高中物理解题技巧：等效替换法

高中物理中的等效替代法
物理学是研究物质运动的最基本、最普遍的规律及物质的构成、物质间相互作用的一门科学。

物理学在长期的发展过程中，形成了一整套思维方法，这些方法不仅对物理学的发展起了重要的作用，而且对其他相关学科的发展以至社会思潮和社会生活也产生了一定的影响。

自然界物质的运动、构成及其相互作用是极其复杂的，但它们之间存在着各种各样的等同性，为了认识复杂的物理事物的规律，我们往往从事物的等同效果出发，将其转化为简单的、易于研究的物理事物，这种方法称为等效替代法。

按等同效果形式的不同，可将其分为模型等效替代、过程等效替代、作用等效替代和本质等效替代等。

一、模型等效替代
在物理学研究问题的过程中，我们常常用简单的、易于研究的模型来代替复杂的物理原形，这种方法称为模型等效替代法。

它既包括对各种理想模型的具体应用，也包括利用各种实物模型来模仿、再现原形的某些特征、状态和本质。

这种方法并不是对客观存在的物理对象进行研究，而是借助于对模型的研究，达到认识原形的目的。

用模型来替代原形的方法是通过抽象、概括等思维过程形成的理想模型，如质点、重心、理想气体、点电荷等，都是在一定条件下、一定的精度范围内对实际客体的一种等效替代。

下面以重心为例说明这个问题。

学生对重力似乎很熟悉，以为很简单。

但仔细一想，不那么简单，物体有无数个微小的组成部分，实际上每个部分都要受到微小的重力，这些微小重力的作用点都各不相同。

若是这样来研究重力，复杂得无从下手。

物理学的研究方法，就是设想把无数个微小的重力用一个等效的重力来替代，重心就是这个等效重力的作用点。

当然，随着条件和要求精度的变化，这些模型也要随之变化，从而用更能反映实际客体属性的模型来替代。

模型等效替代的另一种形式是用实物模型来代替实际客体，通过对实物模型的研究来认识其原形的本质属性及其规律性。

在物理教学中，经常制成发电机模型、内燃机模型、电动机模型等来模拟实际发电机、内燃机、电动机的工作过程，从而使学生更好地理解其
工作原理。

二、过程等效替代
所谓过程等效替代，就是用一种或几种简单的过程来代替一种复杂过程的方法。

例如，“平均速度”概念的引入，就是把变速运动等效为匀速运动，从而把复杂的变速运动转化为简单的匀速运动来处理；“平均加速度”概念的引入，是把变加速运动等效为匀加速运动来处理；对于碰撞问题的研究，由于两物体在碰撞过程中，其相互作用力是不断变化的，为了便于对碰撞前后两物体运动规律的研究，可将这一过程等效为作用力恒定不变的过程，并引入“平均力”的概念。

又如，对曲线运动的研究，我们将其分解为几个等效的直线运动，逐个研究这些直线运动的规律，然后将其合成为曲线运动。

如平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛（或下抛）运动。

例1 如图1所示的一升降机箱底装有若干个弹簧，设在某次事故Array中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在弹簧下端触地后直
到最低点时（设弹簧被压缩过程中处于弹性限度内），升降机加速度的值
与重力加速度的值大小关系如何？
解析这个问题可采用过程等效替代法分析。

设弹簧下端刚触地时
图1
升降机的速度为v，此时我们可假想同样的升降机同样的弹簧，把弹簧的
下端固定在地面上，然后把整个升降机拉到弹簧原长的上方某位臵从静止开始释放，到弹簧恢复原长时速度也为恰好为v。

由简谐运动的对称性可知，其最低点的加速度等于其最高点的加速度，在最高点升降机所受的合外力大于重力，故加速度也大于重力加速度。

由于题意中的弹簧从触地到最低点的过程与假想模型中的同一段过程运动情况完全相同，所以升降机在最低点的加速度大于重力加速度。

三、作用等效替代
所谓作用等效替代，是指从不同物理事物或同类物理事物的不同形式在某一物理过程中对外界所产生的作用效果相同出发，来研究物理事物的本质和规律，分析和处理物理问
题的一种思维方法。

在矢量的合成与分解中，“合成”与“分解”概念的建立，实际上就是从作用等同性出发的。

如力的合成是用一个力来代替几个力的同时作用，并使其作用效果相同，这个力称为合力；力的分解则是用几个力同时作用的效果来代替一个力的作用效果，这几个力称为分力；在电磁学中，几个带电体所产生的电场对一个电荷的作用，相当于每一个带电体单独存在时对该电荷作用的矢量和。

故在空间某一点处，从对电荷的作用效果相同出发，可用几个带电体在该点的电场强度的矢量和来代替这几个带电体分别产生的电场强度。

在矢量的合成与分解中，要遵从平行四边形法则或三角形法则，但必须注意，对一个矢量的分解有多种方法，要视具体问题而定。

例2 如图2所示，一条长为l 的细线上端固定在O 点，
下端系一个质量为m 的小球，将它臵于一个很大的匀强电场中，
电场强度为E ，方向水平向右，已知小球在B 点时平衡，细线
与竖直线的夹角为α(α≤450)，求：（1）当悬线与竖直方向的夹
小球速度恰好为零？（2）当细线与竖直方向成α角时，解析 本题的原型是重力场中单摆模型。

现在小球不仅受到
重力mg 的作用，同时还受到电场力qE 的作用，若将这两个
力合为一个力——等效重力，则容易判断小球在匀强电场和
重力场的复合场中运动，其等效重力加速度（复合场场强）
//cos g g α=（见图甲）
，小球在A 、C 间的运动类比为一单摆，B 点为振动的平衡位臵，A 、C 点为最大位移处。

由原
型的结论推知；小球通过平衡位臵时速度最大，在最大位移
处时速度为零，再由对称性即可得出结论：Φ =2α。

绳系小球在复合场中做圆周运动的条件与重力场中类似，只不过其等效“最高”点为E 图 乙
D ，“最低”点为B ，等效重力加速度（或叫做复合场强度）为/g （图乙）。

由2/
D v mg m l =，2/211222B D mv mg l mv =+ 解得
B v ==
给小球施加的冲量至少应为B I mv == 例3 如图3所示，在电场为E 的水平匀强电场中，以初速度v 0竖直向上发射一个质量为m 、电量为+q 的小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。

解析 如图3所示，小球受到重力G 和电场力F 的作用，且两个力的合力为F 合，很显然小球应该做曲线运动。

若取F 合的反方向为y 方向，垂直y 轴且斜向上的方向为x
轴方向，并在这两个方向分解v 0。

则 sin x o v v θ= cos y o v v θ=
在x 方向上做匀速直线运动且sin x o v v θ=不变，在y 方向
上做匀减速直线运动（类竖直上抛运动）。

这样我们就把一个复杂的曲线运动用两个简单的直线运动来替代。

当在y 方向上的速度减小到零即0y v =时，两者的合速度即为运动过程中的最小速度，即
min sin x o o v v v v θ===。

在该题的解答中使用了两个等效的思想：一是用力F 合代替了小球所受的重力和电场力，利用了力的等效思想；二是将初速度分解为x 方向上的x v 和y 方向上的y v ，利用了运动的等效思想。

通过这两种等效就把这个复杂的曲线运动分解为x 和y 方向上的直线运动，从而将问题简化。

等效电阻的计算问题也是利用作用等效替代的一个例子。

我们知道，串联电路的总电阻等于各电阻之和，并联电路的总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和，这个总电阻的作
图3
用效果与原来几个电阻的共同作用效果相同，故称等效电阻。

它表示将其接入电路后，不影响电路中的电流、电压等参量，同时，在一段时间内，总电阻所消耗的电能与原来几个电阻所消耗的电能完全相同，实际电路一般比较复杂，要计算等效电阻，需进行电路分析，搞清各电阻之间的串并联关系，画出等效电路，化繁为简，使问题得到解决。

在电学实验中也常用到等效替代法。

例4 用“伏安法”测电阻一般有电流表外接与电流表内接两种连接线路，但由于电流表和电压表本身并不是理想电表，这两种线路测电阻都存在明显误差，为使待测电阻R x 的测量值尽可能精确，除电流表、电压表、滑动变阻器、电源、开关、导线外，再给你一个标准电阻箱，请你另设计一种测量方法，尽可能精确测量R x 的阻值。

要求：（1）画出电路图；（2）简要说明测量主要步骤。

解析 （1）实验电路如图4所示。

（2）测量步骤为：①按图
连接电路，将滑动变阻器调到最大阻值处；②合上开关S ，调节滑
动变阻器，使电压表和电流表的指针尽可能位于表盘刻度的
1/3~2/3之间，准确记下两表读数；③断开开关S ，用电阻箱代替
待测电阻R x ，将电阻箱调到最大，重新接通开关；④调节电阻箱，
使两电表示数完全达到代替前的读数，此时电阻箱连入电路部分的电阻值就是待测电阻R x 的值。

某些物理概念的引入和物理规律的建立需利用作用等效替代方法。

交流电流的有效值概念的提出，就利用了作用等效替代方法。

人们从交、直流电通过电阻都产生热量的事实出发，让交流电在一定时间内通过一电阻所产生的热量与某一直流电在相同时间内通过同一电阻所产生的热量相等，则该直流电的电流与电压的值就是该交流电的电流与电压的有效值。

导体由于做切割磁感线的运动而产生感应电动势，其大小可由公式sin BLv εθ=求出。

公式中的L 指的是运动导体切割磁感线的有效长度，而非导体的真实长度。

何谓有效长度呢？我们可以另外假想一个导体，使假想导体与真实导体在切割磁感线上是等效的（即切割到相同条数的磁感线），而假想导体的长度应该是最短的，这就是表征导体长度L
图4
的等效替代。

必须指出，虽然一些复杂的物理现象和物理过程，可以等效为几个简单的现象和过程的叠加，但必须满足独立作用原理，即这些简单的过程和现象同时存在时，互不影响、互不作用。

如力、电场强度等矢量满足独立作用原理，物体水平方向的运动和竖直方向的运动也满足独立作用原理。

等效方法中的“等效”也是有局限性的。

我们用一个事物等效地取代另一事物，这里的等效只是某一方面的等效，并不是“全方位”的。

合运动与分运动之间、等效电路之间，“等效”的局限性不突出，但交流电与等效的直流电之间，等效关系的局限性很突出，实际上这是两种十分不同的电，除热效应相同之外，其他很少共同之处。

它们的磁效应、化学效应都不同，事实上，这毕竟是两个不同的事物，在其他许多方面往往有明显的、甚至是质的差异。

因此，只有在事物的特定方面，才能进行两个事物的替代，而不能不顾具体的研究内容随意替代。

四、本质等效替代
所谓本质等效替代，就是从不同物理事物或同一物理事物的不同形式以其规律或表述在本质上相同为基础而进行的等效替代的思维方法。

例如，热力学第二定律是热力学中一个很重要的宏观规律，它有多种表述，其中最著名的为开尔文表述和克劳修斯表述。

开尔文表述即：不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不引起其他变化（即第二类永动机是不可能制成的）。

克劳修斯表述即：热量不可能自动地从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。

可以证明，这两种表述是等价的。

开尔文表述的实质是功变热的过程是不可逆的，克劳修斯表述的实质是热传导过程是不可逆的。

由于自然界中的一切不可逆过程就其不可逆性而言是完全一致的，故每一个热力学不可逆过程都可作为热力学第二定律的表述，这就使得热力学第二定律有了多种不同的表述方式。

但不管具体的表述方式如何，均具有共同的本质，一切与热现象有关的实际的宏观过程是不可逆的。

所以，在解决物理问题时，可视具体情况任选一种表述。

等效替代的方法不仅是物理学中一种很重要的思维方法，而且是控制论中功能模拟方
法的基础。

在物理教学中要使学生对等效方法在高中物理中的运用有比较完整的了解，让学生领会等效方法的重要性，为以后自觉运用等效方法打下基础。