特殊四边形的性质及其判定

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平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

特殊四边形的性质和判定定理

特殊四边形的性质和判定定理名称性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边.并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外.还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外.还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形.又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外.还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图.E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点.AM ⊥EF.垂足为M.若AM=AB.求证：EF=BE+CF例2 已知：如图.正方形ABCD 中.延长AD 到E.使DE=AD.再延长DE 到F.使DF=BD.连接BF 交CD 于Q.交CE 于P 。

四边形的特性与性质

四边形的特性与性质四边形是平面几何中常见的图形，其具有一些独特的特性和性质。

本文将介绍四边形的定义、分类以及其特殊的性质和性质证明。

一、四边形的定义和分类四边形是由四条线段组成的平面图形，这四条线段相交于四个顶点，且相邻的线段连接形成四个内角。

根据四边形的性质和边的长度关系，可以将四边形分为以下几种类型：1. 正方形：四条边相等且四个内角均为直角的四边形。

2. 长方形：四个内角均为直角，但边的长度两两不相等的四边形。

3. 平行四边形：对边平行的四边形。

4. 矩形：四个内角均为直角，且对边相等的四边形。

5. 菱形：边的长度两两相等的四边形。

6. 梯形：具有一对平行边的四边形。

7. 不规则四边形：不符合以上任何一种类型的四边形。

二、四边形的特性和性质1. 内角和：四边形的内角和等于360度。

2. 对角线：四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。

正方形、长方形和菱形的对角线相等。

3. 相邻内角补角关系：四边形相邻的内角互为补角，即相邻内角的和等于180度。

4. 邻边相等：在平行四边形和矩形中，邻边两两相等。

5. 垂直对角线：在正方形和菱形中，对角线互相垂直。

6. 中点连线：在平行四边形和矩形中，连接两个相对顶点的中点形成的线段平分对角线。

7. 对角线平分：在梯形和不规则四边形中，对角线能够平分对角线所在的角。

三、性质证明1. 四边形内角和为360度的证明：通过将四边形分割为两个三角形，可以证明其中每个三角形的内角和为180度。

因此两个三角形的内角和之和为360度，证明四边形内角和为360度。

2. 正方形对角线相等的证明：根据正方形的定义，四个内角均为直角。

连接相对顶点形成的对角线等于两个相邻边的长度之和。

又因为正方形的边长相等，所以对角线相等。

3. 正方形对角线互相垂直的证明：由于正方形的内角均为直角，所以可以得出其中一个三角形的两个直角边相互垂直。

由对角线互相平分的性质，可得出两个直角边之间的连线也是垂直的，证明正方形的对角线互相垂直。

特殊四边形的知识点、定义、性质、判定

特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：对角相等，邻角互补；（2）边：对边分别平行且相等；（3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。

3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。

二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。

一-四边形与特殊四边形的关系

（二）选择题：
1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ D ）。 (A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；
(C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。
(A)对角线互相平分。
(B)对角线相等。
10.等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等。
11.如图(1)， ABCD中，∠1 = ∠B =50°,则∠2 = 80° 。
A
D
A
D
B
1
2 C
O
(1)
B
C
(2)
12.如图（2），菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8㎝，那么菱形边长是 8㎝或 38√3 ㎝。
13.已知：正方形的边长是4㎝，则它的对角线的长是 4√2 ㎝，
C
5.作梯形的中位线
A E B
D F C
7.构建三角形
E
6.构建大平行四边形
A
D
F
O
B
C
E
A
D
B
C
面积是 16 ㎝ 2
。
14.已知，正方形的对角线的长是6 ㎝，则它的边长是 3√2 ㎝，面积是 18 ㎝2 。
15.已知：正方形的面积是12 ㎝2，则它的边长是 2√3 ㎝，对角线的长是 2√6 ㎝。
九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：
1.对角线
A
D
A
D
B
C
B
C
2.构建新的平行四边形
D A
四、对角线与特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形

特殊四边形地性质和判定定理

特殊四边形的性质和判定定理名称性质判定平行四边形1、对边平行且相等。

2、对角相等。

3、对角线互相平分。

4、是中心对称图形。

5、S=a b （a 、b 分别表示底和这一底上的高）推论：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（定义）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。

矩形矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质：1、四个角都是直角。

2、对角线相等。

3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示长和宽）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形菱形除了具有平行四边形的所有质外，还有以下性质：1、四条边都相等。

2、两条对角线互相垂直。

并且每一条对角线平分一组对角。

3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。

4、S= a b （a 、b 分别表示两条对角线长。

）1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3、边相等到的四边形是菱形。

正方形除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外，还有以下性质： 1、对角线和边的夹角是45º。

2、S= a ²（a 表示两边长。

） 1、一组邻边相等的矩形是正方形。

2、有一个是直角的菱形是正方形。

3、对角线相垂直的矩形是正方形。

4、对角线相等的菱形是正方形。

等腰梯形1、两腰相等。

2、同一底上的两个角相等。

3、对角线相等。

4、轴对称图形1、对角线相等的梯形是等腰梯形。

2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形中常见辅助线AB CDABCDABC DABCD A BCD例1 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM ⊥EF ，垂足为M ，若AM=AB ，求证：EF=BE+CF例2 已知：如图，正方形ABCD 中，延长AD 到E ，使DE=AD ，再延长DE 到F ，使DF=BD ，连接BF 交CD 于Q ，交CE 于P 。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边相等的四边形。

其特殊性质有以下几点：1. 对边平行：平行四边形的定义中已经提到，其对边两两平行。

这意味着它有两对平行的边，且它的对边相等。

2. 对角线平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

这意味着从顶点到顶点的线段长相等。

且对角线长度之和等于两倍的中线长度。

3. 内角和为360度：平行四边形的内部角度之和为360度。

这是由于它可以看作是一个由两个相反的等腰三角形组成的四边形。

4. 相邻角互补：平行四边形相邻两个角互补。

即相邻的两个内角之和为180度。

5. 对角线重心：平行四边形的对角线的交点是平行四边形的重心。

这意味着，从平行四边形的任意一个顶点出发，连接对角线交点的线段长度均相等。

如何判定是否是平行四边形？为了判定一个四边形是否为平行四边形，我们需要注意以下几点：1. 同位角是否相等：如果四边形的对边相等，且同位角相等，则它是一个平行四边形。

2. 对角线是否互相平分：如果四边形的对角线互相平分，则它是一个平行四边形。

3. 内角是否和为360度：如果四边形的内角和为360度，则它是一个平行四边形。

4. 相邻角是否补角：如果四边形的相邻两个角互补，则它是一个平行四边形。

总之，平行四边形不仅有着独特的特性，而且在日常生活中随处可见。

我们可以通过了解它的性质和判定方法，来更好地理解和应用它在实际问题中的作用。

平行四边形在几何中的重要性不言而喻。

它具有许多基本的性质，在解决几何问题时能够发挥重要的作用。

因此，对于学习者来说，理解和掌握平行四边形及其相关性质是非常重要的。

首先，平行四边形经常用于测量和设计。

例如，平面中的平行线和平行四边形常常被用来构建建筑和道路。

在测量中，以平行四边形为基础可以利用三角函数法求其面积。

当然，求解时需要知道两个相邻的边长和它们之间夹角的大小。

这也是平行四边形的另一个重要性质，它的相邻角互补。

其次，平行四边形经常用于计算图形的重心及其他几何量。

人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ，又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2，方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等。

（2）角：平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分。

4.平行四边形的面积：平行四边形的面积=底边长×高二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）角：矩形的四个角都是直角。

（3）对角线：矩形的对角线相等。

（4）对称性：矩形是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）边：菱形的四条边都相等。

（3）对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

2.正方形的判定定理：（1）判定定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理 3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理 4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积 =底边长×高 = ah（ a 是平行四边形任何一边长，h 必须是 a 边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积 =长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（ 1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（ 2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积 =底×高 =对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定Prepared on 22 November 2020平行四边形一、平行四边形1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形。

4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。

）二、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。

（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。

（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4.菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半四、正方形1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。

几种特殊平行四边形的性质和判定

2.两组对边分别相等
3.一组对边平行且相等
4.两组对角分别相等
5.两条对角线互相平分
1.有三个角是直角的四边形
2.有一个角是直角的平行四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.四边相等的四边形
2.每条对角线平分一组对角的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.对角线相等的菱形
3.有一组邻边相等的矩形
4.对角线互相垂直的矩形
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S=底×高
S=底×高
S=底×高=对角线乘积的一半
S=边长×边长
几种特殊平行四边形的性质和判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角对角相等对角相等并且个角都是直角对角相等四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判
定
1.两组对边分别平行

几种特殊四边形的对角线汇总

几种特殊四边形的对角线汇总特殊四边形是指对角线有特殊性质或满足一定条件的四边形。

在几何学中，有许多类型的特殊四边形，这些四边形具有独特的性质和特点。

在本文中，将汇总几种常见的特殊四边形并解释其性质和特点。

1.矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，其四个角都是直角，即90度。

矩形的对角线相等并且互相平分。

2.正方形正方形是一种具有特殊性质的四边形，它是一种特殊的矩形。

正方形的四个边都相等，四个角也都是直角。

正方形的对角线相等并且互相平分。

3.平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边是平行的。

平行四边形的对角线相交于一个点，并且将对角线分成相等的两段。

4.菱形菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的所有边都相等，每个角都是锐角或钝角，且对角线互相垂直。

菱形的对角线互相平分，并且对角线的长度相等。

5.等腰梯形等腰梯形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个底边是平行的，且两个腰边长度相等。

等腰梯形的对角线不相等，但是对角线的交点与底边中点连线垂直。

6.矩形梯形矩形梯形是一种具有特殊性质的四边形，它是一种同时拥有矩形和梯形特点的四边形。

矩形梯形的两个对边平行且相等，而且有两个角是直角。

矩形梯形的对角线相互垂直，并且将对角线分成相等的两段。

7.正斜四边形正斜四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的两对对边平行，且相邻边相等。

正斜四边形的对角线不互相垂直，但是对角线互相平分。

8.等腰四边形等腰四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个对角线相等，并且每个角都是锐角或钝角。

等腰四边形的对角线的交点与四个顶点连线所得线段相等。

9.等角梯形等角梯形是一种具有特殊性质的四边形，它的两个腰边是平行的，且两个底边夹角相等。

等角梯形的对角线不相等，但是对角线互相平分。

10.等边四边形等边四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的四个边都相等，并且每个角都是锐角或钝角。

等边四边形的对角线相等并且互相平分。

这些特殊四边形具有不同的性质和特点，对于几何学的研究和实际应用具有重要意义。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形，这个词听起来就很牛逼啊！它可是四边形里的一种特殊存在，有着许多神奇的性质和判定方法。

今天，我们就来聊聊这个话题，看看平行四边形到底是个啥玩意儿。

我们来说说平行四边形的定义。

平行四边形，顾名思义，就是两组对边分别平行的四边形。

这听起来很简单吧？但是，你要知道，这个定义可是包含了很多细节的。

比如说，两组对边不仅要平行，而且还要相等。

这样才能保证这个四边形是真正的平行四边形。

还有一种特殊的平行四边形，叫做矩形。

矩形可是个大家伙，它的四个角都是直角，而且对边相等。

所以，矩形也是平行四边形的一种特殊情况。

那么，平行四边形有哪些神奇的性质呢？接下来，我们就来看看吧。

平行四边形的对角线是可以互相平分的。

这意味着，如果你把一个平行四边形切成两个三角形，那么这两个三角形的底边和高都是相等的。

这可是很神奇的事情哦！平行四边形的面积是可以用两种方法计算的。

一种是底乘高，另一种是对角线之积除以2。

这两种方法得到的结果是完全相同的，所以平行四边形的面积是固定的。

这对于我们解决很多实际问题都非常有帮助。

好了，我们已经知道了平行四边形的基本定义和性质。

那么，接下来我们就要说说如何判断一个四边形是不是平行四边形了。

这个问题可不简单，因为有很多种情况都会导致一个四边形看起来像是平行四边形，但实际上并不是。

所以，我们需要掌握一些特殊的判定方法。

我们来看一个简单的方法：看看这个四边形有没有两组对边分别平行。

如果有，那么这个四边形就是平行四边形。

这个方法很简单吧？但是，有时候会出现一些特殊的情况，比如梯形。

梯形只有一组对边平行，所以它不是平行四边形。

这时候，我们就需要用到下一个方法了。

这个方法叫做“对角线互相平分”。

具体来说，就是看看这个四边形的两条对角线是否可以互相平分。

如果可以，那么这个四边形就是平行四边形；如果不可以，那么这个四边形就不是平行四边形。

这个方法虽然比较复杂，但是却非常实用。

特殊四边形的性质与判定(整理资料)

1、特殊四边形的性质：
名称图形边角对角线对称性
平行四边形
D对边平行且
相等
对角相等，
邻角互补
互相平分中心对称
矩形
对边平行且
相等
四个角是直
角
互相平分且
相等
中心对称、
轴对称
菱形
D
B
对边平行
四条边相等
对角相等，
邻角互补
互相平分且
垂直，每条
对角线平分
一组对角
中心对称、
轴对称
正方形
B 对边平行
四条边相
等，
邻边垂直
四个角是直
角
互相平分、
相等、垂直，
每条对角线
平分一组对
角
中心对称、
轴对称
等腰梯形
两底平行，
两腰相等
同一个底上
两个角相等
对角线相等轴对称2、特殊四边形的判定：
平行四边形1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相
4、两组对角分别相等
5、两条对角线互相平分
矩形1．有三个角是直角2、有一个角是直角的平行四边形3、两条对角线平分且相等菱形1、四条边相等2、一组邻边相等的平行四边形3、两条对角线平分且垂直正方形1、有组邻边相等的矩形2、有一个角是直角的菱形3、两条对角线平分、相等且垂直等腰梯形1、同一个底上两个角相等的梯形2、对角线相等的梯形
顺次连结对角线相等的四边形（等腰梯形、矩形、正方形）各边中点构成的四边形是菱形。

顺次连结对角线互相垂直的四边形（菱形、正方形）各边中点构成的四边形是矩形。

顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形（正方形）各边中点构成的四边形是正方形。

1。

特殊平行四边形的性质与判定

边角对角线对称性边
平行四边
形①对边平行
②对边相等
①对角相等
②邻角互补
互相平分中心对称
①两组对边分别分别平
行的四边形②一组对边
平行且相等的四边形
矩形①对边平行
②对边相等
四个角都是
直角
①对角线互相平分
②对角线相等
中心对称，
轴对称
有一个角是直角的平行
四边形是矩形
菱形①对边平行
②四边相等
①对角相等
②邻角互补
①互相垂直平分
②平分每一组对角
中心对称，
轴对称
①有一组邻边相等的平
行四边形是菱形
②四条边都相等的四边
形是菱形
正方形①对边平行
②四边相等
四个角都是
直角
①互相垂直平分
②平分每一组对角
中心对称，
轴对称
一组邻边相等的矩形是
正方形
等腰梯形①两底平行
②两腰相等
同一底上的
两个角相等
对角线相等轴对称
两腰相等的梯形是等腰
梯形
特殊四边形的性质和判定
类别
性质
角对角线
两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形
有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边
形是矩形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有一个角是直角的菱形是正方形对角线互相垂直且相等的平行四边形是
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等
腰梯形
定
判定。

特殊的四边形及三角形的定义性质判定相关计算公式

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质：1平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点,不是轴对称图形;关于对称性的2平行四边形的对角相等；关于角的3平行四边形的邻角互补；关于角的4平行四边形的对边相等；推论：夹在两条平行线间的平行线段;关于边的5平行四边形的对边平行；关于边的6平行四边形的对角线互相平分;关于对角线的7连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形;关于中点四边形的3.平行四边形的判定方法：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定义判定法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4两组对角相等的四边形是平行四边形；5对角线互相平分的四边形是平行四边形;4. 相关计算公式：平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则S=ah平行四边形周长：2×底1+底2；如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c“表示平行四边形周长,则C=2a+b5.平行四边形中常用辅助线的添法：1连结对角线或平移对角线；2过顶点作对边的垂线构成直角三角形；3连结对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线；4连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形；5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等;矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形;2.矩形的性质：1矩形是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,对称轴共有两条；关于对称性的2矩形的对角相等；关于角的3矩形的邻角互补；关于角的4矩形的对边相等；关于边的5矩形的对边平行；关于边的6矩形的对角线互相平分；关于对角线的7矩形的四个角都是直角；关于角的8矩形的对角线相等;关于对角线的9矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等3.矩形的判定方法：1有一个角是直角的平行四边形是矩形；定义判定法2对角线相等的平行四边形是矩形；3关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形4对于平行四边形,若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形5有三个角是直角的四边形是矩形；6四个内角都相等的四边形为矩形；7对角线互相平分且相等的四边形是矩形；8对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形;4.相关计算公式矩形面积：S=ah注:a为边长,h为该边上的高S=ab注:a为长,b为宽矩形周长：C=2a+b注:a为长,b为宽顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质：1菱形既是,是两条对角线所在直线,也是中心对称图形；2在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍;3菱形的对角相等；关于角的4菱形的邻角互补；关于角的5菱形的对边相等；关于边的6菱形的对边平行；关于边的7菱形的对角线互相平分；关于对角线的8菱形的四边都相等；关于边的9菱形的对角线互相垂直,且平分各内角；关于对角线的10顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;关于中点四边形的3.菱形的判定方法：1一组邻边相等的平行四边形是菱形；定义判定法2对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4四条边都相等的四边形是菱形;4. 相关计算公式：菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半;只要是对角线互相垂直的四边形都可用正方形1.正方形的定义：1四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形;2有一组邻边相等的矩形是正方形;3有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形;4有一个角为直角的菱形是正方形;5对角线平分,垂直且相等,并且交角为直角的四边形为正方形;2.正方形的性质：1既是中心对称图形,又是有四条对称轴；关于对称性的2正方形的对角相等；关于角的3正方形的邻角互补；关于角的4正方形的对边相等；关于边的5正方形的相邻边互相垂直；关于边的6正方形的对边平行；关于边的7正方形的对角线互相平分；关于对角线的8正方形的四个角都是直角；关于角的9正方形的对角线相等;关于对角线的10正方形的四边都相等；关于边的（11）正方形的对角线互相垂直,且平分各内角;关于对角线的3.正方形的判定方法：1有一组邻边相等的矩形是正方形；2对角线互相垂直的矩形是正方形；3有一个角为直角的菱形是正方形；4对角线相等的菱形是正方形；5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；6四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；7四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；8对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形;4.相关计算公式：面积计算公式：S=边长×边长或：S=对角线×对角线÷2周长计算公式: C=4×边长顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形;等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形;2. 等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等；简写成“等边对等角”2等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合；简写成“三线合一”3等腰三角形的两底角的平分线相等；两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等4等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；5等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；需用等面积法证明7等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴;3. 等腰三角形的判定方法：1有两条边相等的三角形是等腰三角形2有两个角相等的三角形是等腰三角形简称：等角对等边等边三角形1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形是特殊的等腰三角形;注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形2.等边三角形的性质：1等边三角形的内角都相等,且为60度；2等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；三线合一3等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;3.等边三角形的判定方法：首先考虑判断三角形是等腰三角形1三边相等的三角形是等边三角形；定义2三个内角都相等的三角形是等边三角形；3有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；4等边三角形是锐角三角形；5有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形;等腰梯形1.等腰梯形的定义:一组对边平行不相等,另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形;2.等腰梯形的性质：1等腰梯形只有一条对称轴,上底和下底的中垂线就是它的对称轴；2等腰梯形在同一底上的两个角相等；3等腰梯形的两腰相等；4等腰梯形的两底平行；5等腰梯形的两个底角相等；6等腰梯形的对角线相等；7等腰梯形内接于圆;3. 等腰梯形的判定方法：1一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形；4一组对边平行不相等,另一组对边相等不平行的四边形是等腰梯形；5对角线相等,形成两个等腰三角形;4.相关计算公式等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半；等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高;直角三角形1.直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形;2.直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质：1直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;2在直角三角形中,两个锐角互余;3在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R＝C/2;4直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积;5在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半;3.直角三角形的判定方法：1有一个角为90°的三角形是直角三角形；2一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；3若a的平方＋b的平方=c的平方,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；勾股定理的逆定理;4若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；5两个锐角互余的三角形是直角三角形;。