特殊数
能被特殊数整除的特征
能被特殊数整除的特征1、能被2整除的数的特征。
如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。
2、能被3整除的数的特征。
如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。
例如：225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。
3、能被4整除的数的特征。
如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。
例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。
4、能被5整除的数的特征。
若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。
5、能被7整除的数的特征。
方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，以此类推。
方法二：如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。
例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。
方法三：首位缩小法，减少7的倍数。
例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。
可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所以452669能被7整除。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
#【数学】【数论】几个特殊的数
#【数学】【数论】⼏个特殊的数素数 ⼤于1且不被其他整数（除了1和其本⾝）整除的整数。
质数定义为在⼤于1的⾃然数中，除了1和它本⾝以外不再有其他因数。
⽰例：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41...回⽂数 “回⽂”是指正读反读都能读通的句⼦，它是古今中外都有的⼀种修辞⽅式和⽂字游戏，如“我为⼈⼈，⼈⼈为我”等。
在数学中也有这样⼀类数字有这样的特征，成为回⽂数（palindrome number）。
设n是⼀任意⾃然数。
若将n的各位数字反向排列所得⾃然数n1与n相等，则称n为⼀回⽂数。
例如，若n=1234321，则称n为⼀回⽂数。
注意： 1.偶数个的数字也有回⽂数124421 2.⼩数没有回⽂数 ⽰例： 1千以内的回⽂数 在⾃然数中，最⼩的回⽂数是0，其次是 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,45 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959 ⼈们迄今未能找到⾃然数(除0和1)的五次⽅，以及更⾼次幂的回⽂数。
于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是⾃然数)形式的回⽂数。
在电⼦计算器的实践中，还发现了⼀桩趣事：任何⼀个⾃然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进⾏下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到⼀个回⽂数。
高中数学特殊值记忆
高中数学特殊值记忆
高中数学中有许多特殊值值得记忆，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些常见的特殊值:
1. 三角形中的特殊值：当三角形 ABC 的边 AB 为斜边时，有
sin(A)/AB=AC/AB,cos(A)/AB=BC/AB,tan(A)/AB=AB/AC。
2. 圆中的特殊值：当圆 O 的半径 R=0 时，圆 O 变为一个点，此时圆心 O 成为点 O;当圆 O 的半径 R=1 时，圆 O 变为一个单位圆，此时点的坐标必须是实数。
3. 函数中的特殊值：当函数 f(x)=0 的 x 值为-∞时，f(x) 称为单调递增函数;当函数 f(x)=0 的 x 值为+∞时，f(x) 称为单调递减函数;当函数 f(x) 在 x=a 处取得极值时，有 f"(x)=0。
4. 数列中的特殊值：当数列{an}的前 n 项和 Sn=0 时，数列{an}为等差数列;当数列{an}的前 n 项和 Sn=1 时，数列{an}为等比数列。
5. 导数中的特殊值：当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)=0 时，有
f(x) 为常数函数;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)<0 时，函数 y=f(x) 在 x=a 处取得极小值;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)>0 时，函数
y=f(x) 在 x=a 处取得极大值。
以上是一些常见的特殊值，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
如果我们能够记住这些特殊值，就可以更好地掌握数学知识，更好地应用数学。
特殊数
如 M 13 213 1 8191, 8191 的素因子形如
Mersenne数的由来 Marin Mersenne(1588–1648） 17世纪法国著名的数学家和修道士
1640年6月,Fermat在给Mersenne的一封信中
讨论了形如 2 p 1 的数 Mersenne断言 对于p=2，3，5，7，13， 17，19，31，67，127，257，2 1 是素数
/
1996年-2009年4月12日, GIMPS 找到了20个Mersenne素数
##
p
M 的位数
P 的位数 14471465 15632458 18304103 19616714 25956377 22370543 25674127
年份 2004 2005 2005 2006 2008 2008 2009
Mersenne数的探索历程
美国电子前沿基金会（IEFF）宣布 第一个找到超过一百万位数Mersenne素数 个人或机构颁发5万美元, 超过一千万位数, 10万美元, 超过1亿位数, 15万美元, 超过10亿位数, 25万美元.
Mersenne数的探索历程 1999年6月1日, Nayan Gahratwaka 发现第38个Mersenne素数 M 6972593 (2098960位) 2008年8月23日，Edson Smith 发现第45个Mersenne素数 M 43112609 (12978189位) 2013年1月25日，Curtis Cooper 发现第45个Mersenne素数 M 57885161 (17425170位)
定理4
n 是偶完全数 n 2
其中
p 1
Mp
p, M p
都是素数.
最全的能被特殊数7、11、13等整除的数的判别法
一、特殊数字的整除。
1、能被3、9整除的数：数位之和能被3、9整除（注意消倍）。
例：76935、3165493能否被3整除?例：1349982、367594737能否被9整除？2、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
3、能被7整除的数：1）割尾法。
故133可以被7整除。
2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被7整除。
例如判断1798638345能否被7整除？3）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差绝对值能被7整除。
例如判断69272、13275能否被7整除？4、能被11整除的数：1）割尾法。
若将一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的1倍，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否为11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如判断6259能否被11整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？3）该数的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差的绝对值能被11整除。
例如判断55138028、44142405能否被11整除？4）注意：奇数位数首位单独为一节。
5）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差绝对值能被11整除。
例如判断44528能否被11整除？5、能被13整除的数：1）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
例如判断5005、73853能否被13整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被13整除。
例如判断106736097、57157059能否被13整除？3）逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除。
特殊数字意义
特殊数字意义0 字部019425 你依旧是爱我02746 你恶心死了02825 你爱不爱我03456 你相思无用0437 你是神经04517 你是我氧气0456 你是我的04567 你是我老妻0457 你是我妻045692 你是我的最爱0487 你是白痴0487561 你是白痴无药医0564335 好无聊时想想我0594184 你我就是一辈子065 原谅我06537 你惹我生气07382 你欺恶怕善0748 你去死吧07868 你吃饱了吧08056 你不理我啦0837 你别生气08376 你别生气了095 你找我098 你走吧1 字部1240 最爱是你1314 一生一世1314925 一生一世就爱我1372 一厢情愿1392010 一生就爱你一个1414 意思意思147 一世情1573 一往情深1711 一心一意2 字部200 爱你哦20110 爱你一亿年20160 爱你一万年20170 爱你一千年20184 爱你一辈子2030999 爱你想你久久久2037 为你伤心20475 爱你是幸福20609 爱你到永久207374 爱你七生七世20863 爱你到来生20999 爱你久久久220225 爱爱你爱爱我230 爱上你234 爱相随235 爱上我240 爱死你246 饿死了246437 爱是如此神奇25184 爱我一辈子25873 爱我到今生25910 爱我久一点259695 爱我就了解我259758 爱我就娶我吧2627 爱来爱去282 饿不饿2925184 爱就爱我一辈子296 爱走了3 字部300 想你哦30920 想你就爱你309420 想你就是爱你3013 想你一生31707 LOVE(把BP机倒过来看) 32012 想念你的爱32069 想爱你很久3207778 想和你去吹吹风330335 想想你想想我3344 生生世世3399 长长久久356 上网了35910 想我久一点3731 真心真意39 THANK YOU4 字部440295 谢谢你爱过我4422335 时时刻刻想想我4457 速速回机456 是我啦460 思念你5 字部505 SOS507680 我一定要追你510 我依你(我已来)51020 我依然爱你51095 我要你嫁我51396 我要睡觉了514 无意思515206 我已不爱你了51620 我依然爱你51820 我已不爱你518720 我一辈子爱你51920 我依旧爱你51930 我依旧想你520 我爱你5201314 我爱你一生一世520*10000 我爱你一万年5203344 我爱你生生世世52094 我爱你到死521 我愿意5230 我爱上你5240 我爱是你52406 我爱死你了526 我饿了5260 我暗恋你530 我想你530184 我想你一辈子53207778 我想和你去吹吹风53406 我想死你了53517230 我想我已经爱上你5360 我想念你5366 我想聊聊5376 我生气了53719 我深情依旧53770 我想亲亲你53782 我心情不好53880 我想抱抱你53980 我想揍扁你540086 我是你女朋友54033 我是你先生5406 我是你的5407 我是你妻54064 我是你老师54074 我是你妻子54086 我是你八啦5420 我只爱你54335 无事想想我543720 我是真心爱你54430 我时时想你5452830 无时无刻不想你546 我输了5460 我思念你5490 我去找你54920 我始终爱你554528096我无时无刻伴你左右555 呜呜呜55646 我无聊死了556520 我不能不爱你558 午午安55926 我有多无聊5620 我很爱你562059487 我若爱你我就是白痴5630 我很想你564335 无聊时想想我5670 我要娶你570 我气你57350 我只在乎你57386 我去上班了57410 我心属于你574839 我其实不想走57520 吾妻我爱你576 我去了5776 我出去了578 补习班58 晚安584520 我发誓我爱你586 我不来587 我抱歉5871 我不介意592 我好饿59240 我最爱是你59420 我就是爱你59430 我就是想你59520 我永远爱你596 我走了5976 我到家了6 字部609 到永久6120 懒得理你6785753 老地方不见不散6868 溜吧!溜吧!687 对不起7 字部70345 请你相信我706 起来吧70626 请你留下来706519184 请你让我依靠一辈子7086 七零八落7087 请你别走70885 请你帮帮我721 亲爱的729 去喝酒7319 天长地久737420 今生今世爱你73748096 今生今世伴你左右73807 情深怕缘浅740 气死你7408695 其实你不了解我745 气死我745420 其实我是爱你7474074 去死去死你去死74839 其实不想走756 辛苦了765 去跳舞7678 吃饱了吗770880520 亲亲你抱抱你我爱你7731 心心相印7752 亲亲吾爱775885 亲亲我抱抱我77543 猜猜我是谁77895 紧紧抱着我786 吃饱了7998 去走走吧8 字部8006 不理你了8013 伴你一生8074 把你气死8084 BABY809 保龄球82475 被爱是幸福825 别爱我837 别生气8384 不三不四85 帮我85941 帮我告诉他885 帮帮我860 不留你865 别惹我8716 八格耶鲁(日语混蛋) 881 拜拜唉8834760 漫漫相思只为你886 拜拜罗898 分手吧9 字部902535 求你爱我想907753 叫你去吃午餐9089 求你别走910 就依你918 加油吧920 好爱你9213 钟爱一生930 好想你93110 好想见见你940194 告诉你一件事95 救我98 久发987 对不起9908875 求求你别抛弃我995 救救我9958 救救我吧!。
小学奥数特殊数速算技巧
小学奥数特殊数速算技巧小学奥数特殊数速算技巧人活着就是为了解决困难。
这才是生命的意义，也是生命的内容。
逃避不是办法，知难而上往往是解决问题的最好手段。
下面是小编为大家整理的小学奥数特殊数速算技巧，欢迎参考~小学奥数特殊数速算技巧原理：设两位数分别为10A+B，10C+D,其积为S,根据多项式展开：S= (10A+B) ×(10C+D)=10A×10C+ B×10C+10A×D+ B×D，而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补(相加为十)的关系简化上式，从而快速得出结果。
注：下文中“--”代表十位和个位，因为两位数的十位相乘得数的后面是两个零，请大家不要忘了，前积就是前两位,后积是后两位,中积为中间两位，满十前一,不足补零.A.乘法速算一.前数相同的：1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S= (10+B+D)×10+A×B方法：百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：13×1713 + 7 = 2- - ( “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了)3 × 7 = 21-----------------------221即13×17= 2211.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1, B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：15×1715 + 7 = 22- ( “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了)5 × 7 = 35-----------------------255即15×17 = 2551.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积例：56 × 54(5 + 1) × 5 = 30- -6 × 4 = 24----------------------30241.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B方法:先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然例：67 × 64(6+1)×6=427×4=287+4=1111-10=14228+60=4288----------------------4288方法2：两首位相乘(即求首位的平方)，得数作为前积，两尾数的`和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
(整理)几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
几个重要的特殊数列.
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
特殊数的整除特征
特殊数的整除特征特殊数是指在一定的条件下具有特殊整除特征的数。
在数学中，各种特殊数都有独特的整除特征，下面介绍几种常见的特殊数及其整除特征。
1.完全数完全数是指一个数恰好等于它所有正因子（除了它本身）的和。
最早完全数的记录出现在古希腊，最小的完全数是6（因子为1、2、3，和为6）。
另外两个较小的完全数是28（因子为1、2、4、7、14，和为28）和496（因子为1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为496）。
2.欧拉回文数3.素数素数是指只能被1和它自身整除的正整数。
素数在整数论中起着重要的作用，它们具有特殊的整除特性。
素数的定义简单，但却是数学研究的核心之一、质数的性质导致了很多数论的发展，比如素数定理、哥德巴赫猜想等。
4.斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。
例如，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、斐波那契数列在数学和自然界中都有很大的应用，在整除特征中，斐波那契数列中的相邻项有特殊的整除关系，即前一项能整除后一项。
5.卡普雷卡数卡普雷卡数是指一个正整数n，它和n的平方数的数字组成的数一样。
例如，5是一个卡普雷卡数，因为5的平方是25，它们的数字组成是一样的。
另外一个例子是49，因为49的平方是2401，它们的数字组成也是一样的。
卡普雷卡数具有一定的特殊性，被广泛研究和应用于数学和密码学中。
特殊数的整除特征能够帮助我们理解和探索数学的奥秘。
通过研究这些特殊数及其整除特征，我们可以发现数学中的规律和性质，推动数学的发展。
同时，特殊数的整除特征也有一定的应用价值，可以在密码学、编码理论等领域中发挥作用。
因此，研究特殊数的整除特征是数学研究中的重要方向之一。
几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
这个数列的通项公式如何去求？特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x+=2，其根为特征根。
因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
勾股数的特殊数口诀
勾股数的特殊数口诀
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即满足 a^2 + b^2 =
c^2 的三个数。
其中，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边（也称为斜边）。
勾股数有很多特殊的性质和口诀，下面我将从多
个角度介绍一些常见的特殊数口诀。
1. 3-4-5三角形，这是最常见的勾股数口诀，即当a=3、b=4、
c=5时，满足勾股定理。
这个口诀可以记作“三四五，直角必有”。
2. 5-12-13三角形，这也是常见的勾股数口诀，即当a=5、
b=12、c=13时，满足勾股定理。
这个口诀可以记作“五十一三，直
角必现”。
3. 8-15-17三角形，这是另一个常见的勾股数口诀，即当a=8、b=15、c=17时，满足勾股定理。
这个口诀可以记作“八十一七，直
角必现”。
4. 7-24-25三角形，这是一个较大的勾股数，即当a=7、b=24、c=25时，满足勾股定理。
这个口诀可以记作“七二二五，直角必活”。
5. 9-40-41三角形，这是一个更大的勾股数，即当a=9、b=40、c=41时，满足勾股定理。
这个口诀可以记作“九四四一，直角必达”。
需要注意的是，上述口诀只是一种简单的记忆方式，实际上，
勾股数是无穷多的，可以通过勾股数的生成公式来计算更多的勾股数。
勾股数口诀只是其中的一部分特殊情况。
希望以上回答能够满足你的需求，如果你还有其他问题，欢迎
继续提问。
数学中的特殊数字
一、零0数字“0”，可以表示“没有”，也可以在数中起占位作用，更可以用来表示界限。
它既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。
历史上，使用符号表示“虚无”已经有几千年的历史。
公元前700年开始，巴比伦人在他们的数字系中使用零作为占位符。
玛雅文明（如今的墨西哥）已经以各种形式使用“O”。
墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零，其时间可能是在公元前4世纪，但较肯定的是在公元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历法的一部分。
公元130年时，被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号所影响。
公元525年，零被使用在以罗马数字编制的表格上。
在7世纪，公元628年，印度数学家婆罗摩笈多将“0”作为一个“数字”对待，而不仅仅是一个占位符，并且制定了与其他数字的运算法则，建立了一套使用规则，并讨论包含零的运算，包括除法。
包含了“O”的印度—阿拉伯数字系统最早是由比萨的斐波那契于1202年在他的Liber Abaci（《计算之书》）中发表的，他在印度—阿拉伯数字系统1-9中加入了一个新的符号“0”，随后在西方推广开来，并在印度—阿拉伯用于四则运算的教学中。
二、圆周率π圆周率π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。
它的值，不取决于圆周的大小，无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。
π产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，比如概率论、流体力学、光学、甚至量子理论中。
人们在古时候就对圆周周长和直径的比值产生了浓厚的兴趣。
在公元前2000年左右，巴比伦人发现了周长大约是直径的3倍。
公元250年阿基米德给出此比值的近似值为22/7。
公元1706年，威尔士数学家威廉·琼斯引入了符号π。
18世纪著名物理学家和数学家欧拉在圆周率的使用中将π推广开来。
我们无法知道π的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1761年证明。
德国数学家林德曼在1882年证明了π是“超越”的，即π不可能是代数方程（一个仅含有x的指数项的方程）的解。
特殊数字符号大全以及数字表情
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一二三四五六七八九十1 2 3 4 5 6 7 8 9 0㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦㈧㈨㈩带圏符号① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?一二三四五六七八九十 | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆ ⒇⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏⒐⒑⒒⒓⒔⒕⒖⒗⒘⒙⒚⒛Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ关于带圈字符：带圈字符：为所选字符添加圈号，或取消所选字符的圈号。
在word中，可以轻松字符添加圈号，制作出各种各样的带圈字符。
操作步骤如下:1.选定要添加圈号的字符。
如果是汉字、全角的符号、数字或字母，只能选择一个字符;如果是半角的符号、数字或字母，最多可选择两个，多选的将自动被舍弃。
2.执行“格式”→“中文版式”→“带圈字符”，打开“带圈字符”对话框。
可见选中的文字已出现“文字”框中，在列表中还列出了最近所使用过的字符。
提示:在具体使用中，可以不经过第一步，直接打开此对话框，在“文字”框中直接输入要添加圈号的字符。
3.在“圈号”列表中选择要选用的圈号类型。
4.单击“确定”按钮。
提示:1.当改变带圈字符的字号时，因圈号和圈内字符的字号变为同样大小，结果导致字符溢出圆圈之外。
解决方法为:选中此带圈字符，重新打开“带圈字符”对话框，选择“缩小文字”样式或“增大圈号”样式，前者可在圈号不变的情况下将文字缩小，后者则保证字符大小不变将圈号扩大，最后单击“确定”按钮。
2.如果要删除字符的圈号样式，可选定之，打开“带圈字符”对话框，选择样式中的“无”，再单击“确定”按钮。
3.这种带圈字符的设计是用域实现的，知道了这一点，就可以随心所欲地创造出有个性的带圈字符了。
带圈数字符号怎么打,带圈数字符号如果是从①—⑩的带圈数字符号,用软键盘插入符号输入,在“数字序号”组,如果超过10怎么办?输入11—20的带圈数字需要先输入数字,然后选中它,再利用“工具→中文版式→带圈文字”就搞定了.一般都选增大圈号,数字大小不变.如果缩小数字来适应圈,就太模糊了,比例上也不好看,歪的多.圈的形状有圆的三角型菱形和方块.大家都用圆的吧?Excel就不灵了,要么在word做好,做成图片,在excel里选插入图片.或者对于11至20这么办,插入→符号→字体选MS GOTHIC，在下面字符代码处输入246a,软键盘上就出来带圈的11到20.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩商标标识特殊符号大全● ? ●??♂♀⊙◎ ? ?◇の★☆→あぃ￡Ю〓§¤??≈ .. .. ? ? ? ? ? ? ~.~ ??-? 【】┱ ┲ ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?★ ☆ ? ? ⊙ ? ? ? ????? ╬ 『』∴ ? .????? ? ? ? ? ? ☆ ∷ ﹌の★ ◎ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?↘ ? ? ▄ █ ▌? ? ? ? ?の☆→ ? ぃ￡ ? ????? ? ??.1 ⊙●○①⊕◎Θ⊙¤㊣★☆♀◆◇◣◢◥▲▼△▽⊿◤ ◥.2 ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 回□ 〓≡ ╝╚╔ ╗╬ ═ ╓ ╩ ┠ ┨┯ ┷┏.3 ┓┗ ┛┳⊥『』┌ ┐└ ┘∟「」↑↓→←↘↙♀♂┇┅ ﹉﹊﹍﹎╭.4 ╮╰ ╯ *^_^* ^*^ ^-^ ^_^ ^（^ ∵∴‖｜｜︴﹏﹋﹌（）〔〕.5 【】〖〗＠：！/ " _ < > `,·。
《具体数学》——特殊的数
《具体数学》——特殊的数不论是在数论中，还是在组合数学中，都有着⼀些特殊的数列——斐波那契数、欧拉数，斯特林数、卡特兰数，这篇⽂章，笔者将带领读者去探寻历代数学家是如何从⼀些简单基本的问题中提炼出这些特殊的数列。
斯特林数：斯特林数有两类，分别基于这不同情境的问题，我们⾸先介绍第⼆类斯特林数。
第⼆类斯特林数基于这样⼀个问题模型：将含有n个元素的集合分成k个⾮空⼦集(⽤S2(n,k)表⽰)，有多少张种情况？⾸先我们从⼏个简单的例⼦开始，显然，对于任意n>0,k=1,有S2(n,k) = S2(n,n) = 1。
⽽当n = 0时呢？S2(0,1) = ?我们⽤⽂字描述⼀下这个式⼦想要表达的东西，空集分成⼀个⾮空集合的情况数，显然是不存在的，即S(0,1) = 0。
让我们进⼀步讨论k = 2的情况，对于S2(n,2)，我们可以将其看成将第n个元素加⼊到前n-1个元素构成集合的⼀个任意⼦集中，由于这种选择最终不能形成空集，因此需要排除⼀种情况，即S2(n,2) = 2^(n-1) - 1.分析了k两种特殊取值，我们尝试⽤分析k=2时的思路进⾏推⼴式的分析。
考察S2(n,k)，我们可将其看成在n-1个元素的集合上进⾏⼀系列操作。
对于第n个元素，⽆⾮有如下两种情况：1.第n个元素单独⼀组，此时出现S2(n-1，k-1)种情况。
2.第n个元素不是单独⼀组，此时出现k*S2(n-1,k)种情况。
综合起来，得到第⼆类斯特林数的递推公式S2(n,k) = S2(n-1,k-1) + k*S2(n-1,k)。
那么这⾥我们结合刚刚学到的第⼆类斯特林数，来⼀道实战的应⽤。
Q：当前有n场⽐赛以及m个桌⼦，组织每⼀场⽐赛需要⼀些桌⼦，那么现在请问，完成这n场⽐赛，有多少种不同的分配桌⼦的⽅法？(每个桌⼦⾄少要⽤⼀次。
)我们能够看到，在应⽤第⼆类斯特林数的时候，S2(n,k)中两个参量分别表⽰元素数和集合数，在具体的问题中如何恰到好处的找到这两个参量，是⽤好它的关键。
137计算公式
137计算公式在数学中，137是一个非常特殊的数字，因为它是一个素数，即只能被1和自身整除。
素数在数学中起着非常重要的作用，因为它们具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨137这个特殊数字的一些计算公式和其在数学中的应用。
首先，让我们来看看137的一些基本性质。
137是一个三位数，它的因数只有1和137，因此它是一个素数。
素数在数学中具有非常重要的地位，因为它们在数论和密码学等领域有着广泛的应用。
137也是一个质数，因为它不能被任何其他数字整除。
这使得137成为一个非常特殊的数字，具有许多独特的性质和特征。
现在让我们来看看137的一些计算公式。
首先，我们可以使用137的因数分解公式来得到它的质因数分解。
137只能被1和137整除，因此它的质因数分解就是137=1137。
这意味着137只有一个质因数，即137本身。
这使得137成为一个非常特殊的数字，因为它是一个质数，而且它的质因数分解只有一个因数。
除了质因数分解，我们还可以使用137的幂运算公式来计算137的幂。
137的幂运算公式是137^n，其中n是一个正整数。
例如，137的平方是137^2=18769，137的立方是137^3=2571353。
这些幂运算公式可以帮助我们快速计算137的各种幂，而不需要逐个数字地进行乘法运算。
另外，我们还可以使用137的乘法表来计算137的乘法。
137的乘法表可以帮助我们快速计算137与其他数字的乘法结果。
例如，137乘以2等于274，137乘以3等于411，137乘以4等于548，以此类推。
通过137的乘法表，我们可以快速得到137与其他数字的乘法结果，而不需要逐个数字地进行乘法运算。
除了以上的计算公式，137还有许多其他的数学应用。
例如，在数论中，137可以用来解决一些特殊的数论问题。
在密码学中，137可以用来生成一些特殊的密码。
在统计学中，137可以用来表示一些特殊的统计数据。
在物理学中，137可以用来表示一些特殊的物理常数。