DAF,如图3所示:由(1)知△DAB≌△EBA(AAS),∴BE=AD=1,DB=AE,∠BEA=∠BDA=108°,∠DBA=∠EAB=18°,∴∠BEC=72°=∠C,∠EFB=∠DBA+∠EAB=36°,∴BC=BE=1,∠EBC=36°,∴∠C=∠BEA﹣∠EBC=72°,∴∠FBC=72°,∴∠C=∠FBC,∠EFB=∠EBF=36°,∴EF=EB=1,FB=FC,∴AF=FB=FC=1+EC,∵∠EBC=∠EFB,∠∠C=∠C,∴△CBE~△CFB,∴,∴BC2=CE•CF,∴CE•CF=1,∴CE(CE+1)=1,即CE2+CE﹣1=0,解得:(负值已舍去),∴,∴,∴.2.解:(1)结论:△ABC是直角三角形.理由:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°,∵AD=1,CD=2,BD=4,∴CD2=AD•BD,∴=,∴△ADC∽△CDB,∴∠ACD=∠B,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.(2)如图1中,作EH⊥AB于H.∵AD⊥AB,EH⊥AB,∴DG∥HE,∵AG=GE,∵AD=DH=1,∵DB=4,∴BH=DB﹣DH=3,∵EH∥CD,∴=,∴=,∴EH=,∴tan∠EAF===.(3)如图2中,作EH⊥AB于H.∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴EH∥CD,∴===,∵CD=2,BD=4,∴EH=,BH=,∴AH=AB﹣BH=5﹣=,DH=AH﹣AD=,在Rt△AEH中,AE===,∵DG∥EH,∴=,∴=,∴EG=,∵AE⊥EF,EH⊥AF,∴△AEH∽△EFH,∴=,∴=,∴EF=∴==.3.解:(1)由,解得,∴A(0,4),C(3,0).(2)如图1中,当0<t<4时,S=•BC•OP=×5×(4﹣t)=﹣t+10.如图2中,当t>4时,S=•BC•OP=×5×(t﹣4)=t﹣10.综上所述,S=.(3)当0<t<4时,由题意,×t×4=××(4﹣t)×3,解得t=.此时,OP=4﹣=,∴P(0,),∵B(﹣4,0),∴BQ的中点Q的坐标为(﹣2,)当t>4时,由题意,×t×4=××(t﹣4)×3,解得t=36,此时OP =36﹣4=32,∴P (0,﹣32),∵B (﹣4,0),∴BP 的中点Q 的坐标为(﹣2,﹣16).综上所述,满足条件的t 的值为或36.点Q 的坐标为(﹣2,)或(﹣2,﹣16). 4.(1)证明:如图(1),∵∠AFE =75°,∠A =45°,∴∠ABE =75°﹣45°=30°,∵∠E =30°,∴∠E =∠ABE ,∴AB ∥DE ;(2)解:如图(2),△ABF 中,∠AFE =∠A +∠ABE =α①,△BGE 中,∠BGD =∠E +∠CBF =β②,①+②得:α+β=∠A +∠E +∠CBF +∠ABE =45°+30°+90°=165°;故答案为:165;(3)解:∵DE ∥AB ,∴∠CGH =∠ABC =90°,∵S △CEH =S △BEH ,∴,∴CG=BG,∵BC=10,∴CG=2,BG=8,∵DG=2CG=2GH,∴DG=4,GH=2,∴△BDH的面积===24.5.解:(1)①如图1,过点A作AH⊥DP于H,∵∠DAP=∠BAC=120°,∴∠DAB=∠PAC,且AD=AP,AB=AC,∴△ADB≌△APC(SAS)∴BD=PC=PA,∠ADB=∠APC,∵∠DAP=120°,AD=AP,AH⊥DP,∴∠ADP=∠APD=30°,DH=PH,∴AP=2AH,HP=AH,∴DP=AP,∴DB=DP,∴∠DBP=∠DPB=∠APB﹣∠APD=α﹣30°,∴∠BDP=180°﹣2(α﹣30°)=240°﹣2α,∴∠ADB=∠BDP+∠ADP=270°﹣2α=∠APC,∵∠APB+∠APC+∠BPC=360°,∴270°﹣2α+α+β=360°,∴β﹣α=90°,当β=153°时,α=63°,故答案为:△ADB,△APC,63°;②β﹣α=90°,理由如上;(2)α+β=90°,理由如下:如图2,作∠PAN=120°,且PA=NA,连接PN,BN,∵∠PAN=∠BAC=120°,∴∠BAN=∠PAC,且AB=AC,AP=AN,∴△ABN≌△ACP(SAS)∴∠BNA=∠APC,PC=BN=AP,∵∠PAN=120°,PA=NA,∴∠APN=∠ANP=30°,∴PN=AP=BN,∴∠BPN=∠PBN=α+30°,∵∠BPN+∠PBN+∠BNP=180°,∴2(α+30°)+β﹣α+30°=180°,∴α+β=90°.6.(1)解:四边形AEDF的形状是菱形;理由如下:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,∵DE∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴四边形AEDF是菱形;(2)(i)解:连接EF交AD于点Q,如图2所示:∵∠BAC=60°,四边形AEDF是菱形,∴∠EAD=30°,AD、EF相互垂直平分,△AEF是等边三角形,∴∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,∵AD=4,∴AQ=2,在Rt△AQE中,cos∠EAQ=,即cos30°=,∴AE===4,∴AE=AF=EF=4,在△AEG和△EFH中,,∴△AEG≌△EFH(SAS),∴∠AEG=∠EFH,∴∠ENH=∠EFH+∠GEF=∠AEG+∠GEF=60°,∴∠ENH=∠EAG,∵∠AEG=∠NEH,∴△AEG∽△NEH,∴=,∴EN•EG=EH•AE=3×4=12;(ii)证明:如图3,连接FM',∵DE∥AC,∴∠AED=180°﹣∠BAC=120°,由(1)得:△EDF是等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=∠FED=∠EFD=60°,由旋转的性质得:∠MDM'=60°,DM=DM',∴∠EDM=∠FDM',在△EDM和△FDM'中,,∴△EDM≌△FDM'(SAS),∴∠MED=∠DFM',由(i)知,∠AEG=∠EFH,∴∠DFM'+∠EFH=∠MED+∠AEG=∠AED=120°,∴∠HFM'=∠DFM'+∠HFE+∠EFD=120°+60°=180°,∴H,F,M′三点在同一条直线上.7.(1)证明:∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;(2)解:设AE交BC于点H,如图2所示:由(1)得:△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,AD=BE=10,∵∠AHC=∠BHE,∴∠AEB=∠ACH=90°,∵∠ACB=∠DCE=α=90°,CD=CE,∴△CDE是等腰直角三角形,∵CM⊥DE,∴CM=DM=ME=7,∴DE=2CM=14,∵AE=AD+DE=10+14=24,∠AEB=90°,∴AB===26;(3)解:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.∵CM⊥DE,∴∠CMD=90°,DM=EM.在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,∴DE=2DM=2×=2×=2b.∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,∴∠BEN=180°﹣120°=60°.在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,∴BE===a.∵AD=BE,AE=AD+DE,∴AE=BE+DE=a+2b.8.解:(1)过点A作AD⊥x轴于D,如图1所示:∵点A(t,1),∴AD=1,OD=t,∵A,B,C在同一条直线上,∴∠OCB=∠DCA,∵tan∠OCB===,∴tan∠OCB=tan∠DCA==,即=,解得:CD=,∴t=OD=OC+CD=+=3;(2)作AD⊥y轴于D,AM⊥x轴于M,AN⊥BC于N,如图2所示:则∠ADB=∠ANB=90°,∵t=1,∴点A(1,1),∴AD=AM=OM=1,∵∠ACO+∠ACB=180°,∠ACN+∠ACB=180°,∴∠ACO=∠ACN,∵AM⊥x轴于M,AN⊥BC于N,∴AN=AM=AD=1,在Rt△ABD和Rt△ABN中,,∴Rt△ABD≌Rt△ABN(HL),∴BN=BD=OB+1,同理:Rt△ACM≌Rt△ACN(HL),∴CM=CN,∵BC=BN﹣CN,OC=OM+CM=1+CM,∴BC+OC﹣OB=BN﹣CN+1+CM﹣OB=OB+1﹣CN+1+CM﹣OB=2;(3)作HG⊥OC于G,如图3所示:∵OB=OC,∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形,∠OCB=45°,∵∠OHA=90°,∴OH⊥AB,∴△OCH是等腰直角三角形,∵HG⊥OC,∴△OGH是等腰直角三角形,∴OG=GH,即m=﹣n,∴m+n=0.9.解:(1)∵a2﹣2ab+b2+(b﹣4)2=0,∴(a﹣b)2+(b﹣4)2=0,∵(a﹣b)2≥0,(b﹣4)2≥0,∴a=b.b﹣4=0,∴a=4,b=4,故答案为4,4.(2)如图1中,分别过A,B作OC的垂线,垂足分别为D,E.∵∠BEO=∠ADO=∠AOB=90°,∴∠BOE+∠OBE=90°,∠BOE+∠AOD=90°,∴∠AOD=∠OBE,∵BO=AO,∴△ADO≌△OEB(AAS),∴OD=BE,∵∠BPC=30°,∴PB=2BE=2OD,∵AP=BO=AO,AD⊥OP,∴OD=DP,∴PB=PO,过P作PF⊥OB,∴OF=OB=2,即点P的纵坐标的为2.(3)如图2中,以OA为边在x轴下方作等边△OAG,连接GN.∵∠MON=∠AOG=60°,∴∠MOA=∠NOG,∵OM=ON,OA=OG,∴△OMA≌△ONG(SAS),∴∠OGN=∠OAM=45°,即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动,作OH⊥OC交CA的延长线于H,连接NH.GH.由(2)可知∠ACO=60°,在四边形ACOG中,∠COG=360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°=135°,∴OC∥NG,∵OC⊥OH,∴OH⊥NG,∵∠OHC=30°=∠AGO,∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上,∴GO=GA,∴NH垂直平分线段OH,∴O,H关于GN对称,∴ON+NC=NH+NC≥CH,∵CH=2OC=2t,∴ON+NC≥2t,∴ON+CN的最小值为2t.10.解:(1)如图1中,在RtABC中,∵AC=16,BC=12,∠C=90°,∴AB===20,∵PQ∥AC,∴∠A=∠QPM,∵∠C=∠PMQ=90°,∴△ACB∽△PMQ,∴==,∴==,∴PM=4t,MQ=3t,当0<t≤时,DM=AD﹣AM=10﹣5t﹣4t=﹣9t+10.当<t≤4时,DM=AM﹣AD=9t﹣10.(2)如图2中,当点Q落在BC上时,∵PQ∥AC,∴=,∴=,解得t=,∴当点Q落在BC边上时t的值为s.(3)如图3﹣1中,当<t≤时,重叠部分是△DMK,S=×DM×MK=×(9t﹣10)×(9t﹣10)=t2﹣t+.如图3﹣2中,当≤t≤4时,重叠部分是△PBK,S=•PK•BK=×(20﹣5t)•(20﹣5t)=6t2﹣48t+96.(4)如图4﹣1中,当直线CQ平分∠PQM时,设直线CQ交AB于G,作GK⊥PQ于K.∵∠QKG=∠QMG=90°,∠GQK=∠GQM,QG=QG,∴△QGK≌△QGM(AAS),∴QK=QM=3t,PK=PQ﹣QK=5t﹣3t=2t,∴PG=PK=t,∵PQ∥AC,∴=,∴=,∴t=.如图4﹣2中,当CM平分∠QMP时,作CG⊥AB于G.∵•AC•BC=•AB•CG,∴CG===,AG===,∵∠CMG=∠GCM=45°,∴CG=GM=,∴AM=9t=+,解得t=,综上所述,满足条件的t的值为s或s.11.解:(1)如图1中,作CH⊥AB于H.∵C(﹣2,4),∴CH=4,OH=2,∵AC﹣BC,∠ACB=90°,∴AH=CH=BH=4,∴OB=OH=2,∵OD∥CH,∴CD=DB,∴OD=CH=2,∴D(0,2),B(2,0).(2)由(1)可知D(0,2),所以当0≤t<2时,当t>2时,,综上所述,S=.(3)如图3中,延长AC交y轴于H,连接FD,AF.FO.∵C(﹣2,4),△ABC是等腰直角三角形,∴AB=8,由(1)知B(2,0),∴OB=2,OA=6,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=45°,∵∠AOH=90°,∴∠CHE=∠CAB=45°,∴OH=OA=6,∵∠ACB=90°,∴∠DCH=90°,∵∠CHE=45°,∴∠CDH=∠CHE=45°,∴CH=CD,∵CF⊥CE,∴∠DCF+∠ECD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠HCE+∠ECD=90°,∴∠HCE=∠DCF,又∵CF=CE,∴△HCE≌△DCF(SAS),∴HE=FD=6﹣t,∠CDF=∠CHE=45°,∵∠CBA=45°,∴∠CDF=∠CBA,∴FD∥AB,∴∠FDM=∠NAM,∵M是AD中点,∴DM=AM,又∵∠FMD=∠NMA,∴△DMF≌AMN(ASA),∴AN=FD=6﹣t,∵DM =AM ,∴S △DMF =S △AMF∵△DMF ≌△AMN ,∴S △DMF =S △AMN ,∴S △NFA =2S △AMN∵S △NFO =10S △AMN∴S △NFO =5S △NFA ,∴5AN =ON ,∵OA =6,∴AN =1,∴AN =6﹣t =1,∴t =5,∴S =t ﹣2=5﹣2=3.12.解:(1)在Rt △AOC 中,A (﹣2,0),∠A =60°,∴OA =2,∠ACO =∠ABC =30°∴AC =2OA =4,在Rt △ABC 中,∠ABC =30°,∴AB =2AC =8,即OB =AB ﹣OA =8﹣2=6,则B (6,0);(2)如图1所示,在Rt △MCP 中,MP =t ,∠MCP =30°,∴CP =2MP =2t ,在Rt △CQP 中,∠CQP =30°,CP =2t ,∴PQ =4t ,即d =4t ;(3)如图2所示,过P 作PM ∥y 轴,交BC 于M ,∴∠APM=∠DCP=∠ACO=30°,∵∠APB﹣∠OEB=30°,∴∠APB﹣30°=∠OEB=∠BPM,∵∠BMP=180°﹣60°=120°=∠OCE,∵OE=PB,∴△OCE≌△BMP(AAS),∴OC=BM=2,∵BC=4,∴CM=4﹣2=2,Rt△PCM中,∠CPM=30°,CP=2t,∴PM=4,∴PC2+CM2=PM2,∴,4t2+12=48,t=3或﹣3(舍),∴PQ=4t=12.13.解:(1)①由,解得,故答案为4,4.②如图1中,∵A(0,4),C(4,0),∴OA=OC=4,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC,∠ACO=45°,∵△DCB是等腰直角三角形,∴BC=CD,∠DCB=45°,∴∠OCD=∠ACB,==,∴∠OCD∽△ACB,∴∠BAC=∠DOC=90°,∴∠AEC=∠ACE=45°,∴AE=AC,∵AO⊥EC,∴EO=OC=AO=4,=•EC•AO=×8×4=16.∴S△ACE(2)如图2中,作CP∥OA交DH的延长线于P,作DK⊥CP于K.∵PC∥OA,∴∠P=∠ADH,∠DCP=∠ODC,∵∠ADH=∠ODC,∴∠P=∠PCD,∴DP=DC,∴△DPC是等腰三角形,∵∠DKC=∠KCO=∠DOC=90°,∴四边形ODKC是矩形,∴OD=CK,∵DK⊥PC,∴PK=CK=OD,设OD=x,则PK=CK=x,PC=2x,∵OA=OC,AD=11,OG=8,∴CG=OC﹣OG=x+3,∵GH⊥DC,∴∠CFG=∠COD=90°,∴∠ODC+∠OCD=90°,∠CGF+∠FCG=90°,∴∠ODC=∠CGF,∴∠CGH=∠P,∵CH=CH,∠HCG=∠HCP=45°,∴△HCG≌△HCP(AAS),∴CG=CP,∴x+3=2x,∴x=3,∴D(0,3)14.解:(1)根据题意得:,解得:a=4,∴b=8,∴A(4,0),B(0,8);(2)∵C为AB的中点,∴C(2,4),设OE=b,∵BE=AD,∴AD=8﹣b,∵OA=4,∴OD=4﹣b,设直线CD的解析式为:y=kx+b,把C(2,4)代入得:2k+b=4,∴k=,∴直线CD的解析式为:y=x+b,∵D(b﹣4,0),则﹣+b=0,解得:b=2或8(舍),∴D(﹣2,0);(3)由(2)知:直线CD的解析式为:y=x+2分两种情况:①当F在点A的左侧时,如图2,过F作FG⊥AB于G,∵∠BAO=∠FAG,∴tan∠BAO=tan∠FAG===2,设AG=x,则FG=2x,∵∠ACF=45°,∠CGF=90°,∴CG=FG=2x,∵AC=AB==2,∴AG=2﹣2x=x,x=,∴AF=x=,∴OF=4﹣=,∴F(,0);②当点F在点A的右侧时,如图3,过C作CP⊥CF,交x轴于点P,CH⊥x轴于H,过A作AG⊥CF于G,∵∠ACF=45°,∴△ACG是等腰直角三角形,∵AC=2,∴CG=AG=,由(2)知:AP=,∵AH=2,∴PH=﹣2=,∵CH=OB=4,∴PC==,∵AG∥PC,∴,即=,∴AF=10,∴F(14,0),综上,点F的坐标为(,0)或(14,0).15.解:(1)如图1中,PM=3﹣t.故答案为3﹣t.(2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图2,∵DA=DB,AM=BM,∴DM⊥AB.∵CE⊥AB,∴∠CEB=∠DMB=90°.∴CE∥DM.∵DC∥ME,CE∥DM,∠DME=90°,∴四边形DCEM是矩形.∴CE=DM=3,ME=DC=.∵AM=BM,AB=6,∴AM=BM=3.∴BE=BM﹣ME=.∵∠CEB=90°,CE=3,BE=,∴CB===2.(3)①当3<t≤时,点P在线段BM上,点Q在线段BC上,过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图3,∵QF⊥AB,CE⊥AB,∴∠QFB=∠CEB=90°.∴QF∥CE.∵BQ=t,∴QF=∵PM=AP﹣AM=t﹣3,∴S=PM•QF=(t﹣3)•=;②当<t≤时,点P在线段BM上,点Q在线段DC上,过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图4,此时QF=DM=3.∵PM=AP﹣AM=t﹣3,∴S=PM•QF=(t﹣3)×3=.综上所述:当3<t≤时,S=;当<t≤时,S=.16.解:(1)在Rt△ACD中,AC=3t,tan∠MAN=,∴CD=4t.∴AD===5t,当点C在点B右侧时,CB=3t﹣5,∴CF=CB.∴DF=4t﹣(3t﹣5)=t+5.(2)当0<t<时,S=•(5﹣3t)•4t=﹣6t2+10t.当t>时,S=•(3t﹣5)•4t=6t2﹣10t.(3)①如图1中,当DF=AD时,△ADF是轴对称图形.则有5﹣3t﹣4t=5t,解得t=,②如图2中,当AF=DF时,△ADF是轴对称图形.作FH⊥AD.∵FA=DF,∴AH=DH=t,由cos∠FDH=,可得=,解得t=.③如图3中,当AF=DF时,△ADF是轴对称图形.作FH⊥AD.∵FA=DF,∴AH=DH=t,由cos∠FDH=,可得=,解得t=.综上所述,满足条件的t的值为或或.17.(1)证明:∵△ABC,△DEB都是等边三角形,∴∠ABC=∠EBD=60°,∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD,∴∠ABE=∠CBD.(2)证明:∵△ABC,△DEB都是等边三角形,∴BA=BC,BE=BD,∠BAC=∠ACB=60°,∵∠ABE=∠CBD,∴△ABE≌△CBD(SAS),∴∠BAE=∠BCD=60°,∴∠ACB=∠BCD=60°,∴CB平分∠ACD.(3)解:结论:EC+BE=BC.理由:∵DA=DF,∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转,使得DF与DA重合,得到△DMA,连接AM.∵DA=DF,BD=BF,∴∠DAF=∠F=∠BDF,∵∠BCD=∠ABC=60°,∴CD∥AB,∴∠CDF=∠DAF,∵∠MDA=∠BDF=∠F=∠DAB,∴∠MDA=∠CDA,∴D,C,M共线,∵∠AMD=∠DBF=∠CDB,∠ACM=∠BCD=60°,AM=DM=BD=BF,∴△AMC≌△BDC(AAS),∴CM=DC=BD=BE,∵△ABE≌△CBD,∴AE=CD,∴BC=AC=EC+AE=CE+CD=CE+BE,∴EC+BE=BC.18.(1)解:如图1中,在CA上取一点H,使得CH=CG.∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠CAB=45°,∵AE⊥CR,CE=ER,∴AC=AR,∴∠CAG=∠GAB=22.5°∵CG=CH=1,∴GH===,∠CHG=45°,∵∠CHG=∠HAG+∠HGA,∴∠HAG=∠HGA=22.5°,∴HA=HG=,∵CB=CA,CG=CH,∴BG=AH=.(2)解:如图2中,连接CD,DE.∵CF⊥AG,BC⊥CF,∴∠BCF=∠CAE=90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB,,∴△AEC≌△CFB(AAS),∴AE=CF,CE=BF,∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∴CD=BD,∠CDB=90°,∵∠CDB=∠CFB=90°,∴∠FBD=∠DCE,在△BFD与△CED中,,∴△BFD≌△CED(SAS),∴DF=DE,∠FDB=∠EDC,∴∠EDC+∠EDB=∠BDF+∠BDE=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴EF=DF.(3)如图3中,结论:=.理由:连接AF,在EC上取一点H,使得CH=AH,连接AH.∵AC=BC,∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,AB=AC=BC,∵∠BAG=15°,∴∠CAE=75°,∵CE⊥AG,∴∠CEA=90°,∴∠ACE=15°,∴∠BCF=∠ACB﹣∠ACE=45°,∵BF⊥CE,∴∠FCB=∠FBC=45°,∴FB=FC,∵AB=AC,∴AF垂直平分线段BC,∴AF平分∠CAB,∴∠FAB=∠CAB=30°,∴∠EAF=∠EFA=45°,∴EF=AE,设EF=AE=m,∵HC=HA,∴∠HCA=∠HAC=15°,∴∠EHA=∠HCA+∠HAC=30°,∴AH=2AE=2m,EH=m,∴EC=2m+m,∴AC===(+)m,∵BD=AB=AC=m,∴=.19.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ACD≌△ABE(SAS),∴CD=BE.(2)如图2,连结BE,∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形,∴DE=AD=3,∠ADE=∠AED=60°,∵CD⊥AE,∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°,∵由(1)得△ACD≌△ABE,∴BE=CD=4,∠BEA=∠CDA=30°,∴∠BED=∠BEA+∠AED=30°+60°=90°,即BE⊥DE,∴BD===5.(3)CD2、CE2、BC2之间的数量关系为:CD2+CE2=BC2,理由如下:解法一:如图3,连结BE.∵AD=AE,∠DAE=90°,∴∠D=∠AED=45°,∵由(1)得△ACD≌△ABE,∴BE=CD,∠BEA=∠CDA=45°,∴∠BEC=∠BEA+∠AED=45°+45°=90°,即BE⊥DE,在Rt△BEC中,由勾股定理可知:BC2=BE2+CE2.∴BC2=CD2+CE2.解法二:如图4,过点A作AP⊥DE于点P.∵△ADE为等腰直角三角形,AP⊥DE,∴AP=EP=DP.∵CD2=(CP+PD)2=(CP+AP)2=CP2+2CP•AP+AP2,CE2=(EP﹣CP)2=(AP﹣CP)2=AP2﹣2AP•CP+CP2,∴CD2+CE2=2AP2+2CP2=2(AP2+CP2),∵在Rt△APC中,由勾股定理可知:AC2=AP2+CP2,∴CD2+CE2=2AC2.∵△ABC为等腰直角三角形,由勾股定理可知:∴AB2+AC2=BC2,即2AC2=BC2,∴CD2+CE2=BC2.20.(1)证明:如图1中,∵∠DAE=∠BAC,∴∠EAC=∠DAB,∵AE=AD,AC=AB,∴△EAC≌△DAB(SAS),∴EC=BD.。
2024年中考数学复习(全国版)第四章 三角形真题测试(基础卷)(解析版)
第三章三角形章节测试(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图,直线AB CD ,GE EF 于点E.若60BGE ,则EFD 的度数是()A.60B.30 C.40 D.70【答案】B 【分析】延长GE ,与DC 交于点M ,根据平行线的性质,求出FME 的度数,再直角三角形的两锐角互余即可求出EFD .【详解】解:延长GE ,与DC 交于点M ,∵AB CD ,60BGE ,∴60FME BGE ,∵GE EF ,∴906030EFD ,故选:B.【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质,正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键.2.(2023·吉林长春·统考中考真题)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳,卡钳交叉点O 为AA 、BB 的中点,只要量出A B 的长度,就可以道该零件内径AB 的长度.依据的数学基本事实是()A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两余直线被一组平行线所截,所的对应线段成比例【答案】A【分析】根据题意易证AOBA.1【答案】D∴122AE AC②当点E为AC的四等分点时,如图所示:∴1AE ,综上所述:AE故选D.【点睛】本题主要考查含角形的性质及三角形中位线是解题的关键.A.4B.9C.12D.13.5【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出.【详解】解:∵ABC EDC ∽,∴::AC EC AB DE ,∵:2:3AC EC ,6AB ,∴2:36:DE ,∴9DE ,故选:B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.5.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,AB CD ∥,点E 在线段BC 上(不与点B ,C 重合),连接DE ,若40D ,60BED ,则B ()A.10B.20 C.40 D.60【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质求得20C ,根据平行线的性质即可求解.【详解】解:∵40D ,60BED ,∴20C BED D ,∵AB CD ∥,∴B 20C ,故选:B.【点睛】本题考查了三角形的外角的性质,平行线的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.6.(2023·云南·统考中考真题)如图,A B 、两点被池塘隔开,、、A B C 三点不共线.设AC BC 、的中点分别为M N 、.若3MN 米,则AB ()A.4米【答案】B【分析】根据三角形中位线定理计算即可.A.2B.2 2【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得再判断出点,,,A B E D四点共圆,在以由圆周角定理得:90BDE ,45ADB C CBD ,45ABD DBE EBC ABD EBC ,【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点,正确判断出点,,,A B E D 四点共圆,在以BE 为直径的圆上是解题关键.8.(2023·四川南充·统考中考真题)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ,镜子与旗杆的水平距离为10m ,则旗杆高度为()A.6.4mB.8m C.9.6m D.12.5m【答案】B 【分析】根据镜面反射性质,可求出ACB ECD ,再利用垂直求ABC EDC ∽,最后由图可知,AB BD,CD \Ð=Ð=°.ABC CDE90∵根据镜面的反射性质,∴ACF ECF,A.1B.3 2【答案】C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出DH是AEF△的中位线,易证A.12 且CM DMB.13 且CM DM C.12 且OD DMD.23 且OD DM【答案】A 【分析】由作图过程可得:,OD OC CM DM ,再结合DM DM 可得SSS COM DOM ≌,由全等三角形的性质可得12 即可解答.【详解】解:由作图过程可得:,OD OC CM DM ,∵DM DM ,∴ SSS COM DOM ≌.∴12 .∴A 选项符合题意;不能确定OC CM ,则13 不一定成立,故B 选项不符合题意;不能确定OD DM ,故C 选项不符合题意,OD CM ∥不一定成立,则23 不一定成立,故D 选项不符合题意.故选A.【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点,理解尺规作图过程是解答本题的关键.二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)11.(2023·江苏连云港·统考中考真题)一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是__________.(只填一个即可)【答案】4(答案不唯一,大于2且小于8之间的数均可)【分析】根据三角形的三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边可得5353x ,再解即可.【详解】解:设第三边长为x,由题意得:5353x ,【答案】55【分析】首先根据题意得到AD 1552BAE CAE BAC 【详解】∵由作图可得,AD ∴12BAE CAE BAC 故答案为:55.【点睛】此题考查了作角平分线,角平分线的定义,解题的关键是熟练掌握以上知识点.13.(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)【答案】2【分析】根据正方形的性质,以及七巧板的特点,求得【详解】解:如图所示,依题意,22OD AD ∴图中阴影部分的面积为故答案为:2.11【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长.【详解】解∶设1,A m n ∵ABC 与111A B C △位似,原点O 是位似中心,且【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形,则DF CD AB EF AE AE,由23AE EB 进一步即可得到答案.【答案】140【分析】如图,先标注点与角,由对折可得:1420,∴3180220140,∵AB CD∥,∴23140;∵四边形ABCD矩形,∴90A,则∥MN AB,由平行线分线段成比例可得:AN BM ND MD又∵M为对角线BD的中点,∵M 为对角线BD 的中点,90NMD∴MN 为BD 的垂直平分线,∴BN ND ,【答案】3104【分析】如图,过F 作FM BE 45FCM FCN ,可得四边形,∵CF平分DCE∴45,FCM FCNCM FM,∴∴四边形CMFN是正方形,【答案】33【分析】过点A 作AH BC 可得=30BAD DAH ,再根据1tan =tan =3DAH EAC ,利用锐角三角函数求得1==DH DH【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数,熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC 是解题的关键.20.(2023·浙江·统考中考真题)如图,在ABC 中,AC 的垂直平分线交BC 于点D ,交AC 于点E ,B ADB .若4AB ,则DC 的长是__________.【答案】4【分析】由B ADB 可得4AD AB ,由DE 是AC 的垂直平分线可得AD DC ,从而可得4DC AB .【详解】解:∵B ADB ,∴4AD AB ,∵DE 是AC 的垂直平分线,∴AD DC ,∴4DC AB .故答案为:4.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识,熟练掌握相关知识是解答本题的关键.三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(2023·江西·统考中考真题)如图,AB AD ,AC 平分BAD .求证:ABC ADC △△≌.【答案】见解析【分析】先由角平分线的定义得到BAC DAC ,再利用SAS 证明ABC ADC △△≌即可.【详解】解∵AC 平分BAD ,∴BAC DAC ,在ABC 和ADC △中,AB AD BAC DAC AC AC,∴ SAS ABC ADC △△≌.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定,角平分线的定义等等,灵活运用所学知识是解题的关键.22.(2023·四川宜宾·统考中考真题)已知:如图,AB DE ∥,AB DE ,AF DC .求证:B E .【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A D ,然后证明AC DF ,证明 SAS ABC DEF ≌△△,根据全等三角形的性质即可得证.【详解】证明:∵AB DE ∥,∴A D ,∵AF DC ,∴AF CF DC CF即AC DF在ABC 与DEF 中AC DF A D AB DE,∴ SAS ABC DEF ≌△△,∴B E .(1)证明:C△;ABD BA∽△(2)若610,,求BDAB BC【答案】(1)见解析(1)求证:AF AB;(2)点G是线段AF上一点,满足 的长.【答案】树EG 的高度为9.1m【分析】由题意可知,BAE tan tan EF EAF BAH AF(1)求登山缆车上升的高度DE ;(2)若步行速度为30m/min ,登山缆车的速度为60m/min ,求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min )(参考数据:sin 530.80cos530.60tan 53 1.33 ,,)【答案】(1)登山缆车上升的高度450mDE (2)从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min在Rt ABC △中,9030ACB A ,,300m AB 【答案】B 处距离灯塔P 大约有(1)如图1,当点E在线段AC上时,求证:D是MC的中点;(2)如图2,若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足直接写出AEF的大小,并证明.【答案】(1)见解析B ACH ,设DM DE m ,CD n ,求出2BF m CH ,证明 SAS ABF ACH ,得到AF AH ,再根据等腰三角形三线合一证明AE FH 即可.【详解】(1)证明:由旋转的性质得:DM DE ,2MDE ,∵C ,∴D DEC M E C ,∴C DEC ,∴DE DC ,∴DM DC ,即D 是MC 的中点;(2)90AEF ;证明:如图2,延长FE 到H 使FE EH ,连接CH ,AH ,∵DF DC ,∴DE 是FCH V 的中位线,∴DE CH ∥,2CH DE ,由旋转的性质得:DM DE ,2MDE ,∴2FCH ,∵B C ,∴ACH ,ABC 是等腰三角形,∴B ACH ,AB AC ,设DM DE m ,CD n ,则2CH m ,CM m n ,∴DF CD n ,∴FM DF DM n m ,∵AM BC ,∴BM CM m n ,∴ 2BF BM FM m n n m m ,∴CH BF ,在ABF △和ACH 中,AB AC B ACH BF CH,∴ SAS ABF ACH ,∴AF AH,∵FE EH,∴AE FH,即90.AEF【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,三角形外角的性质,三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识,作出合适的辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.。
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形之与三角形有关的线段》知识点总结与专项练习题(含答案解析)知识点总结1.三角形的定义:三条线段首尾顺次连接组成的图形。
2.三角形的分类:①按角分类:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形。
②按边分类:不等边三角形,等腰三角形。
等腰三角形底和腰相等时叫做等边三角形。
3.三角形的中线、高线、角平分线:①中线:连接顶点与对边中点得到的线段。
平分三角形的面积。
②高线:过定点做对边的垂线,顶点与垂足之间的线段。
得到两个直角三角形。
③角平分线:作三角形角的平分线与对边相交,顶点与交点间的线段。
4.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定,这三角形就固定了,这是三角形具有稳定性。
专项练习题1.(2022•大庆)下列说法不正确的是()A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形概念可判断A,C,由等腰三角形,等边三角形定义可判断B,D.【解答】解:∵有两个角是锐角的三角形,第三个角可能是锐角,直角或钝角,∴有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形,直角三角形或钝角三角形;故A不正确,符合题意;有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形,故B正确,不符合题意;有两个角互余的三角形是直角三角形,故C正确,不符合题意;底和腰相等的等腰三角形是等边三角形,故D正确,不符合题意;故选:A.2.(2022•玉林)请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度,下列最接近的是()A.0.5cm B.0.7cm C.1.5cm D.2cm【分析】过点A作AD⊥BC于D,用刻度尺测量AD即可.【解答】解:过点A作AD⊥BC于D,用刻度尺测量AD的长度,更接近2cm,故选:D.3.(2022•杭州)如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则()A.线段CD是△ABC的AC边上的高线B.线段CD是△ABC的AB边上的高线C.线段AD是△ABC的BC边上的高线D.线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可.【解答】解:A、线段CD是△ABC的AB边上的高线,故本选项说法错误,不符合题意;B、线段CD是△ABC的AB边上的高线,本选项说法正确,符合题意;C、线段AD不是△ABC的BC边上高线,故本选项说法错误,不符合题意;D、线段AD不是△ABC的AC边上高线,故本选项说法错误,不符合题意;故选:B.4.(2022•广东)下列图形中有稳定性的是()A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形【分析】根据三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性即可得出答案.【解答】解:三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性,故选:A.5.(2022•永州)下列多边形具有稳定性的是()A.B.C.D.【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案.【解答】解:三角形具有稳定性,其它多边形不具有稳定性,故选:D.6.(2022•常州)如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD 的面积是.【分析】由题意可得CE是△ACD的中线,则有S△ACD=2S△AEC=2,再由AD是△ABC 的中线,则有S△ABD=S△ACD,即得解.【解答】解:∵E是AD的中点,∴CE是△ACD的中线,∴S△ACD=2S△AEC,∵△AEC的面积是1,∴S△ACD=2S△AEC=2,∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ACD=2.故答案为:2.7.(2022•淮安)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.3,3,6 B.3,5,10 C.4,6,9 D.4,5,9【分析】根据三角形的三边关系判断即可.【解答】解:A、∵3+3=6,∴长度为3,3,6的三条线段不能组成三角形,本选项不符合题意;B、∵3+5<10,∴长度为3,5,10的三条线段不能组成三角形,本选项不符合题意;C、∵4+6>9,∴长度为4,6,9的三条线段能组成三角形,本选项符合题意;D、∵4+5=9,∴长度为4,5,9的三条线段不能组成三角形,本选项不符合题意;故选:C.8.(2022•衢州)线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形,若a=1,b=3,则c的长度可以是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边直接列式计算即可.【解答】解:∵线段a=1,b=3,∴3﹣1<c<3+1,即2<c<4.观察选项,只有选项A符合题意,故选:A.9.(2022•南通)用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以为()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;即可求第三根木条的取值范围.【解答】解:设第三根木棒长为xcm,由三角形三边关系定理得6﹣3<x<6+3,所以x的取值范围是3<x<9,观察选项,只有选项D符合题意.故选:D.10.(2022•益阳)如图1所示,将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧矩形的宽相等,若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形.求腰长的取值范围.【解答】解:长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a.则底边长为6﹣2a.由题意得,.解得<a<3.所给选项中分别为:1,2,3,4.∴只有2符合上面不等式组的解集.∴a只能取2.故选:B.11.(2022•西宁)若长度是4,6,a的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是()A.2 B.5 C.10 D.11【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4<a<6+4,求出2<a<10,再逐个判断即可.【解答】解:∵长度是4,6,a的三条线段能组成一个三角形,∴6﹣4<a<6+4,∴2<a<10,∴只有选项B符合题意,选项A、选项C、选项D都不符合题意;故选:B.12.(2022•西藏)如图,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是()A.﹣5 B.4 C.7 D.8【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4.然后由三角形三边关系解答.【解答】解:由题意知,该三角形的两边长分别为3、4.不妨设第三边长为a,则4﹣3<a<4+3,即1<a<7.观察选项,只有选项B符合题意.故选:B.13.(2022•邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是()A.1cm,2cm,3cm B.3cm,4cm,5cmC.4cm,5cm,10cm D.6cm,9cm,2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即可求解.【解答】解:根据三角形的三边关系,得:A、1+2=3,不能构成三角形;B、3+4>5,能构成三角形;C、4+5<10,不能构成三角形;D、2+6<9,不能构成三角形.故选:B.14.(2022•金华)已知三角形的两边长分别为5cm和8cm,则第三边的长可以是()A.2cm B.3cm C.6cm D.13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm,可得第三边x的长度范围即可得出答案.【解答】解:∵三角形的两边长分别为5cm和8cm,∴第三边x的长度范围为:3cm<x<13cm,∴第三边的长度可能是:6cm.故选:C.15.(2022•德阳)八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是()A.1km B.2km C.3km D.8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围,即可得到选项.【解答】解:当杨冲,李锐两家在一条直线上时,杨冲,李锐两家的直线距离为2km或8km,当杨冲,李锐两家不在一条直线上时,设杨冲,李锐两家的直线距离为xkm,根据三角形的三边关系得5﹣3<x<5+3,即2<x<8,杨冲,李锐两家的直线距离可能为2km,8km,3km,故选:A.。
【人教版】2020届中考数学总复习单元测试卷四,五《三角形》(无答案)
三角形相似和全等(考试时间:100分钟;满分:100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36º,BD 平分∠ABC,DE∥BC,那么在 下列三角形中,与△EBD 相似的三角形是( )。
A .△ABCB .△DABC .△ADED .△BDC2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒,从中任取三根,能组成三角形的个数为( ) A ,1 B ,2 C , 3 D ,4 3.如图2,已知在△ABC ,P 为AB 上一点,连结CP ,以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是( )。
A .∠ACP =∠B B .∠APC =∠ACB C . AC AP =AB AC D . AC AB =CP BC图1 图24.已知ABC ∆中,AC =4,BC =3,AB =5,则sin A =( )A. 35B. 45C. 53D. 344. 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的( )A .45°B .135°C .45°或135°D .都不对5.如图3,OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置,已知45AOB ∠=, 则AOD ∠等于( )A.55 B.45 C.40 D.356.如图4所示,将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ,高为55cm 的圆柱形容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°,若使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为: A 、10cm B 、20cm C 、30cm D 、35cm7.在Rt ΔABC 中,∠ACB=90,CD ⊥AB 于D ,则AC ∶BC=2∶3,则AD ∶BD=( )。
A .2∶3 B .4∶9 C .2∶3 D .不能确定8.如图5,梯形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,若S ΔAOD :S ΔACD =1:4,则S ΔAOD :S ΔBOC 的值为( )。
中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )A. B. C. D.2.下列叙述中错误的是( )A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.下列四个选项图中,与题图中的图案完全一致的是( )A. B. C. D.4.如图,已知△ABE≌△ACD,下列选项中不能被证明的等式是( )A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC5.如果两个三角形全等,那么下列结论不正确的是( )A.这两个三角形的对应边相等B.这两个三角形都是锐角三角形C.这两个三角形的面积相等D.这两个三角形的周长相等6.已知图中的两个三角形全等,则∠a度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°7.已知下列条件,不能作出唯一三角形的是( )A.两边及其夹角B.两角及其夹边C.三边D.两边及除夹角外的另一个角8.如图,某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去9.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠ADC+∠ABC=180°,有下列结论:①CD=CB;②AD+AB=2AE;③∠ACD=∠BCE;④AB-AD=2BE.其中正确的是( )A.②B.①②③C.①②④D.①②③④10.如图,在△ABC中,高AD和BE交于点H,且∠1=∠2=22.5°.下列结论:①∠1=∠3;②BD+DH=AB;③2AH=BH;④若DF⊥BE于点F,则AE﹣FH=DF.其中正确的结论是( )A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④二、填空题11.如图,四边形ABCD≌四边形A/B/C/D/,则∠A的大小是________.12.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、4,若这两个三角形全等,则x+y=.13.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法得△MOC≌△NOC的依据是.14.如图,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=38°,则∠AEB= .15.要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD =BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上(如图所示),可以说明△EDC ≌△ABC,得ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长,判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是16.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是 .三、解答题17.如图,线段AC与线段BD相交于点O,连结AB,BC,CD,∠A=∠D,OA=OD.求证:∠1=∠2.18.如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B,C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB,AC的延长线分别交于点E,F,连结AD,BD,CD.求证:AD平分∠BAC.19.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.20.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB的延长线上一点,点E在BC 边上,且BE=BD,连结AE,DE,CD.(1)求证:△ABE≌△CBD.(2)若∠CAE=27°,∠ACB=45°,求∠BDC的度数.21.如图,AD∥BC,∠D=90°.(1)如图1,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,试问:点P是线段CD的中点吗?为什么?(2)如图2,如果P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数为多少?22.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试探究AB,AD,DC之间的等量关系,证明你的结论;(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,证明你的结论.答案1.D.2.C3.A4.B.5.B6.D7.D.8.C9.C10.C.11.答案为:95°.12.答案为:10.13.答案为:SSS.14.答案为:128°.15.答案为:ASA.16.答案为:1<AD <9.17.证明:在△AOB 和△DOC 中∵⎩⎨⎧∠A =∠D ,OA =OD ,∠AOB =∠DOC ,∴△AOB ≌△DOC(ASA)∴AB =DC ,OB =OC.∴OA +OC =OD +OB ,即AC =DB.在△ABC 和△DCB 中∵⎩⎨⎧AC =DB ,AB =DC ,BC =CB ,∴△ABC ≌△DCB(SSS)∴∠1=∠2.18.证明:在△ABD 和△ACD 中∵⎩⎨⎧AB =AC ,BD =CD ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD(SSS)∴∠BAD =∠CAD即AD 平分∠BAC .19.解:(1)∵AE 和BD 相交于点O∴∠AOD =∠BOE.在△AOD 和△BOE 中∠A =∠B ,∠AOD =∠BOE∴∠BEO =∠2.又∵∠1=∠2∴∠1=∠BEO∴∠AEC =∠BED.在△AEC 和△BED 中⎩⎨⎧∠A =∠B ,AE =BE ,∠AEC =∠BED ,∴△AEC ≌△BED(ASA);(2)∵△AEC ≌△BED∴EC =ED ,∠C =∠BDE.在△EDC 中∵EC =ED ,∠1=42°∴∠C =∠EDC =69°∴∠BDE =∠C =69°.20.证明:(1)∵∠ABC =90°∴∠CBD =90°=∠ABC .在△ABE 和△CBD 中∵⎩⎨⎧AB =CB ,∠ABE =∠CBD ,BE =BD ,∴△ABE ≌△CBD(SAS).(2)∵△ABE ≌△CBD∴∠AEB =∠CDB .∵∠AEB 为△AEC 的一个外角∴∠AEB =∠CAE +∠ACB =27°+45°=72° ∴∠BDC =72°.21.解:点P 是线段CD 的中点. 证明如下:过点P 作PE ⊥AB 于E∵AD ∥BC ,PD ⊥CD 于D∴PC ⊥BC∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ∴PD =PE ,PC =PE∴PC =PD∴点P 是线段CD 的中点.(2)35°22.解:(1)证明:延长AE 交DC 的延长线于点F∵E 是BC 的中点∴CE =BE∵AB ∥DC∴∠BAE =∠F在△AEB 和△FEC 中∴△AEB≌△FEC∴AB=FC∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAE=∠EAD∵AB∥CD∴∠BAE=∠F∴∠EAD=∠F∴AD=DF∴AD=DF=DC+CF=DC+AB(2)如图②,延长AE交DF的延长线于点G∵E是BC的中点∴CE=BE∵AB∥DC∴∠BAE=∠G在△AEB和△GEC中∴△AEB≌△GEC∴AB=GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG=∠FAG∵AB∥CD∴∠BAG=∠G∴∠FAG=∠G∴FA=FG∴AB=CG=AF+CF第11 页共11 页。
2020年中考数学 临考大专题复习练习:三角形(解析版)
2020中考数学临考大专题复习:三角形一、选择题(本大题共8道小题)1. 在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°2. 如图,AB∥CD,∠1=45°,∠3=80°,则∠2的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°3. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=√5,以点B为圆心,BC 为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为()A.2√2B.2√3C.√5D.√64. 如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()5. 满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为()A.AB=√41,BC=4,AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cos A-12+tan B-√332=06. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°7. 如图,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D 是☉P上的一动点,当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是()A.2B.3C.4D.58. 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC 交AB于M,交AC于N.若△AMN的周长为18,BC=6,则△ABC的周长为()A.21B.22C.24D.26二、填空题(本大题共5道小题)9. 如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=.10. 无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-7所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有cm.11. 如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.如图②,现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.(1)根据勾股定理的知识,请直接写出a,b,c之间的数量关系;(2)若正方形EFMN的面积为64,Rt△ABC的周长为18,求Rt△ABC的面积.12. 如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是.13. 在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=.三、解答题(本大题共4道小题)14. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.15. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D 作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.16. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边,在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如图①,当点D在线段BC上时(不与点B重合),求证:△ACF≌△ABD;(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时,猜想CF与BD的数量关系和位置关系,并说明理由.17. 如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC 上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图①中,线段PM与PN的数量关系是________,位置关系是________;(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.2020中考数学临考大专题复习:三角形-答案一、选择题(本大题共8道小题)1. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故选D.2. 【答案】B3. 【答案】C[解析]在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,所以AD=BD=BC=√5,故选C.4. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长,同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长,利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果,△A1B1C1各边长分别为1,√2,√5,选项A中阴影三角形三边长分别为:√2,√5,3,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:√2,2,√10,三边与已知三角形的各边对应成比例,故两三角形相似;选项C 中阴影三角形三边长分别为:1,√5,2√2,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2,√5,√13,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似,故选B .5. 【答案】C[解析]A .∵52+42=25+16=41=(√41)2,∴△ABC 是直角三角形;B .设AB=3x ,则BC=4x ,AC=5x.∵(3x )2+(4x )2=9x 2+16x 2=25x 2=(5x )2,∴△ABC 是直角三角形;C .∵∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5,∴∠C=53+4+5×180°=75°≠90°,∴△ABC 不是直角三角形;D .∵cos A -12+tan B -√332=0,∴cos A=12,tan B=√33,∴∠A=60°,∠B=30°,∴∠C=90°,∴△ABC 是直角三角形. 故选C.6. 【答案】C[解析]如图,在直角三角形中,可得∠1+∠A=90°,∵∠A=45°,∴∠1=45°,∴∠2=45°. ∵∠B=30°,∴∠α=∠2+∠B=75°, 故选C .7. 【答案】B[解析]如图所示,当点D 到弦OB 的距离最大时,DE ⊥OB 于E 点,且D ,E ,P 三点共线.连接AB ,由题意可知AB 为☉P 的直径,∵A (8,0),∴OA=8,∵B (0,6),∴OB=6,∴OE=BE=12OB=3,在Rt △AOB 中,AB=√OA 2+OB 2=10,∴BP=12AB=12×10=5,在Rt △PEB 中,PE=√BP 2-BE 2=4,∴DE=EP +DP=4+5=9,∴tan ∠DOB=DE OE =93=3,故选B .8. 【答案】C [解析]∵MN ∥BC ,∴∠MEB=∠EBC.∵BE 平分∠ABC ,∴∠MBE=∠EBC , ∴∠MEB=∠MBE ,∴△MBE 是等腰三角形, ∴ME=MB.同理,EN=CN ,∵AM +AN +MN=18,MN=ME +EN=BM +CN ,∴AM +AN +BM +CN=18,∴AB +AC=18,∴AB +AC +BC=24.即△ABC 的周长为24. 二、填空题(本大题共5道小题)9. 【答案】165[解析]在Rt △ABC 中,AB=√AC 2+BC 2=5,由等面积法得12AC ·BC=12CD ·AB ,CD=CA ·BC AB =3×45=125,∴AD=√AC 2-CD 2=√42-(125) 2=165.10. 【答案】5[解析]由题意可得:杯子内的木筷最大长度为:√122+92=15,∴木筷露在杯子外面的部分最少为:20-15=5(cm).11. 【答案】解:(1)由勾股定理得,a 2+b 2=c 2.(2)∵正方形EFMN 的面积为64,∴c 2=64,即c=8. ∵Rt △ABC 的周长为18,∴a +b +c=18, ∴a +b=10,∴Rt △ABC 的面积=12ab=14[(a +b )2-(a 2+b 2)]=9.12. 【答案】8+4√3[解析]如图,连接AD ,设AC 与BD 交于点O ,由题意得CA=CD ,∠ACD=60°,∴△ACD 为等边三角形,∴AD=CD ,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°. ∵∠ABC=90°,AB=BC=2, ∴AC=CD=2√2.∵AB=BC ,CD=AD ,∴BD 垂直平分AC , ∴BO=12AC=√2,OD=CD ·sin60°=√6, ∴BD=√2+√6,∴BD 2=(√2+√6)2=8+4√3.13. 【答案】2√3 [解析]如图,作AG ⊥BC 于G ,∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°, ∴AG=√32AB=2√3,连接AD ,则S △ABD +S △ACD =S △ABC , ∴12AB ·DE +12AC ·DF=12BC ·AG , ∵AB=AC=BC=4,∴DE +DF=AG=2√3.三、解答题(本大题共4道小题)14. 【答案】证明:(1)如图,连接DE.∵CD 是AB 边上的高,∴CD ⊥AB. ∴∠ADC=90°. ∵AE=CE , ∴DE=12AC=CE=AE. ∵BD=CE , ∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上. (2)∵BD=DE ,∴∠ADE=2∠ABE. ∵DE=AE ,∴∠A=∠ADE=2∠ABE. ∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.15. 【答案】证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.16. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠CAF+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中,{AC=AB,∠CAF=∠BAD,AF=AD,∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD,理由如下: ∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中,{AC=AB,∠CAF=∠BAD,AF=AD,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°,∴CF⊥BD.17. 【答案】(1)PM=PN,PM⊥PN;【解法提示】∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE,∵M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,∴PM//CE且PM=12CE,PN∥BD且PN=12BD,∴PM=PN,∠DPM=∠DCE,∠CNP=∠B,∴∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠B+∠PCN,∵∠A=90°,∴∠B+∠ACB=90°,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠PCN+∠B=∠ACB+∠B=90°,∴PM⊥PN;(2)△PMN为等腰直角三角形.理由如下:由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,又∵M,P,N分别是DE,CD,BC的中点,∴PM是△CDE的中位线,∴PM∥CE且PM=12 CE,同理PN∥BD且PN=12 BD,∴PM=PN,∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,∴△PMN为等腰直角三角形;(3)49 2.【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形,∴S△PMN =12PM2,要使△PMN的面积最大,即PM最大,由(2)得,PM=12CE,即当CE最大时,PM最大.如解图,当点C、E在点A异侧,且在同一条直线上时,CE最大,此时CE=AE+AC=AD+AB=14,解图∴PM=12CE=12×14=7,故△PMN的最大面积为S△PMN =12×7×7=492.。
2024年中考数学总复习考点梳理第四章第三节等腰三角形与直角三角形
第三节 等腰三角形与直角三角形
返回目录
考情及趋势分析
考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 图形背景
设问
等边
25(1 解答题
2018
3 直角三角形 填空:角度
三角形
) (三)
2021 16 填空题 4 平行四边形 求正弦值
20(2 解答题
直角 2021
3 直角三角形
) (一)
三角形
求正切值
2020 17 填空题 4 直角三角形 求线段最值
返回目录
考情分析
类型 年份 题号 题型 分值 结合知识点 设问
方法
溯源教材 教材改编维度
人教八上
解答题
证等腰三 两底角相等
改变设问及条
等腰 2020 20
6 全等三角形
P40例3(图
(一)
角形
,两腰相等
件
三角
形)
形
解答题
证等腰三 两底角相等
2018 22(2)
4 全等三角形
/
/
(二)
角形
,两腰相等
【考情总结】
返回目录 第1题图
第三节 等腰三角形与直角三角形
返回目录
2. [人教八下P61习题改编]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是
AB边上一点,连接CD.
(1)若∠B=30°,AC=2,则AB=____4____;
(2)若D是AB边的中点.
①当∠B=25°时,则∠ACD=___6_5_°___; ②当AC=3,BC=4时,则CD=___52_____;
返回目录
教材改编题课前测
1. [北师八下P30习题改编]如图,在△ABC中,AB=AC,AD为
2021年中考数学总复习第四章 三角形 微专题 八大常考全等模型
微专题 八大常考全等模型
模型应用
2. 如图,△CDF和△ABD均是等腰直角三角形,且F在AD边上,若BF是∠ABD的平
分线,则 CD 的值为( BD
C
)
A. 1
2
B. 2
2
C. 2 -1
D. 2 +1
第2题图
微专题 八大常考全等模型
3. 如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点 E处,AE交CD于点F,连接DE.若矩形ABCD的周长为18,则△EFC的周长为 ____9____.
例2 证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠DAE, ∠BAC ∠DAE 在△ABC和△ADE中, AC AE,
∠C ∠E
∴△ABC≌△ADE(ASA).
例2题图
微专题 八大常考全等模型
模型分析
有公共边 模型 展示
有公共顶点
模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠,两个三角形完 特点 全重合 解题 证明三角形全等的关键:(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相 思路 等;(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
△ABC中,AB=AC,△ADE中,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,连接BD、 模型
CE.正方形ABFC中,AB=AC,正方形ADGE中,AD=AE,∠BAC=∠DAE 特点 =90°,连接BD、CE.
微专题 八大常考全等模型
解题 思路
结论
证明三角形全等的关键:(1)共顶点:加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组 对应角相等;(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得 到两组对应边相等 △CAE≌△BAD(SAS),BD=CE,∠BPC=∠BAC=α(“8字型”证角相等)
中考数学一轮复习 第四章 几何初步 第5节 直角三角形与勾股定理试题(2021-2022学年)
第五节 直角三角形与勾股定理课标呈现 指引方向1.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.考点梳理 夯实基础1.直角三角形的性质:(1)直角三角形的两个锐角 ;【答案】互余(2)勾股定理:若直角三角形的两条直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 ;【答案】a 2+b 2=c 2(3)直角三角形斜边上的中线等于 ;【答案】斜边的一半(4)直角三角形中,30°角所对的直角边等于 .【答案】斜边的一半2.直角三角形的判定:(1)勾股定理逆定理:如果三角形的三边a ,b,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;(2)如果三角形一边上的中线等于这边的 ,那么这个三角形是直角三角形.【答案】一半3.勾股数:可以构成直角三角形三边的一组正整数.常见的勾股数有:(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)…以及(3n ,4n ,5n )、(5n ,12n ,13n )、(7n,24n,25n )、(8n ,15n,17n )…(n 为正整数)考点精析 专项突破考点一 勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】(1)(2016临沂)如图,将一矩形纸片AB CD 折叠,使两个顶点A ,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC =8,则△A BF 的面积为_____________.【答案】6解题点拨:本题考查矩形的性质,折叠的性质,勾股定理等,根据勾股定理列出方程是解题的关键.①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B=90°,AF =FC ;②然后利用勾股定理列方程求出BF的长;③再用三角形面积公式求出三角形的面积.(2)(2016武汉)如图,在四边形A BCD 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,CD =10,DA =,则BD 的长为___________ﻬ【答案】解题点拨:连接AC ,过点D 作BC 边上的高,交BC 延长线于点H .在Rt △AB C中,A B=3,B55C=4,∴AC=5,又CD=10,DA=5,可知△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°,易证△ABC∽△CHD.则CH=6,DH=8,从而在Rt△BHD中易求BD.考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E.连接AC交DE于点F,点G为AF的中点.∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1.求DE的长.解题点拨:综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.鼹:∵AD∥BC,DE⊥BC,∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB∵点G为AF的中点,∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,∴∠CGD=2∠CAD,∵∠ACD=2∠ACB,∴∠ACD=∠CGD,5∴CD=DG=3,在Rt△CED中,DE=.考点三性质“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD =.【答案】2解题点拨:作PE⊥OB于E,根据角平分线的性质可得PE=PD.根据平行线的性质可得∠BCP=∠AO B=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.课堂训练当堂检测1.(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.3,4,4 B.3,4,5C.3,4,6 D.3,4,7【答案】B2.(2015滨州)如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分A Bⅱ第2题【答案】B3.(2016黄冈)如图,在矩形ABC D中,点E,F 分别在边CD ,BC 上,且DC =3DE=3a,将矩形沿直线E F折叠,使点C恰好落在AD 边上的点P处,则FP = .【答案】a第3题4.(2015重庆A )如图1,在△ABC 中,∠A CB= 90°,∠BAC =60°,点E 是∠B AC角平分线上一点,过点E 作AE 的垂线,过点A 作AB 的垂线,两垂线交于点D,连接DB ,点F 是BD 的中点,DH⊥AC ,垂足为H ,连接EF ,HF .(1)如图1,若点H 是AC 的中点,AC ,求A B,BD 的长:(2)如图1,求证:HF =EF ;(3)如图2,连接CF ,CE ,猜想:△CEF 是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由,图1 图2第4题【答案】ﻬ解:(1)∵在△ABC 中,∠A CB =90°,∠BA C=60°,AC =,∴AB =.∵AD ⊥AB.∴∠DAH =∵点H是AC的中点,∴A HA C.∴在△A DH 中.AD ==2.∴在△ADB 中,根据勾股定理,得 BD =. (2)如答图1,连接A F,易证:△DAE ≌△A DH (AAS ),∴D H=AE .∵∠FDH =∠FDA -∠HDA =∠F DA-60°=(90°-∠F BA)-60°=30°-∠F BA,∴∠EA F=∠FDH .又∵点F是BD 的中点,即AF 是Rt △AB D斜边上的中线,∴A F=D F.∴△DHF ≌△AE F(SAS ).∴HF =EF .(3)△CEF 为等边三角形,证明如下:如答图2,取A B的中点M ,连接CM 、FM ,在R t△ADE 中,AD =2AE ,∵FM 是△ABD 的中位线.∴A D =2FM .∴FM =AE .易证△ACM 为等边三角形,∴AC =CM ,∠AC M=60°.∵∠C AE =∠CAB =30°,∠CMF =∠AMF -∠AMC =30°,∴∠CA E=∠CMF .∴△A CE ≌△MC F(SAS ).∴CE = CF ,∠ACE =∠MC F.∴∠ECF =∠ECM +∠MCF =∠ECM +∠ACE =60°.ﻬ∴△CE F为等边三角形.cos ACBAC Ðcos AH CAH Ð12图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测 A 组 基础训练一、选择题1.(2016连云港)如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S 1、S 2、S 3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S 4、S5、S 6.其中S 1=16,S 2=45 ,S 5=11,S 6=14,则S 3+S 4= ( )A.8 B .64 C .54 D .48图1 图2第1题【答案】C 2.(2016海南)如图,AD是△AB C的中线,∠ADC =45°,把△AD C沿着直线AD 对折,点C 落在点E的位置.如果BC =6,那么线段BE 的长度为 ( )ﻬA .6 B .C. D第2题【答案】D3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,AD 是∠B AC的平分线,若P ,Q分别是AD 和AC 上的动点,则PC +PQ 的最小值是( )A . B.4C .D .5第3题【答案】C4.(2015泰安)如图,矩形A BC D中,E是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GB E.延长BG 交CD 于点F .若AB=6,BC ,则FD 的长为 ( )A.2 B .4 C .B D.2第4题【答案】B二、填空题5.(2016随州)如图,在△AB C中,∠ACB =90°,M、N 分别是A B、AC的中点,延长B C至点D ,使CD =ﻬBD ,连接D M、DN 、MN .若AB =6,则D N= .第5题【答案】36.(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”,小明利用七巧板(如图112524513所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示),则该凸六边形的周长是 cm .图1 图2 第6题【答案】+16) 7.(2016连云港)如图1,将正方形纸片A BCD 对折,使AB 与CD 重合,折痕为EF .如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E 重合,折痕为GH ,点B 的对应点为点M .E M交A B于N .若AD =2.则M N=图1 图2ﻬ 第7题【答案】三、解答题 8.已知,如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D 为AB 中点,连接CD .点E为边A C上一点,过点E 作EF ∥AB ,交CD 于点F ,连接EB,取EB 的中点G ,连接D G、FG ..(1)求证:E F=CF ;(2)求证:FG ⊥DG .第8题13【答案】证明:(1)∵在R△ACB中,D为AB中点∴DA=DC=DB∴∠A=∠1∵EF∥AB∴∠2=∠A∴∠1=∠2∴CF=EF.(2)延长FG,交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG=∠GBH∵G为EB中点∴EG=GB又∵∠FGE=∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG=GH,EF=HB=CF∴DC-CF=DB-HB即DF =DH∴DG ⊥FG .第8题答案图9.(2016黄石)在△ABC 中,AB= AC ,∠B AC=2∠D AE = 90°. (1)如图1,若点D 关于直线A E的对称点为F,求证:DE 2=BD 2+CE 2:(2)如图2,点E 在BC 的延长线上,则等式DE 2=BD 2+C E2还能成立吗?请说明理由.图1 图2第9题【答案】解:(1)∵点D 关于直线AE 的对称点为F,∴EF =DE ,AF =A D,∵∠B AC =90°,∴∠BAD =90°-∠CAD , ∠CAF =∠DA E+∠EA F-∠CAD =45°+45°-∠CAD =90°-∠CAD , ∴∠B AD =∠C AF ,在△ABD 和△ACF 中,∴△ABD ≌△ACF (SAS ),∴CF =B D,∠ACF =∠B ,∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠B =∠AC B=45°, ∴∠ECF =∠ACB +∠A CF =45°+45°=90°,ﻬ在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF 2=C F2 +CE 2, 所以,DE 2=BD 2+CE 2;(2) DE 2=BD 2+CE 2还能成立.AB AC BAD CAF AD AF ì=ïï??íï=ïî理由如下:作点D 关于AE 的对称点F ,连接EF 、CF , 由轴对称的性质得,EF =D E,AF =AD , ∵∠B AC =90°, ∴∠BAD =90°-∠CAD ,∠CAF =∠DAE +∠EAF -∠CAD =45°+45°-∠CAD =90°-∠CA D, ∴∠B AD =∠CAF ,在△AB D和△ACF 中,∴△ABD ≌△ACF (S AS ), ∴C F=B D,∠A CF =∠B , ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠B =∠ACB =45°,∴∠E CF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°, 在Rt △CEF 中,由勾股定理得,EF 2= CF 2+CE 2, 所以,D E2=BD2+CE 2.第9题答案图B 组 提高练习10.(2016东营)在△ABC 中,AB =10,AC =,BC 边上的高AD =6,则另一边B C等于 ( )A.10 B .8 C.6或10 D .8或10 【答案】C (提示:在图①中,由勾股定理,得BD=8;CD ==2;∴BC=BD +CD =8+2=10.在图②中,由勾股定理,得B D==8;CD=2;∴BC =BD -CD =8-2=6.)AB AC BAD CAF AD AF ì=ïï??íï=ïî图① 图②11.(2016资阳)如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°,CO ⊥AB 于点O ,点D、E 分别在边AC、BC 上,且AD = CE ,连结DE 交CO于点P ,给出以下结论:①△DO E是等腰直角三角形:②∠C DE =∠CO E;③若A C=1,则四边形CEOD的面积为,其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③(提示:①如图,∵∠ACB =90°,AC =BC ,CO ⊥AB ,∴A O=OB =OC ,∠A =∠B=∠ACO =∠BCO =45°,∴△ADO ≌△CEO ,∴DO = O E,∠A OD =∠COE ,∴∠AOC = ∠DOE =90°,∴△DO E是等腰直角三角形.故①正确.②∵∠DC E+∠D OE =180°,∴D、C 、E 、O 四点共圆,∴∠CDE =∠COE ,故②正确.③∵AC =BC =1,∴S △A BC =×1×1=,S 四边形D CEO =S△DO C +S △C EO = S△CDO +S△AD O=S △AOC =S△ABC =,故③正确.)12.△AB C中,∠BA C=90°,AB =A C,点D 为直线BC 上一动点(点D不与B ,C 重合),以AD 为边在AD 右侧作正方形ADE F.连接CF . (1)观察猜想如图1.当点D 在线段BC 上时,1412121214①BC与CF的位置关系为: .②BC,CD,CF之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=,CD=BC,请求出GE的长.图1 图2 图3第12题【答案】解:(1)垂直,BC=CD+CF.(2)不成立,BC=CD-CF.∵正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,∵AD=AF,AB=AC,∴△DA B≌△FAC,∴∠ABD=∠ACF,CF=BD∴∠ACF-∠ACB=90°,即CF⊥BD;∵BC=CD-BD,∴BC=CD-CF.(3)过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴BCAB=4,AH=BC=2,∴CD=BC=1,CH=BC=2,∴DH=3.由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,ﻬ∵四边形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°,∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,14121412∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ADH=∠DEM,∴△ADH≌△DEM,∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM=3,EN=CM=3,∵∠ABC= 45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG是等腰直角三角形,∴CG=BC=4,∴GN=1,∴EG.第12题答案图ﻬ。
2024年中考数学复习(全国版)第四章 三角形真题测试(提升卷)(解析版)
第三章三角形章节测试(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(2023·吉林长春·统考中考真题)如图,用直尺和圆规作MAN 的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是()A.AD AEB.AD DF C.DF EF D.AF D E【答案】B 【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ,进而逐项分析判断即可求解.【详解】解:根据作图可得,AD AE DF EF ,故A,C 正确;∴,A F 在DE 的垂直平分线上,∴AF D E ,故D 选项正确,而DF EF 不一定成立,故C 选项错误,故选:B.【点睛】本题考查了作角平分线,垂直平分线的判定,熟练掌握基本作图是解题的关键.2.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,AB CD ∥,且40A ,24D ,则E 等于()A.40B.32 C.24 D.16【答案】D 【分析】可求40ACD ,再由ACD D E ,即可求解.【详解】解:AB CD ∥∵,上述结论中,所有正确结论的序号是(A.①②B.①③【答案】D【分析】如图,过D作DF AE,进而可判断①的正误;由DF DE,可得a b cA.1,0 B. 0,0【答案】A 【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为:A.32确角度之间的数量关系.6.(2023·山西·统考中考真题)如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ,点F 为焦点.若1155,230 ,则3 的度数为()A.45B.50 C.55 D.60【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解.【详解】解:∵AB OF ∥,∴1180BFO ,∴18015525BFO ,∵230POF ,∴3302555POF BFO ;故选:C.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质等知识,掌握这两个知识点是关键.7.(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图ABC 中,90,4,,ACB AB AC x BAC ,O 为AB 中点,若点D 为直线BC 下方一点,且BCD △与ABC 相似,则下列结论:①若45 ,BC 与OD 相交于E ,则点E 不一定是ABD △的重心;②若60 ,则AD 的最A.①④【答案】A 【分析】①有3种情况,②当60 ,如图4时AD 最大,4AB ,2AC BE ,23BC AE ,36BD BC ,8DE ,21927AD ,③如图5,若60 ,C ABC BD ∽△△,∴60BCD ,90CDB ,4AB ,2AC ,23BC ,3OE ,1CE ,∴3CD ,32GE DF,32CF ,∴52EF DG ,32OG ,∴723OD ,∴③错误;A.23B.35 2【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例得出A.1个B.2【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 腰直角三角形,进而可得12HC EF ;由此即可判断①正确;再根据确,进而证明AFK HDE ④正确,由AED 随着DE 【详解】解:∵正方形ABCD ∴AB AD ,ADC ∴90ABF ADC ,又∵AD CD ,HD HD ∴(SSS)AHD CHD ,∴12ADH CDH ∵ADH EAD DHE ∴EAD DHE ,∴FAB DHE EAD 又∵45AFE ADH ∴AFK HDE ,∴AF AK HD HE,又∵22AF AH HEA.10B.【答案】A【分析】由作图可知BP平分于点Q,根据角平分线的性质可知∵矩形ABCD中,3,AB BC3CD AB,225.BD BC CD由作图过程可知,BP平分CBD ∵四边形ABCD是矩形,二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)【答案】105【分析】根据平行线的性质可得【详解】解:∵AB DE ∥,【答案】8【分析】利用三角形中位线定理即可求解.【详解】解:∵点C D ,分别是OA ∴12CD AB ,∴ 28cm AB CD ,(1)ADEV的面积为________;(2)若F为BE的中点,连接AF 【答案】313【分析】(1)过点E作EH AD∵正方形ABCD的边长为3,3,AD∵ 是等腰三角形,EAADE13【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.【详解】解:12OA AA ∵:::1:3OA OA ,设ABC 周长为1l ,设A B C【答案】2 3【分析】根据作图可得BDE据相似三角形的性质即可求解.【详解】解:根据作图可得 ∴DE AC∥,【答案】1【分析】根据公式求得【详解】解:∵7,AB ∴21AB AC BD BC 【答案】①③④【分析】由题意易得,AB AC ABC 90DEB AEF BAC ,则可证平行四边形的性质与判定可进行求解.,BAC DEB △△【答案】5【分析】过点D 作DF AB ABB 、DFB △是等腰直角三角形,得=10AD DF ,证明AFD 求得10=4DF ,从而求得AD 【详解】解:过点D 作DF ∵90ACB ,3AC ,BC【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积,熟练掌握相关知识是解题的关键.19.(2023·山东日照·统考中考真题)如图,矩形【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知以得出10BD ,152MN,2MPE DAB S ME S BD,判断③;利用将军饮马问题求出最小值判断④.延长ME 交BC 于点P,则ABPM 为矩形,∴2226BD AB AD ∵ME AD ,MN BD ,【点睛】本题考查矩形的性质,相似三角形的判定和性质,轴对称,掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.20.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图,在Rt △D 为AC 上一点,若BD 是ABC 的角平分线,则AD 【答案】3【分析】首先证明CD DP ,BC 理构建方程即可解决问题.【详解】解:如图,过点D 作AB 在Rt ABC △中,∵8AC BC ,∴222286AB AC BC ∵BD 是ABC 的角平分线,∵90C BPD BD BD ,,∴ AAS BDC BDP ≌,∴6BC BP ,CD PD ,设CD PD x ,在Rt ADP 中,∵4PA AB BP ,8AD x ,∴2224(8)x x ,∴3x ,∴3AD .故答案为:3.【点睛】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,在ABC 中,,AB AC AD 为ABC 的角平分线.以点A 圆心,AD 长为半径画弧,与,AB AC 分别交于点,E F ,连接,DE DF .(1)求证:ADE ADF V V ≌;(2)若80BAC ,求BDE 的度数.【答案】(1)见解析(2)20BDE【分析】(1)根据角平分线的定义得出BAD CAD ,由作图可得AE AF ,即可证明ADE ADF V V ≌;(2)根据角平分线的定义得出40EAD ,由作图得出AE AD ,则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出70ADE ,AD BC ,进而即可求解.【详解】(1)证明:∵AD 为ABC 的角平分线,由作图可得AE AF ,在ADE V 和ADF △中,AE AF BAD CAD AD AD,∴ADE ADF V V ≌ SAS ;(2)∵80BAC ,AD 为ABC 的角平分线,∴40EAD由作图可得AE AD ,∴70ADE ,∵AB AC ,AD 为ABC 的角平分线,∴AD BC ,∴20BDE【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,角平分线的定义,熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键.22.(2023·云南·统考中考真题)如图,C 是BD 的中点,,AB ED AC EC .求证:ABC EDC △≌△.【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点,得到BC CD ,再利用SSS 证明两个三角形全等.【详解】证明:∵C 是BD 的中点,BC CD ,在ABC 和EDC △中,BC CD AB ED AC EC, ABC EDC SSS ≌(1)证明:ABC DEB ∽△△.(2)求线段BD 的长.【答案】(1)见解析(2)3BD(1)求证:AC BD ;(2)若10AB ,16AC 【答案】(1)见详解9(1)求证:DE AF(2)若ABC CDE ,求证:2AF BF CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得DAE【答案】CD 的长度54米【分析】AD 上截取AE ,使得AE EC ,设CD x ,在Rt △则32AD AE ED x ,进而即可求解.【详解】解:如图所示,AD 上截取AE ,使得AE EC ,∴EAC ECA ,∵15CAD∴230CED EAC ,【答案】斜坡AB 的长约为10米【分析】过点D 作DE BC 于点E ,在Rt DEC △中,利用勾股定理即可求解.在Rt DEC △中,2018CD C ,,sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∴ 6.2AF DE .【答案】图②中2FH FG ,图③中FH FG ,证明见解析【分析】图②:如图②所示,连接BD HG CE ,,,先由三角形中位线定理得到12FG CE FG CE ∥,,12GH BD GH BD ∥,,再证明ABD ACE ≌△△得到CE BD ACE ABD ,∠∠,则FG HG ,进一步证明90FGH ,即可证明HGF △图③证明如下:如图③所示,连接BD HG,∵点F,G分别是DE DC,∴FG是CDE的中位线,180BAC,60∴HGF△是等边三角形,.∴FH FG【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的性质与判定,勾股定理等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.。
中考复习九年级数学三角形(勾股定理)专练(word版含答案)
(2)如图②,连接BD、CD,若∠BAC=∠DAE=60°,CD⊥AE,CD=3 ,BD=3 ,求△ACD的面积;
(3)如图③,若∠BAC=∠DAE=90°,且C点恰好落在DE上,试探究AB、CD、CE之间的数量关系,并证明.
参考答案
1.A
解:A、72+242=252,三边是整数,同时能构成直角三角形,故是勾股数,此选项符合题意;
B、 , 不是正整数,不是勾股数,此选项不合题意;
C、1.5,2.5,不是正整数,不是勾股数,此选项不合题意;
D、92+162≠252,不是勾股数,不合题意.
2.A
解:A、∵ ,∴三条线段不能组成直角三角形,故A选项符合题意;
B、∵ ,∴三条线段能组成直角三角形,故B选项不符合题意;
C、∵ ,∴三条线段能组成直角三角形,故C选项不符合题意;
17.如图,在 中, , 是边 上一点, , , ,则 的长为( )
A. B. C.6D.8
18.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )
A.3B.4C.4.5D.5
4.C
解:如下图,在等腰三角形ABC中,底边长为BC=10 ,腰长为AB=13 ,
过点A作AD⊥BC于D,过点B作BE⊥AC于E,
∵AD⊥BC于D,
∴BD=DC,
∵BC=10 ,
∴BD=DC=5 ,
在Rt△ABD中, ,
由于 ,
∴ ,
5.A
解:设一条直角边为x,斜边为3x,依题意有
x2+( )2=(3x)2,
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(三) 垂线段最短在最值问题中的运用
2
2
将 2 AP 转化为 PE,使得 2 AP+BP=PE+BP,然后利用“两点之间线段
最短”将“折”变“直”,再利用“垂线段最短”转化为求 BF.
步骤: 第一步:以系数不为 1 的线段的定端点为顶点作一个角,使它的正弦值 等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角); 第二步:过动点作第一步中角一边的垂线,构造直角三角形; 第三步:根据两点之间线段最短,将“折”变“直”,再利用“垂线段最 短”找到最小值的位置.
1 则2CD+OD 的最小值是__66____.
5 连接 CG,则 CG 的最小值为 2 .
n
模型二:垂线段最短——变形运用之“胡不归”问题ma+b型
【基本模型】
两定一动,动点在定直线上
【模型归纳】问题:点 A 为直线 l 上一定点,点 B 为直线 l 外一定点,P
为直线 l 上的点,要使 22AP+BP 最小.
解决:过点 A 作∠NAP=45°,过点 P 作 PE⊥AN 于点 E,在直角三角形中
微专题(三) 垂线段最短在最值问 题中的运用
模型一:垂线段最短——直接运用 【基本模型】
【模型归纳】点 P 在直线 l 外,过点 P 作直线 l 的垂线 PH,垂足为 H, 则点 P 到直线 l 的最短距离为线段 PH 的长,即“垂线段最短”.
如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10,点 D 是 AB 上 的动点(点 D 可与点 A,B 重合),若 CD 的长为整数,则点 D 的位置有( A ) A.6 个 B.5 个 C.4 个 ,边长为 4,P 是对角线 BD 上的 一个动点,则12BP+PC 的最小值是__22 3 __.
【思路点拨】先利用 30°角找出12BP,将12BP+PC 最小转化为两条线段之 和最短解决问题.