直线与圆思维导图
直线与圆基础知识点+思维导图练习
6、直线方程的几种形式
直线形式
方程形式
已知条件
名称
点斜式
过点 P(x0 , y0 ) ，斜率为 k
适用范围 斜率存在
斜截式
斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b
斜率存在
一般式
A, B 不同时为 0
适用任何直线
两点式 截距式
过点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
x1 x2 , y1 y2
在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 、 b 不垂直与坐标轴，
不过原点
30
7、特殊位置的直线方程
（1）若直线垂直于 x 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
；
（2）若直线垂直于 y 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
.
8、两条直线的位置关系 两直线方程
l1 : y k1x b1
时，
两圆相离；当
时，两圆外切；当
当
时，两圆内切；当
时，两圆内含.
时，两圆相交；
*17、过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P(x0 , y0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A, B ，则
A, B 所在直线方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2 .
外切：d=R+r
外离：d>R+r
例 1、点 A(3, 0) 与点 B(7, 2) 的中点坐标为
.
例 2、已知点 A(2, 1) ，点 B(1, 3) ，则| AB |
.
例 3、求直线 l 经过以下两点的斜率及倾斜角.
（1） A(1, 3), B(1,3 3)
（2） A(2, 2), B(2, 2)
第24章《圆》思维导图
圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离 等于定长r的点的集合。
弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系(思维导图+3知识点+8考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：22=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l kx k x x x x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】圆22240x y y +--=，即()2215x y +-=，其圆心坐标为()0,1，半径为r =，圆心到直线240x y ++=的距离d r ===，直线与圆的位置关系为相切.故选：C【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】由直线:20l ax y +-=，可得直线l 过定点()0,2，又由圆C ：()()22121x y -+-=，可得点()0,2在圆C 上，因为直线l 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【答案】C【解析】直线l 可化为()210m x y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得，21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,1A .又22215+=，即点A 在圆225x y +=上，所以，过点A 的直线l 与圆相交或相切.故选：C.【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由点00P x y （,）在圆22:4C x y +=外，可得22004x y +>，求得圆心00C （，）到直线00:4l x x y y +=的距离422d <=，故直线和圆C 相交，故选:A.考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】C=，解得1a =（负值舍），所以圆M 的半径为故选:C.【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，因为直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，所以圆心()2,0到直线3y kx =-的距离d r <，2<，解得512k >，所以实数k 的取值范围是5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【答案】A【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】由题意知，:0l x y a -+=，又圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心(0,0)到直线l 21=-，解得a =故选：D.考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【答案】C【解析】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【答案】C【解析】将圆22:42110C x y x y +++-=化为标准方程()()222116x y +++=，则圆心()2,1C --，4r =，当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为2x =，当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即120kx y k -+-=，由题意知，4=.解得34k =-.此时切线l 的方程为34100x y +-=.综上，切线l 的方程为2x =或34100x y +-=.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【答案】B【解析】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为d =由相切得2d r ==，2=，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．故选：B【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12【答案】B【解析】已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，将点()2,3P 代入圆()22110x y -+=恒成立，则点P 在圆上．即过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切的切线只有一条，令过点()2,3P 的切线的方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，由此切线与10x ay -+=平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等，可得1k a=且123k a -+≠；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径22023101k k r k --+==+，13k =-，即3a =-.故选：B ．考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B 5C 10D ．5【答案】A【解析】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为()()22124310d =--+-所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=1013-=.故选：A.【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．154C ．154-D ．14-【答案】A【解析】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径5r =，在Rt ACD △中，22,5CD AC ==853AD =-=故35cos 2222ADC ADC ∠=∠由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．25C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意知，圆C ：()2211x y -+=的圆心()1,0C ,半径1r =，因为PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，所以PM PN =，22221PMPC MC PC =-=-,则21PM PC =-当PC 最小时，PM 也最小,又点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，故圆心()1,0C 到直线23y x =+的距离2355d +=PC 的最小值，此时min2PM=，则此时四边形PMCN 的面积S PM MC PM ==也最小，最小值为2S =.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．1642-+B ．1242-+C ．1282-+D ．1682-+【答案】C 【解析】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d ∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()2222832411223212212PA PB d d dd ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即2424d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为8212，故选：C.考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）A 14B ．142C ．144D ．147【答案】B【解析】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知22PC =C 的半径1r =，所以切线长7PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为127172PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：172PACB S PC AB ==⨯⨯，所以142AB =．故选：B ．【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)3,0M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．30x y -=【解析】由图可知，其中一条切线为x 轴，切点为坐标原点．因为AB CM ⊥,303CM k ==-，则3AB k =所以直线AB 30x y -=．30x y -=.【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．【答案】【解析】因为12AB PO OA PA ⋅=⋅，所以AB ==当PO 的长最小时，弦长AB 最小，而PO 的最小值为圆心（即原点）到直线4x y +=的距离，所以min PO =min AB ==故答案为：考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2BC．D ．10【答案】C【解析】圆22240x y x y ++-=即()()22125x y ++-=，故圆心为()1,2-，显然圆心在直线30x y -+=上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为故选：C ．【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【答案】A【解析】设直线与圆的两个交点为,A B ，圆心为C ，过点C 作CD AB ⊥交于D ,如图所示设()0πACD αα∠=<<，所以圆心到直线的距离为d CD ===在Rt ACD △中，1cos 2CD AC α===因为0πα<<，所以π3α=，由圆的性质知，2π23ACB α∠==，所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于2π2π:2π1:233⎛⎫-= ⎪⎝⎭．故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【答案】0x =或340x y -=（写出一个即可）【解析】由题意，圆心()1,2到直线l 的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，方程为0x =满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，即()2221k k -=+，解得34k =，此时直线l 的方程为340x y -=.故答案为：0x =或340x y -=（写出一个即可）【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．【答案】0x =或34120x y +-=【解析】圆22(1)(1)3x y -+-=的圆心(1,1)C ，半径r =，圆心(1,1)C 到直线0x =的距离为1，满足||AB ==，直线0x =符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，圆心(1,1)C 到直线l=34k =-，此时直线l ：34120x y +-=，所以直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】直线()():211850l m x m y m +++--=，即()2850x y m x y +-++-=，由28050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，设()3,2D ，由于()()223221225-+-=<，所以D 在圆C 内，圆22:(2)(1)25C x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径=5r ，如图：当CD AB ⊥时，AB 最短，22112CD +=所以弦长AB 的最小值为()22252223-=故选：C【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A 2B ．1-C ．2-D ．1【答案】B【解析】由22:450C x y x +--=得22(2)9x y -+=，圆心坐标是()2,0C ，半径是3,直线l ：30x my m -+-=过定点()3,1P ，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆22450x y x +--=截得的弦长最短，由110132m -⋅=--解得1m =-.故选:B.【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B 3C 2D ．22【答案】D【解析】因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M 内．且圆22:()()4M x a y b -+-=的圆心为(),M a b ，半径为2，则2MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为24||22MP -=D【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A 6B ．22C ．23D ．26【答案】A【解析】圆22:(2)5C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径r =，记(3,1)为点P ，||PC 即点(3,1)P 在圆C 内，则当AB CP ⊥时，弦AB 长最短，此时||AB ===所以ABC 的面积11||||22ABC S AB PC =⋅=⨯= 故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线1y =只有一个公共点，则实数m的取值范围.【答案】{|02x m <≤或1m =【解析】因为曲线1y =，所以21,011y x ≤≤-≤，解得01,11y x ≤≤-≤≤，曲线可化为1y -=两边同时平方有，()2211y x -=-，即()2211x y +-=，所以曲线是以()0,1为圆心，1为半径的圆的一部分，而直线y x m =+，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过()1,1-时，即11m =-+，解得2m =，当直线过()1,1时，即11m =+，解得0m =，由图象可知02m <≤，1=，解得1m =1m =而m 即为y x m =+在y 轴上的截距，由图象可知1m =，综上：02m <≤或1m =故答案为：{|02x m <≤或1m =.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线:2C x =+m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得，直线:130l x my m ---=过定点(1,3)P -，曲线:2C x =+(2,0)M 为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线C 的下端点为(2,1)N -.要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），此时直线l 的斜率存在，且PQ l PN k k k <≤，即0PN l k k ≥>且圆心(2,0)M 到直线l 的距离小于半径.由1(3)12021PN k m ---==≥>-得12m ≥1<得304m <<，所以1324m ≤<.故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线y =b 取值范围为（）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．(【答案】C【解析】由曲线y =()2210x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，当直线y x b =+与半圆y =1=，则b =，此时直线为y x =+；当直线y x b =+过点()0,1时，1b =，此时直线为1y x =+，要使直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则b 取值范围为)1,2⎡⎣.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]【答案】C【解析】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线214x y =--是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C ：()2215x y +-=的圆心(0,1)C ，半径5r =，故圆心到直线的距离220122521(1)d -+==<+-所以直线与圆相交，故选：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【答案】A【解析】方法一：直线10x ky -+=恒过定点(1,0)-，而()212-<，所以点(1,0)-在圆222x y +=内，故直线与圆相交.选A.方法二：因为圆心到直线的距离221d r k=<=+，所以直线与圆相交.故选A.方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得2210(2)1k y ky +--=，则()222441840k k k ∆=++=+>，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D【答案】B【解析】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=,直线l 过圆心()1,1C ,所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B ．4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】直线()()():321320l m x m y m m x y x y +-++=-++-=.恒过定点()2,3P ，圆C 的圆心为()3,4C ，半径为3r =，且()()22233429-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d CP ==此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=故选：D.5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D【答案】B【解析】因为圆22:1M x y +=，所以圆M 的圆心为(0,0)M ，半径为1r =，因为AB 与圆M 相切，切点为B ，所以AB BM ⊥，则222AB r AM +=，因为AM =，所以AB ==故选：B.6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示:由题意可得，曲线y =的图象为以()0,0为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过()2,4A ，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d r =2=，解得34k =；当直线l 过()2,0B -点时，直线l 的斜率()40122k -==--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】直线20kx y k -+=恒过定点()2,0-，圆()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0-在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离2d =≤，解得1205k ≤≤.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3个点到直线l 的距离为2【答案】ABD【解析】因为圆C ：2242110x y x y +---=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径为4.选项A ：因为2232432211140+-⨯-⨯-=-<，所以点(32),在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；选项B ：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则22162m d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为圆心到直线的最长距离()()2232212d =-+-=所以2min max 216214m d =-=B 正确；选项C ：直线l 与被圆C 截得的弦长为21516151-=，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为3x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=，2213211k k k --+=+，解得0k =，故直线方程为2y =，综上满足题意的直线方程为3x =或2y =，故选项C 不正确；选项D ：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个；当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.2时，此时圆心到直线的距离最大，又因为半径为4，且422->，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．【答案】34250x y -+=【解析】由题意可知：圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，因为()223425-+=，可知点()3,4M -在圆上，又因为404303OM k -==---，可知切线方程的斜率34k =，所以切线方程为()3434y x -=+，即34250x y -+=.故答案为：34250x y -+=.10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=.故答案为：210x y --=.11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.,33-中任意一个皆可以，答案不唯一）【解析】22:(1)4C x y -+= 的圆心为()1,0C ，半径2r =，设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =所以12ABC S d =⨯⨯=△，解得1d =或d =由d =1=m =3m =±．四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.【答案】(1)3x =或512450x y -+=；(2)222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=【解析】（1）据点()A 3,5可设直线方程为()()()()sin 3cos 50t x t y ---=.圆O 的方程可化为()()22124x y -+-=，故点()1,2到所求直线的距离为22=.所以222242sin 3cos 9cos 4sin 12sin cos 45cos 12sin cos t t t t t t t t t =-+=+-=+-，得()cos 5cos 12sin 0t t t -=.这就说明cos 0t =或5tan 12t =，所以所求直线的方程为3x =或512450x y -+=.（2）设所求圆的圆心坐标为(),3P t t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，所以该圆的方程是()()22239x t y t t -+-=，即222260x tx y ty t -+-+=.而该圆被直线0x y -=截得的弦长为故该圆圆心到直线0x y -=的距离为d ==1t =±.故所求的圆的方程为222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.【答案】(2)270x y -+=【解析】（1）因为135α= ，则tan1351AB k ==- ，所以直线AB 的方程为3(1)y x -=-+，即20x y +-=，圆C 的标准方程为22270x y y +--=，即22(1)8x y +-=，可得圆C 的圆心(0,1)C ，半径为r =所以圆心(0,1)C 到直线20x y +-=的距离为2d =，可得弦长为AB ===（2）由圆的弦长公式，可得AB =当圆心(0,1)C 到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，即0CP AB ⊥时，弦AB 的长度最小，因为031210CP k -==---，所以12AB k =，所以AB 的方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=.。
初中数学《圆》单元教学设计以及思维导图
初中数学《圆》单元教学设计以及思维导图圆主题单元教学设计主题单元标题圆适用年级九年级所需时间课内7课时，课外2课时主题单元研究概述“圆”是在小学学过的基础上系统的研究圆的概念、性质、圆中有关的角、点和圆、直线和圆、圆和圆、圆和正多边形之间的位置、数量关系。
本章共分为四个小节，第一节是圆，主要是圆的有关概念和性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置、数量关系的主要依据。
第二节与圆有关的位置关系包括三部分内容，点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系。
正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质。
接下来的主要内容是一些与圆有关的计算，包括两部分“弧长和扇形面积”“圆锥的侧面积和全面积”这些计算不仅是几何中基本的计算，也是日常生活中经常要用到的运用这些知识也可以解决一些简单的实际问题。
”,因此，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的研究兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性。
这部分内容所涉及的图形很多是圆和直线形的组合，而且题目也相对复杂，应以新代旧、新旧结合，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法，通过这样的训练，可以提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力。
主题单元规划思维导图主题单元研究目标知识技能:1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并相识点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角、圆内接四边形的特征。
2.相识切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否是圆的切线，会过一点画圆的切线。
3.相识三角形的内心和外心，探索若何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。
《圆》主题单元设计思维导图
主题学习目标(描述该学习所要达到的主要目标)
知识与技能：
1.学生认识圆，掌握圆的特征；理解直径半径的相互关系；理解圆周率的意义，掌握圆
周率的近似值。
2.探索圆的周长与面积的计算方法，并能运用计算方法解决生活中的一些实际问题。
过程与方法：
1.探索圆的周长与面积的计算方法中，获得探索问题成功的体验。
2.亲历动手操作、实验观察等方法，探索圆的周长、面积的计算方法，并能运用计算方
法解决生活中的一些实际问题。
情感态度与价值观：
1.通过以上一系列的学习活动，激发学生的学习兴趣，培养主动探索的欲望和创新精神。
2.培养学生观察、比较、想象等能力，进一步发展学生的空间观念。
主题单元问题设计1．为什么车子的轮胎是圆的？2．什么圆的周长？该如何求？
3. 什么是圆的面积？该如何求？
主题单元学习评价1.是否掌握圆的基本知识。
2. 能够参与活动的积极性和主动性。
3. 能够与同伴一起进行相关测量
专题划分（学习活动过程）专题1：认识圆专题2：圆的周长专题3：圆的面积专题4：
专题5：
专题6：
活动专题1 认识圆所需课时2课时。
全套高中数学思维导图(清晰打印版)
高中数学选修 2-1 目录 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法
两角和与差的正弦、余弦和正切公 式
简单的三角恒等变换
高中数学选修 1-2 目录 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初 步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其 初步应用 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引 入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第四章 目录 第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 应用举例 实习作业 第二章 数列 数列的概念与简单表示法 等差数列 等差数列的前 n 项和 等比数列 等比数列的前 n 项和 第三章 不等式 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线 性规划问题 基本不等式
圆的方程 直线、圆的位置关系 空间直角坐标系
高中数学
思维导图
“我爱学习，学习使我妈快乐 我妈快乐，全家快乐！”
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高中数学必修一目录 第一章 集合与函数概念 集合 函数及其表示 函数的基本性质 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 指数函数 对数函数 幂函数 第三章 函数的应用 函数与方程 函数模型及其应用
初中数学 圆 知识点 考点 思维导图 圆的概念与性质 与圆有关的位置关系 圆有关的计算 正多边形与圆
１、与圆的位置关系可从形和数两方面来判断，思维单一容易致误． ２、切线长定理不能与三角函数结合致误． ３、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全．
点在圆内台ｄ ＜ｒ 点在圆上台 ｄ＝ｒ
１．有切线，作过切点的半径．
２．有半径，过端点作圆的切线．
常作的
辅助线
点在圆外 与ｄ＞ｒ
３．有切线长，作以切线、过切点的半径、圆心
２．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧相等．
定义 顶点都在同一圆上的多边形．
顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形，
圆内接三角形 定义 圆心称三角形外心．
２．直径所对圆周角的特征
或三角形外接圆 性质 外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点．
（１）作辅助线，构造＂直径所对的圆周角是直角＂
初初中中数数学学 圆 思思维维导导图图
考点 知识点 快速理解记忆
超超实实用用一一看看就就明明白白 极易记忆
第一节 圆的概念与性质
第二节 与与圆圆有关的位置关系
第三节 与圆有关的计算 第四节节 正多边形与圆
初中数学 第七章 圆 第一节 圆的概念与性质
在平面内，线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另
（１）判定方法
１定义法∶与圆只有一个交点的直线
②数量法∶与圆心的距离ｄ＝／的直线．
（２）相切判定
③判定定理．
有明确交点，连半径，证直线与半径垂直． （３）证明直
无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径．线与圆相切
已知直线满足∶①过圆心；②过切点；
③垂直于切线．可知二推出另一个．
（４）切线性 质的拓展
线交点组成的正多边形叫圆外切正多边形．
性质 正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形
最新《圆》主题单元设计-思维导图资料
单元标题圆学科领域(（在内打√表示主属学科，打+ 表示相关学科）思想品德+ 音乐化学信息技术社区服务+ 语文+ 美术+ 生物劳动与技术√数学外语历史+ 科学体育物理地理+ 社会实践其他（请列出）：健康适用年级小学六年级上册所需时间八个课时主题学习概述(对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图)这一单元的内容是圆，在这个单元中，教材安排了“圆的认识”、“圆的周长和面积”三个具体的内容，这三个内容由易到难，层层深入。
本单元内容是在学生学过了直线图形的认识和面积计算，以及圆的初步认识的基础上进行教学的。
学生从学习直线图形的知识，到学习曲线图形的知识，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。
教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲线图形的基本方法。
同时，也渗透了曲线图形与直线图形的关系。
这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念方面来说，进入了一个新的领域。
因此，通过对圆的有关知识的学习，不仅加深学生对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力，也为以后学习圆柱、圆锥等知识和绘制简单统计图打好基础。
学生将在这个单元中，结合动手操作、比较、测量等多种数学活动，更深入的理解、掌握圆的特点，进一步发展空间观念。
主题学习目标(描述该学习所要达到的主要目标)知识与技能：1.学生认识圆，掌握圆的特征；理解直径半径的相互关系；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值。
2.探索圆的周长与面积的计算方法，并能运用计算方法解决生活中的一些实际问题。
过程与方法：1.探索圆的周长与面积的计算方法中，获得探索问题成功的体验。
2.亲历动手操作、实验观察等方法，探索圆的周长、面积的计算方法，并能运用计算方法解决生活中的一些实际问题。
情感态度与价值观：1.通过以上一系列的学习活动，激发学生的学习兴趣，培养主动探索的欲望和创新精神。
2.培养学生观察、比较、想象等能力，进一步发展学生的空间观念。
主题单元问题设计1．为什么车子的轮胎是圆的？2．什么圆的周长？该如何求？3. 什么是圆的面积？该如何求？主题单元学习评价1.是否掌握圆的基本知识。
直线与圆思维导图
考纲要求：
直线的方程:
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
两直线的位置关系:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
圆的方程:
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程．
直线、圆的位置关系:
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．。
直线与圆思维导图
直线
与圆
直线
倾斜角与斜率
两者互求斜率范围问题旋转分析：倾斜角包含90°应分两个区间
点与直线点与点的距离
点到直线的距离点在直线上的内涵直线与直线
相交
求交点坐标平行
斜率关系
一般式的系数关系平行已知直线方程的设法平行线间的距离垂直
斜率关系
一般式的系数关系垂直已知直线的方程的设法
圆
求圆的方程
直接法
能直接获得圆心和半径
待定系数法
根据条件选择一种方程去设求轨迹方程设动点为(x ,y )
找等量关系
化简为用表示的等式方程
x ,y x ,y 点与圆的位置关系
直线与圆
位置关系判断相离类问题
圆上一点到直线的距离范围问题相切类问题
过圆上定点作切线
过圆外定点作切线
求切线方程斜率不存在时：数形结合斜率存在时：设直线方程
切线长问题切点弦问题
相交类问题
半圆问题
数形结合
圆上一点到直线的距离范围问题
与交点坐标有关的综合问题
设交点坐标点满足直线方程
联立直线与圆的方程显然△
>0
韦达定理联立列式
弦长问题
求弦长
过圆内定点的动直线的弦长最小问题
圆与圆
位置关系判断
交点弦问题交点弦方程
公切线问题
综合
最值类问题
型
x +2y 2两点距离公式数形结合
型
x y 斜率公式数形结合
型
ax +by 三角代换、辅助角公式。
初中数学《直线和圆的位置关系》单元教学设计以及思维导图
适用年级
九年级
所需时间
课内 3 课时，课外 2 课时
主题单元学习概述
此单元是北师版数学教材九年级下第三章《圆》的第五节内容。内容
包括：直线与圆的三种位置关系、直线与圆相切的判定及性质。它与
直角三角形、四边形、三角函数、圆的基础知识等有密切的关联，是 建立在圆的基础知识点上的进一步的学习，此单元首先从探究直线与
1.体验切线概念、画圆切线及切线判定。 2.探索直线与圆的三种位置关系、切线判定及性质的得出过程。 情感态度与价值观：
1.学会合作学习与分工负责。 2.培养学生勇于克服困难的毅力及树立辩证唯物主义的认识观
对应课标
1．掌握直线与圆的三种位置关系。
2．理解切线的定义。
3．掌握圆切线的判定、性质及应用。
1.直线与圆有几种位置关系？ 主题单元问题
第一课时 活动 1：投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题 （1）在图中，直线分别与圆是什么关系？
（2）在图中，哪个图的直线是圆的切线？你是怎样判断的？ 活动 2：.动手操作：在圆上任取一点，连结过这点的半径，过此点画 半径的垂线； （1）圆心到直线的距离与半径有什么关系？ （2）直线位置有什么关系？根据什么？ （3）你有什么发现？ 活动 3：在探索圆的切线的判定定理.思考：切线是怎么做出来的？它 满足怎么条件？ 活动 4：作三角形的内切圆。例题 2. 第二课时（课外） 练习巩固
1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置
关系是怎样的?你发现这个自然现象反映出直线和
圆的位置关系有哪几种? 专题问题设计
2.切线是如何定义的？
3、你能从 d 和 r 的关系发现直线和圆的位置关系
吗？
所需教学材料和资源
《圆》设计及思维导图
主题单元设计学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程）一、创设生活情境、导入新课。
1、欣赏，走进圆的世界。
2、借助实物画圆3、师：以往同学们在画图时都用的是尺子,今天你为什么不用尺子画圆呢?（尺子边是直的，不好画圆)二、动手操作、认识各部分名称。
1、画圆2、观察、认识圆的各部分名称。
让学生自读课本例2,了解圆的各部分名称②认识圆的圆心。
③认识圆的半径。
三、合作探究，学习特征。
1、谈话：刚才我们通过学习知道了圆的各部分名称，那么圆有什么特征呢？请同学们在纸上任意画一个圆，并将它剪下来。
画一画，量一量,折一折手中的圆形纸片,看看有什么发现？2、学生自主探究.课件出示讨论题：①在同一个圆里有多少条半径?多少条直径?②在同一个圆里半径的长度都相等吗?直径的呢?③在同一个圆里半径和直径有什么关系？④圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?3、合作交流:①用画、折的方法来验证半径、直径有无数条。
②用画、折的方法来验证半径、直径相等。
③通过测量和推理的方法验证直径是半径的2倍，并让学生理解用字母表示直径与半径的关系。
④通过把圆沿不同方向对折来理解圆是轴对称图形，有无数条对称轴.（四）、实践运用，反馈内化。
我们知道了圆的画法，名称,特征，请同学们运用今天的知识解决几个问题。
1、你认为下面的说法对吗?（课件展示）①圆的直径是半径的2倍。
②圆有无数条对称轴.③半径3厘米的圆比直径4厘米的圆小。
④画直径是6厘米的圆时,圆规两脚之间的距离为3厘米。
五、运用新知、解决实际问题。
圆的特征在生活中得到广泛的应用. 车轮为什么做成圆形？车轴为什么要安放在圆心？(课件展示）六、总结评价、拓展延伸。
教学评价1、让学生自主探索.在教学的各个环节始终将学生自主探索的理念贯穿其中。
例如：让学生自主尝试画圆的方法；让学生小组合作，观察、探究圆的半径和直径的特点等。
在各个探究活动中力求使学崭露出他们的个性和潜在的创新意识，使他们的创新能力在探究展露本色和活力。