线性半波检波器

第四章基本要求
❖ 了解几种常见的非线性系统 ❖ 了解计算输出信号统计特性的直接法和特征
函数法 ❖ 了解准正弦信号通过非线性系统的分析方法
1
第一节 几种常见的非线性系统
一、非线性系统与线性系统的区别
1．对于线性系统的解，人们通常能够求得封闭形式的表达式； 对非线性系统来说，这一点并不是总能实现的。
2．相对于线性系统来说，分析非线性系统一般涉及的数学在 概念上更高深，在内容上则更繁杂。
E yn (t)
bx2
n fx x;t dx bnE x2n (,t2 b2E x(t1)2 x(t2 )2
bx1
2
bx2
2
fx
x1,
x2
;
t1,
t2
dx1dx2
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2.1 正态噪声作用于平方律检波器
设检波器输入端作用的 x(t)是一个零均值的正态噪声，
Ry b2E x(t1)2 x(t2)2 b2{E{x(t1)2}E{x(t2)2} 2E2{x(t1)x(t2)}}
b2
4 x
2b2
Rx2
输出功率谱密度
Sy () 2 b2 x4 () 2b2
R 2
x
e jd
8
由于
R
x
1
2
Sx
e j d
所以
R 2 x
输出的自相关函数是
R y t1,t2 b2E[s(t1)+n(t1)2 s(t2 )+n(t2 )2 ]
b2E[s2 (t1)s2 (t2 )+4s(t1)s(t2 )n(t1)n(t2 )+s2 (t1)n2 (t2 )+s2 (t2 )n2 (t1)+n2 (t1)n2 (t2 )]
当输入是平稳随机过程时， =t2 t1
由于方差为 x 的正态随机变量X的各阶矩为：
因此
E xn 1035n1xnnn为 奇2的数偶数
E
yn
(t
)
bn1
3
5
2n
1
2n x
令n＝1 和 n＝2，得到
E[
y(t
)]
b
2 x
E
y(t)2
3b2
4 x
3 E[y(t )]2
2 y(t )
E
y(t)2
E[y(t)]2
2 E[y(t )]2
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输出相关函数 Ry
E y2 (t)
b2x2
fx
(x)dx
b2
x 2
x2e
x2
2
2 x
dx
0
b2
2 x
2
2
b2 2
2 x
2 y
E
y2 (t)
E y(t)
2
b2
2 x
b
2
2 x
2 2
b2
2
2 x
1
1
输出端的自相关函数是
R y bx1bx2 fx x1, x2; dx1dx2
16
例 2： 设 x(t)是均值为零的正态平稳随机过程， 其相关函数为
2b2
a4
16
a
2
2 n
4 n
14
三、线性半波检波器
y
bxx 0x
0 0
y
0
x
设 xt
是均值为零的平稳正态随机过程，概率密度是
fx x
1
e
x2
2
2 x
2 x
线性检波器输出端的信号均值为
b
E y(t) bxfx (x)dx x 2
xe
x2
2
2 x
dx
0
b
2
X
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线性检波器输出端的信号均方值为
13
输出信号的相关函数为
R
y
b2
a2 2
2
2 n
2b
2R
2 n
2b2
a2R
n
cos
0
a4b2 8
cos 20
E[y(t)]
b
a2 2
2 n
0 时，求得的自相关函数便是输出的均方值，即
E[y(t)2 ]
3b2
a4 8
a2
2 n
4 n
2 y
E[y(t)2 ] E[y(t)]2
R( ) ,我们对 x(t) 构成如下非线性运算：
1 若 x(t) 0 y(t) 1 若 x(t) 0
E y(t)
f
(x) fx
x;t dx
E yn (t)
f
n (x) fx
x;t dx
R y t1, t2 f (x1) f (x2 ) fx x1, x2;t1, t2 dx1dx2
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二、平方律检波器 平方律检波器的传输特性为 y bx，2 其中b是常数。
y bx2
S2
2 N
11
例1. 假设输入是等幅正弦信号s(t)=a cos0t ，式中, a 0
是常数， 为在 0 2 之间均匀分布的随机变量．输入噪声
为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。 试计算平方律检波器输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱 密度。
解：
输入信号的自相关函数
RS(t1,t2 )=E a cos 0t1 a cos 0t2
本章重点讨论线性半波检波、线性全波检波和平方律检波
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第二节 直接法
一、基本原理 二、平方律检波器 三、线性半波检波器
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一、基本原理
设随机信号 X t 的一维概率密度为 f X x;t，二维概率
密度函数为 fx x1, x2;t1,t2 ， 非线性系统的特性为 y f (x) ，则 X t
通过该非线性系统得到的输出信号Y(t)的统计特性可按下式计算：
Ry
b2
Rs2
4Rs
Rn
2 s2
2 n
Rn2
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平方律检波器输出端的功率谱密度
SY SSS SSN SNN
SSS
b2
R S 2
e j d
SNN
b2
R N 2
e j d
SSN 4b2
RS
RN
e
j
d
4b2 S2 N2
2b2
S
N
S
S
d
4b2
= a2 2
cos0 t2 t1
RS
a2 2
cos 0
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输入信号平方的自相关函数
E s2 (t1)s2 (t2 ) a4E cos2 0t1 cos2 0t2
a4 4
a4 8
cos 20
t1
t2
a4 4
a4 8
cos 20
输入噪声平方的相关函数为：
t2 t1
Rn2
4 n
2Rn2
e j d
R x
Rx
e j d
1
2
Sx
/
Sx
/ d/
Sy
(
)
b
2
x4
(
)
b2
Sx
/
Sx
/ d/
Sy () Sy ()
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2.2 信号和噪声同时作用于平方律检波器
设平方律检波器输入端的随机信号是 xt st nt
噪声的均值为零，信号和噪声彼此不相关，平方律检波器
2
二、几种常用的非线性系统
1. 硬限制 2. 线性半波检波 3. 线性全波检波
y(t)=sgn(x(t))
y(t)＝x0(t,)若, 若xx(t()t )00
y(t)=|x(t) |
4. 二次失真
y(t)=x(t) x(t)2
其数字信号形式为： 5. 平方律检波器
yn
xn
x
2 n
y(t)= bx(t)2