八年级数学全等三角形复习

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八年级数学上册第1章全等三角形章末复习课件

则( )
D
A．△ABD≌△AFE B．△AFE≌△ADC
C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
第十四页，共三十二页。
3. 如图，点B在AE上，且∠CAB＝∠DAB，若要使△ABC≌△ABD，可补充的条件(tiáojiàn)
是 AC＝AD ．(写出一个即可)
4.如图，把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重
第三页，共三十二页。
讲练结合
1、下列(xiàliè)四个图形中，全等的图形是（ C ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
2、下面(xià mian)是5个全等的正六边形 A、B、C、D、E ，请你仔细观察 A、B、C、D 四个
图案，其中与 E 图案完全相同的是(
).
C
第四页，共三十二页。
角,EF=2.1 cm ,EH=1.1 cm ，HN=3.3 cm .
(1)写出其他(qítā)对应边及对应角； (2)求线段NM及线段HG的长度.
解： (1)∵△EFG≌△NMH,∴最长边FG和MH是对应(duìyìng)边，其他对应边是EF和NM、EG和NH；对应角是∠E和∠N、 ∠EGF和∠NHM. (2)由(1)知NM=EF=2.1 cm ,GE=HN=3.3 cm ,
5.尺规作图
作一个角等于(děngyú)已知角
知道△ABC 的六个元素中的某三个元素，根据确定三角形的条件，以下四种情况可作出△ABC： ① 已知三边；
② 已知两边(liǎngbiān)及其夹角； ③ 已知两角及其夹边；
④ 已知两角和其中一角的对边.
2021/12/13
第二十九页，共三十二页。
布置作业

(文末带解析)八年级数学全等三角形常考必考知识点总结

(文末带解析)八年级数学全等三角形常考必考知识点总结单选题1、工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块 C．第3块D．第4块3、如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是( )A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BF＝DC4、如图，AB//DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是()A．AASB．SASC．ASAD．SSS∠AOB，则OC是∠AOB的平分线③a>b，则5、下列说法：①若AC=BC，则C为AB的中点②若∠AOC=12a2>b2④若a=b，则|a|=|b|，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角7、作∠AOB平分线的作图过程如下：作法：（1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．DE的长为半径作弧，两弧交于点C．（2）分别以D，E为圆心，大于12（3）作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等的判定解释作图原理，最为恰当的是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个填空题9、如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）10、如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，若∠A=50°，则∠DFE的度数为________．11、如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．12、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动______分钟后△CAP与△PQB全等．13、如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝_____cm．解答题14、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.(文末带解析)八年级数学全等三角形_009参考答案1、答案：D解析：根据全等三角形的判定条件判断即可．解：由题意可知OC=OD,MC=MD在△OCM和△ODM中{OC=OD OM=OM MC=MD∴△OCM≅△ODM(SSS)∴∠COM=∠DOM∴OM就是∠AOB的平分线故选：D小提示：本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．2、答案：B解析：本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．小提示：本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3、答案：C解析：根据全等三角形的判定方法即可判断.A. AB＝ED，可用ASA判定△ABC≌△EDF；B. AC＝EF，可用AAS判定△ABC≌△EDF；C. AC∥EF，不能用AAA判定△ABC≌△EDF，故错误；D. BF＝DC，可用AAS判定△ABC≌△EDF；故选C.小提示：此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.4、答案：B解析：根据平行线性质得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=DB，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB，从而推出∠A=∠C，即可得出答案．∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中，{AB=CD∠ABD=∠CDBBD=BD，∴△ABD≌△CDB(SAS)，∴∠A=∠C，故选B．小提示：本题考查了平行线性质、全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.5、答案：A解析：根据直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，逐一判定即可.当三点不在同一直线上的时候，点C不是AB的中点，故错误；当OC位于∠AOB的内部时候，此结论成立，故错误；当a、b为负数时，a2＜b2，故错误；若a=b，则|a|=|b|，故正确；故选：A.小提示：此题主要考查直线中点、角平分线、有理数大小比较以及绝对值的性质，熟练掌握，即可解题.6、答案：C解析：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.小提示：本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.7、答案：A解析：根据作图过程可得OD=OE，CE=CD，根据OC为公共边，利用SSS即可证明△OCE≌△OCD，即可得答案．∵分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；∴CE=CD，在△OCE和△OCD中，{OE=OD CD=CE OC=OC，∴△OCE≌△OCD（SSS），故选：A．小提示：本题考查全等三角形的判定，正确找出相等的线段并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8、答案：C解析：根据全等三角形对应边相等，对应角相等，结合图象逐个分析即可．解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．9、答案：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.解析：根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD；小提示：本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．10、答案：40°解析：先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出∠DFE的度数．解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．所以答案是：40°．小提示：此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．11、答案：3解析：先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案．解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，所以答案是：3．小提示：本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．12、答案：4解析：分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），P的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AB=6（米），AP=BP=12则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．综上，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，所以答案是：4．小提示：本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．13、答案：5解析：由D为AC的中点可得AD=CD，由CF∥AB可得∠AED=∠F,∠A=∠FCD，根据全等三角形的判定定理AAS证得结论即可．解：∵D为AC的中点∴AD=CD∵CF∥AB∴∠AED=∠F,∠A=∠FCD在△AED和△CFD中{AD=CD∠AED=∠F∠A=∠FCD∴△AED≌△CFD（AAS）∴AE=CF∵AB＝15cm，CF＝10cm，BE=AB-AE=AB-CF=15-10=5cm所以答案是：5小提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL根据具体情况选择恰当的判定方法是解题关键14、答案：（1）全等，理由见详解；PC⊥PQ，理由见解析；（2）存在，{t=1x=1或{t=2x=32．解析：（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．解：（1）当t =1时，AP =BQ =1，BP =AC =3，又∵∠A =∠B =90°，在ΔACP 和ΔBPQ 中，{AP =BQ ∠A =∠B AC =BP∴ΔACP ≅ΔBPQ (SAS )．∴∠ACP =∠BPQ ，∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90°．∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ΔACP ≅ΔBPC ，则AC =BP ，AP =BQ ，则{3=4−t t =xt，解得：{t =1x =1； ②若ΔACP ≅ΔBQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，则{3=xt t =4−t，解得：{t =2x =32 ；综上所述，存在{t =1x =1 或{t =2x =32使得ΔACP 与ΔBPQ 全等．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．15、答案：证明见解析.解析：延长CE 、BA 交于F ，根据角边角定理，证明△BEF ≌△BEC ，进而得到CF=2CE 的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF ≌△ABD ，得到BD=CF ，至此问题得解．证明：分别延长BA ，CE 交于点F.∵BE ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC ＝90°.又∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(ASA)，∴CE ＝FE ＝12CF. ∵∠1＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠ACF.又∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ＝90°，∴△ABD ≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF，∴BD＝2CE小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．。

第十二章全等三角形常见全等三角形模型复习讲义人教版数学八年级上册

常见全等三角形模型（压轴）三角形全等的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．证明三角形全等的基本思路：全等三角形中常见的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE =60°；（3）OA平分∠EOF ．拓展图形：结论：（1）AD=BE ；（2）∠ACB=∠AOB ；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE ；（5）AP=BQ ；（6）CO平分∠AOE ；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD ．③ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△ECD导出AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD3等腰直角三角形型定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等：结论：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四边形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等边△GBF；（7）GF∥AC.1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠P AE的度数和E 点的坐标；（3）点C 在y 轴移动的过程中，若∠APB ＝30°，则点P 的横坐标为．例2．如图1，OA ＝1，OB ＝3，以A 为直角顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．（1）求点C 的坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当点P 向下运动时，以P 点为直角顶点，P A 为腰作等腰Rt △APQ ，过Q 作QE ⊥x 轴于E 点，求PO ﹣QE 的值．1．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（）．A ．50B ．62C ．65D ．682．直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．3．（1）如图1，OA ＝3，OB ＝6，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ，则C 点的坐标为；（2）如图2，OA ＝3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰作等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；（3）如图3，点F 坐标为（﹣3，﹣3），点G （0，m ）在y 轴负半轴上，点H （n ，0）在x 轴的正半轴上，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 为边AC 上一点，连接BE 交y 轴于点F ，交x 轴于点G ，作CD ⊥BE 交BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A B CEF D D A BC E F AD F CE B 图1 图2 图3BE延长线于点D，且CD=BF，连接AD，CF.（1）求证：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求证：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求OC的长.5．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD 于E，交BC于F，连接DF．求证：∠ADB=∠CDF．例3．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC∆边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1/cm s，∠变化吗？若变化，则（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ说明理由，若不变，则求出它的度数；∆是直角三角形？（2）何时PBQ（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．交点为M，则CMQ1．如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG 交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．例4．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N 分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．（1）求证：△ANO≌△BMO；（2）求证：OM⊥ON．（3）当M、N分别在线段AB、AC上移动时，四边形AMON的面积如何变化？1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB．AC于M．N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA．AC延长线交于M．N，问DM和DN有何数量关系，并证明．2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点复习总结及常考题型练习.doc

第十二章一、：：二、：：1.：：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.：：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..4.：：5.：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.：：⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.：：(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2．如图，ABD ≌ CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3．如图， ABC ≌ BAD ，A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB = DE 如图，在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC = 26 ，且 B = 20 ， SABC = 1，求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积．
数及 BC 的长．
E
F
A
BC
D
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11．如图，在 ABC与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形（一）作业
1．如图， ABC ≌ CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（）
求证：（1） DE ⊥ AB ；（2）BD 平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）
B
A E
D
C
【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的
形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩，即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能B 解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC ，∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ，从而可得∠AOP=∠MON ．【详解】解：∵OP 平分∠AOC ，∴∠AOP=12∠AOC ， ∵OM 、ON 分别是∠AOB 、∠BOC 的平分线， ∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB ，∠CON=∠BON=12∠BOC ， ∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC ， ∴∠AOP=∠MON ．故选B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒A解析：A【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠()1802OBC OCB =︒-∠+∠()1802180BOC =︒-⨯︒-∠()1802180110︒=︒-⨯-︒40=︒．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．5．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．6．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A．4 B．3 C．2 D．1D解析：D【分析】根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．【详解】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．正确的有一个③，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．7．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12A解析：A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．8．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（）．A ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅ ∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．10．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB ≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB ，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是____．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DE⊥B 解析：120【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，可求出四边形ABCD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．又∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，＝12AB•DE＋12BC•CD，＝12×12×8＋12×18×8，＝120．故答案为：120．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()0,3，另一个顶点B的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．【详解】解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC ，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==，从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，，从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件，能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B 根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC ∠A ＝35°∠C ＝25°∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△解析：120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B ，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．【详解】解：∵△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝25°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC ≌△A'B'C'，∴∠B ＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB ＝∠ACD ，则△ABC ≌△ADC （ASA ）；若添加条件∠ABC ＝∠ADC ，则△ABC ≌△ADC （AAS ）；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案【详解】∵∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ∴∠1解析：55°【分析】先证明△ABD ≌△ACE （SAS ）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠2=∠ABE ；最后根据三角形内角与外角的性质即可求出答案．【详解】∵BAC DAE ∠=∠，∴∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，∴∠1=∠CAE ；在△ABD 与△ACE 中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；∴∠2=∠ABE ；∵∠3=∠ABE+∠1=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，∴∠3=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．20．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．三、解答题 21．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1）（2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC即为所求，AB C即为所求，②如图，''【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．22．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．解析：（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，∴∠ADE=∠ADF ；（2）结论2：AE=AF ，证明如下：由（1）可知：△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．23．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴=在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．解析：见解析．【分析】根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；【详解】∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△，∴ACB F ∠=∠，∴//AC DF ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；25．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．26．已知矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，连接CE ，经过点A ，B ，E 三点作O ，交BC 于点F ，过点F 作FH CE ⊥于H ．（1）求证：直线FH 是O 的切线；（2）若42AD =，且点H 恰好为CE 中点时，判断此时CE 与O 的位置关系？说明理由，并求出弧EF ，线段EH ，FH 围成的图形的面积．解析：（1）见解析；（2）EC 与O 相切，理由见解析，4π-【分析】（1）连接BE ，OF ，易得出BE 是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EAB ≌△EDC ，继而根据平行线的性质和切线的判定即可求证结论；（2）连接EF ，易求得四边形OFHE 的边长，再利用面积的和差即可求解．【详解】（1）连接BE ，OF∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∵90A ∠=︒，∴BE 是O 的直径，∵点E 是AD 中点，∴EA EC =，∴△EAB ≌△EDC ，∴EB EC =，∴EBC ECB ∠=∠，∵OB OF =，∴ECB OFB ∠=∠，∴ECB OFB ∠=∠，∴//OF EC ，∴OFH FHC ∠=∠，∵FH CE ⊥，∴90FHC OFH ∠=∠=︒，又∵OF 是O 的半径，∴直线FH 是O 的切线．（2）EC 与O 相切．理由如下：连接EF ，由（1）知，BE 是O 直径，∴90EFB EFC ∠=∠=︒，∵点H 是CE 中点，∴FH EH HC ==，∵FH CE ⊥，∴90FHC ∠=︒，∴45ECF HFC ∠=∠=︒，∴90BEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴直线EC 与圆O 相切．由上可知四边形ABFE 和四边形OFHE 都是正方形， ∴11422222AE AB AD ===⨯= ∴224BE AB AE =+=，∴2OE OF ==， ∴2290π224π360OFHE OEFS S S ⨯=-=-=-正方形扇形．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的关键是综合运用所学知识．27．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标；（2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案；（2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案；（3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案．【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．28．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．（1）求证：DE EF =．（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．解析：（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．【详解】（1）证明：∵//AD BC ，∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．∵E 为AC 的中点，∴AE CE =．在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE CFE AAS ≅△△．∴DE EF =．（2）解：∵ADE CFE ≅，∴12AD CF ==．∵:2:3BF CF =，∴8BF =，∴81220BC BF CF =+=+=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形小结与复习

∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
( 全等三角形的对应角相等).
二、三角形全等的判定方法
1. 三边分别相等的两个三角形全等 (可以简写为
“边边边”或“SSS”).
A
用符号语言表示为：
在△ABC 和△ DEF 中，
AB = DE， BC = EF，
B
C
D
CA = FD，
∴△ABC≌△DEF (SSS).
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF， ∴△APE≌△CPF (AAS). ∴ AP = CP.
E
A 1
N P
2
B
FC
证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角
平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法
是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图).
1 2
N P
FC
∴∠EAP =∠FCP =∠PCB. ∵∠BAP +∠EAP = 180°， ∴∠PCB +∠BAP = 180°.
E
N
A 1 2
B
P FC
想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB 与∠PAB 有怎样的数量关系呢？
性质
全等三角形
判定
作用角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理
构造角平分线模型.
1 2
N P
B
FC
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，

八年级数学上册“第十二章全等三角形”必背知识点

八年级数学上册“第十二章全等三角形”必背知识点一、全等三角形的基本概念1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2. 对应边和对应角：全等三角形中互相重合的边和角分别称为对应边和对应角。

3. 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点称为对应顶点。

二、全等三角形的性质1. 对应边相等：全等三角形的对应边相等。

2. 对应角相等：全等三角形的对应角相等。

3. 其他性质：全等三角形的周长和面积也相等；对应边上的高、中线、角平分线分别相等；对应角的三角函数值相等。

三、全等三角形的判定定理全等三角形的判定定理是本章的核心内容，主要包括以下几种：1. SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。

2. SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

3. ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

4. AAS（角角边）：两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

5. HL（直角三角形的斜边、直角边）：在直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

四、找全等三角形的方法1. 从结论出发：看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中。

2. 从已知条件出发：看已知条件可以确定哪两个三角形相等。

3. 综合考虑：从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等。

4. 添加辅助线：若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

五、角平分线的性质1. 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2. 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

六、注意事项1. 在应用判定定理时，必须注意对应边和对应角的对应关系，不能随意搭配。

2. 证明两个三角形全等时，必须明确写出判定定理的依据，并写出完整的证明过程。

3. 注意区分全等三角形和相似三角形的判定条件，不要混淆。

通过掌握以上知识点，可以更好地理解和应用全等三角形的相关概念和性质，解决与全等三角形相关的问题。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。

人教版数学八年级上册第十二章全等三角形复习课件-课件

件不变，请问∠PCB与∠PAB有
∴ ∠PCB+ ∠BAP=180 °.
怎样的数量关系呢？
课堂小结
性质
全等三角形
判定
作用
基本性质和其他重要性质
判定方法基本思路
寻找现有条件（包括图中隐含条件）
选定判定方法证明准备条件
是证明两条线段相等和角相等的常用方法
角的平分线的性质定理
角的平分线的判定定理
(1)解：∵∠ACB=90°，
B
∴BC⊥AC.
E
∵AO平分∠BAC，
又DE⊥AB，BC⊥AC.
O
∴OE=OC（角平分线上的点到角
两边的距离相等）.
A
CD
(2)6对. AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
AC=BC，
∠BCE=∠DCA，
DC=EC，
∴ △ACD≌△BCE (SAS)， ∴ BE=AD.
4.如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的
延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.
(1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;
（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又知∠BAP+∠EAP=180 °.
∴ ∠EAP=∠PCB.

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

八年级数学上册第十二章全等三角形考点大全笔记(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形考点大全笔记单选题1、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．2、如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为(6,1)，则点A坐标为（）A．(4,0)B．(5,0)C．(0,4)D．(0,5)答案：D分析：作BD⊥x轴于点D，由等腰Rt△ABC可得AC=BC，进一步可证明Rt△AOC≌Rt△CDB，得到CO=BD=1，AO=CD=OD-OC=5，即可得到点A的坐标．解：如图，作BD ⊥x 轴于点D ，’∴∠BDC =90°，∴∠BCD +∠CBD =90°，∵点B 坐标为(6,1)，∴ OD =6，BD =1，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴ ∠ACB =90°，AC=BC ，∴ ∠ACO +∠BCD =90°∴ ∠ACO=∠CBD在Rt △AOC 和Rt △CDB 中，∵{∠ACO =∠CBD ∠ACO =∠CBD AC =BC，∴ Rt △AOC ≌Rt △CDB （AAS ），∴ CO=BD =1，AO=CD ，∴AO=CD=OD-OC =5，∵点A 在y 轴上，∴点A 坐标为（0，5），故答案选：D ．小提示：本题考查了利用几何图形的性质求点的坐标的问题，综合性稍强，灵活运用所学知识是关键．3、数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD ，BC 的中点O 固定，只要测得C ，D 之间的距离，就可知道内径AB 的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（）A．边角边B．三角形中位线定理C．边边边D．全等三角形的对应角相等答案：A分析：根据O是AD与BC的中点，得到OA=OD，OB=OC，根据∠AOB=∠DOC，推出△AOB≌△DOC，是SAS．∵O是AD与BC的中点，∴OA=OD，OB=OC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC(SAS)．故选A．小提示：本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．4、下列选项可用SAS证明△ABC≅△A′B′C′的是（）A．AB=A′B′，△B=△B′，AC=A′C′B．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′C．AC=A′C′，BC=B′C′，△C=△C′D．AC=A′C′，BC=B′C′，△B=△B′答案：C分析：根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．解：A．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；B．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意；C．满足SAS，能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项符合题意；D．不满足SAS，不能证明△ABC△△A′B′C′，故该选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF ＝DB，则∠ADE的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．71°答案：C分析：先利用三角形内角和算出∠CAB，再证明△CDF△△EDB得到CD=DE；再证明△ACD△△AED，得到∠CAD=∠EAD，即可算出根据题意：在Rt△ABC中∠CAB=90°−∠B=40°在Rt△CDF和Rt△EDB中{FC=BEDF=DB∴Rt△CDF△Rt△EDB（HL）∴CD=DE在Rt△ACD和Rt△AED中{CD=DEAD=AD∴Rt△ACD△Rt△AED（HL）∴∠CAD=∠EAD=1∠CAB=20°2在Rt△ADE中∴∠ADE=90°−∠EAD=70°故选：C．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．6、如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是（）A．6B．7C．8D．9答案：A分析：在AC上取AE=AB=5，然后证明△AEP-ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE=PB=3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，∵AC=9，∴CE=AC-AE=9-5=4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD=∠BAD，在△APE和△APB中，{AE=AB∠CAP=∠BADAP=AP，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE=PB=3，∵4-3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，观察四个选项，PC的长可能是6，故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．7、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，则DE的长是（）A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm答案：C分析：根据同角的余角相等，得∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，进而求得DE．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠BEC ＝90°，∠ADC ＝90°∴∠CBE +∠BCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠CBE ＝∠ACD ，在△ACD 与△CBE 中，{∠CBE ＝∠ACD∠BEC ＝∠ADC AC =BC∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ＝3cm ，CE ＝AD ＝7cm ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝7﹣3＝4cm ，故选：C ．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，本题证明△ACD ≌△CBE 是关键.8、如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A =36°，∠C ′=24°，则∠B =（）A ．60°B ．100°C ．120°D ．135°答案：C分析：由全等三角形的性质，先求出∠C =∠C ′=24°，即可求出∠B 的度数．解：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴∠C =∠C ′=24°，∵∠A =36°，∴∠B =180°−36°−24°=120°；故选：C．小提示：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠C=24°．9、如图，若△ABC△△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．10、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．填空题11、如图，∠C=∠CAM=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且PQ=AB，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC 才能和△PQA全等．答案：2或4##4或2分析：据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．解：设点P的运动时间为t秒，∵∠C=∠CAM=90°，PQ=AB，∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），∴t=4÷2=2秒；当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），∴t=8÷2=4秒，综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．所以答案是：2或4．小提示：本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．12、已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为大于12__________．答案：15°或45°分析：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，即可求解．解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，得到O P为∠AOB的平分线，再以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，所以∠BOC=15°或45°．所以答案是：15°或45°．小提示：本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作∠POC=15°的两种情况，避免遗漏．13、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,S四边形ABCD=10，则BE的长为__________答案：√10分析：过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，证明△AEB≌△CFB(AAS)推出BE=BF，S△ABE=S△BFC，可得S四边形ABCD =S正方形BEDF=12，由此即可解决问题；解：过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵BF⊥CD，BE⊥AD∴∠BFC=∠BEA=90∘∵∠ABC=∠ADC=90∘∴∠ABE+∠EBC=90∘，∠EBC+∠CBF=90∘∴∠ABE=∠CBF∵AB=CB∴△AEB≌△CFB(AAS)∴BE=BF，S△ABE=S△BFC∴S四边形ABCD =S正方形BEDF=10，∴BE×BF=10，即BE2=10，∴BE=√10，故答案为√10．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14、如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面积是2，则△ADC的面积为___．答案：1分析：先根据三角形面积公式计算出DE= 1，再根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式计算△ADC的面积．∵DE⊥AB，× DE × AB= 2，∴S△ABD=12=1，∴DE=2×24∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB和AC的距离相等，∴点D到AC的距离为1，×2×1= 1．∴S△ADC=12所以答案是：1．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，属于基础题，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．15、如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，给出的下列五个结论中正确结论的序号为．①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≅△BAM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．答案：①；②；③；⑤分析：①先证明△ABE≌△ACF，然后根据全等三角形的性质即可判定；②利用全等三角形的性质即可判定；③根据ASA即可证明三角形全等；④无法证明该结论；⑤根据ASA证明三角形全等即可．解：在△ABE和△ACF中，{∠E =∠F =90°∠B =∠C AE =AF，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴∠BAE =∠CAF ，BE =CF ，故②正确，∴∠BAE -∠BAC =∠CAF -∠BAC ，即∠1=∠2，故①正确，∵△ABE ≌△ACF ，∴AB =AC ，在△CAN 和△BAM 中，{∠N AC =∠M AB ，AB=AC∠B =∠C， ∴△CAN ≌△BAM （ASA ），故③正确，CD =DN 不能证明成立，故④错误在△AFN 和△AEM 中{∠1=∠2AF =AE ∠F =∠E，∴△AFN ≌△AEM （ASA ），故⑤正确．结论中正确结论的序号为①；②；③；⑤．故答案为①；②；③；⑤．小提示：本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．解答题16、如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且△ABC △△DAE ．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC△DE？请说明理由．答案：(1)见解析(2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC△DE．分析：（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．（1）证明：∵△ABC△△DAE，∴AE=BC，AC=DE，又∵AE=AC+CE，∴BC=DE+CE；（2）解：∵BC△DE，∴∠BCE=∠E，又∵△ABC△△DAE，∴∠ACB=∠E，∴∠ACB=∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠ACB=90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC△DE．小提示：本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17、如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC 全等的格点三角形．(1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．答案：(1)见解析(2)见解析(3)见解析分析：（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．（1）如图①所示，△ABD即为所求；（2）如图②所示，△DEC即为所求；（3）如图③所示，△AED即为所求，小提示：本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18、如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，过点F作FG⊥AB于点G，已知BG=1米，BE=CD=20米，BD=58米，点B、E、D在一条直线上，AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD，试求单元楼AB的高．（注：BE=FG,BG=EF,∠1与∠3互余）．答案：39米分析：根据题意得出∠2=∠3，∠AGF=∠EDC=90°，FG=CD，然后利用全等三角形的判定和性质求解即可．解：由图可得∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵FG⊥AB，CD⊥BD，∴∠AGF=∠EDC=90°，∵BE=CD，FG=BE，∴FG=CD，在△AFG与△ECD中，{∠AGF =∠EDCFG =CD ∠2=∠3∴△AFG ≌△ECD(ASA)，∴AG =DE =BD −BE =38（米），∴AB =AG +BG =38+1=39（米），答：单元楼AB 的高为39米．小提示：题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．。

人教版数学八年级上第十一章全等三角形综合复习及答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习第十一章全等三角形复习（一）全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（三）学习全等三角形应注意以下几个问题：（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”（5）截长补短法证三角形全等。

【切记】：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

人教版八年级数学下上册第12章全等三角形的性质与判定复习

第一节全等三角形的性质与判定知识结构导图高频核心考点1.全等三角形的有关概念全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

注：平移、对称、旋转前后的图形全等。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

相关概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2.表示方法：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：书写全等三角形时要求对应顶点必须写在对应位置。

3.全等三角形的一般规律⑴全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；⑵全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；⑶两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），一对最短边（最小角）是对应边（对应角）；⑷两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；⑸两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；⑹两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角。

4.全等三角形的性质特别提醒：1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等。

2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字。

5.全等三角形的判定(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件：①公共边或公共角相等；②对顶角相等。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习课(共25张PPT)

【思维模式】在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这两条线段或角在不可能全等的两个三角形中，还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的．
例3：第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题；（2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有关问题的时候，也能带来方便．
6．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳(带答案)

八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解．解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ，即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ，理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

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SAS、ASA、AAS、SSS
直角三角形全等的判定：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
边边边：
三边对应相等的两个三角形全等.
边角边：
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.
角边角：
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等
角角边：
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
探究反映的规律是：有斜边和一条直角边
合作中学习学习中创新
全等三角形复习
临颍县杜曲镇第一初级中学
三角形的复习
执教教师：赵安民
教学目的：通过概念的复习和典型例
题评析，使学生掌握三角形全等的判定、性质及其应用。
教学重点：典型例型评析。教学难点：学生综合能力的提高。
知识点
全等三角形的性质: 对应边、对应角相等，
全等三角形的判定: 一般三角形全等的判定：
而∠3=∠4（已知）
1
A2
∴∠ABD=∠ABC
3
B4
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2（已知）
C
AB=AB （公共边）
∠ABD=∠ABC （已知）
∴△ABD ≌ △ABC（ASA ）
∴AC=AD
（全等三角形对应边相等）
2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
证明：在△ABD和△ABC中
小结：
本节课你有何收获？（1）数学知识方面：（2）数学方法方面：（3）其它方面：
作业题：课本P115.
T2. 3 .4 .5. 6
愿你架起理想的金桥！
A
CB
第12题
_P_A_=_P_B_(已__知_)__
_∠_A_P__C_=∠_B_P__C_ _P_C_=_P_C_(公__共_边__)
∴△APC ≌△BPC（SAS
∴ ∵ ∴ ）
∠A=∠B（全等三角形对应角相）等 ∠ A=55° （已知）
∠B=∠A=55°（等量代DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
A．AD=AE
B． ∠AEB=∠ADC
C．BE=CD
D．AB=AC
例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( )
A．D1对 B．2对 C．3对 D．4对
例3.如图，AM=AN， BM=BN
说明△AMB≌△ANB的理由 N
扩散三:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,试说明:BF=CF.
扩散四:已知:AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点(即点F在直线AD上运动),点F在AD上不停的运动.你发现什么规律?请说出,并进行证明.
扩散五:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,试说明点F到AB,AC的距离相等.
B
D
E
解：全等。∵BD=EC（已知）
A
∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED
在△ABC与△FED中
AB＝EF（已知） B＝C（已知）
BC＝ED（已证）
∴△ABC≌△FED（SAS）
巩 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
固求证：AC=AD
D
练证明：∵∠ABD=180－∠3
习
∠ABC=180－∠4
M
B
解:A在M△A_M__AB_N和___△(_A已__N知_B__中)
____B_M__ BN(已知) ____A_B__ ___A_B_____(公共边)
A
∴ △ABM ≌ △ABN （ SSS ）
例4。如图，∠B＝∠E，AB＝
EF，BD＝EC，那么△ABC与
F
△FED全等吗？为什么？ C
证明： AF CE AE CF
又 BE ∥DF
1 2
又 BE DF
AEB ≌ CFD
在⊿AEB和⊿CFD中
﹛AE=CF ∠1=∠2
A C AB∥CD
BE=DF
5.已知，如图、
A 、E、F、C 四点
在同一直线上，
D
AB⊥BE,CD⊥DF,AB A =CD,AE=CF,请问：
E
F
C
BF是否等于DE?说
B
明理由。
例：已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.
扩散一: 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 延长线上一点,且B,F,C在一条直线上,试说明:F是BC的中点.
扩散二:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,试说明:BF=CF.
D
∠1=∠2 （已知）
∠C=∠D （已知） AB=AB（公共边）
1
A2
B
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
C
3.如图，PA=PB，PC是△PAB的
角分线，∠A=55°求：∠B的度数
P
解：∵PC是△ APB的角平分线
∴∠APC=∠BPC（三角形角平分线意义）
在 △APC和△BPC 中
扩散六:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,试说明:点F到AB,AC的距离相等.
扩散七:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,试说明:点F到AB,AC的距离相等.
扩散八 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC, 点 F 在直线AD上运动,那么点F到AB,AC的距离有何关系?请提出你的猜想,并进行证明.
已知两角找找夹任边一边ASAAAS
小试锋芒:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿AB＿=＿DE＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿CB＿= ∠＿D；EF
(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件∠＿A＿=＿∠＿D＿；
三角形全等。
(直角三角形)HL: 斜边及一条直角边对应相等的两个直角
三角形
知识点
三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS 已知两边找直角 HL
找另一边 SSS 边为角的对边找任一角 AAS 已知一边一角边为角的邻边找找找夹夹边角角的的的对另另角一一边角AASASASAS
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件A＿B=＿D＿E、＿AC＿=；DF
AD
B E CF
(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据，还缺条件＿A＿C=＿D＿F ＿
= =
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( B )
对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
三角形全等的识别的方法:
SSS：三条边对应相等的两个三角形全等。
SAS：有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA: 有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS: 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个