精品解析：【全国市级联考word】湖南省益阳市2018届高三4月调研考试数学(文)试题(原卷版)

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湖南省2018届高三下学期六校联考试题(4月)理科数学答案

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湖南省益阳市高三4月调研考试理科数学试题及答案

益阳市2018届高三4月调研考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|-l<x<l}，B={x| }，则A B=（）A.(一1,2)B.(0,1)C.(一1,1)D.(1,2)2．已知i为虚数单位，设复数z=为纯虚数，则实数a=（）A．B．一C．一D．3.已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=3，a9a l0=9，则a7a8= （）A. B．2C．4D．34．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过抛物线C上一点A的直线和抛物线C的准线交于点B，且满足AB=2 AF，则直线AB的斜率为（）A.±2 B．±C．±D．±5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.8 B．11 C．14 D. 276．的展开式中项的系数为（）A. -12 B．12 C．-172 D. 1727．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数g'(x)的图象，若g'(x)的图象关于直线x=对称，则（）A． B. C．- D．一9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，如：公元1 984年农历为甲子年，公元1 985年农历为乙丑年，公元1 986年农历为丙寅年，则公元2032年农历为（）A．乙丑年B．丙寅年C．辛亥年D．壬子年10．设双曲线(a>0,b>0)的左焦点F（一c,0），直线3x-y+3c=0与双曲线在第二象限交于点A，若|OA| =|OF|O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D.11．已知其中e为自然对数的底数．若函数f (x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C．D．（一2,1）12.如图所示，已知正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）ABCD-A1B l C1D1中，BC=1，AA1=，a为过直线AC1且与棱BB1相交的平面，则a截该正四棱柱的截面面积的最小值是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

湖南省G10教育联盟2018届高三4月联考数学(理)试题Word版含解析

湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，.............................. ∴故选：B2. 已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵=，∴，故选：A．3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为1的正方形，高为CC1=1，该几何体的所有顶点都是棱长为1的正方体的顶点，故几何体的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，故球的直径R满足：2R==，∴R=，∴球的表面积是4π×（）2=3π故选：C．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A. 丙酉B. 戊申C. 己申D. 己酉【答案】D【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故选：D5. 下列说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆命题为真命题D. 命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】对于A，x=-1时，不能得出，∴充分性不成立，A错误；对于B，命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是：“”，B错误；对于C，命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题，如c=0时，命题不成立；对于D，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题是：“若a=2且b=3，则a+b=5”是真命题，D正确．故选：D．6. 若的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】∵（x+a）2=x2+2ax+a2∵展开式的通项为∴展开式的常数项为﹣C53+2aC54﹣a2∴﹣C53+2aC54﹣a2=﹣1解得a=1或9故选：D．7. 设函数，则下列命题正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 的最小正周期为，且在上为增函数D. 把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】试题分析：函数的周期为，当时，，因此在上递增．故C正确．考点：函数的性质．8. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.9. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.10. 平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵，∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）=（3x+2y）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2=×（3x+2y）2；又=1，即×（3x+2y）2≤1，所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2．故选：B．11. 已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，分别是内角，，的对边，，，，则__________．【答案】【解析】∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，∴sinC=，∴故答案为：14. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：设点A在第一象限，根据焦半径公式,所以,,所以直线的斜率为，所以直线方程设为，与抛物线方程联立整理为，,所以,那么,故填：.考点：直线与抛物线的位置关系15. 已知约束条件表示的可行域为，其中，点，点，若与的最小值相等，则实数等于__________．【答案】2【解析】先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知，则__________．【答案】【解析】：cos（+α）=3sin（α+），∴﹣sinα=﹣3sin（α+），∴sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=；又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（+α）===2﹣4．故答案为：2﹣4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设是数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由的关系明确数列的通项公式；（2），利用并项法求出数列的前项和．试题解析：（1）∵，，∴当时，，得；当时，，∴当时，，即，又，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，，，当为偶数时，；当为奇数时，，∴18. 某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数．（1）求该校此次数学考试平均成绩；（2）计算得分超过141的人数；（3）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．【答案】（1）23；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩；（2），141分以上的人数为；（3）的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差．试题解析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.（2），故141分以上的人数为人．（3）的取值范围为0,1,2,3,4，，，，，，故的分布列为：期望，方差．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19. 已知在直角梯形中，，，，将沿起至，使二面角为直角．（1）求证：平面平面；（2）若点满足，，当二面角为时，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面即可；（2）建立空间直角坐标系计算平面的法向量，利用二面角为45°建立等量关系求出的值.试题解析：(1)梯形中，∵∴.又∵,∴,∴.∴.折起后，∵二面角为直角，∴平面平面.又平面平面,∴平面.又平面，∴.又∵,∴平面.又∵平面，∴平面平面.(2)由(1)知，平面，∴以为原点，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则,设，由,得，得.取线段的中点，连结，则,∵,∴.又∵,∴平面.∴平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则取，则.∴，即或.∵，∴.20. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.试题解析:（I），所以,又，解得．所以椭圆的标准方程．（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．因为与圆相切，则，即；由消去，得，则，，，，即，，设，则，，当时等号成立，所以的最大值等于．21. ，，．（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=e x+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；（2）根据a（x﹣）＜1，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．试题解析：（1）设切点为，则，，①和相切，则，，②所以，即，令，，所以单增，又因为，，所以，存在唯一实数，使得，且，所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．（2）令，则，所以，令，则，由（Ⅰ）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，．当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，，所以两个整数解为0,1，即所以，即；当时，，因为，在内大于或等于1，所以无整数解，舍去．综上，．22. 在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于点、，求的值；【答案】（1）；（2）4【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线C的直角坐标方程即可；（2）先把直线方程化为标准形式，然后将直线l的方程带入曲线C的方程，借助韦达定理及t的几何意义求出+的值即可．试题解析：（1），即，即．（2）因为直线的参数方程为标准形式：（为参数），代入曲线的方程得，则．23. 已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1），得，进而得解；（2）由题意知，分别求值域即可.试题解析：（Ⅰ）由，得（Ⅱ）由题意知又所以或。

【2018】湖南省益阳市2018届高三4月调研考试英语(word版有答案)

2018届湖南省益阳市高三4月调研考试（2018.04）英语试题第一部分听力( 共两节, 满分30 分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后, 你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5 小题;每小题1. 5 分, 满分7. 5 分)听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题, 从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后, 你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Who is a famous singer?A. Mitchell.B. Mike.C. Mary.2. Where is the man going to spend the winter holiday?A. In America.B. In Canada.C. In China.3. What does the man think of time travel in the future?A. Crazy.B. Impossible.C. Practical.4. What does the woman complain about?A. Her work.B. Her house.C. The environment.5. What are the speakers talking about?A. A traffic jam.B. A traffic accident.C. Some traffic rules.第二节(共15 小题;每小题1. 5 分, 满分22. 5 分)听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题, 从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前, 你将有时间阅读各个小题, 每小题5 秒钟;听完后，各小题将给出5 秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6 段材料, 回答第6、7 题。

2018年4月普通高中学业水平考试数学仿真演练试题(word版附答案)

2018年4月普通高中学业水平考试数学仿真演练试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。

2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合{}101,M N =-，，为自然数集，则 M N = A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}12．已知()23231f x x x -=-+，则()1f =A ．15B ．21C ．3D ．0 3．过点()1,2且与直线12+=x y 垂直的直线的方程为A ．230x y +-=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．250x y +-= 4．cos75cos15sin 255sin165︒︒-︒︒的值是A ．12-B ．12C ．2D ．0 5．在下列区间中，函数()e 43xf x x -=+-的零点所在的区间为A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．函数1y =的值域为A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 7．已知sin 20,cos 0αα<<，则下列各式一定成立．．．．的是 A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．sin cos 0αα+> D ．sin cos 0αα->8．直线MN 的斜率为2，其中点()1,1N -，点M 在直线1y x =+上，则A ．()5,7MB ．()4,5MC ．()2,1MD ．()2,3M9．已知点(),P x y 的坐标满足约束条件3,3,220,x y y x O x y ì+?ïïï£íïï+-?ïïî为坐标原点，则 A ．1 B．5 C．5D10．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若132,,S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比q =A ．2-B ．1-C ．12-D ．1211．不等式1122x x x x --->-++的解集为 A ．()(),21,-∞-+∞ B ．(),2-∞- C ．()1,+∞ D ．()2,1-12．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形且1D D ⊥平面ABCD ，则1AC 与BD 所成的角是A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 13．已知向量()()5,,2,2k ==-a b ，则使5-≤a b 成立的充分不必要条件是A ．62k -≤≤B ．62k -≤≤-C ．26k -≤≤D ．26k ≤≤ 14．函数()()()sin ,0,f x x x ωϕωϕ=+∈>-π≤<πR 的部分图象如图所示，则A ．,2ωϕπ==-π B ．,02ωϕπ== C ．,44ωϕππ== D ．3,44ωϕππ==-15．已知点()1,0M -和()1,0N -，若某直线上存在点P ，使得4PM PN +=，则称该直线为“椭型直线”．现有下列直线：①260x y -+=；②0x y -=；③210x y -+=；④30x y +-=．其中是“椭型直线”的是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④16．已知函数()()212f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A ．[]2,0-B ．9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,4 D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面111A B C ，且111111111,2,AC BC AC BC CC P ⊥===是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为A ．B ．5C D ．18．已知直线10x y -+=与双曲线()2210x y ab a b+=<相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则11a b+=A ．1 BC ．2D非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．CB AD AB +-=．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与C 的交点为P ，与y 轴的交点为Q ，且32PF PQ =，则抛物线C 的方程为，点P 的坐标为．21．已知数列{}n a 满足111,3,1,, 3.3n n n n n a a a a a a ++<⎧⎪==⎨≥⎪⎩则数列{}n a 的前12项和12S = ．22．已知函数211x y x -=+的图象与函数2y kx =+的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin sin ,sin sin )C A C B =--m 与(,)b c a =+n 共线．（I ）求角B 的大小；（II ，求ABC △的面积．24．（本小题满分10分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，椭圆C 和抛物线x y =2交于N M ,两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）A 为椭圆的右顶点，经过原点的直线和椭圆C 交于,B D 两点，设直线AB 与AD 的斜率分别为12,k k ．问12k k ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由．25．（本小题满分11分）已知,u v 是方程()2410x tx t --=∈R 的两个不相等的实数根，函数()2222x tf x x -=+的定义域为[],u v ，它的最大值、最小值分别记为()()max min ,f x f x ．（I ）当0t =时，求()()max min ,f x f x ；（II ）令()()()max min g t f x f x =-，求函数()g t 的解析式．参考答案19．CD ． 20．2y =，()421．24．22.)()0,11,4()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+sin sin b Aa B===此时11sin 22ABC S ac B ==⋅⋅=△综上所述，3ABC S =△ABC S =△………………………………………10分 24．（I ）由22=a c 知，可设λλλ2,2,2===bc a ，其中0>λ，由已知(,M c ±，代入椭圆中得：1222=+b c a c ，即122212=+λλ，解得2=λ，从而2,2,22===c b a ，故椭圆C 的标准方程为14822=+y x ．………………………………5分（II ）12k k ⋅为定值，…………………………………………6分下面给出证明．证明：设000( )(0)B x y y >，，则00()D x y --，，且2200221x y a b+=，………………7分而22022200012222220000(1)x b y y y b a k k x a x a x a x a a-⋅=⋅===--+--，……………………9分由（I ）为定值． (10)分（II ）任取[]12,,x x u v ∈且12x x <，则221122410,410x tx x tx --≤--≤，两式相加得7分()()()()()()21121212122222121221222222211x x x x t x x x t x t f x f x x x x x --+-⎡⎤--⎣⎦∴-=-=++++．………8分 1221,0u x x v x x ≤<≤∴-> ，又()()()()()()12121212210,0,,x x t x x f x f x f x f x f x -+-<∴-<∴<∴在[],u v 上单调递增，()()()()max min ,f x f v f x f u ∴==，…………………9分又4,1u v t uv +==-，()()()()()()())()2222222122222221182.2164221v u t u v uv v t u t g t f v f u v u u v t t uv u v uv -+-+⎡⎤--⎣⎦∴=-=-=+++++===+++-+⎣⎦。

2018届高三4月联考数学试题(有答案,有附加题)

2018届高三联考数学2018.04.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.若i z 231-=，)(12R a ai z ∈+=，21z z ⋅为实数，则=a _____.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取40辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在h km /70以下的汽车有_____.3.已知命题411:＞a p ，01,:2＞++∈∀ax ax R x q ，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_____.5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____.6.设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-02023201y y x y x ，则y x z 43+-=的最大值是_____.7.若)(x f 是周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，308)(2+-=x x x f ，则=)10(f _____.8.正方形铁片的边长为cm 8，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为____.9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，32)2(-=πf ，则=)0(f ____.10.平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(1:22221＞＞b a by a x C =-的渐近线与抛物线)0(2:22＞p py x C =交于点B A O ,,,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____.11.已知点)2,1(),0,3(---B A ，若圆)0()2(222＞r r y x =+-上恰有两点N M ,，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.12.设E D ,分别为线段AC AB ,的中点,且0=⋅CD BE ,记α为AB 与AC 的夹角,则α2cos 的最小值为____.13.已知函数x a a x e e x x x x f --++--=4ln 32)(2，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为____.14.若方程0|12|2=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x ＜＜＜，则)()(22314x x x x -+-的取值范围是____.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =.（1）求b 的值；（2）若4π=B ，S 为ABC ∆的面积，求C A S cos cos 28+的取值范围.16.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥,点F E ,分别是111,B A BB 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:∥EF 平面1ADC .17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少%10.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m 万吨)0(＞m .（1）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示）；（2）若A 市永远不需要采取紧急限排措施,求m 的取值范围.18.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a by a x C =+的左顶点，右焦点分别为F A ,，右准线为m .（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为)0,2(-，设N M B ,,是椭圆上的三点，且ON OM OB 5453+=,求:以线段MN 的中点为圆心,过F A ,两点的圆的方程.19.设函数x ax x f ln 121)(2--=，其中R a ∈. （1）若0=a ，求过点)1,0(-且与曲线)(x f y =相切的直线方程；（2）若函数)(x f 有两个零点21,x x . ①求a 的取值范围；②求证：0)()(21＜x f x f '+'.20.设+⊆N M ，正项数列}{n a 的前n 项的积为n T ，且M k ∈∀，当k n ＞时，k n k n k n T T T T =-+都成立.（1）若}1{=M ，31=a ，332=a ，求数列}{n a 的前n 项和；（2）若}4,3{=M ，21=a ，求数列}{n a 的通项公式.附加题21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2nn nn n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．联考数学试题Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．若132z i =-，21()z ai a R +∈=，12·z z 为实数，则a = ▲ ．232．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取40辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆． 163．已知命题11:>4p a ，命题210q x R ax ax +∀∈+>：，，则p 成立是q 成立的 ▲ 条件（选“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空）．充分不必要4．从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲ ．235．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ▲ ．456．设,x y 满足约束条件10232020x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩,则34z x y =-+的最大值是 ▲ ．57．已知()f x 是周期为2的奇函数且当()0,1x ∈时()2830f x x x =-+,则()10f= ▲ ．24- 8．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为▲ ．π79．已知函数()()f x Acos x ωϕ=＋的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = ▲ ．2310．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为▲ ．3211．已知点3,0()1),2(A B ---，，若圆()222(2)0x y r r +=->上恰有两点M N ，，使得MAB∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ▲ ．292(,)2212．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，cos 2α 的最小值为 ▲ ．72513．已知函数2()23ln 4x aa x f x x x x ee --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ▲ ． 1ln 2-14. 若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 ▲ . (8,45]二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且3sinAcosC cosAsinC = .（1）求边b 的值；（2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求82cos S AcosC +的取值范围．解：（1）由正弦定理sin sin a c A C = ，余弦定理222222cos ,cos 22a b c b c a C A ab bc+-+-== sin cos 3cos sin A C A C =可等价变形为222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅化简得2222b a c -= ……………………3分222a c b -= 4b ∴=或0(b =舍）……………………6分若求范围：（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)4S AcosC A C A π=-=-∴+……………………10分在ABC ∆中，由3040202A A C A Cπππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪>⎩ 得3(,)82A ππ∈ 32(0,)44A ππ∴-∈，32cos(2)(,1)42A π∴-∈ 82cos (8,82)S AcosC ∈∴+……………………14分若求定值：由sin cos 3cos sin A C A C =得tan 3tan A C = 故2tan tan 4tan tan tan()11tan tan 13tan A C CB AC A C C+=-+=-=-=-- 解得27tan 3C ±=2220a c b -=>27tan 3C +∴=故tan 27A =+ 由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)8(sin 2cos 2)4S AcosC A C A A A π∴+=-=-=- 2222sin 2cos 22tan 1tan 8()8sin cos tan 1A A A A A A A --+==⋅++ 解得82cos 47S AcosC +=……………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1）正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C = ∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分又正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2）连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分又点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分17．（本小题满分14分）AA 1BCB 1C 1DEF AA 1BCB 1C 1DEF G科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）.（Ⅰ）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)；（Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 解：设2018年的碳排放总量为1a ，2019年的碳排放总量为2a ，… （Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （4分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+.（8分）由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意；（9分）（2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤.综合得40m <；（11分）（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤.（13分）综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （14分）18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ．（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B 、M 、N 是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中点为圆心，过,A F 两点的圆方程．解：（1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c -≥+,22a a c c≥+,12a c c a ≥+,112e e ≥+,2210e e +-≤102e <≤…………………………………………4分（2）当12e =且(2,0)A -时， (1,0)F ，故2,1a c ==， …………………………………………5分所以3b =，椭圆方程是：22143x y += …………………………………………6分设1122()()M x y N x y ，，，，则2211143x y +=，2222143x y +=．由3455OB OM ON =+，得 12123434(,)5555B x x y y ++．因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555+=143x x y y ++ …………………8分即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x xy y ++++⋅⋅+=1212043x x y y += ………① …………………10分因为圆过,A F 两点，所以线段MN 的中点的坐标为121 (,)22y y +- …………11分又2222212121212121111()(2)[3(1)3(1)2]24444y y y y y y x x y y +=++=-+-+………② …………12分由①和②得222212121212111313121()[3(1)3(1)3()][2()](2)24442444416y y x x x x x x +=-+-+-=-+=⋅-=所以圆心坐标为121(,)24-±…………14分（少一解扣一分）故所求圆方程为 2212157()()2416x y ++±= ………………16分 19．（本小题满分16分）设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈ ．（1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x ．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 2分因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1e x －1． …………………… 4分（2）①f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分(ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a．当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先－12－ln 1a＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e＞1e ．因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a)＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 9分考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1x ．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2a ≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分②由x 1，x 2是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1＜x 2)，得 ⎩⎨⎧12ax 12－1－ln x 1＝0，12ax 22－1－ln x 2＝0，两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1x 2＝0，所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x2x 1－x 2． …………………… 13分f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x2x 1－x 2－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0．设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h ′(x )＝2x －1x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0，所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0．因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分20．(本小题满分16分)设M ⊂≠*N ，正项数列{}n a 的前项积为n T ，且k M ∀∈，当n k >时，n k n k n k T T T T +-=都成立． (1)若{1}M =，13a =，233a =，求数列{}n a 的前n 项和；(2)若}4{3M =，，12a =，求数列{}n a 的通项公式．解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)．又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，…………2分故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32．…………4分(2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T kT n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，…………6分因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．…………8分由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………① 由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………② 数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，………③ 数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．…………12分由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22．…………14分又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．…………16分21A .选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，210CD =，3AB BC ==，求BD 以及AC 的长．解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， ………………………2分2()DB DB BA DC +=， 04032=-+DB DB ，5=DB ． …………6分A B C D ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆， …………………………………8分∴BC DBCA DC = ，得5106=⋅=DB DC BC AC ． ……………………………10分21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．OABCD解：（1）12211 12a b a A b α+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎡⎤⎢⎦⎣⎥-⎣⎦⎦，1242λλαλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2422a b +=⎧∴⎨-+=⎩ 解得24a b =⎧⎨=⎩ 故12 14A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………4分（2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(',')x y则 '122'4 14x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, '2'4x x y y x y =+⎧∴⎨=-+⎩ 2''3''6x y x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩4x y -= ∴''8x y -= ∴直线l 的方程为80x y --=…………10分21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分 21D .选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 证明：n n12131211222-<++++ (n ≥2，*n N ∈). 证明：n n n )1(13212111131211222-++⨯+⨯+<++++………5分nn 11131212111--++-+-+= n12-=． ………10分 22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分（2）猜想：2n n a =．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立，则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=．则1n k =+时，12311112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++．由111C C C k k kn nn +++=+得 102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++ 0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+k k k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++．又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++，于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=，故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。

湖南省益阳市高三4月调研考试数学(文)试题

益阳市2018届高三4月调研考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{}1A x x =≥，{}20B x x =-≤，则U A B =ð（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,2D ．[]1,2 2.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若45iz i-=，则()3i z -=（） A ．1117i + B ．1117i - C ．1117i -+ D ．1117i -- 3.已知命题:p “0a ∀≥，42a a ≥+0”，则命题p ⌝为（） A ．4200a a a ∀≥<,+B ．420a a a ∀≥≤,+0C ．4200000a a a ∃<<,+D ．4200000a a a ∃≥<,+4.已知向量()4,1a =-，()2,b m =，且()//a a b +，则m =（） A ．12 B ．12- C.2 D ．2- 5.如图所示的程序框图，若输出的6y =-，则输入的x 值为（）A ．92-B ．12 C.32 D ．92-或126.现有6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌，从中取出1张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除18的概率是（）A ．13 B ．12 C.23 D ．147.已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A ．83+B ．83+ C. 83+ D ．8+8.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m ，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为n S ，则（）A ．n S 无限大B ．(33n S m <+C.(33n S m =D ．n S 可以取100m9.将函数()()cos 22f x x πθθ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线4x π=对称，则θ=（）A ．6πB ．12π C.6π- D ．12π-10.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若5b =，60C =，且ABC △的面积为ABC △的周长为（）A ．8+B ．9+10．1411.设双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点(),0F c -，直线330x y c -+=与双曲线Γ在第二象限交于点A ，若O A O F =（O 为坐标原点），则双曲线Γ的渐近线方程为（） A．y x = B．y x =C.y x = D．y x = 12.已知函数()()21,0,24,0,xa e x x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩其中e 为自然对数的底数.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()11,12,0e ⎡⎫+-⎪⎢⎣⎭B ．11,1e ⎛⎫+⎪⎝⎭C.12,1e ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．()2,1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()212x xf x a R a =∈+⋅的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，则a = ． 14.已知x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =+的最小值为．15.已知斜率为1，且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆22:4C x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB △b = ．16.分别在曲线ln y x =与直线26y x =+上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，且方程2130a x dx --=的两个根分别为1-，3.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 在三棱锥P ABE -中，PA ⊥底面ABE ，AB AE ⊥，122AB AP AE ===，D 是AE的中点，C 是线段BE 上的一点，且AC =PC ，PD ，CD .（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求点E 到平面PCD 的距离.19. 某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取100名学生的成绩，按从低到高分成[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知[)40,50的频率等于[)80,90的频率，[)80,90的频率与[]90,100的频率之比为3:2，成绩高于80分的为“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（2）请你根据已知条件将下列22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”？附临界值表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20. 已知抛物线1C 的方程为()220x py p =>，过点(),2M a p -（a 为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N 两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为'Q ，'N ，且''Q N =1C 的方程；（2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k .求证：12k k ⋅为定值. 21. 已知函数()()321ln 12af x e x x =+-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当23a =时，()xxe m f x +≥恒成立，求实数m 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是24,1x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 以极坐标系中的点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3为半径.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）判断直线l 与圆C 之间的位置关系. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-. （1）当0a =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()3f x x ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBD 6-10:DBBAB 11、12：CB 二、填空题13.1 14.2(7ln 25+三、解答题17.解：（1）由题知，1113,313,da a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩解得12,1.d a =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知，()214222221422nna n n nb a n n -=+=+-=+-，则()()23144442610422n n S n =⨯+++++++++-()()41424212142nn n -+-=⨯+- 1242263n n +=+-.18.解：（1）因为122AE =，所以4AE =. 又2AB =，AB AE ⊥，所以在Rt ABE △中，由勾股定理，得BE ===因为12AC BE ==，所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线. 所以C 是BE 的中点. 又因为D 是AE 的中点，所以直线CD 是Rt ABE △的中位线，所以//CD AB .又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB . （2）由（1）得，112CD AB ==. 又因为122DE AE ==，DE CD ⊥. 所以1112122CDES CD DE =⋅=⨯⨯=△. 又因为2AP =，所以11212333CDE P CDE V S AP -=⋅=⨯⨯=三棱锥△.易知PD =，且PD CD ⊥，所以11122CDP S CD PD =⋅=⨯⨯=△设点E 到平面PCD 的距离为d ，则由P CDE E PCD V V --=三棱锥三棱锥，得1233CDP S d ⋅=△，即1233d =，解得d =即点E 到平面PCD 19.解：（1）设[)80,90的频率为3x ，则[)40,50的频率为3x ，[]90,100的频率为2x .则()100.0020.0160.0260.0243321x x x ⨯++++++=，解得0.04x =.故[)80,90的频率为0.12，[]90,100的频率为0.08.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为0.120.080.20+=. 故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为10000.20200⨯=. （2）根据已知条件得列联表如下：因为()22100188522219.84110.82840607030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”. 20.解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp+=，即212x y p +=. 联立22,21,2x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(),Q Q Q x y ，(),N N N x y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-.则''Q N Q N x x =-==== 解得2p =.所以抛物线1C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ()120,0x x ><.依题意，由()220x py p =>，得22x y p=，则'x y p=.所以切线MA 的方程是()111x y y x x p-=-，即2112x x y x p p=-. 又点(),2M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=. 同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根，则122x x a +=，2124x x p =-.所以21212122244x x x x p k k p p p p -⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证.21.解：（1）由题知，函数()()321ln 12af x e x x =+-+的定义域是()0,+∞. ()'2132e af x x +=-，当0a ≤时，()'0fx >对任意()0,x ∈+∞恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()'0fx >，得()22103e x a+<<；令()'0f x <，得()2213e x a+>；所以函数()f x 的单调递增区间是()2210,3e a +⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是()221,3e a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）当23a =时，()x xe m f x +≥恒成立，即为()21ln 1x xe m e x x +≥+-+恒成立，即为()21ln 10x xe m e x x +-++-≥恒成立.设()()21ln 1x g x xe m e x x =+-++-，则()'211x x e g x e xe x+=+-+. 显然()'g x 在区间()0,+∞上单调递增，且()'10g =，所以当()0,1x ∈时，()'0g x <；当()1,x ∈+∞时，()'0g x >；所以函数()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 所以()()min 10110g x g e m ==+-+-≥，解得m e ≥-.即实数m 的最小值是e -.22.解：（1）点2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标是(，故以点(为圆心，3为半径的圆C 的直角坐标方程是()(22213x y -+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得圆C 的极坐标方程是22cos sin 50ρρθθ---=. （2）由24,1x t y t =+⎧⎨=-⎩得214x y -=-，得460x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为460x y +-=.因为圆心(C 到直线:460l x y +-=的距离3d r ==<=，所以直线l 与圆C 相交.23.解：（1）当0a =时，()2f x x x =+-.当0x ≤时，由23x x -+-≤，得102x -≤≤；当02x <<时，由23x x +-≤，得02x <<；当2x ≥时，由23x x +-≤，得522x ≤≤. 综上所述，不等式()3f x ≤的解集为15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由()3f x x ≥-，得32x a x x +≥---.令()1,2,3252,23,1, 3.x g x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩作出()g x 的图象如图所示，由题意知()g x 的图象恒在函数y x a =+的图象的下方. 由图象可知，当y x a =+经过点()2,1时，解得3a =-或1a =-. 当1a =-时，y x a =+的图象经过()1,0点，显然不成立；当3a =-时，y x a =+的图象经过()3,0点，成立，所以3a ≤-，即实数a 的取值范围为(],3-∞-.。

湖南省益阳市2018届高考4月调研考试数学(文)试题-有答案

益阳市2018届高三4月调研考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{}1A x x =≥，{}20B x x =-≤，则U A B =ð（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,2D ．[]1,2 2.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若45iz i-=，则()3i z -=（） A ．1117i + B ．1117i - C ．1117i -+ D ．1117i --3.已知命题:p “0a ∀≥，42a a ≥+0”，则命题p ⌝为（）A ．4200a a a ∀≥<,+B ．420a a a ∀≥≤,+0C ．4200000a a a ∃<<,+D ．4200000a a a ∃≥<,+4.已知向量()4,1a =-，()2,b m =，且()//a a b +，则m =（） A ．12 B ．12- C.2 D ．2- 5.如图所示的程序框图，若输出的6y =-，则输入的x 值为（）A ．92-B ．12 C.32 D ．92-或126.现有6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌，从中取出1张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除18的概率是（） A ．13 B ．12 C.23 D ．147.已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．8+B ．8283+ C.16283+ D ．882+8.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m ，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为n S ，则（）A ．n S 无限大B ．(335n S m <+ C.(335n S m =D ．n S 可以取100m9.将函数()()cos 22f x x πθθ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线4x π=对称，则θ=（）A ．6π B ．12π C.6π- D ．12π-10.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若5b =，60C =，且ABC △的面积为，则ABC △的周长为（）A．8 B ．9211021．1411.设双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点(),0F c -，直线330x y c -+=与双曲线Γ在第二象限交于点A ，若OA OF =（O 为坐标原点），则双曲线Γ的渐近线方程为（） A ．10y x = B ．2y x = C.6y x = D ．5y x = 12.已知函数()()21,0,24,0,xa e x x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩其中e 为自然对数的底数.若函数()f x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()11,12,0e ⎡⎫+-⎪⎢⎣⎭B ．11,1e ⎛⎫+⎪⎝⎭C.12,1e ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．()2,1- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()212x xf x a R a =∈+⋅的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，则a =． 14.已知x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =+的最小值为．15.已知斜率为1，且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆22:4C x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB △3b =．16.分别在曲线ln y x =与直线26y x =+上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，且方程2130a x dx --=的两个根分别为1-，3. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 在三棱锥P ABE -中，PA ⊥底面ABE ，AB AE ⊥，122AB AP AE ===，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，连接PC ，PD ，CD.（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求点E 到平面PCD 的距离.19. 某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取100名学生的成绩，按从低到高分成[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知[)40,50的频率等于[)80,90的频率，[)80,90的频率与[]90,100的频率之比为3:2，成绩高于80分的为“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（2）请你根据已知条件将下列22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”？()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20. 已知抛物线1C 的方程为()220x py p =>，过点(),2M a p -（a 为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N 两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为'Q ，'N ，且''5Q N =1C 的方程；（2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k .求证：12k k ⋅为定值. 21. 已知函数()()321ln 12af x e x x =+-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当23a =时，()xxe m f x +≥恒成立，求实数m 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是24,1x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 以极坐标系中的点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3为半径. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）判断直线l 与圆C 之间的位置关系. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-. （1）当0a =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()3f x x ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBD 6-10:DBBAB 11、12：CB 二、填空题13.1 14.262(7ln 25+三、解答题17.解：（1）由题知，1113,313,da a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩解得12,1.d a =⎧⎨=⎩故数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知，()214222221422nna n n nb a n n -=+=+-=+-，则()()23144442610422n n S n =⨯+++++++++-()()41424212142nn n -+-=⨯+- 1242263n n +=+-.18.解：（1）因为122AE =，所以4AE =. 又2AB =，AB AE ⊥，所以在Rt ABE △中，由勾股定理，得222425BE ==+=因为152AC BE ==，所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线. 所以C 是BE 的中点. 又因为D 是AE 的中点，所以直线CD 是Rt ABE △的中位线，所以//CD AB .又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB .（2）由（1）得，112CD AB ==. 又因为122DE AE ==，DE CD ⊥. 所以1112122CDE S CD DE =⋅=⨯⨯=△. 又因为2AP =，所以11212333CDE P CDE V S AP -=⋅=⨯⨯=三棱锥△. 易知22PD =PD CD ⊥，所以11122222CDP S CD PD =⋅=⨯⨯=△. 设点E 到平面PCD 的距离为d ，则由P CDE E PCD V V --=三棱锥三棱锥，得1233CDP S d ⋅=△，即1233d =，解得2d =即点E 到平面PCD 219.解：（1）设[)80,90的频率为3x ，则[)40,50的频率为3x ，[]90,100的频率为2x .则()100.0020.0160.0260.0243321x x x ⨯++++++=，解得0.04x =.故[)80,90的频率为0.12，[]90,100的频率为0.08.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为0.120.080.20+=. 故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为10000.20200⨯=. （2）根据已知条件得列联表如下：因为()2100188522219.84110.82840607030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.20.解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp+= ，即212x y p +=. 联立22,21,2x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(),Q Q Q x y ，(),N N N x y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-.则()2''4Q N Q N Q N Q N x x x x x x =-=+-424254p p ==+= 解得2p =.所以抛物线1C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ()120,0x x ><.依题意，由()220x py p =>，得22x y p=，则'x y p=. 所以切线MA 的方程是()111x y y x x p-=-，即2112x x y x p p=-. 又点(),2M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=.同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根，则122x x a +=，2124x x p =-.所以21212122244x x x x p k k p p p p-⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证.21.解：（1）由题知，函数()()321ln 12af x e x x =+-+的定义域是()0,+∞. ()'2132e af x x +=-，当0a ≤时，()'0fx >对任意()0,x ∈+∞恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()'0f x >，得()22103e x a+<<；令()'0fx <，得()2213e x a+>；所以函数()f x 的单调递增区间是()2210,3e a +⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是()221,3e a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当23a =时，()xxe m f x +≥恒成立，即为()21ln 1xxe m e x x +≥+-+恒成立，即为()21ln 10xxe m e x x +-++-≥恒成立.设()()21ln 1xg x xe m e x x =+-++-，则()'211x x e g x e xe x+=+-+. 显然()'g x 在区间()0,+∞上单调递增，且()'10g =，所以当()0,1x ∈时，()'0g x <；当()1,x ∈+∞时，()'0g x >；所以函数()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 所以()()min 10110g x g e m ==+-+-≥，解得m e ≥-.即实数m 的最小值是e -.22.解：（1）点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标是(，故以点(为圆心，3为半径的圆C 的直角坐标方程是()(22213x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得圆C的极坐标方程是22cos sin 50ρρθθ---=. （2）由24,1x t y t=+⎧⎨=-⎩得214x y -=-，得460x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为460x y +-=.因为圆心(C １，３到直线:460l x y +-=的距离435317d r -==<=，所以直线l 与圆C 相交.23.解：（1）当0a =时，()2f x x x =+-. 当0x ≤时，由23x x -+-≤，得102x -≤≤；当02x <<时，由23x x +-≤，得02x <<；当2x ≥时，由23x x +-≤，得522x ≤≤. 综上所述，不等式()3f x ≤的解集为15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由()3f x x ≥-，得32x a x x +≥---.令()1,2,3252,23,1, 3.x g x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩作出()g x 的图象如图所示，由题意知()g x 的图象恒在函数y x a =+的图象的下方.由图象可知，当y x a =+经过点()2,1时，解得3a =-或1a =-. 当1a =-时，y x a =+的图象经过()1,0点，显然不成立；当3a =-时，y x a =+的图象经过()3,0点，成立，所以3a ≤-，11 即实数a 的取值范围为(],3-∞-.。

2018届湖南省益阳市高三下学期模拟考试文科数学试题及答案

绝密 ★ 启用前本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}{}1,2,3,1,2,4A B ==，则A B 等于 A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,3,42．已知i 为虚数单位，则(1)i i -等于 A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1:2:4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为 A ．20B ．40C ．60D ．804．“方程220x x m -+=有实数根”是“0m <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为正视图侧视图俯视图2018届益阳市高三模拟考试数学（文史类）A ．163π B ．203π C ．403πD ．5π 6．若向量a 、b 满足||1a =、||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π7．已知双曲线12222=-by a x的一个焦点与抛物线2y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于310，则该双曲线的方程为 A ．1922=-y xB ．1922=-y xC ．122=-y xD ．19922=-y x8．函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f +=等于 A ．12BCD ．19．已知函数()2()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程()f x k =在区间0+∞（，）上有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是A．(1,1+B ．(2,1C．(3,3+D ．(4,310．已知点(,)P x y 是平面区域40(4)y x y x m y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点(1,1)A -，O 为坐标原点，设||()OP OA R λλ-∈的最小值为M，若M ≤,则实数m 的取值范围是A ．11[,]35-B ．11(,][,)35-∞-+∞C ．1[,)3-+∞D ．1[,)2-+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．利用计算机产生01之间的均匀随机数a ，则事件“1||2a <”发生的概率为________.12．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合,且单位相同，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则该曲线的直角坐标方程为 .13．某程序框图如右图所示，则输出的结果S 为．14．函数log 1(0,1)a y x a a =+>≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上,其中0mn >,_______.15的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP=x ，则()f x AP PF =+．（1）min ()f x = ；（2）函数()f x 的零点个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45A =，4cos 5B =. （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求AB 、CD 的长.17．（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示.（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.18．（本小题满分12分）如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD CD ⊥,AB ∥CD ,22CD AB AD ==.（Ⅰ）求证:BC BE ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正切值；（Ⅲ）在EC 上找一点M ,使得BM ∥平面ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明.甲组乙组917 10 1x8 9FC19．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 各项都是正数，12a =，14n n n a a m +⋅=⋅，*n N ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：...4⋅<.20．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且||||OA OF =，AOF △的面积为1（其中O 为坐标原点）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP ∙为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分13分）设函数2()ln (),f x x x a a R =+-∈（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,2]2存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求函数()f x 的极值点.2018届益阳市高三模拟考试参考答案数学（文史类）一、选择题（5分×10=50分）二、填空题（5分×5=25分）11、0.5 12、2220x y x +-= 13、26 14、、三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）解（1）在三角形中,54cos =B ,故B 为锐角∴53sin =B ………3分所以1027sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C …6分（2）三角形ABC 中，由正弦定理得ABCC AB sin sin =, ∴14=AB ，……………9分又D 为AB 中点，所以BD=7在三角形BCD 中，由余弦定理得: 37cos 2222=⋅⋅-+=B BD BC BD BC CD [高[考∴试﹤题∴37=CD ……………12分 17.（本小题满分12分）解：(1)依题意得:89103544x x +++==,解得8x =,……………3分方差2222135353511[2(8)(9)(10)]444416s =⨯-+-+-=. ……………6分（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为12,A A ,他们的命中次数分别为9,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为123,,B B B ,他们的命中次数分别为8,8,9.依题意,不同的选取方法有:111213(,),(,),(,)A B A B A B ,212223(,),(,),(,)A B A B A B 共6种. ……9分设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C ，则C 中恰含有1112(,),(,)A B A B 共2种.21()63P C ∴==. ……………12分18.（本小题满分12分）解：（１）由已知：面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF 面ABCD AD =.3+DE AD ⊥,,DE ADEF DE ABCD ⊂∴⊥面面,DE BC ∴⊥.取,,CD P BP 中点连结则四边形ABPD 为正方形.设222,CD AB AD a ===则可求得,BC BD ==, 22224BD BC CD a ∴+==,BC BD ∴⊥, 从而,BC BDE BC BE ⊥∴⊥面. …………4分（2）由(1)可知: ,BC BDE ⊥面CEB ∴∠即为CE 与面BDE 所成的角.Rt CBE 中,,BE BC ==,tan 3BC CEB BE ∴∠===. ……8分（3）取EC 中点M ,则BM ∥面ADEF ，证明如下：连结MB 、MP ，由（1）知BP ∥AD ，∴BP ∥面ADEF ，EDC 中,△M 、P 分别为EC 、DC 的中点，MP ∴∥ED ，∴MP ∥面ADEF ，∴面BMP ∥面ADEF ，∴BM ∥面ADEF . ……………12分19.（本小题满分13分）解：（1）设{}n a 的公比为q ，由已知11124(*)4nn n n n n a a m n N a a m ++++⎧⋅=⋅⎪∈⎨⋅=⋅⎪⎩，两式相除得：214n n aa ++=，故24,2q q =∴=，111222n n n n a a q --==∙=.…6分（2）由（1）知1222,(2)2nnnn n n a ===，12121212 (2222)22......2222nn nn +++⋅⋅=⋅⋅= ……………9分设1212...222n n n T =+++，则231112 (2222)n n nT +=+++，两式相减得： 121111111...12222222n n n n n n n T ++=+++-=--，112222n n n nT -∴=--<， 1212 (22)22224n n+++∴<=，即...4⋅⋅<.……………13分20.（本小题满分13分）解：(1)由已知:112b c bc =⎧⎪⎨=⎪⎩,b c ∴==2224a b c ∴=+=,所以椭圆方程为22142x y +=. ……………4分（2）由（1）知，(2,0),(2,0)C D -.由题意可设11:(2),(,)CM y k x P x y =+. ,(2,4).MD CD M k ⊥∴由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=,2222(8)4(12)(84)0k k k ∴=-+->△22112284242,1212k k x x k k --∴-==++即.1124(2)12ky k x k ∴=+=+, 222244(,).1212k k P k k -∴++点222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+∴∙=∙+∙==+++(定值).……9分(3)设00(,0),2Q x x ≠-且.若以MP 为直径的圆恒过,DP MQ 的交点, 则,0MQ DP QM DP ⊥∴∙=恒成立.由(2)可知:0(2,4)QM x k =-,22284(,).1212k kDP k k-=++ 202284(2)401212k kQM DP x k k k -∴∙=-∙+∙=++,即2028012k x k =+恒成立, 00.x ∴= ∴存在(0,0)Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点.……………13分21.（本小题满分13分）解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()20f x x x=+>，()f x ∴在[1,]e 上增函数，当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =，()f x ∴在[1,]e 上的最小值为1.……………4分（2）21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=,设2()221g x x ax =-+.依题意,在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式()0g x >成立.注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上,所以只要(2)0,g >或1()02g >即可.由(2)0g >得8410a -+>,解得94a <，由1()02g >得1102a -+>,得32a <，94a ∴<，即实数a 取值范围是9(,)4-∞. ……………8分（3）2221'()x ax f x x-+=，令2()221h x x ax =-+。

精品解析：【全国市级联考】湖南省益阳市2018届高三4月调研考试理综物理试题(解析版)

湖南省益阳市2018届高三4月调研考试理综物理试题二、选择题：本题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，第14〜18题只有一项符合题目要求，第19〜21题有多项符合题目要求。

1. 关于下列物理史实与物理现象，说法正确的是A. 光电效应现象由德国物理学家赫兹发现，爱因斯坦对其做出了正确的解释B. 只有入射光的频率低于截止频率，才会发生光电效应C. 根据爱因斯坦的光电效应方程可知，光电子的最大初动能与入射光的频率成正比D. 光电效应现象证明光是一种波【答案】A【解析】A、1887年德国物理学家赫兹发现了光电效应现象，爱因斯坦对光电效应的实验规律做出了正确的解释，故A正确；B、每种金属都有一个截止频率，只有入射光的频率高于截止颗率，才会发生光电效应，故B错误；C、爱因斯坦的光电效应方程，光电子的最大初动能与入射光的频率不成正比，故C错误，D、光电效应现象证明光具有粒子性，故D错误；故选A。

2. 2018年2月12日，长征三号乙运载火箭以“—箭双星”的形式将北斗三号第五颗、第六颗全球组网导航卫星成功送入预定轨道，这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，即采用圆轨道，轨道高度低于同步卫星的轨道高度，万有引力常量为已知，下列说法正确的是A. 这两辆卫星在其轨道上运行的速率小于同步卫星的速率B. 如果已知这两辆卫星在其轨道上运行的周期可以计算出地球质量C. 如果已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径可以计算出地球密度D. 这两颗卫星在其轨道上运行的速率小于第一宇宙速度的大小【答案】D【解析】AD、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，由于，所以这两辆卫星在其轨道上运行的速率大于同步卫星的速率，小于第一宇宙速度的大小，故A错误，D正确；B、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，已知这两辆卫星在其轨道上运行的周期和万有引力常量，不知这两辆卫星在其轨道上运行的半径，所以不能求出地球质量，故B错误；C、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，解得，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径，能求出地球质量，由于密度公式可知，地球的半径不知道，不能求出地球密度，故C错误；故选D。

湖南省2018届高三摸底联考(全国卷)理数试题 Word版含答案

湖南省2018届高三摸底联考（全国卷）理数试题 Word 版含答案数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 0M x x =≥，{}2|4N x x =≤，则M N = （）A ．[]1,2B ．[]0,2C ．[]1,1-D ．()0,2 2.已知i 为虚数单位，设复数11iz i i-=-++，则z 的虚部为（） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．-23.已知双曲线()22210x y a a-=>的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =± B．y = C ．14y x =±D ．12y x =± 4.在等比数列{}n a 中，218,a a 是方程2640x x ++=的两根，则41610a a a +=（）A ．6B ．2 C.2或6 D ．-2 5.设实数2log 3a =，131log 2b =，01sin c xdxπ=⎰，则（）A ．a b c >>B ．a c b >> C.b a c >> D ．b c a >> 6.执行如下程序，输出S 的值为（）A ．10072015 B ．10082017 C.20162017 D ．201540327.函数()221x x e x f x e =+ 的大致图象是（）A ．B ． C.D ．8.如图，边长为1的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．213π+B ．4233π+ C. 433π+ D ．43π+ 9.2016年11月16日〜18日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将,,,,,A B C D E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求A B 、必须相同，且每组至少2人，则不同的分配方法有（） A ．18种 B ．20种 C. 22种 D ．以上都不对10.设抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上的一点，且PA l ⊥，A 为垂足，若直线AF 的倾斜角为135︒，则PF =（）A ．1B ．11.已知P ABC -是正三棱椎，其外接球O 的表面积为16π，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=︒，则三棱锥的体积为（）A B C.．12.若函数()11sin cos 3cos 422f x x x a x a x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(],0-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式()3nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，则展开式中含x 项的系数为．14.已知菱形ABCD 的中心为O ，3BAD π∠=，1AB =，则()()OA OB AD AB -+等于．15.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，…，即()1F x =，()()()()123,F n F n F n n n N *=-+-≥∈，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2017b = ．16.已知,x y 满足约束条件,4,1,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若不等式()()222m x y x y +≤+恒成立，则实数m的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）设锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2b是2sin cos a A C 与sin 2c A 的等差中项.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥于点O ，E 为线段PC 上一点，且AC BE ⊥.（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若//BC AD ，BC =AD =3PA =，且AB C D =，求二面角C PD A--的余弦值.19.（本小题满分12分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值85μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3μσ-或车速大于2μσ+是需矫正速度.（Ⅰ）从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；（Ⅱ）从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；（Ⅲ）从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ε，求ε的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为()0,1（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上的动点（不在x 轴上），过右焦点2F 作直线2PF 的垂线交直线:2l x =于点Q .判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数()()ln ,a xf x b a b R x=+∈的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. （Ⅰ）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当()()()1212f x f x x x =≠时，比较12x x +与2e （e 为自然对数的底数）的大小.。

2018年高考理科数学4月调研测试卷(附参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集U R =，集合{1012}A =-，，，，2{|log 1}B x x =<，则()U A B =I （A ）{12}，（B ）{102}-，，（C ）{2}（D ）{10}-，（2）复数z 满足(12i)3i z +=+，则=z（A ）1i - （B ）1i +（C ）1i 5- （D ）1i 5+ （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73=a ，123=S ，则=10a（A ）10 （B ）28（C ）30（D ）145（4）“1cos 22α=”是“ππ()6k k Z α=+∈”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（A ）2()||f x x x =+（B ）()22x xf x -=-（C ）2()log ||f x x =（D ）43()f x x-=（6）已知向量a r ，b r 满足||3a b -=r r 且(01)b =-r ，，若向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，则||a =r（A ）2 （B）（C ）4（D ）12（7）中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（A ）221a Z -∈ （B ）215a Z -∈ （C ）27a Z -∈（D ）23a Z -∈C（8）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心12O O ，均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（A（B（C）10π36-（D）8π36（9）设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（A（B（C（D）（10）某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（A ）18 （B）8+（C ）24（D）12+（11）已知双曲线22221(00)x ya b a b-=>>，的左右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是（A（B ）2（C（D（12）已知函数()ln f x x a =+，()1g x ax b =++，若0x ∀>，()()f x g x ≤，则ba的最小值是（A ）1e +（B ）1e -（C ）1e -（D ）12e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【全国大联考】【湖南(新课标Ⅰ)】湖南省益阳市2018届高三4月调研考试理综化学试题(原卷版)

湖南省益阳市2018届高三4月调研考试理综化学试题第I卷（选择题）1．人类的生活、生产离不开化学。

下列说法正确的是A．市售苏打水的pH约为7B．维生素C能使Fe2+转化为Fe3+C．光导纤维的导电性能优于铜D．硫酸钡常用于X射线造影剂2．用0.0100mol/L的KMnO4标准溶液滴定某未知浓度的H2C2O4溶液,下列说法错误的是A．该滴定实验不需要指示剂B．该实验用到的玻璃仪器有酸式滴定管、碱式滴定管、锥形瓶C．滴定管使用前需检验是否漏液D．若滴定终止时，仰视读数,所测H2C2O4浓度偏高3．富瓦烯类化合物甲、乙、丙的结构简式如图所示,下列说法正确的是A．甲与丙互为同系物B．乙与丙互为同分异构体C．甲的一溴代物种数少于丙D．三者各1mol时,消耗Br2的物质的量相等4．某化学课题小组将二氧化硫的制备与多个性质实验进行了一体化设计,实验装置如图所示。

下列说法不正确的是A．a、b、c中依次盛装70%硫酸.Na2SO3固体、NaOH溶液B．实验时，湿润的pH试纸、鲜花、品红溶液、KMnO4溶液均褪色，Na2S溶液出现淡黄色沉淀C．此设计可证明SO2水溶液的酸性,SO2的氧化性、还原性、漂白性D．点燃酒精灯加热,可证明SO2使品红溶液褪色具有可逆性,使KMnO4溶液褪色不具有可逆性5．锌-铈液流电池体系作为氧化还原液流电池中的新生一代,有着诸多的优势，如开路电位高、污染小等。

锌-铈液流电池放电时的工作原理如图所示,其中，电极为惰性材料,不参与电极反应。

下列有关说法正确的是A．放电时，电池的总反应式为2Ce4++Zn=Zn2++2Ce3+B．充电时，a极发生氧化反应，b极发生还原反应C．充电时,当电路中通过0.1mol电子时,b极增加14gD．选择性离子膜为阴离子交换膜，能阻止阳离子通过6．A、B、C、D、E的原子序数依次增大,其中E不属于短周期元素,常见单质分子B2中含有3对共用电子对,D的最外层电子数是周期序数的2倍,E单质是一种紫红色金属,甲、乙、丙是上述部分元素组成的二元化合物.且乙、丙分子所含电子总数相同，转化关系如图所示,其中甲是黑色固体,丙是一种常见的无色液体。

湖南益阳市2018年高三年级4月调研考试数学[文]试题含解析

益阳市2018届高三4月调研考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，，根据集合补集的定义可得，由集合交集的运算法则可得.故选C.2. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，根据复数的乘除运算法则，可得，由共轭复数的定义，得，所以.故选C.3. 已知命题“，”，则命题为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即.故正确答案为D.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得，又∥，所以，解之得.故选B.5. 如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意，根据程序框图可得分段函数，当时，由，解得；当时，由，解得.故正确答案为D.点睛：此题主要考查程序框图的识别执行能力，以及分段函数中求函数值的计算能力等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是最近几年来的必考题型.一般程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框图（起止框、输入输出框、赋值框、判断框）；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字.6. 现有张牌面分别是，，，，，的扑克牌，从中取出张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，试验的情况总数有，又，即两次所记数字之和能整除的有：，，，两次交换顺序共8种，还有，即所求事件个数共有，所以所求概率为.故选D.7. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图，可知该几何体是由一边长为的正方体和一正四棱锥组合在一起的简单组合体，所该几何体的体积为.故正确答案为B.8. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（）A. 无限大B.C. D. 可以取【答案】B【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为，，，…，则数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，当时，则.故选B.9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，令，即函数的对称轴为，又，当时，有，解得.故选A.点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.10. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得，即，解得，根据余弦定理得，即，，所以的周长为.故选B.11. 设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，双曲线右焦点，又，所以，则为直角三角形，即，则，，由双曲线定义得，即，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选C.点睛：此题主要考查双曲线的定义及方程、渐近线方程、焦点，以及直线与双曲线位置关系、勾股定理的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常采用数形结合法来求解，数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.12. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】（有待研究）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图象关于点对称，则__________．【答案】1【解析】由已知，得，，整理得，所以当时，等式成立，即.14. 已知，满足约束条件则的最小值为__________．【答案】2【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点时，在轴上的截距最小，即.15. 已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则__________．【答案】或【解析】由题意，可知真线的方程为，圆的圆心为，半径为，由点到直线的距离公式，知圆心到真线的距离为，则，所以，又，解得或.16. 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，得，令，即，，则曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，由点到直线的距离公式得，即.点睛：此题主要考查求曲线上动点到直线距离最值的计算，以及导数几何意义在解决几何问题中的应用等有关方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在此类问题中，常将距离的最值转化为切线问题，利用导数的几何意义，求出切点，再将问题转化为点到直线的距离问题，从而问题得解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列的通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算，即将数列分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前项和公式进行运算，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，解得故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则.18. 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出，又，易知为的中点，由三角形中位线性质可知，与平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由，又其底面与均为直角三角形，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以.又，，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，.又因为，.所以.又因为，所以.易知，且，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.即点到平面的距离为.19. 某校高一年级共有名学生，其中男生名，女生名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取名学生的成绩，按从低到高分成，，，，，，七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知的频率等于的频率，的频率与的频率之比为，成绩高于分的为“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（分以上（含分）为及格）与性别有关”？附临界值表：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意，可设的频率为，由频率性质，即各组频率之和为1，建立关于的方程，求出未知数的值，从而算出的频率，由此问题可得解；（2）由（1），根据已知条件，结合男女生的人数比，即可完成列联表，再根据所提供的观测值的计算公式，算出观测值，再比对临界值表，从而可问题可得解.试题解析：（1）设的频率为，则的频率为，的频率为.则，解得.故的频率为，的频率为.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为.故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为.（2）根据已知条件得列联表如下：因为，所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.20. 已知抛物线的方程为，过点（为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，.（1）过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，.求证：为定值.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点坐标，则可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，根据根与系数关系可得点的横坐标关系式，再由，从而问题可得解；（2）由题意，根据导数几何意义，通过两切点计算两条切线方程，从而得到两切线斜率与抛物线参数的关系式，从而可证明，两斜率的乘值为定值.试题解析：（1）因为抛物线的焦点坐标是，所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是，即.联立消去并整理，得，设点，，则，.则，解得.所以抛物线的方程为.（2）设点，.依题意，由，得，则.所以切线的方程是，即.又点在直线上，于是有，即.同理，有，因此，，是方程的两根，则，.所以，故为定值得证.21. 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数，由此可将问题转化为计算，再根据导数进行运算求解，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.，当时，对任意恒成立，所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，令，得；令，得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当时，恒成立，即为恒成立，即为恒成立.设，则.显然在区间上单调递增，且，所以当时，；当时，；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，解得.即实数的最小值是.点睛：此题主要考查函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，以及导数在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数求函数单调区间的一般步骤为：1.确定函数的定义域；2.求函数的导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.写出函数的单调区间.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆以极坐标系中的点为圆心，为半径.（1）求圆的极坐标方程；（2）判断直线与圆之间的位置关系.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，选将圆的极坐标转化为直角坐标，可得圆的标准方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，将圆的标准方程转化为极坐标方程，从面问题可得解；（2）由可将直线的参数方程转化为一般方程，通计算圆心到直线的距离，将距离与半径进行比较，从而可得直线与圆的位置关系.试题解析：（1）点化为直角坐标是，故以点为圆心，为半径的圆的直角坐标方程是，将，代入上式，可得圆的极坐标方程是.（2）由得，得，故直线的直角坐标方程为.因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.点睛：此题主要考查直线的参数方程与直角坐标方程的互化，圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是必考点.参数方程与直角坐标方程的互化，只消参即可，而及极坐标方程与直角坐标方程的互化，需要转化换公式来进行换算，从而问题可得解.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解.........................试题解析：（1）当时，.当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得.综上所述，不等式的解集为.（2）由，得.令作出的图象如图所示，由题意知的图象恒在函数的图象的下方.由图象可知，当经过点时，解得或. 当时，的图象经过点，显然不成立；当时，的图象经过点，成立，所以，即实数的取值范围为.。