外微分在微积分中的应用

合集下载

外微分在微积分中的应用

P d y dx P dz dx y z Q x dx d y Q z dz dy
R dx dz R d y dz x y p Y
)d x d y (
(
Q x
R Q d d ) y z y x
D ( x, y ) du dv D(u, v) f ( x, y )d x d y = f ( x, y )d x d y
D

D
dx
=
f ( x(u, v), y(u, v)) D(u, v) d
D
D ( x, y )
u
dv

+ ( R d R d R d ) d x y z z x y z
x
y
z
D
Pd
x
Qd y Rd z

Q P d y dx P dz dx dx d y y z x
（下转第 44 页）
-37-
第 34 卷第 2 期
唐山师范学院学报
phosphoenolpyruvate carboxylase
2012 年 3 月
W d
D
w
D
(
P R )d z d x z x
即
（3）高斯公式设(x, y, z)是 R 3 中的坐标，令
Pd
D
D
y
d z Qd z d x Rd x d y
P Q R )d x d y d z x y z
p Y
)d x d y (
f ( x, y)d
D
x
dy D ( x, y )
u

外微分法在曲面论中的初步应用

dzdx y Q
dxdy z R
或
{P, Q, R}{dx, dy, dz} rot{P, Q, R} {dydz, dzdx, dxdy}
L
S
学研端专注论文撰写,编程开发,软件应用,课程学习,科研方法和建站知识。
其中 S 是以分段光滑曲线 L 为边界的光滑曲面，L 与 S 的方向遵从右手法则。在这个公式中，由于 L 与 S 都是有向的，故 dx,dy,dz 是有向长度微元，dydz,dzdx,dxdy 是有向面积微元，若记=Pdx+Qdy+Rdz，则
∀c R;
a f ( x)dx F ( x) a
其中 F(x)是 f(x)在[a,b]上的一个原函数。若记=F(x) ，则 d=dF(x) ，则牛顿-莱布尼兹公式可写为
b

b
[a,b] d {a,b}
（ 2）斯托克斯公式
Pdx Qdy Rdz
L
S
dydz x P
{P, Q, R}{dydz, dzdx, dxdy}
V
div{P, Q, R}dxdydz
其中空间闭区域 V 以分片光滑曲面 S 为边界，曲面 S 取外侧。在这个公式中，由于 S 是有向的，故 V 也可看作有向的。若记
Pdy dz Qdz dx Rdx dy
学研端专注论文撰写,编程开发,软件应用,课程学习,科研方法和建站知识。
r
∑ �� ^�� = 0
��=1
成立，则每一个必定是的线性组合，即 �� = ∑ 并且组合系数是对称的，即 aαβ =aβα. 6 Frobenius 定理设 R 的坐标是 x ，…，x ，y ，…，y ， U是R 则普法夫方程组

外微分在场论中的应用

= ∫∫ −dy ∧dx +dx ∧dy = 2∫∫ dx ∧ dy = 2π R2.
S
S
3．Poincare 引理之场论意义
Poincare 引理设ω 是三维空间中的任一外微分形式，其系数
有二阶连续偏导数，则
d (dω) = 0.
（1）零次外微分形式ω0 = f (x ,y, z) 的外微分为
中图分类号：O29; O31
文献标识码：A
0．基本概念
（1）定义微分之间的一种乘法运算，称为外积，用符号 ∧ 表示，
其满足反交换律： dx ∧ dy = −dy ∧ dx ；则有交错性： dx∧dx= 0.
（2）．设 i1, i2 ,..., ik 都是正整数，1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n ，I 是 k
o
0
0
于是得势函数为： v = −u +c = −sin y − x2 yz 2 + c .
5. 外微分模型
A ①在单连通域中，矢量场为有势场（梯度场）的充分必要条件
A A A 是为无旋场，即 = grad f 的充要条件为 rot = 0 .梯度与零
次外微分形式的外微分 df 相对应，旋度与一次外微分形式的外微分
0
0
0
5
例 3. 求矢量场 A = −yi +xj +ck （c 为常数）沿闭曲线 L 的环量 Γ 。
L： x2 + y 2 = R 2, z = 0 .
解 Γ = ∫ A⋅ dl = ∫ − ydx + xdy +cdz
L
L
3
__________中__国__科__技__论__文__在__线_______________________________w_w_w__.p_a_p_e_r_.e_d_u_._c_n__________

外微分形式的微积分

外微分形式的微积分在单变量微积分中，我们学习了导数和积分，它们分别描述了函数的变化率和面积。

然而，在多元函数中，我们需要引入外微分形式来测量函数在空间中的变化。

外微分形式是基于多元函数的全微分概念发展起来的，它包含了一系列的微分形式，用来描述不同维度上的变化。

在几何学中，我们用矢量来表示空间点和方向，而外微分形式则扩展了矢量的概念，引入了微分形式的概念。

微分形式是一种广义的“矢量”，它不仅可以表示方向和变化率，还可以表示面积、体积等概念。

微分形式的定义是在每个点上定义了一个张量，具有大小和方向，可以用来描述函数的变化。

现在我们具体来介绍一下外微分形式的运算。

对于一个多元函数f(x,y,z)，它的全微分可以表示为：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz这里的dx, dy, dz称为微分元，它们是一种微小的变化量。

根据微分元的定义，我们可以得到如下结论：dx, dy, dz在同一坐标系下是相互独立的，它们是线性无关的。

在外微分形式中，我们将微分元看作是一种微小的“面积元”。

基于这个概念，我们可以定义一个二阶微分形式：dA = dx∧dy （∧表示外积）这里的∧表示外积，即两个向量的叉乘。

dA表示一个微小的面积元，它在x和y方向上有微小的变化。

通过积分，我们可以将dA扩展为一个曲面的面积，用来表示函数在该曲面上的变化。

除了二阶微分形式，外微分形式还包括一阶和三阶微分形式。

一阶微分形式是在全微分的基础上扩展而来的，它表示一个微小的增量，可以用来描述函数的变化率。

三阶微分形式则表示一个微小的体积元，可以用来描述函数在空间中的变化。

外微分形式在微积分中有许多重要的应用。

首先，它可以用来描述曲线、曲面和体积的变化。

我们可以通过对微分形式的积分来求解曲线的弧长、曲面的面积和体积。

其次，外微分形式还可以用来描述场的变化。

例如，在电磁学中，我们可以利用外微分形式来描述电场和磁场的变化，从而求解电场和磁场的分布。

微积分在实际中的应用案例

微积分在实际中的应用案例微积分在实际中有许多应用案例，以下是一些例子：1. 物理学的应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如计算物体在运动中的速度、加速度和位移，以及解决电磁学、光学和量子力学中的问题。

此外，在研究天文学、气象学和地球物理学等领域时，也需要用到微积分的知识。

2. 工程学的应用：在工程学中，微积分被用来解决各种实际问题，如结构设计、机械振动、热传导和流体动力学等问题。

微积分还被用于控制工程和信号处理等领域，以实现最优控制和信号传输。

3. 经济学的应用：微积分在经济学的应用非常广泛，例如计算边际成本、边际收入和边际利润等，以及进行投入产出分析和动态规划等。

此外，微积分也被用于金融学和保险精算等领域。

4. 社会学的应用：在人口统计学中，微积分被用来研究人口增长和减少的规律。

在心理学中，微积分也被用于研究人类行为的规律和预测未来的趋势。

5. 医学的应用：在医学领域，微积分被用来研究生物系统的生理变化和药物动力学等。

例如，通过微积分的方法可以模拟药物在体内的扩散和代谢过程，为新药的研发提供重要的参考依据。

6. 环境科学的应用：在环境科学中，微积分被用来研究环境污染物的扩散和传播过程，以及生态系统的平衡和可持续发展等问题。

7. 计算机科学的应用：在计算机科学中，微积分被用来优化算法和提高计算机的性能。

例如，通过微积分的方法可以优化图像处理和语音识别等算法的性能。

8. 化学工程的应用：在化学工程中，微积分被用来描述化学反应速率和传质传热等过程，并优化反应器的操作条件。

9. 生物学中的应用：在生物学中，微积分被用来描述生物体的生理特征和行为特征，如呼吸系统、消化系统和神经系统等。

此外，微积分还被用于生态学中研究种群增长和生物多样性等问题。

总之，微积分作为一门数学工具，在实际中的应用非常广泛。

无论是在科学研究还是实际生活中，微积分都发挥着重要的作用。

微积分十大经典问题

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。

知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。

排名不分先后。

1）开普勒定律与万有引力定律互推。

绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。

大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。

重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。

该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。

答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。

其解答一般变分书上均有。

本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。

这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。

最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。

不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。

3）曲线长度和曲面面积问题。

一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。

如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。

但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。

德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。

4）处处连续处处不可导的函数。

长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。

但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。

这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。

现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。

至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。

外微分

外微分尹小玲以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。

dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。

因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。

而||b a ⨯在几何上是以b a,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F （1）Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。

证两个一阶外微分式的外积∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121222111R Q P R Q P dydx dx dz dz dy ∧∧∧=一阶外微分式与二阶外微分式的外积∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。

微分形式的外微分

Stokes公式
∂Σ
∫ pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R − − − dz Λdx + dyΛdz + dx Λdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
⇒ ∫ω = ∫ dω .
∂Σ Σ
再看 Stokes 公式
∂Σ
∫ ω = ∫ dω 。
Σ
二、外微分的应用
Gauss公式
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dxdydzy ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∂D Ω ⇒
∂Ω
∫ω= ∫ dω .
Ω
∂D
同样地，对于 Gauss 公式 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
n
这可理解为，一个 0-形式做了微分运算后成为了 1-形式。
一、外微分
现将微分运算 d 推广到 Λ k 上去。
对 Λ k 中的任意一个 k-形式
ω
定义d ω
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
gi1 ,i2 ,,ik ( x )dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
(dgi1 ,i2 ,,ik ( x ))dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
∂gi1 ,i2 ,,ik ∂x i dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n i = 1
∑
∑
n

外微分

利用外微分对场论中三个算子的讨论【摘要】本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系.关键词：外微分场论1、引言在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss 公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.2、主要结论及其证明2.1场论的简单引入2.1.1 场的概念依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.2.1.2 场论中的三个算子从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.在三维的直角坐标系中可以表达为:.从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.定义2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即它表示点附近单位体积所流出的流量，称为处源的密度.从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.定义2.3:设是定义在区域上的向量场,是中的一点,是在点处取定的单位向量.在内过,做任意光滑的且以为法向量的曲面元,假定这个曲面元的面积为,它的边界是逐段光滑的闭曲线.选取的环行方向,使之与向量组成右手螺旋系统.如果当面元无限收缩于点，而在点处的法向量保持不变时，平均环量的极限就存在，就称此极限为场在点处绕方向的涡量,记做,即并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点的旋度,记作.2.2 外微分形式2.2.1 外微分形式的外积设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为0;两个不同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用表示.则定义2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式.设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式（1）（2）（3）（4）其满足分配律和结合律，但不满足交换律.2.2.2 外微分形式的外微分当我们在其中引入微分运算符d,若是零次外微分形式,即为函数,则定义d就是通常的全微分算符.若是一次外微分形式则定义将全微分的表达式带入后化简，给出若是二次外微分形式，则可以类比.若__D_Dd__________ìĝϨϨ______________2.3 对梯度、散度、旋度的统一2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系因为在此，仅仅涉及到三维欧式空间，则三次外微分没有与之对应的“度”，可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.(1)零次外微分形式的外微分公式为而数量场的梯度为所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。

可惜的是3年多过去了，整理出的问题不足半百。

再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。

知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。

排名不分先后。

1）开普勒定律与万有引力定律互推。

绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。

大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。

重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！2）最速降线问题。

该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。

答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。

其解答一般变分书上均有。

本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。

这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。

最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。

不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。

3）曲线长度和曲面面积问题。

一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。

如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。

但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。

德国数学家 H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。

4）处处连续处处不可导的函数。

长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。

但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。

外微分形式的微积分

外微分形式的微积分外微分形式是微积分中的一个重要概念，广泛应用于微分几何、物理学和工程学等领域中。

它是描述多元函数和曲面的工具，帮助我们理解和计算复杂的曲线和曲面上的积分以及它们之间的关系。

为了更好地理解外微分形式，首先需要了解微分形式的概念。

微分形式是一种能够描述曲线或曲面上各点的性质的数学对象。

它在数学上是一种广义的概念，可以用来描述不同维度的对象。

例如，在曲线上，微分形式可以表示为f(x)dx，其中f(x)是一个函数，dx表示微小的位移。

在曲面上，微分形式可以表示为f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是一个二元函数。

外微分形式则是微分形式的推广，它可以描述更高维度的对象，如三维空间中的曲面或四维空间中的流形。

外微分形式使用向量的外积来定义，具有更强的代数性质。

例如，在三维空间中，一个外微分形式可以表示为f(x,y,z)dxdydz，其中f(x,y,z)是一个三元函数。

这种表示方式非常直观，它将函数值与微小的位移相乘，得到一个描述各点性质的形式。

外微分形式的一个重要性质是它能够描述曲线或曲面上的微积分运算，如积分和微分。

通过外微分形式，我们可以定义曲线和曲面上的曲线积分、曲面积分以及通量等概念。

这些积分与微分形式之间存在紧密的联系，它们互为逆运算。

使用外微分形式，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的运算，使得计算更为方便。

在物理学和工程学中，外微分形式被广泛应用于描述电磁场、流体力学以及广义相对论等领域中的物理现象。

例如，在电磁场中，我们可以用外微分形式来描述电场和磁场的分布情况，进而计算电场和磁场的通量、环路积分等物理量。

在流体力学中，外微分形式可以描述流体的速度场、压力场等性质，帮助我们分析流体的运动行为。

在广义相对论中，外微分形式能够描述时空的曲率和引力场的分布情况，帮助我们理解引力的本质和时空的弯曲性质。

总之，外微分形式是微积分中的重要工具，它能够描述曲线和曲面上的性质，并帮助我们计算复杂的积分和微分。

有限元外微积分的应用

有限元外微积分的应用有限元外微积分是一门应用数学学科，它结合了有限元分析和微积分的理论与方法，用于解决各种工程问题。

通过有限元外微积分的应用，工程师可以对复杂的结构进行建模和分析，预测其行为和性能。

有限元外微积分可以应用于结构力学领域。

在设计建筑、桥梁、飞机等工程结构时，有限元外微积分可以帮助工程师预测结构的强度、刚度和稳定性。

通过将结构分割为有限数量的小单元，然后利用微积分的方法对每个单元进行分析，最后将所有单元的结果进行整合，工程师可以得到结构的整体性能。

这样的分析可以帮助工程师优化结构设计，提高结构的安全性和可靠性。

有限元外微积分也可以用于热传导和流体力学领域。

在热传导问题中，有限元外微积分可以用来模拟材料的温度分布和传热过程。

通过将材料分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行温度分析，工程师可以了解材料的热传导行为。

在流体力学问题中，有限元外微积分可以用来模拟流体的流动和压力分布。

通过将流体区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行流动分析，工程师可以预测流体的行为和性能。

有限元外微积分还可以应用于电磁场和声学领域。

在电磁场问题中，有限元外微积分可以用来模拟电磁场的分布和电磁波的传播。

通过将电磁区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行电磁场分析，工程师可以了解电磁场的行为和性能。

在声学问题中，有限元外微积分可以用来模拟声波的传播和声场的分布。

通过将声学区域分割为有限数量的小单元，并利用微积分的方法对每个单元进行声场分析，工程师可以预测声波的行为和声场的特性。

有限元外微积分的应用涵盖了结构力学、热传导、流体力学、电磁场和声学等多个领域。

通过有限元外微积分的分析，工程师可以对复杂的工程问题进行建模和预测，为工程设计和优化提供科学依据。

通过合理地应用有限元外微积分，我们可以更好地理解和控制自然界的现象，为人类创造更安全、高效和可持续的工程产品。

外微分及斯托克斯公式

外微分在物理上可以理解为场的散度，它描述了场在给定点处的变化率。斯托克斯公式则可以理解为在物理过程中，场的散度沿着路径的积分，它描述了场在物理过程中的变化。
VS
外微分和斯托克斯公式的物理意义都与物理场的变化有关，它们物理上具有密切的联系。
04 外微分与斯托克斯公式的应用
在数学物理中的应用
外微分形式可以表示为$df = f dx^1 wedge dx^2 wedge cdots wedge dx^n$，其中$dx^i$是坐标微分，$wedge$表示外积。
外微分的形式
01
外微分形式可以表示为线性组合、数乘和外积的线性组合，即 $d(k f) = k df, d(f + g) = df + dg, d(f dx^i) = df wedge dx^i$。
计算电磁场的量
通过外微分和斯托克斯公式，可以计算电磁场的能量密度、坡印廷矢量等物理量。
研究电磁学现象
外微分和斯托克斯公式可以用于研究电磁学现象，例如麦克斯韦方程组的求解、电磁波的传播等。
05 外微分及斯托克斯公式的扩展
外微分的扩展形式
01
广义外微分
在更广泛的函数空间中，引入了更一般的微分概念，使得外微分的应用范围更广。
物理应用
斯托克斯公式在物理中有广泛的应用，如电磁学、流体力学和量子力学等领域。它描述了磁场和电场之间的相互作用，以及流体速度场和压力场之间的关系。
数学应用
斯托克斯公式在数学中也有重要的应用，如在偏微分方程和微分几何等领域。它用于求解某些偏微分方程，以及在微分几何中研究流形上的向量场和标量场之间的关系。
描述物理量之间的关系
01
外微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度场和流线之

微积分和微分方程的应用

微积分和微分方程的应用微积分和微分方程是高等数学中非常重要的两个分支。

它们的应用涉及到了各种科学领域，如物理学、工程学、经济学等等。

在此，我们将探讨微积分和微分方程的应用。

一、物理学微积分和微分方程在物理学中的应用非常广泛。

它们能够帮助我们解决许多与物理有关的问题，如质点的运动和力学问题。

在力学中，我们可以利用微分方程来求解物体的运动。

例如，考虑一个自由落体运动的物体，如果我们知道了物体的初速度和初位移，我们就可以通过微分方程求出它的运动轨迹。

同样的，我们也可以使用微分方程来分析其他复杂的运动问题，如弹性碰撞和摆动。

二、工程学微积分和微分方程在工程学中也有着广泛的应用。

它们能够帮助我们分析并优化各种工程系统，如电路、控制系统和噪声控制系统。

在电路中，我们可以使用微积分来计算电荷、电流和电势等重要的电学量。

而在控制系统中，则是使用微分方程来描述系统的动态行为。

例如，我们可以使用微分方程来模拟一个温控系统，从而实现对温度的控制和管理。

三、经济学微积分和微分方程在经济学中也有着独特的应用。

它们可以用来研究经济系统的行为，并将其应用于经济政策的制定和实施中。

例如，在宏观经济学中，我们可以使用微分方程来建立经济增长模型，从而预测未来的经济趋势。

另外，在微观经济学中，我们也可以使用微积分来计算与价格和供需有关的重要经济量。

综上所述，微积分和微分方程在科学研究和实践中都有着重要的应用。

作为一名数学从业者，我们必须深入了解这两个分支的理论和应用，为科学的进步和人类的繁荣做出贡献。

微积分的基本原理与应用

微积分的基本原理与应用微积分是数学的一个分支，研究变化和积分的学科。

它是物理学、工程学、经济学以及各种科学领域中的重要工具。

了解微积分的基本原理和应用是理解和应用这一学科的关键。

一、微积分的基本原理1. 极限和导数极限是微积分的基本概念之一。

它描述了函数在某一点无限接近于某个特定值的过程。

在极限的概念下，我们可以定义导数，它表示函数在某一点的变化率。

导数是解决速度、加速度、斜率等问题的重要工具。

2. 积分积分是微积分的另一个重要概念，它是导数的逆运算。

通过求取函数在某一区间上的面积，我们可以求解一些实际问题，例如距离的计算、曲线下面积的确定。

积分也是计算速度、质量、体积等物理量的工具。

3. 微分方程微分方程是微积分的一个重要领域，它描述了函数中的变化和关系。

例如，牛顿第二定律、指数衰减、衍生物传递函数等都可以用微分方程来描述。

求解微分方程可以帮助我们了解自然界中的变化规律。

二、微积分的应用1. 物理学中的应用微积分在物理学中有广泛的应用，从描述运动的位置、速度和加速度的运动学到描述受力和加速度关系的动力学，微积分都扮演着重要角色。

例如，通过对一个物体在一段时间内的运动学数据进行微分和积分运算，我们可以计算出它的速度和位移。

2. 经济学中的应用在经济学中，微积分可以用于计量经济学的建模与分析。

例如，通过求解边际成本和边际收益的关系，我们可以找到垄断市场下的最优生产策略。

微积分还可以应用于解决供需关系、成本函数、效用函数等问题。

3. 工程学中的应用在工程学中，微积分的应用范围广泛。

它可以用于解决工程问题中的建模、最优化、控制系统分析等。

例如，在电路分析中，微积分可以用于计算电流、电压和功率的变化。

4. 生物学中的应用微积分在生物学中也有许多应用。

例如，通过对物种增长或传染病传播的微分方程进行求解，我们可以预测未来的人口增长或疾病传播趋势。

微积分还可以用于解决生物物理学中的动力学和反应动力学问题。

总结：微积分作为数学的一门学科，有着重要的理论基础和广泛的应用领域。

数学分析外微分运算

这些 Maxwell 方程可以用微分形式来表示. 记 E = (E1, E2, E3), B = (B1, B2, B3), J = (J1, J2, J3). 再令 F = (E1 dx + E2 dy + E3 dz) ∧ dt + B1 dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy ,
Maxwell 方程
这些 Maxwell 方程可以用微分形式来表示. 记 E = (E1, E2, E3), B = (B1, B2, B3), J = (J1, J2, J3). 再令 F = (E1 dx + E2 dy + E3 dz) ∧ dt + B1 dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy ,
1 M = c (E1 dy ∧ dz + E2 dz ∧ dx + E3 dx ∧ dy ) − c(B1 dx + B2 dy + B3 dz) ∧ dt, J = c(J1 dy ∧ dz + J2 dz ∧ dx + J3 dx ∧ dy ) ∧ dt − c dx ∧ dy ∧ dz.
Maxwell 方程
设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω.
设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη.
d2 = 0, 即 d(dω) = 0. 先考虑 0−形式. 设 f 为 Ck (k ≥ 2) 函数, 则
d2f
=
n i ,j =1
∂2f ∂xj ∂xi
dxj

外微分微分几何

外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。

在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。

外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。

外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。

简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。

在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。

以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。

而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。

对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。

在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。

在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。

法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。

在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。

而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。

通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。

通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。

除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。

在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。

通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。

外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。

外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。

(整理)微分形式及其应用

微分形式及其应用1 引子两个函数，如何检验它们是否互为函数呢？比如 y x f +=2，602224+++=y y x x g ，它们之间就有关系602+=f g ，这很明显。

但是对于复杂的函数就未必一眼看得出。

另一个老实的办法是，计算它们的雅克比行列式()0221442////),(,22=++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂yx xyx x y g y f x g x f y x g f ，因此它们相关，互为函数关系。

对于多元的就要麻烦些，要计算多个雅克比。

比如),,(),,,(z y x g z y x f ，要想判定他们是否互为函数，就要判定()()y x g f ,,∂∂，()()z y g f ,,∂∂，()()x z g f ,,∂∂都为0才对。

有没有更好的表达方式呢？有利用外微分（过一会再解释）44444444)44()22(2)22()22(2)2()2()602()602()602()(3333322242222422222422422242=∧-∧-∧+∧=∧+∧+∧+∧=+∧++∧=++∧+++∧=+∧++∧=+++∧++++∧=+++∧+=∧dy xydx dy dx x dy xydx dy dx x dx xydy dx dy x dy xydx dy dx x xydx dx x dy ydy dy x xdx dy x y dx dx dy dy dy x y dx xdx y x x d dy y y x d dx y y x x d dy y y x x d dx y y x x d y x d dg df好奇怪的运算规则：任何两个函数微分的外积，互换次序得负；任何相同表达式微分的外积为0。

da db db da ∧-=∧，0=∧da da这让我们想起了面积的定义。

对了！外积的意义就是面积。

我们重新理解一下（见图）如果将),(g f 作为两个变量，则组成空间。

第八节微分形式的外微分

第八节微分形式的外微分一微分形式及其外积我们知道, 一个可微函数12(,,,)n f x x x 的全微分为1ni i ifdf dx x =∂=∂∑. 它是12,,n dx dx dx 的线性组合, 一个很自然的想法是将12,,n dx dx dx 看作一个线性空间的基.设Ω是nℜ上的区域, 记12(,,)n x x x x =, 1()C Ω(1,2,,i n =)为Ω上连续可微函数全体. 将12,,n dx dx dx 看作一组基, 其线性组合11122()()(),()()(1,2,,)n n i a x dx a x dx a x dx a x C i n +++∈Ω=称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为1()ΛΩ(或1Λ).如果对1Λ中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++, 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++,定义ξη+和λξ(1()C λ∈Ω)为111222(()())(()())(()())n n n a x b x dx a x b x dx a x b x dx ξη+=++++++, 1122(()())(()())(()())n n x a x dx x a x dx x a x dx λξλλλ=+++,进一步定义1Λ中的零元为120000n dx dx dx =+++,且定义负元为1122(())(())(())n n a x dx a x dx a x dx ξ-=-+-++-显然1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间.为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.设12(,)a a a =, 12(,)b b b =为平面2ℜ上两个线性无关的向量, 我们将行列式1212a ab b称为向量a 与b 的外积, 记为a b Λ, 即1212a a ab b b Λ=.平面上的向量的外积的讨论可以推广到nℜ上去. 设12(,,,),1,2,,,i i i in a a a a i n ==定义他们的外积为11121212221212n n n n n nna a a a a a a a a a a a ΛΛΛ=.它是由12,,,n a a a 所张成的平行2n 面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.类似于向量的外积, 规定,0(,1,2,,)i j j i i i dx dx dx dx dx dx i j n Λ=-ΛΛ==.因此共有2n C 个有序元,1.i j dx dx i j n Λ≤<≤以这些有序元为基就可以构造一个线性空间2Λ. 其中2Λ的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是2Λ中的元素可以表示为1()ij i j i j ng x dx dx ≤<≤Λ∑.这种形式称为2-形式的标准形式.一般地, 在12{,,,}n dx dx dx 中任意选取k 个组成有序元, 记为12k i i i dx dx dx ΛΛΛ,这里12,,,k i i i 是从集合{1,2,,}n 中选取的任意k 个整数. 规定1212,1i i k k dx dx dx i i i n ΛΛΛ≤<<<≤.以这些有序元为基构造一个线性空间kΛ. 其中kΛ的元素称为k 次微分形式. 简称k -形式. 于是一般k-形式就可以表示为121212,,,1()kk k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ≤<<<≤ΛΛΛ∑.这种形式称为k -形式的标准形式.显然, 当k n >时, 总有120k i i i dx dx dx ΛΛΛ=, 因此{0}k Λ=.Ω上的连续可微函数称为0-形式, 它们的全体记为0Λ, 它是一个线性空间, 函数1g ≡是它的一个基.现在把i j dx dx Λ中的Λ理解为一种运算. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++, 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++,定义ξ与η的外积为1()()()()i j i j i j ni j a x a x dx dx b x b x ξη≤<≤Λ=Λ∑它是2Λ中的元素.下面把这样的外积定义推广到任意的i Λ和jΛ上去. 若记Λ为线性空间01,,,nΛΛΛ之和, 即有01n Λ=Λ+Λ++Λ, 于是Λ是一个2n (因012nn nn n C C C +++=)维的线性空间, 因此Λ中的元素的一般形式为01,,0,1,,i n i i n ωωωωω=+++∈Λ=.记12p I i i i dx dx dx dx =ΛΛΛ,12q J j j j dx dx dx dx =ΛΛΛ. 则1212p q I J i i i j j j dx dx dx dx dx dx dx dx Λ=ΛΛΛΛΛΛΛ它是()p q +-形式. 对一般p -形式()IIIg x dx ξ=∑和q -形式()JJJh x dxη=∑, 定义ξ和η的外积ξηΛ为,().I J I J I Jg h x dx dx ξηΛ=Λ∑它是()p q +-形式. 对于0-形式f ,我们补充定义()(),p I I If f f xg x dx ξξξ=Λ=∈Λ∑二外微分的基本概念设nΩ⊂ℜ为区域, Ω上的可微函数12(,,,)n f x x x 的全微分为1.ni n ifdf dx x =∂=∂∑这可以理解为: 一个0-形式作了微分运算后成为了1-形式.现在将微分运算推广到k Λ上去. 对k Λ中的任意一个k -形式.1212121()kk k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛ∑,定义1212121(())kk k i i i i i i i i i nd dg x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛΛ∑12121211kk k ni i i i i i i i i i n i ig dx dx dx dx x ≤<<<≤=∂=ΛΛΛΛ∂∑∑同时,对空间0n Λ=Λ++Λ上的任意一个元素01,,i n i ωωωωω=+++∈Λ定义01n d d d d ωωωω=+++.这样,微分运算:d Λ→Λ就是线性的, 即()d d d αξβηαξβη+=+, ,ξη∈Λ,其中,αβ为常数. 这样的微分运算d 称为外微分. 显然,1212()(1)k k i i i i i i d dx dx dx d dx dx dx ΛΛΛ=ΛΛΛ 12(1)0k i i i d dx dx dx =ΛΛΛΛ=.性质1 设ω为k -形式, η为l -形式, 则()(1)k d d d ξηξηξηΛ=Λ+-Λ.证明 (留作练习).设ω∈Λ, 定义2()d d d ωω=. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.例13.34 设0f ∈Λ为0-形式, 证明20.d f =证明由于f 具有二阶连续偏导数, 因此22i j j if fx x x x ∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j if fd f d df d dx dx dx x x x ===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i f f dx dx x x x x <⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑. 性质2 对任意ω∈Λ, 有20.d ω= 证明由于d 的线性性, 只要证明12()k i i i a x dx dx dx ω=ΛΛΛ这种情形即可. 这时12(())k i i i d da x dx dx dx ω=ΛΛΛΛ,由于ω具有二阶连续偏导数, 因此22i j j ix x x x ωω∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j id d d d dx dx dx x x x ωωωω===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i dx dx x x x x ωω<⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑.因此再由性质1可得2()d d d ωω=122()k i i i d a dx dx dx =ΛΛΛΛ12()()k i i i da d dx dx dx -ΛΛΛΛ120()00k i i i dx dx dx da =ΛΛΛΛ-Λ=.二外微分的应用首先看Green 公式()(),,LD Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰其中闭区域nD ⊂ℜ的边界由分段光滑的曲线L 所围成. 若将dx dy Λ看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素dxdy 的话, 上式就可以表示为()(),,LD Q P dx dy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-Λ=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰对于1-形式(,)(,)P x y dx Q x y dy ω=+, 则由外微分的定义可得()()d dP dx dQ dy ω=Λ+ΛP P Q Q dx dy dx dx dy dy x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+Λ++Λ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭P Q Q P dy dx dx dy dx dy y x x y ⎛⎫∂∂∂∂=Λ+Λ=-Λ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 于是有下式成立LDd ωω=⎰⎰.再看Stokes 公式()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰Pdx Qdy Rdz Γ=++⎰其中Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则. 对于1-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ω=++,由外微分的定义可得()()()d dP dx dQ dy dR dz ω=Λ+Λ+ΛP P R Q Q Q R R R dx dy dz dx dx dy dx dz x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++Λ+++Λ+++Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Q P R Q Q dy dz dz dx dx dy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-Λ+-Λ+-Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是Stokes 公式则变为d ωωΓ∑=⎰⎰.同样地, 对于Gauss 公式()P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰其中空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面∑所围成. 如果我们将有向体积元素dx dy dz ΛΛ看成是正体积元素dxdydz 的话, 它就可以表示为()P Q Rdxdydz Pdy dz Qdz dx Rdx dy x y zΩ∑∂∂∂++=Λ+Λ+Λ∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰对于2-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dy dz Q x y z dz dx R x y z dx dy ω=Λ+Λ+Λ, 我们有()()()d dP dy dz dQ dz dx dR dx dy ω=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛP P P dx dy dz dy dz x y z ⎛⎫∂∂∂=++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭Q Q Q dx dy dz dz dx xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭R R R dx dy dz dy dz xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭.于是Gauss 公式则变为d ωω∑Ω=⎰⎰.这样, Green 公式、Gauss 公式和Stokes 公式就可以统一地写成如下形式：MMf df ∂=⎰⎰.这个式子统称为Stokes 公式. 它说明了, 高次的微分形式d ω在给定区域上的积分等于低一次的微分形式ω在低一维的区域边界上的积分.习题14.8 1. 设pξ∈Λ, qη∈Λ, 证明: 当p q n +>时, 0ξηΛ=.2. 设pξ∈Λ, qη∈Λ,证明: (1)pqξηηξΛ=-Λ.3. 设1njj ii n adx ξ==∑, 1,2,,j n =, 为n ℜ上的1-形式, 证明 1212det()j n i n a dx dx dx ξξξΛΛΛ=ΛΛΛ.4. 证明性质1.。

外微分在微积分中的应用