第八章演示文稿

j t 所以： Re 2 U e Re 2 (U 1 U 2 )e j t
上对任何t 都成立，所以总有：
U U1 U 2
拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：
u u1 u2 un
U U1 U 2 U n
例1. 已知 i =141.4cos(314t +300)A u =311.1cos(314t-600)V

解：

I 100 30o A U 220 - 60o V

试用相量表示 i, u 。 例2. 已 知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。 解：
T = 2， = 2 /T = 2f , f 的单位为赫兹—Hz(1/s)
(3) i = ( t + i )|t=0 — 初相位(初相)
i与计时零点选择有关，通常| i | ，即在主值范围取值。
i(t)=Imcos( t + i )
Im
i 2 t Ψi = 0
T 0
1 T 2
1 2 T Im 所以 I Im 0.707 I m , I m 2 I T 2 2 因此，I 可以替代Im作为正弦量的一个要素，即
注意: Im 2 I 只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之 间无 2 倍的关系。 工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量 仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。 但电器设备的绝缘水平 — 耐压值按最大值考虑。
W p( t )dt R i d t R i dt
0 0 0
设直流电流I通过电阻R，电阻在时间T内吸收的能量为： R 2 I
W I RT
令
I RT R i 2 d t 解得： 0
2
T
1 I T
电压有效值为
1 U T


T
0
i 2 (t )dt
此即有效值的定义， 又称为均方根值
T
0
u 2 (t )dt
ii）正弦电流、电压的有效值
1 设 i(t)=Imcos( t + i )，即有 I T

T
0
2 I m cos 2 ( t i ) dt
又

T
0
cos ( t ) dt
2
T
0
1 cos 2(t ) 1 dt t 2 2
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )( a 2 - jb2 ) F2 a 2 jb2 (a 2 jb2 )( a 2 - jb2 )
a1a2 b1b2 a2 b1 - a1b2 j 2 2 (a2 ) (b2 ) (a2 ) 2 (b2 ) 2
b. 复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行
* 两种转换中均要注意 所在的象限，从而确定 的大小
例：将以下复数转换为极坐标形式 F1 = 3 + j4 ；F2 = 3 – j4；F3 = -3+j4； F4 = -3 – j4 解：
由
3 4 5 4 arctg 53.13 3
2 2
F3
+j
+4 θ= 126.87º
F a jb
+j b F |F| θ a +1
a
+1
F F cos j F sin
a
0
F (cos j sin )
b
|F| : 称为复数的模 θ: 称为复数的辐角
指数形式：
利用欧拉公式：
e
j
cos j sin
F F e j
+j b
极坐标形式：
凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。 * 本书用余弦函数表示正旋量 正弦量的优点： i ) 正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。 ii) 在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是 同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。 iii) 正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。
两个复数的相乘，用指数形式进行, 有
F1 F2 F1 e
j 1
F2 e
j 2
F1 F2 e
j ( 1 2 )
用极坐标形式表示, 有
辐角相加
F1 F2 F1 1 F2 2 F1 F2 1 2
两个复数的相除，用极坐标形式有 模相乘
F1 1 F1 F1 1 - 2 F2 F2 2 F2
第8章 相量法
重点：
正弦量的三要素、相位差及有效值 正弦量的相量表示、用相量运算替代正弦量运算 电路定律的相量表示
§ 8. 1 复数
1. 复数的表示形式
代数形式：F=a+j b
+j b
F
取复数的实部和虚部分别表示为：
Re[F] = a，Im[F] = b 向量形式：一个复数F在复平面上 可以用一条从原点O指向F对应坐 标点的有向线段表示。 三角形式： 0
u(t ) 2Ucos(t u ) U U u

U

u
i
I
4. 正弦量运算转换为相应相量运算 (1) 同频率正弦量的代数和
u1 ( t ) 2 U 1 cos(t 1 ) Re ( 2 U 1 e j t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos(t 2 ) Re ( 2 U 2 e j t )
j
j(- ) e 2
cos(-

2
) j sin(-

2
)-j
e j ( ) cos( ) j sin( ) -1
所以
j, /2 e
j
j jF F
-j, -/2
-1,
+j 、 -j 、 -1 都可以看成旋转因子

0
+1
§ 8.2 正弦量
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为： T T T R 2 2 i
Ie j 构成了一一对应关系 即 i与 j 称 Ie 称为正弦量 i(t) 的相量,
并记为
由i的有效值和初 相角构成的复常数
I Ie j I

正弦量的相量表示: 对于正弦电压
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位

u( t ) 2U cos(t )
U U
i Im
i Im
t i
Ψi> 0
t
i
Ψi< 0
2. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos( t + u), i(t)=Imcos( t + i) u与i 的相位差 j = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i＝常数

u(t ) u1 (t ) u2 (t ) Re ( 2 U 1 e
Re ( 2 U 1 e


j t
) Re ( 2 U 2 e j t )

jt
2U2 e

j t
而
u( t ) Re 2 U e j t
) Re 2 (U 1 U 2 )e j t
有
-4 arctg -53.13 3
F1 = 3 + j4 = 5∠53.13º F2 = 3 - j4 = 5∠-53.13º
-3 F4
0 +1 θ= -126.87º
-4
F3 = – 3 j4 = - (3 - j4) =-5∠-53.13º= 5∠126.87º
1. 正弦量的三要素 以电流为例 i
R
i ( t ) I m cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
i 50 2cos(314 t 15o ) A
总之, 由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系, 给出一 个正弦量, 就可以写出它相应的相量; 反之, 知道一个正弦 量的相量, 则该正弦量也就被确定。
3. 相量图 相量图: 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。
i (t ) 2 Icos(ω t i ) I I i
i i1 i2 in
I I1 I 2 I n
F |F| θ a
F F
0
+1
极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写
在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐 标形式之间的相互转换
1）
F=a+j b
F a b ;
2 2
F F
b arctg a
2） F F
F=a+j b
a F cos ; b F sin
旋转因子
复数 ej = cos + jsin = 1∠ 另有 F=|F|∠ , 则 Fej = |F|∠ 1∠ |F|∠ Fej F逆时针旋转一个角度 ，模不变 j Fej