2009-2010高数(二)(A卷)

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安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案

x 2+ y 2AA ⎩S S⎫ 安徽大学 2009--2010 高等数学 A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10 分)1. 点(2,1,1) 到平面 x + y - z + 1 = 0⎛ 2. 极限 lim x 2 xy = 0. x →+∞x 2 + y 2 ⎪y →+∞⎝ ⎭ πsin x23. 交换积分次序⎰dx ⎰0 f (x , y )dy⎧ 2, - 1 < x < 04. 设 f (x ) 是周期为 2 的函数, 它在区间(-1,1] 上的定义为f (x ) = ⎨x 3 ,则 0 < x < 1f (x ) 的 Fourier 级数在x=1 5. 函数u=xyz 在点(1,1,1) 处沿方向(2,2,1) 的方向导数为二、选择题(2×5=10 分)6. 二元函数 f (x , y ) = 在点(0,0) 处 ( )A. 连续, 但偏导数不存在;B. 不连续; 且偏导数不存在;C. 不连续; 但偏导数存在;D. 连续, 且偏导数存在.7. 设第二类曲面积分 I 1 =⎰⎰ xyzdzdx , I 2 = ⎰⎰ xy 2 zdzdx ,其中 S 为 x 2 + y 2 + z 2= 1 的上半部分, 方向取上侧, 若S 1 为 S 在第一卦限部分, 且与 S 方向一致, 则( )A. I 1 = I 2 = 0 ;B. I 1 = 0, I 2 = 2⎰⎰Sxy 2 zdzdx ;C. I 1 = 2⎰⎰Sxyzdzdx , I 2 = 2⎰⎰S xy 2zdzdx D. I 1 = 2⎰⎰S xyzdzdx , I 2 = 08. 设Ω 为 R 3 中开区域，且Ω 内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω 的曲面，函数 P,Q,R 在Ω 内连续可导，若曲线积分 ⎰LPdx + Qdy + Rdz 只依赖于曲线 L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（ D ）A . 对Ω 内任意光滑闭曲线 C ，曲线积分 ⎰CPdx + Qdy + Rdz = 0 ；B . 存在Ω 上某个三元函数 u(x,y,z), 使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ;∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂RC . 等式 ∂y = ∂x , ∂x = ∂z , ∂z = ∂y在开区域Ω 内恒成立;1111A A yy 0 00 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 解: 设 F (x , y , z ) = x 2 + y 2- z 则曲面 S 在点(1,1,2) 处的法向量为:( F x , F y , F z )(1,1,2) = (2x ,2 y ,-1)( 2,2,1) = (2,2,-1) 由题设可知平面∏通过法线L, 故:∂P ∂Q ∂RD . 等式 ∂x + ∂y + ∂z= 0 在开区域Ω 内恒成立.9. 设函数 f (x , y ) 在开区域 D 内有二阶连续偏导数, 且 f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) =0. 则下列为 f (x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处取极小值的充分条件的是( )A. f xx (x 0 , y 0 ) >0,B. f xx (x 0 , y 0 ) >0,C. f xx (x 0 , y 0 ) <0,D. f xx (x 0 , y 0 ) <0, f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f xx (x 0 , y 0 ) f (x , y ) - f 2xy(x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0; f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) >0;f (x , y ) - f 2 xy (x , y ) <0. 10. 设函数u = f (x , y , z ) 具有二阶连续偏导数, 则div grad f = ( )A .f xx + f yy + f zz ; B. f x + f y + f z ; C. ( f x , f y , f z );D. ( f xx , f yy , f zz ).三、计算题(10×3+12×2=54 分)11. 设平面∏ : x + ay - z + b = 0 通过曲面 z = x 2 + y 2在点(1,1,2)处的法线 L,求 a , b 的值.12. 计算第二类曲线积分⎰Lydx - xdyx 2 + y 2, 其中 L 为正方形边界 x + y = 1 ,取顺时针方向.⎰⎰ 222n =013. 计算第一类曲面积分zdS ,其中∑为圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 (R > 0) 介于平∑x + y + z面z = 0 与 z= h (h>0) 之间的部分.∞(-1)n14. 将函数 f (x ) = arctan x 展开成 x 的幂级数, 并求级数∑ 2n + 1 的和.15. 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数, 且 z = f (e xsin y ) ,解法(一): 设x=Rcosu, y=Rsinu, z=v, 则∑对应于 D: 0 ≤ u ≤ 2π ,0 ≤ v ≤ h .v v v u u u 2x = -R sin u , y = R cos u , z = 0, x = 0, y = 0, z = 1故E = R ,F = 0,G = 1,∂ 2 z ∂ 2 z (1) 求 ∂x 2 , ∂y2 ;(2) 若函数 z = f (e xsin y ) 满足方程 ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2= e 2 xz, 求函数 f (u )四、应用题(10×1+6×1=16 分)16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段, 一段围成一个圆, 另一段围成一个长方形. 求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.17. 已知一条非均匀金属线 L 放置于平面 Oxy 上, 刚好为抛物线 y = x 2对应于0 ≤ x ≤ 1 的那一段, 且它在点(x,y) 处的线密度 ρ (x , y ) = x ,求该金属丝的质量.五、证明题(6×1+4×1=10 分)18. 证明级数∑(-1)n n =1lnn + 1 n 条件收敛. ∞ 解: 将(1) 中结果代入方程, 得 f ' (u )e2 x= e 2 x z 即: f ' (u ) - f (u ) = 0 这是一个二阶常 2 1特征根为λ = 1, λ = -1 2系数线性齐次微分方程, 相应的特征方程为λ - 1 = 0 1 22 1 故 f (u ) = C e u + C e -u,其中C , C 为任意常数。

09-10高数(二)期终考试A卷答案

上海应用技术学院2009—2010学年第二学期《高等数学（工）2》期（终）试卷A 答案及评分标准一、单项选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 1、D ；2、A ；3、C ；4、A ；5、B ；6、C ；7、B 。

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1、0,⎛- ⎝；2、-0.2；3、34π；4、1xe y +；5、43120x y z -+-=；6、0。

三、计算题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1、求原点)0,0,0(O 在直线L ：471352-=-=+z y x 上的投影。

解：过点)0,0,0(O 作垂直于已知直线的平面π：045=++z y x ……………………（2分）将直线的参数方程25-=t x ，3+=t y ，74+=t z 代入平面方程得0)74(4)3()25(5=++++-t t t ，解得21-=t ，………………………………………（4分）直线与平面的交点⎪⎭⎫⎝⎛-5,25,29即为原点在直线上的投影点，……………………………（6分） 2、设(,)z z x y =是由方程x z xyz =所确定的隐函数，求dz 。

解：设(,,)xF x y z z xyz =-，…………………………….…………………..……….（1分）ln x x F z z yz =-，y F xz =-， 1x z F xz xy -=-，1ln xx z yz z z xxzxy-∂-=∂-，…..………..（3分）1x z xz yxzxy-∂=∂-，…..………..………..………..………..………..………..………..……（5分）11ln xx x yz z z xz dz dx dy xzxyxzxy---=+--…………………………….…………………...……（6分）3、设(,)(,)z f x y g u v =+，22u x y =-，v xy =，其中,f g 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂。

2009-2010(2)AD

=
e3 (3 − 3 ) 。 2
3.交换积分次序 ∫ dy ∫ 2
0
4
1
( y − 4)
− 4− y
f ( x, y )dx =
∫
0
−2
dx ∫
4− x 2
2x+4
f ( x, y )dy 。
4.第二类曲线积分 ∫ Pdx + Qdy + Rdz 化成第一类曲线积分是 ∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )ds 。
装订线内不准答题
吉林工程技术师范学院教务处印制
5．计算曲面积分 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy, 其中Σ为半球面z =
Σ
R 2 − x 2 − y 2的上侧。
解：
6.计算曲线积分 ∫ ( e x sin y − 2 y ) dx + ( e x cos y − 2 ) dy , 其中 L 为上半圆周 ( x − a) 2 + y 2 = a 2 ( y ≥ 0) 沿逆时针方向；
装订线内不准答题
吉林工程技术师范学院教务处印制
2π 2 4(−1) n a0 = , an = , n = 1,2,3,L 3 n2
F ( x) =
由收敛定理，
π2
3
+∑
4(−1) n cos nx n2 n =1 。
∞
x2 =
即
π2
3
+∑
4(−1) n cos nx ( −π ≤ x ≤ π ) 。 n2 n =1
π
(A)
4
(B) −
π
(C)

江南大学2009级高等数学II(2)试卷A

1 的收敛性. n n 1 1 a

3
2 z . xy
(2) 是二元函数 z x3 y 3 3x 2 3 y 9 x 的极大值点的是 (A) (3 , 1) (B) (3 , 1) (C) (1, 1) (D) ( 1, 1) [ ]
(3) 设 D : x 2 ( y 1) 2 1 ,则二重积分 f ( x, y )d
1
本题得分
五、 (本题 10 分)在曲面 x 2 y 3 z 3 上求一点，使该点到三个坐标面的距离的乘积为最大.
2
江
南
大
学
考
试
卷
专
用
纸
本题得分
六、 (本题 8 分)求幂级数
n 1 n x 的收敛域与和函数. n0 n!

本题得分
七、 (本题 6 分)设 a 为常数，且 a 1 , 试讨论级数
(1) 已知向量 a ，的模分别为 a ， 2 ， a b 2 ,则 a b 为 b b 且 (A) 2 (B) 2 2 (C) 2 2 (D) 1 [ ]
(2) 设 z f (2 x y) g ( x , xy ) , 其中 f 具有二阶导数，具有二阶连续偏导数，求 g
2 z . x2
(2) 设函数 z tan
y2 , 则全微分 dz x
1 x x2 0
.
.
(3) 交换积分次序 dx
(4) 函数 f ( x) f ( x)
f ( x, y)dy
1 展开成 ( x 1) 的幂级数(指出其收敛的区间)为 x 1 .
本题得分
二、选择题(每小题 5 分, 共 20 分)

2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷

北京科技大学2009--2010学年第二学期高等数学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310．已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中与具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。

中国传媒大学-高等数学-2009至2010学年第二学期期末考试试卷A卷(含答案)

1，
ns
n1
s 1 时级数
1 收敛； s 1 时，级数
1 发散。
ns
n1
ns
n1
2、（本小题 8 分）
求级数
x 4n 的和函数 S( x) 。
n1 (4n)!
解:由幂级数的分析性质得微分方程
S (4) (x)
x 4n4
1 S( x)
n1 (4n 4)!
（8 分）
且 S(0) S(0) S(0) S(0) 0
1、设 u arcsin x ( y 0) 则 u
x2 y2
y
第1页共6页
x (A)
x2 y2
x (B)
x2 y2
x (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
答（ A ）
2、设为球面 x2 y2 z2 a2 在 z h 部分， 0 h a ，则
3、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ,那么 n0
6
得分评卷人
（3 分）（5 分）
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分） 1、（本小题 7 分）
改变二重积分
1
2y
dy f ( x, y)dx
3
dy
3 y
f ( x, y)dx的积分次序
0
0
1
0
解：原式
2
dx
0
3 x x
f
( x,
y)dy
。
2
（7 分）
判别级数 a n ， (a 0, s 0) 的敛散性。 n1 n s 解：由比值判别法
l
i
a m
n1
a n n

0910高等数学A（二）答案

0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

10级高等数学(A)2期末测试题答案

Ω
3.
设 L : 点 (1, 0)到点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择（1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
第 2 页共 3 页
解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求

2009级本科高数二多学时期末A

级高等数学(二)期末试卷4．若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝（）.A. 4a p ；B. 42a p ；C. 44a p ；D. 46a p .5．已知函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂＝（）. A.22x y +； B.22x -； C.22x y -； D.22x +.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．直线32321x y z++==-与平面2260x y z +++=的交点为． 7．幂级数11212n n n x n-+∞-=∑的收敛半径为．8．设)(x f 是周期为π的周期函数，它在区间(0,]π上定义为2,(0)2()1,()2x x f x x x πππ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于．9．0(,)xudu f u v dv =⎰⎰变换积分次序．10．设空间立体Ω所占闭区域为1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥，Ω上任一点的体密度是(,,)1x y z ρ=，则此空间立体的质量为．三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．2lim x y π→→求.12．已知2(,)x y f x y e =，求(1,1)x f ，(1,1)y f ．13．设函数(,)z z x y =由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定，求(1,1)dz．14．设2(,2)z f x y x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．15．1111(1)5()2n n n n n n n n a x na x -∞∞-==-+∑∑设级数的收敛半径为，求的收敛半径．16．设Ω是由2221x y z +-=,2z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2(1)I z dV Ω=-⎰⎰⎰．四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关，求)(x f ．18．计算∑，其中∑为下半球面z =侧．五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．设级数1nn a∞=∑绝对收敛，1n n b ∞=∑条件收敛，证明()1n n n a b ∞=+∑条件收敛．20．设{}1),(22≤+=y x y x D ，),(y x u 与),(y x v 在D 上具有一阶连续偏导数，j y v x v i y u x u G j y x u i y x v F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=,),(),(，且在D 的边界曲线L （正向）上有y y x v y x u ≡≡),(,1),(，证明： πσ-=⎰⎰⋅d G F D.。

2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)

9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期期末考试试卷(A 卷)
课程名称高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

立信高数微积分试卷A解答

2009-2010学年第二学期09级本科《微积分（二）》期终考试试卷（A ）解答一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1、（D ）2、（A ）3、（D ）4、（C ）5、（A ）二、填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分））1、设f x y x y xy y (,)+-=+2，则),(x y f =)(21x y y - 2、设y x yez +=，则d z = []y y x y e y x d )1(d +++ 3、D ：122≤+y x ，则σd e D y x ⎰⎰+22= )1(-e π4、∑∞=11n p n ，当p 满足条件 p>1 时收敛。

5、微分方程()112+'+=-x y e y 的通解为 ()()x e C y+-=12 三、计算题（共36分，每题6分）1、设u xy x =+sin()2，试求u u x y ,。

解：u y xy x =+221cos()（3分） u xy xy y =22cos()（6分）2、设u x y z z x y(,,)=+22，试求d u 。

解：d d d d u u x x u y y u zz =++∂∂∂∂∂∂ （2分） =-++++222222z x x y y x y z x y (d d )()d ()（6分） 3、求微分方程(1ln ln )y y y x x'=+-的通解。

解：令,,y xu y u xu ''=∴=+ 1分原方程化为：ln dy x u u dx =，ln du dx u u x=⎰⎰ 4分积分得：lnln ln ln u x C =+，即Cx u e =， 5分所以通解为Cxy xe =。

6分4、计算二重积分dxdy y x D ⎰⎰+22其中D ：x 2+y 2≤2x .D2cos 2200320d d 2d 328cos d 4322328 6339r r r d r r πθπθθθθ⋅===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 5、若函数z x y xy ax by c =+++++22322在点(,)-23处取得极值3，求常数a b c,,之积abc ，并判定该极值是极大还是极小。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时 120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件．5．当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2．函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ；３．D ；４．C ；５．C 三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3．令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =．由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

高等数学A(二)2009-2010(A)解答

《高等数学A （二）》（A 卷）(答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、(C)2、(A).3、( A )4、 D5、（A ）二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,31,31 2、dy dx 2- 3、π4、25、062=-+y x三、解答下列各题(本大题共7小题，总计60分)1、(本小题8分)22222222])1()1[()1(2)1()1(1)1()1(1-+----+-=-+--=y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分 22)1()1(1-+--=y x y u y 222222])1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy7分u u xx yy +=0。

（8分） 2、(本小题8分)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=06306322y y z x x z yx ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2xyyy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 06)2,2(,036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。

44= 8分3、(本小题12分)（1）解：,)12(12-+=n n n n u原级数收敛∴<=+==-∞→∞→,141)12(lim 12lim n n n n n n n n u ρ 。

……6分或nn n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-41221012，所以原级数收敛。

【VIP专享】2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷

得分 16．计算 d S , 其中是球面 x2 + y2 z2 + a2 被平面 z = h(0 h < a) 所截出的顶 z
部．
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 5 页共 6 页
四、（本题共 12 分，每小题 6 分）得分 17．已知曲线 y = y(x) 过原点, 且在原点处的切线垂直于直线 x + 2 y 1 0 , y(x) 满足微分方程 y 2 y 5y + ex cos 2x , 求此曲线方程.
: x2 y2 +z2 t 2 (t = 0) 取外侧, 求 f (t) .
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 3 页共 6 页
t
t
得分 13．设 f (x) 为连续函数, F (t) = d y f (x) d x , 求 F (2) .
1
y
得分
2
4 x2
1
14．利用柱坐标计算 I = d x
院(系)
北京科技大学 2009--2010 学年第二学期
高等数学 A(II) 试卷（A 卷）
班级
学号
姓名
考场
试卷卷面成绩
占课
三
四
程考平时
题号
一
二
11
12
13
14 15
16
17
18
小核成成绩计绩占 20%
80%
得
分
评
阅
审
核
说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分；
得分
二、选择题（本题共 20 分，每小题 4 分）
6．已知三平面 1 : x 5y 2z + 1 0, 2 : 3x + 2 y 5z = 8 0, 3 : 4x 2 y 3z + 9 0, 则必

09-10第2学期高数A试卷A

）
班级
高等数学（A）
A.
2009 —2010 学年度第二学期期末考试（A）卷
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共四大题，满分 100 分，考试时间 100 分钟
∫0
1
dy ∫
y− y2 0
1
f(x,y)dx ；
B.
∫0
1
1
dy ∫
学号
∫
2 1
dy ∫
2 y
sin x dx = x −1
2 时，级数 ∑ n sin n =1 ∞
5．设常数 p > 0 ，则当 p 满足条件
π n
p
收敛
6．设 L 为从点（1，1）沿曲线 x = y 2 到点（1，-1）的曲线段，则曲线积分
3 . 函数 z = x 3 + y 3 − 3x 2 − 3 y 2 的极小值点是（ A. （0，0）； B.（2，2）；
D
y = 0, x =
π
2
所围的区域.
第2页共3页
得分评卷人复查人
四、综合与证明题（本题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1.验证: (2 x cos y + y 2 cos x)dx + (2 y sin x − x 2 sin y )dy 为某
3.
2 2 2 设球体 x + y + z ≤ 2 Rz 内，各点处的密度等于该点到原点距离的平方，试求
一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。