最新历年高考真题高三毕业考试全真试卷下载高考文科数学上海卷
上海市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)第(2)题设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．B．C．D．第(3)题已知集合，则=A．B．C．D．第(4)题若、是非零向量，且，，则函数是A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数第(5)题函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间单调递减B．C ．点是函数图象的一个对称中心D ．直线是函数的一条对称轴第(6)题阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．第(7)题在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆上的点到直线距离的最大值为D．圆上存在两点P，Q，使得第(2)题如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（）A．B．C．平面平面D．被球截得的弦长为1第(3)题直线是曲线的切线，则实数的值可以是（）A．3πB．πC．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.第(2)题函数的图象在点处的切线方程为___________.第(3)题的展开式中的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.第(2)题已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切.(1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程；(2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.第(3)题如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1，2，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动（与在的两侧），是圆台的母线，.(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，且.①求证数列为常数列.②求数列的前项和.第(5)题已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．。
上海市(新版)2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，且交于点，，则（）A．B．C．D．第(2)题有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是A．B．C．D．第(3)题已知向量，，则（）A．B．C．D．第(4)题将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8第(5)题执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知直三棱柱A．B．C．D．第(7)题已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（）A．B．0C．1D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．用二分法求函数在内的零点近似解时，在运算过程中得到，，，则可以将看成零点的近似值，且此时误差小于C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有种不同的坐法D．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点坐标为第(2)题《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．第(3)题下列函数中最小值为2的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，若，则的最大值为____________第(2)题若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________．第(3)题若函数的导函数为，且满足，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.第(2)题某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）第(3)题已知函数.(1)讨论函数在上的单调性；(2)求证：.第(4)题已知函数.（1）若轴为曲线的切线，试求实数的值；（2）已知，若对任意实数，均有，求的取值范围.第(5)题将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．。
上海市(新版)2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题在盲拼字卡游戏中，若拼字人不能感知和触摸出卡片上的汉字，则用标有汉字“一、一、心、意”的卡片能正确拼出成语“一心一意”的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最小值为（）A．－5B．－C．－D．－第(4)题已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（）A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变C ．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变D ．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变第(7)题已知集合，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题如图，三棱锥中，平面，，为中点，下列说法中（1）；（2）记二面角的平面角分别为;（3）记的面积分别为;（4）,正确说法的个数为A．0B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（）A．平面B．球的体积是C．直线与平面所成角的正弦值是D．平面被球所截的截面面积是第(2)题如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(3)题在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（）A．BE∥平面PACB．PA⊥平面PBCC．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为，乙班数据的中位数为，那么的位置应填__________，的位置应填__________．第(2)题在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为___________．第(3)题在直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，记函数．(1)求的对称轴和单调递增区间；(2)在锐角中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，求的取值范围．第(2)题已知函数，且.(1)求的值;(2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.下表为年至年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码年份．年份代码线下销售额（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了位男顾客、位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：．第(4)题设，函数．(1)求不等式的解集；(2)若曲线与直线所围成图形的面积为，求．第(5)题已知向量，，且，其中（1）求的值；（2）若，，求的值.。
上海市(新版)2024高考数学统编版考试(提分卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学统编版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，则=A．B．C．D．第(2)题已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题在下列函数中，值域为的偶函数是（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．第(5)题为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度第(6)题已知等差数列的前项和为，若，则（）A．4B．C．D．6第(7)题已知两个全等的矩形与所在的平面相互垂直，，，点为线段（包括端点）上的动点，则三棱锥的外接球的半径可以为（）A．B．C．D．第(8)题已知向量，，若，则（）A．B．1C．D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值第(2)题已知定义在上的函数满足：对，且，则以下结论正确的为（）A．B．C．D．第(3)题在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（）A．存在使得平面B．存在使得C．当平面时，三棱锥与体积之和最大值为D．记与平面所成的角分别为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，，，则的最小值为________．第(2)题某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙､丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则___________；___________.第(3)题已知椭圆C：的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，且点P在以OA为直径的圆上，则C的离心率为_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．第(2)题已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点．(1)记直线，的斜率分别为，，求；(2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．第(3)题已知函数f(x)＝2e x(x＋1)－x sin x－kx－2，k∈R．(1)若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；(2)讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．第(4)题已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a3=3，S3=9.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，{b n}为递增数列，若，求证：c1+c2+c3+…+c n<1.第(5)题已知平行六面体中，底面和侧面都是边长为2的菱形，平面平面，．(1)求证：四边形是正方形；(2)若，求二面角的余弦值．。
普通高等学校招生全国统一考试上海卷(数学文)word版有答案
上海市高考数学试题（文科）一、填空题（56分）1、若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。
2、3lim(1)3n nn →∞-=+ 。
3、若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= 。
4、函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
5、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为6、不等式11x<的解为 。
7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是 。
8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。
9、若变量x 、y 满足条件30350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则z x y =+的最大值为 。
10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8。
若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。
11、行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。
12、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= 。
13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
14、设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 。
二、选择题（15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗（ ） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 16、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是〖答〗（ ）A 222a b ab +> B a b +≥ C11a b +>2b a a b +≥ 17、若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗（ ）A E F ØB E F ÙC E F =D EF =∅18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为〖答〗（ ）A 0B 1C 2D 4 三、解答题（74分）19、（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。
高考上海卷数学文科试卷含答案
1CCB1B1AA全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=•+⎪⎝⎭的最小正周期=T ． 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a ab -= ． 7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：A B① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求 正四棱锥ABCD P -的体积V ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．PBCA D（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．1例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cxb y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO，O 是正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 ABCD 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴===17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ，0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。
上海市(新版)2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版真题(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A．B．C．D．6第(2)题蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（）A．B．C．D．第(3)题函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，则a，b，c的大小关系为( )A．B．C．D．第(6)题已知m＝log 4ππ，n＝log4e e，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m第(7)题设，则（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数，下列说法正确的是（）A．的定义域为B．在定义域内单调递增C．不等式的解集为D．函数的图象关于直线对称第(2)题已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为8第(3)题已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科.可以判断乙教的学科是______________.第(2)题已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为______.第(3)题已知，则的值为_______________________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.第(2)题已知函数，．(1)当时，解不等式；(2)若对任意恒成立，求的取值范围．第(3)题已知函数，．(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；(2)若恒成立，求a的取值范围．第(4)题已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若数列满足：，，证明：．第(5)题已知函数在处的切线方程是．(1)求a，b的值；(2)若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．。
历年高考全真试卷高三毕业考试复习试题高考文科数学上海卷
上
-------------------- 3i－
.计算： = （ 为虚数单位）.
_____________ 1 i
结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 二、选择题（本大题共有 4 题,满分 20 分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸
| | |BMCN |
数学试卷(文史类) 且满足 ,则 AMAN 的取值范围是 .
则 aa2021 的值是 .
一、填空题（本大题共有 14 题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
此
-------------------- | | |BCCD |
1
1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内
yxfxx ()(01)≤ ≤ 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .
贴上条形码. 1
卷 14.已知 fx() .各项均为正数的数列{}an 满足 a1 1, ann f a2 ().若 aa20102012 ,
2
-------------------- 1 x
2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.
考生注意： 13.已知函数 y f x ()的图象是折线段 ABC,其中 A(0 ,0 ) 、 B( , 1) 、C(1,0 ).函数
--------------------
ห้องสมุดไป่ตู้
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.
上海市高考文科数学试卷及答案文数
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)、填空题(本大题共有14题，满分56分) 计算：3 i19、已知yf(x)是奇函数，若g(x) f (x) 2且g(1) 1，则g( 1)11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,uuirCN tunr CD113、已知函数y f (x)的图像是折线段ABC ，其中A(0,0)、B(—,1)、C(1,0)，函数y xf (x)21、 (i 为虚数单位)2、 若集合A x2x3、 函数f (x)sin x 1COSX的最小正周期是 4、 u 若d (2,1)是直线|的一个方向向量，贝U l 的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示)5、一个高为2的圆柱，底面周长为2 ，该圆柱的表面积为6、方程 4x 2x 1 3 0的解是7、有一列正方体, 1 棱长组成以1为首项、丄为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,...,V n ,...，2则 lim(V nV 2 ... V n )8、在x1的二项式展开式中，常数项等于x10、满足约束条件|x 2 y 2的目标函数z y x 的最小值是人选择的项目相同的概率是(结果用最简分数表示)I UUUI I且满足鬻 UULU uuir，则AM AN 的取值范围是1(0 x 1)的图像与X轴围成的图形的面积为14、 已知f （x ），各项均为正数的数列a n 满足311, a n 2 f （a n ），若a 2oio a 20i2，则a ?。
1 x的值是 _______________二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15、 若1、、2i 是关于x 的实系数方程x 2 bx c 0的一个复数根，则（ ）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC 中，PA 丄底面ABC ，D 是PC 的中点，已知/ BAC =2已知 f (x) lg(x 1)A 、b 2,c 3 B2,c1 C2,c1 D2,c 316、对于常数m 、n ， “ mn 0 ”是“方程mx 2 ny 21的曲线是椭圆” 的（）A 、充分不必要条件 、必要不充分条件 C 充分必要条件、既不充分也不必要条件17、在厶ABC 中，若sin 2A2 2sin B sin C ，则厶ABC 的形状是（ A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C18、若 S n sin 〒 sin^ ... sin 牛 （n NB 、72 C、锐角三角形 D)，则在 3, S2,…,S100中, 、不能确定正数的个数是（ ）A 16、86、100AB 2，AC26，PA 2，求:(1) 三棱锥P ABC 的体积(2) 异面直线 BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分 14分）本题共有2个小题，第1(1) 若0 f(1 2x) f(x) 1,求x的取值范围（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当 0 x 1时，g （x ） f （x ），求函数y g （x ） （x 1,2 ）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y12x 2:②定位后救援船即刻沿49直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t（1） 当t 0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度 的大小和方向（2） 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？OP 丄 OQ23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分对于项数为 m 的有穷数列 a n ，记b kmax a 1,a 2,...,a k（ k 1,2,..., m ），即b k 为印@,...©yOA22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第 小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C:2x 2（1） 设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点， （2） 过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，（3） 设斜率为k （|k 逅）的直线I 交C 于P y 2 1若MF| 242，求点M 的坐标；求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 、Q 两点，若I 与圆x 2 y 21相切，求证：1小题满分5分，第2小题满分5分，第3中的最大值，并称数列b n是a n的控制数列，女口1, 3, 2, 5, 5的控制数列是1, 3, 3,5, 5(1)若各项均为正整数的数列a n的控制数列为2, 3, 4, 5, 5,写出所有的耳(2)设b n是a n的控制数列，满足a k b m k 1 C( C为常数，k 1,2,..., m )，求证：b k a k (k 1,2,..., m)1 n(n 1)(3)设m 100，常数a - ,1 ，若a n an2 ( 1) 2 n , b n是a n的控制数列，求2(b l a1) (b2 a2)... (b100 a100)。
2024届高三数学仿真模拟卷(上海卷)(考试版)
2024年上海高考数学第三次模拟考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ，方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ，已知{2}A B =- ，则A B =．2．复数z 满足(2)|34|i z i -=+，则z =．3．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角大小为．4．已知随机变量X 服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若(0)0.9P X >=，则(12)P X <<=．5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为ˆˆ1.9yx a =+，则ˆa =．6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．7．若多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则123a a a ++=．8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：)kg ，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是．9．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．10．已知函数()sin()(0,||2f x x πωϕωϕ=+><，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于．11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则曼哈顿距离1212(,)||||d A B x x y y =-+-，余弦距离(e A ，)1cos(B A =-，)B ，其中cos(,)cos ,(A B OA OB O =〈〉为坐标原点）．已知点(2,1)M ，(,)1d M N =，则(,)e M N 的最大值为．12．已知实数x ，y 满足223x y +=，则2214(2)(2)x y x y ++-的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
上海市2024高三冲刺(高考数学)人教版真题(综合卷)完整试卷
上海市2024高三冲刺（高考数学）人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在等比数列中，若，则（）．A．2B．C．4D．8第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题中，，，，则（）A．B．C．D．第(4)题不等式的解集是A．B．C．D．第(5)题某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．B．C．D．第(6)题古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1（-1，0），A 2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），…按此规律继续，若四边形的面积为220，则n=（）A．7B．8C．9D．10第(7)题记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．15第(8)题已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（）A．B．C．D．若数列满足，则第(2)题下列命题中，正确的是（）A．若事件与事件互斥，则事件与事件独立B ．已知随机变量服从二项分布，若，则C．已知随机变量服从正态分布，若，则D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是第(3)题已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面所成角为，三棱锥的体积为，则下列命题中正确的是（）A．若平面平面，则B．若平面平面，则C．若，则的最大值是D．若，则的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出两个与直线相切和圆外切的圆的圆心坐标_______．第(2)题已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.第(3)题已知，则的展开式中项的系数为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数存在两个不同的零点，证明：．第(2)题检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点.当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：，，，，，.）第(3)题选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若曲线与x 轴的正半轴及y 轴的正半轴分别交于点A , B ，在曲线C上任取一点P ，且点P 在第一象限,求四边形面积的最大值．第(4)题如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：平面PAC；(2)求证：第(5)题已知函数．(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．。
上海市浦东新区普通高中2025届高考仿真卷数学试题含解析
上海市浦东新区普通高中2025届高考仿真卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知函数()2ln 2x x f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ）A ．48B ．36C ．42D ．314．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥6．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B 2C ．223D ．237．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283 C ．5 D ．410．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．6 11．若()*3n x n N x x ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a aa x dx --=（ ） A ．36π B ．812π C ．252π D ．25π12．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(综合卷)完整试卷
上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，集合，则A=（）A．B．C．D．第(2)题的展开式中的系数为（）A．B．5C．D．10第(3)题设全集，若集合满足，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数的导函数为，若，则（）A．B．1C．D．2第(5)题若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题的展开式中的系数为（ ）A．B．C．15D．40第(7)题已知平面向量，，若向量与向量共线，则（）A．B．C．D．第(8)题已知复数满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（）A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法第(2)题如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（）A．B．0C．1D．2第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的周期为2D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.第(2)题在中，已知，则________，________．第(3)题在中，，则_________，_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．第(2)题为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/件）88.28.48.68.89销量（万件）908483807568（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程，其中，）第(3)题在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少？第(4)题已知数列的前项和为,且满足,且.(1)求证:数列为常数列,并求的通项公式;(2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值.第(5)题设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设，记的前项和为，证明：.。
上海高三高中数学高考真卷带答案解析
上海高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算：= （i为虚数单位）.2.若集合，，则= .3.函数的最小正周期是 .4.若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 .6.方程的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 .8.在的二项展开式中，常数项等于 .9.已知是奇函数. 若且.，则 .10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .14.已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是 .二、选择题1.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．2.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.3.在中，若，则的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定.4.若，则在中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100三、解答题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）2.已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）3.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）4.在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）5.对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.上海高三高中数学高考真卷答案及解析一、填空题1.计算：= （i为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】.2.若集合，，则= .【答案】【解析】，，A∩B=.3.函数的最小正周期是 .【答案】p【解析】，T=.4.若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】，所以的倾斜角的大小为.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 .【答案】6p【解析】2pr=2p，r=1，S表=2prh+2pr2=4p+2p=6p.6.方程的解是 .【答案】【解析】，，，.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 .【答案】【解析】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.8.在的二项展开式中，常数项等于 .【答案】 -20【解析】展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为.9.已知是奇函数. 若且.，则 .【答案】 3【解析】是奇函数，则，,所以.10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .【答案】 -2【解析】可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】设概率p=，则，求k，分三步：①选项目相同的二人，有种；②确定上述二人所选相同的项目，有种；③确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12.在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】[1, 4]【解析】如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1). 设Î[0,1]，则，，所以M(2,t)，N(2-2t,1)，故=4-4t+t=4-3t=f(t)，因为tÎ[0,1]，所以f (t)递减，所以()max=" f" (0)=4，()min=" f" (1)=1.13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .【答案】【解析】如图1，，所以，易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.14.已知.各项均为正数的数列满足，.若，则的值是 .【答案】【解析】(*)，，所以有：，，，，；又，得，令，则,由题设，所以，变形(*)为，则，故，所以.二、选择题1.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以-b=2，c=1+2=3，选D.2.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件.【答案】B【解析】取m=n=-1，则方程不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当然有，即条件必要，故选B.3.在中，若，则的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以C是钝角，选A.4.若，则在中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100【答案】C【解析】令，则，当1≤n≤14时，画出角序列na终边如图，其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，选C.三、解答题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， 2分三棱锥P-ABC的体积为. 6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角. 8分在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分2.已知函数.（1）若，求的取值范围；（6分）（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得.由得. ……3分因为，所以，.由得. ……6分（2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此. ……10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. ……14分3.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】（1）arctan弧度；（2）25海里.【解析】（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3. ……2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. ……6分（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由，整理得.……10分因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分4.在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）双曲线，左焦点.设，则，……2分由M是右支上一点，知，所以，得.所以. ……5分（2）左顶点，渐近线方程：.过A与渐近线平行的直线方程为：，即.解方程组，得. ……8分所求平行四边形的面积为. ……10分（3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得.设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.，所以.由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分5.对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.【答案】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）.【解析】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为，，所以. ……6分因为，，所以，即. ……8分因此，. ……10分（3）对，；；；.比较大小，可得. ……12分因为，所以，即；，即.又，从而，，，. ……15分因此=====. ……18分。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含答案,不完整版)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含答案，不完整版）三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数0≥a ，函数a a x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。
若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围（2）若{}n a 是等比数列，且11000ma =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=， 112233PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2333BO BD ==，63PO =，11326222232233V =⋅⋅⋅⋅⋅= 20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x x x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ （2）∵2()2x x a f x a+=-且0a ≥ ∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数 ②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx x f x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥ 即2403516400CDCD CD ≥-，解得，202CD ≤28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米 ∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22.证明：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。
上海高三高中数学高考真卷带答案解析
上海高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若复数满足，其中为虚数单位，则．2.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．4.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．6.方程的解为．7.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．8.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．9.设为，的反函数，则的最大值为．10.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．11.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．12.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．13.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．二、选择题1.设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．3.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根4.设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．三、解答题1.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.2.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.4.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.5.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.上海高三高中数学高考真卷答案及解析一、填空题1.若复数满足，其中为虚数单位，则．【答案】【解析】设，则【考点】复数相等，共轭复数2.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】【解析】由题意得：【考点】线性方程组的增广矩阵3.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．【答案】【解析】【考点】正三棱柱的体积4.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．【答案】【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.6.方程的解为．【答案】【解析】设，则【考点】解指对数不等式7.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点】排列组合8.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．【答案】【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为【考点】双曲线渐近线9.设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点】反函数性质10.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为【考点】二项展开式11.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】【解析】赌金的分布列为12345P所以奖金的分布列为1.42.8 4.2 5.6P所以【考点】数学期望12.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【考点】三角函数性质13.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此【考点】向量数量积，解三角形二、选择题1.设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.【考点】复数概念，充要关系2.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即点的纵坐标为【考点】复数几何意义3.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点】不等式性质4.设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：因为与圆在第一象限的交点为，所以，又由得选A.【考点】极限三、解答题1.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．因为，，所以，因此直线与共面，即、、、共面．设平面的法向量为，则，，又，，故，解得．取，得平面的一个法向量．又，故．因此直线与平面所成的角的大小为．【考点】空间向量求线面角2.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.【解析】解：（1）．记乙到时甲所在地为，则千米．在中，，所以（千米）.（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．当时，；当时，.所以.因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.【考点】余弦定理3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】证明：（1）直线，点到的距离.，所以.解：（2）设，则.设，.由，得.同理.由（1），，整理得.【考点】直线与椭圆位置关系4.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.证明：（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.解：（3）因为，所以，当时，.当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.【考点】等差数列，数列单调性5.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】证明：（1）易见的定义域为，对任意，，所以，即是以为余弦周期的余弦周期函数.（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得. 若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.（3）若为在上的解，则，且，，即为方程在上的解.同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在，使得，，，，，.而是函数的单调区间，，，，.与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.故，，，，，.对于，，，而，故.类似地，当，，，时，有.结论成立.【考点】新定义问题。
2024年上海市高考数学试卷
2024年上海市高考数学试卷（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q nA．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（ ）答案：AA．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（ ）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（ ）D．存在f（x）在x=-1处取到极小值答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，√2所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√A -A P 2O 2V圆锥131332√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；x 2y 2b2（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．2√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，√3√2√3√33解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2） 则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A 1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b2Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q n a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（ ）答案：A解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412A．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数D．存在f（x）在x=-1处取到极小值（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（ ）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（ ）答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，√2√A -A P 2O 2V圆锥131332因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．x 2y 2b22√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，]．√3√2√3√3√303解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2） 则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b24m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）对于一个函数f（x）和一个点M（a,b），定义s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若存在P（x 0，f（x 0）），使s（x 0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．（1）对于f （x ）=（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；（2）对于f（x）=e x ，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M 1（t-1，f（t）-g（t）），点M 2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M 1与点M 2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．1x答案：（1）证明过程见解析；（2）存在，P（0，1）；（3）f（x）严格单调递减．解析：（1）代入M（0，0），利用基本不等式即可；（2）由题得s（x）=（x-1）2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；（3）根据题意得到s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，对两等式化简得f ′（）=-，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t,最后得到函数单调性．x 01g （t ）解答：解：（1）当M（0，0）时，s （x ）=（x -0+（-0=+≥22，当且仅当=即x=1时取等号，故对于点M（0，0），存在点P（1，1），使得该点是M（0，0）在f（x）的“最近点”；（2）由题设可得s（x）=（x-1）2+（e x -0）2=（x-1）2+e 2x ，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x ，因为y=2（x-1），y=2e 2x 均为R上单调递增函数，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x 在R上为严格增函数，而s'（0）=0，故当x＜0时，s'（x）＜0，当x＞0时，s'（x）＞0，故s（x）min =s（0）=2，此时P（0，1），而f'（x）=e x ，k=f'（0）=1，故f（x）在点P处的切线方程为y=x+1，而==-1，故k MP •k=-1，故直线MP与y=f（x）在点P处的切线垂直．（3）设（x ）=（x -t +1+（f （x ）-f （t ）+g （t ），（x ）=（x -t -1+（f （x ）-f （t ）-g （t ），而s 1'（x）=2（x-t+1）+2（f（x）-f（t）+g（t））f'（x），s 2'（x）=2（x-t-1）+2（f（x）-f（t）-g（t））f'（x），若对任意的t∈R，存在点P同时是M 1，M 2在f（x）的“最近点”，设P（x 0，y 0），则x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x 0，使得s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，即s 1'（x 0）=2（x 0-t+1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）+g（t）]=0，①s 2'（x 0）=2（x 0-t-1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）-g（t）]=0，②由①②相等得4+4g（t）•f'（x 0）=0，即1+f'（x 0）g（t）=0，即f ′（）=-，又因为函数g（x）在定义域R上恒正，则f ′（）=-＜0恒成立，接下来证明x 0=t,因为x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，则s 1（x 0）≤s（t），s 2（x 0）≤s（t），即 （-t +1+（f （）-f （t ）+g （t ）≤1+（g （t ），③（-t -1+（f （）-f （t ）-g （t ）≤1+（g （t ），④③+④得2（-t +2+2[f （）-f （t ）+2（t ）≤2+2（t ），即（-t +（f （）-f （t ）≤0，因为（-t ≥0，（f （）-f （t ）≥0）21x ）2x 21x 2x 21x 2k MP 0-11-0s 1）2）2s 2）2）2x 01g （t ）x 01g （t ）x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0]2g 2g 2x 0）2x 0）2x 0）2x 0）2则，解得x 0=t,则f ′（t ）=-＜0恒成立，因为t的任意性，则f（x）严格单调递减．{-t =0f （）-f （t ）=0x 0x 01g （t ）。
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普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
考生注意：
1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸
相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.不等式
021
x
x <-的解为 .
2.在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a += .
3.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则
m = . 4.若
2011x =,11
1
x
y
=,则y = .
5.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是 .
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次
考试中,男、女生平均分数
分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数
为 .
7.设常数a ∈R .若25()a x x
+的二项展开式中7x 项的系数为﹣10,则
a =
.
8.方程
9
1331
x x
+=-的实数解为 . 9.若1cos cos sin sin 3
x y x y +=,则2cos(2)x y =－
.
10.已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ,O 是
上底面圆心,A 、B
是下底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,如
图.若直线OA 与
BC 所成角的大小为
π6
,则1r
= .
11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取
出两个,则这两个球的编号
之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 12.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4
CBA ∠=.若4AB =
,
BC =则Γ的两
个焦点之间的距离为 .
13.设常数0a >.若2
91a x a x
++≥对一切正实数x 成立,则a 的取值
范围为 .
14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终
点的向量分别为1a 、2a 、
3a ；以C
为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .
若{},,,1,2,3i j k l ∈且
i j ≠,k l ≠,则()()i j k l a a c c ++的最小值是 .
二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个
正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.函数2()=1(0)f x x x -≥的反函数为1()f x -,则1(2)f -的值是
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）
( ) A
B
. C
.1 D
.1 16.设常数a ∈R ,集合{}|(1)()0A x x x a =--≥,{}|1B x x a =-≥.若
A
B =R ,则a
的取值范围为
( )
A .(,2)-∞
B .(,2]-∞
C .(2,)+∞
D .[2,)+∞
17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”
是“不便宜”的 ( ) A .充分条件
B .必要条件
C .充分必要条件
D .既非充分又非必要条件
18.记椭圆22
1441
x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=,当点
(),x y 分别在 12,,
ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞
= ( )
A .0
B .14
C .2 D
.三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在
答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）
如图,正三棱锥O ABC -的底面边长为2,高为1,求该三棱锥
的体积及表面积.
第19题图 20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,
第2小题满分9分.
甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要
求110x ≤≤）,每一小时可获得的利润是3100(51)x x
+-元.
（Ⅰ）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为2
13
100(5)a x
x +-
元；
（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂
应该选取何种生产速度？并求此最大利润. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,
第2小题满分8分. 已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. （Ⅰ）令1ω=,判断函数π()()()2
F x f x f x =++的奇偶性,并说明
理由；
（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6
个单位,再向
上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.对任意a ∈R ,求
()y g x =在区间[,10π]a a +上零点个数的所有可能值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,
第2小题满分5分,第3小题满分8分. 已知函数()2||f x x =-,无穷数列{}n a 满足1()n n a f a +=,*n ∈N . （Ⅰ）若10a =,求2a ,3a ,4a ；
数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）
（Ⅱ）若10a >,且1a ,2a ,3a 成等比数列,求1a 的值；
（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若
存在,求出所有这样的1a ；若不存在,说明理由. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,
第2小题满分6分,第3小 题满分9分.
如图,已知双曲线2
2112
x C y -=:,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一
点,若存在过点
P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”. （Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写
出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”； （Ⅲ）求证：圆2212
x y +=内的点都不是“12C C -型点”.。