计算机数学基础》-第2章导数与微分
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
导数与微分(经典课件)
导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。
教学难点：导数的概念。
教学方法：讲授与练习。
学习学时：3学时。
一、导数的定义：1．引入〔背景〕：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马〔Fermat 〕为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿〔Newton 〕在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹〔Leibuiz 〕在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。
直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，假设0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(limt t t s t s v t t --=→。
计算机专升本高等数学教材
计算机专升本高等数学教材高等数学教材【正文】：第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质1.1.1 函数极限的概念1.1.2 导数的定义1.1.3 导数的四则运算法则1.1.4 高阶导数1.2 常用函数的导数1.2.1 幂函数的导数1.2.2 指数函数的导数1.2.3 对数函数的导数1.2.4 三角函数的导数1.3 隐函数与参数方程的导数1.3.1 隐函数求导1.3.2 参数方程求导1.4 微分的概念与性质1.4.1 微分的定义1.4.2 微分中值定理1.4.3 泰勒公式与高阶导数的应用第二章积分与不定积分2.1 定积分的概念与性质2.1.1 定积分的定义2.1.2 定积分的性质与运算法则2.2 微积分基本定理与不定积分2.2.1 微积分基本定理2.2.2 不定积分的定义与性质2.3 常用函数的不定积分2.3.1 幂函数的不定积分2.3.2 指数函数的不定积分2.3.3 对数函数的不定积分2.3.4 三角函数的不定积分2.4 定积分的计算方法与应用2.4.1 定积分的计算方法2.4.2 定积分在几何与物理问题中的应用第三章一元函数的级数3.1 数项级数收敛的概念3.1.1 数项级数的定义3.1.2 数项级数的收敛性判定3.2 幂级数与泰勒级数3.2.1 幂级数的定义与性质3.2.2 泰勒级数的定义与性质3.3 常用函数的泰勒展开3.3.1 幂函数的泰勒展开3.3.2 指数函数的泰勒展开3.3.3 对数函数的泰勒展开3.4 级数函数与幂级数函数3.4.1 级数函数的收敛性3.4.2 幂级数函数的性质与应用第四章多元函数与偏导数4.1 多元函数的概念与性质4.1.2 多元函数的极限与连续性4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算4.2.2 高阶偏导数4.2.3 全微分的定义与计算4.3 隐函数与参数方程的偏导数4.3.1 隐函数的偏导数4.3.2 参数方程的偏导数4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值与最值的定义4.4.2 极值与最值的求解方法第五章多元函数的积分5.1 二重积分的概念与性质5.1.1 二重积分的定义5.1.2 二重积分的性质与运算法则5.2 三重积分的概念与性质5.2.2 三重积分的性质与运算法则5.3 重积分的计算方法与应用5.3.1 二重积分的计算方法5.3.2 三重积分的计算方法5.3.3 重积分在几何与物理问题中的应用5.4 曲线与曲面积分5.4.1 曲线积分的概念与性质5.4.2 曲面积分的概念与性质【正文结束】。
计算机高数大一知识点总结
计算机高数大一知识点总结在计算机科学与技术专业中，高等数学是一门基础且必修的课程。
它为我们打下了数学基础，为日后的学习与研究提供了支持。
在大一学习过程中，我们所学的高等数学主要包括以下几个知识点：1. 函数与极限函数是高等数学的核心概念之一。
我们学习了基本的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
同时，我们还了解了函数的性质与图像，包括奇偶性、单调性、极值、渐近线等。
在函数的研究过程中，我们还引入了极限的概念，学习了函数的极限及其性质，以及极限的运算法则。
2. 导数与微分导数是函数变化率的度量，也是微分学的基本工具。
我们通过极限的方法引入了导数的概念，并学习了常见函数的导数计算方法，如多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
在导数的基础上，我们学习了微分的定义与性质，以及微分的应用，如切线方程、近似计算等。
此外，我们还学习了高阶导数、隐函数与参数方程的导数等进阶内容。
3. 积分与定积分积分是微分的逆运算，用于求解曲线下的面积、质量、重心等问题。
我们学习了不定积分与定积分的概念，并掌握了基本的积分运算法则。
在积分的应用中，我们学习了定积分的几何意义与物理意义，如曲线长度、旋转体体积、质量与重心等。
此外，我们还学习了变量代换法、分部积分法、换元积分法等积分运算的高级方法。
4. 无穷级数无穷级数是由一系列项组成的数列求和。
我们学习了数列极限与无穷级数的收敛性，掌握了常见级数的求和方法，如等比级数、调和级数等。
在无穷级数的研究中，我们了解了级数的性质与收敛判定方法，并学习了级数的运算法则，如绝对收敛、比较判别法、积分判别法等。
5. 多元函数与偏导数多元函数是定义在多个自变量上的函数。
我们学习了多元函数的概念与性质，并引入了偏导数的概念与计算方法。
在多元函数的研究过程中，我们还了解了全微分与全导数的概念，并掌握了高阶偏导数的计算方法。
此外，我们还学习了多元函数的极值判定与条件极值求解方法。
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
《导数与微分§》课件
本课程介绍导数与微分的基本概念、计算方法以及几何和物理意义，深入而 生动地带你领略微积分的奥妙。
导数的定义与计算
1
导数公式的推导
2
通过推导，揭示导数计算的原理和方
法。
3
导数的几何意义与物理意义
4
深入理解导数在几何和物理问题中的 应用。
导数的概念与定义
探索导数的本质与含义，为后续学习 打下基础。
导数计算的基本方法
掌握导数计算的常用技巧和规则。
常见函数的导数公式
幂Hale Waihona Puke 数的导数公式掌握幂函数的导数计算规则，用于解决相关 问题。
对数函数的导数公式
理解对数函数的导数特性，解决涉及对数的 导数问题。
指数函数的导数公式
学习指数函数的导数性质和计算方法，应用 于实际情境。
三角函数的导数公式
探索三角函数的导数规律，应用于各种题型 中。
1
微分的几何意义与物理意义
2
深入探讨微分在几何和物理中的应用
与解释。
3
高阶微分的概念及其应用
4
理解高阶微分的定义和应用，拓展微 分的深度应用。
微分的定义与计算
学习微分的含义和计算方法，以及与 导数的关系。
微分的应用：求函数的极值与 最值
应用微分求解函数的极值和最值问题， 解决实际应用难题。
高阶导数与导函数
高阶导数的概念
了解高阶导数的定义及其在求解复杂函数中的 作用。
高阶导数的计算方法
掌握高阶导数计算的技巧与步骤，提升问题解 决能力。
导函数的概念与计算方法
深入研究导函数的定义和求解思路，加深理解。
导函数与原函数的关系
探索导函数与原函数之间的联系与性质，为进 阶探索打下基础。
计算机类专业高等数学教材
计算机类专业高等数学教材随着计算机技术的飞速发展，计算机类专业的培养也越来越受到关注。
而高等数学作为计算机类专业的基础课程之一，在学习中扮演着至关重要的角色。
本教材旨在为计算机类专业的学生提供一本全面、系统的高等数学教材，帮助他们打下坚实的数学基础。
第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 基本初等函数及其性质1.3 极限的定义与性质1.4 极限的运算法则1.5 无穷小与无穷大1.6 常用极限第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式与运算法则2.3 高阶导数与高阶导数公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的概念与性质2.6 微分中值定理与导数应用第三章积分与不定积分3.1 积分的概念与性质3.2 基本积分公式与运算法则3.3 定积分与不定积分的联系3.4 定积分计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与换元法3.6 积分中值定理与定积分应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与基本形式4.2 一阶微分方程的解法4.3 可分离变量与线性微分方程4.4 齐次与非齐次线性微分方程4.5 高阶常系数齐次微分方程4.6 高阶常系数非齐次微分方程第五章级数与幂级数5.1 级数的概念与性质5.2 数项级数的判敛法5.3 幂级数的性质与收敛半径5.4 幂级数的求和与函数展开5.5 泰勒级数与函数逼近5.6 幂级数的应用通过本教材的学习，学生将能够系统地掌握函数与极限、导数与微分、积分与不定积分、微分方程、级数与幂级数等高等数学的基本概念、性质与运算法则。
教材中的每个知识点均配以大量的例题和习题，旨在帮助学生理解和掌握知识，提高解决实际问题的能力。
总结起来，本教材内容全面且系统，旨在为计算机类专业的学生提供一本高质量的高等数学教材。
通过系统的学习和实践，学生将培养扎实的数学基础，为日后的学习和工作奠定坚实的基础。
同时，本教材注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，提高学生的解决问题的能力。
计算机数学基础一求导方法讲解
计算机数学基础一求导方法讲解求导是微积分中的基本运算，用于计算一个函数在其中一点的斜率，也就是函数在该点的变化率。
一、导数定义：在微积分中，给定一个函数y=f(x)，如果对于这个函数，在它的其中一个定义域上的每一个x值，都存在一个唯一的数值f'(x)，使得满足以下条件：1.变化率：当x发生微小变化Δx时，函数的值也发生相应的微小变化Δy，且Δy与Δx之比在Δx趋近于0时存在有限的极限；2.唯一性：这个数值f'(x)与f(x)有一对一的对应关系，即对于给定的x值，只有一个唯一数值与之对应；那么我们就称这个唯一的数值f'(x)为函数f(x)在点x上的导数，也称为函数f(x)在点x处的斜率或变化率。
二、导数的基本性质：1.可微性：如果一个函数在其中一点可导，则它在该点处是连续的，但反之不成立；2.导数的几何意义：导数表示函数在其中一点的切线斜率，也即函数在该点附近的变化率；3.导数的物理意义：导数表示一个物理量对另一个物理量变化的敏感程度，比如速度对时间的导数是加速度；4.导数的运算法则：和基础数学一样，导数也可以通过基本的运算法则进行简化计算，如加减乘除、复合函数、链式法则等。
三、导数的计算方法：计算导数的方法主要有以下几种：1. 函数的基本导数公式：对于一些常见函数，有着相应的导数公式，比如导数cos(x) = -sin(x)、导数sin(x) = cos(x)等，可以根据这些公式直接求导；2.利用导数的性质：导数具有加法性、乘法性、复合函数、链式法则等性质，可以利用这些性质简化计算；3.函数的极限定义：当函数不容易使用基本导数公式时，可以利用导数的定义进行计算，即利用函数的极限定义求出导数；4.参数方程的导数：对于参数方程表示的函数，可以将其表示为y=f(x)的形式，然后再求导；5.隐函数的导数：对于隐函数方程，可以利用导数的定义求解。
综上所述，求导的方法有很多种，具体的方法选择需要根据具体的函数形式和题目要求来决定。
电脑搜微积分大一下知识点
电脑搜微积分大一下知识点微积分是数学中的一门重要分支，涵盖了微分和积分两个方面的内容。
作为大一下学期的学习内容，微积分承上启下，对于后续课程的学习具有关键性的作用。
本文将为你介绍电脑搜微积分大一下的知识点。
一、导数与微分在微积分的学习中，导数是一个重要的概念。
导数描述了函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的计算可以借助计算机进行，通过电脑搜微积分相关软件或在线工具，可以快速计算函数的导数，例如MATLAB、Wolfram Alpha等。
二、函数的图像与一阶导数的关系通过电脑搜微积分工具，我们可以绘制函数的图像，并对其进行分析。
对于一元函数，通过计算一阶导数可以得到函数的极值点、增减性和凹凸性等信息。
通过观察函数图像和一阶导数，可以帮助我们更好地理解函数的特性和行为。
三、多项式函数与导数在大一下学期的微积分学习中，多项式函数是重要的研究对象。
通过电脑搜微积分工具，我们可以计算多项式函数的导数，并在图像上展示其特点。
对于n次多项式函数，其一阶导数是n-1次多项式函数，二阶导数是n-2次多项式函数，以此类推。
通过计算多项式函数的导数，我们可以研究函数的变化规律和性质。
四、复合函数与链式法则复合函数是微积分中的重要概念，也称为复合运算。
在计算复合函数的导数时，我们需要借助链式法则。
链式法则是导数计算中的一项重要技巧，可以快速且准确地计算复合函数的导数。
通过电脑搜微积分工具，我们可以进行复合函数导数的计算和图像展示。
五、定积分和不定积分除了导数的计算，电脑搜微积分工具还可以帮助我们计算函数的定积分和不定积分。
定积分可以理解为函数在某个区间上的累积值，不定积分可以理解为函数的原函数。
通过电脑搜微积分工具，我们可以进行积分的计算，并得到准确的结果。
常用的电脑搜微积分工具还可以提供符号计算功能，例如计算不定积分时给出带有常数项的表达式。
六、微分方程微分方程是微积分中的重要内容，也是与工程、物理等学科密切相关的一门学科。
计算机导数知识点归纳总结
计算机导数知识点归纳总结计算机导数知识点归纳总结导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数的变化率。
在计算机科学中，导数被广泛应用于优化算法、图像处理、自然语言处理、机器学习等多个领域。
本文将对计算机导数的知识点进行归纳总结。
一、导数的定义与求解方法导数的定义是通过函数的极限来描述函数在某一点的变化率。
一般来说，函数在某一点处的导数可以通过求函数在该点附近的极限值来计算。
常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则、商规则、链式法则等。
这些求导法则是计算机导数的基础。
二、导数的物理和几何意义导数在物理上解释为物理量随时间的变化率。
例如，速度是位移随时间的导数。
在几何上，导数解释为函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值和拐点等性质。
在计算机科学中，这些物理和几何意义有助于我们分析和优化算法的性能。
三、数值导数与符号导数数值导数是通过有限差分逼近导数的值。
常见的数值导数的计算方法包括：前向差分、后向差分和中心差分。
符号导数是通过对函数进行符号运算推导导数的值。
数值导数适用于任何函数，但是计算机计算精度有限，导致数值导数存在误差；而符号导数只适用于某些函数表达式，但是得到的导数结果准确。
四、自动微分（AD）自动微分是一种计算机程序技术，用于计算导数。
它通过将复杂函数分解为基本运算的序列来计算导数，并利用链式法则将大问题分解为小问题。
自动微分方法包括前向模式和反向模式。
前向模式从输入变量出发，按照函数的计算顺序依次计算导数；反向模式从输出变量出发，按照函数的计算顺序的逆序计算导数。
自动微分在机器学习和深度学习领域有着广泛的应用。
五、应用领域导数在计算机科学中有着广泛的应用。
在优化算法中，导数可以帮助我们找到函数的最小值或最大值。
在图像处理中，导数用于边缘检测和图像去噪。
在自然语言处理中，导数可用于优化语言模型和翻译模型。
在机器学习中，导数是训练模型的关键，可以通过梯度下降等方法调整模型的参数。
计算机数学基础导数与微分共52页文档
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——斯基
谢谢！
《计算机数学基础》教学课件 2-计算机数学基础
． 在点 处可导的充分必要条件．
第2章 导数与微分
第8页
2.1
导 数 的 概 念
导 数 的 概 念
如果函数
在区间 内的每一点都可导，就称函数
导．此时，对于区间 内的每一个 值，都有唯一确定的导数值
构成了 的一个新函数，称为函数
的导函数，记作
在区间 内可 与之对应，这就
，， 或 ．
显然，函数
在点 处的导数 就是导函数 在点 处的函数值，即
所确定的函数
称为隐函数．有些隐函数很容易化为显函数，而有些则很困难，甚至不可能．例如，方
程
就无法把 表示成 的显函数的形式．
在实际问题中，求隐函数的导数并不需要先将隐函数化为显函数，而是直接利用复 合函数的求导法则．
第一步，将方程两边同时对x求导，并注意到其中变量y是x的函数； 第二步，类似求方程的解，直接求出隐函数的导数．
第 45 页
2.6
函
数微
的分
微在
分
近 似
计
算
中
的
应
用
在工程技术问题中，往往会遇到一些计算公式，这些公式使用起来比较复杂，而利用微分可以做
近似计算．
的微分总保持同一形式，都用
第 43 页
，
第2章 导数与微分
2.6
基
函 数
本 初 等
的函
微数
分
的 微
分
公
运式
算与
法微
则分
例1
求函数 解法 1 用公式
的微分． ，可得
解法 2 用微分形式不变性，可得
例2
求函数
的微分．
解法 1 用公式
，可得
． 解法 2 用微分形式不变性，可得
机器学习的数学基础
机器学习的数学基础⾼等数学导数定义：导数和微分的概念f'({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}（1）或者：f'({{x}{0}})=\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}}（2）左右导数导数的⼏何意义和物理意义函数f(x)在x_0处的左、右导数分别定义为：左导数：{{{f}'}{-}}({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}} {\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)右导数：{{{f}'}{+}}({{x}{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }},\frac{f({{x}{0}}+\Delta x)-f({{x}{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}} {\mathop{\lim }},\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-{{x}{0}}}函数的可导性与连续性之间的关系Th1: 函数f(x)在x_0处可微\Leftrightarrow f(x)在x_0处可导Th2: 若函数在点x_0处可导，则y=f(x)在点x_0处连续，反之则不成⽴。
《计算机专业类数学基础》课程标准
《计算机专业类数学基础》课程标准【课程名称】计算机数学基础【课程代码】130949【适用专业】机电、汽修、汽运等理工类专业【学时数】84【学分数】4【开设时间】一学年【编制人】副教授【审批人】副教授/数学教研室主任一、课程概述1、课程性质数学是研究客观世界“数量关系”与“空间形式”的科学，是对客观世界的定性把握和定量描述，进而抽象概括而形成的方法和理论。
数学具有广泛的应用性。
它是抽象的，又是具体的，是一种工具，也是一种文化，更是一种信息。
二十世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，与计算机的结合愈来愈紧密，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的发展。
数学可以帮助人们从特殊角度演绎现实问题、探求客观世界的发展变化规律，并从大量繁杂的信息中做出抉择，提供有效而简捷的手段。
数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。
在高等职业技术教育中，计算机数学是一门计算机专业必修的基础课。
2、课程的基本理念（1）优化课程结构，适应高等职业教育人才培养模式高等职业技术教育是以培养高等技术应用性专门人才为根本任务，以适应社会需要为目标，以培养技术应用能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。
因此，课程的教学内容体系应突出“应用”的主旨，从而与经济建设、科技进步和社会发展要求相适应，与人的全面发展需求相适应，与高等教育课程改革要求相衔接。
（2）以素质、能力培养为目标，充分体现课程的基础性、应用性和发展性数学是一种普适性工具，在数据处理，表达计算、演绎推理等方面为其它学科提供了一种特有的语言、思想和方法，数学的基础性地位无可替代，更不能偏废。
高等职业技术教育中，高等数学作为公共基础课程，应充分遵循“需有所学、学有所用”的原则，教学过程中应从素质、能力培养出发，开发学生的创新思维。
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lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0 x0 x x
2.1.2 导数的概念与几何意义
1.导数的概念
定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，
属于该邻域，记
若
y f (x0 x) f (x0 ),
存在，则l称xim其0 极xy限值l为ximy0=
y
M
T
x P
O
x0 x0 x x
kMN
tan y
x
f ( x0 x) x
f ( x0 )
这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，
当
时，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率x，即 0
k tanθ lim tan x0
lim y x0 x
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概 念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大
或减小)的快慢.
f(
f
x0 x) f ( x0 ) (x)在点x0x处的导数，记为
x0 x
f'
(
x
0
)或y
'
|
x
x0
,
或
dy dx
|
x
x0
,
或
df dx
| xx0
.
或
f'( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
导数定义与下面的形式等价：
f ( x0 )
lim
第2章 导数与微分
1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分
结束
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
例1 变速直线运动的速度．
对于匀速直线运动来说，其速度公式为:
一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间
的函数关系为 设物体在时刻
s, 称为位s置(t函)数
t0到时刻 t0 t 内经过的路程为
lim
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
3.导数的几何意义
变到
x 当自变量
从变化到 0
M 0 (x0 , f (x0 )).
x0 时x ，曲线y=f(x)上的点由 M (x0 x, f (x0 x)).
x 此时
为割线两端点M0，M的横坐标之差，
2.1.3 可导性与连续性的关系
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，
则f(x)在点x0 处连续.
证 因为f (x)在点x0处可导，故有 根据函数极限与无穷小的关系,可得:
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
y x
f
(
x0
)
，其中
lim
x0
0.
两端乘以 得x: y f ( x0 ) x x
2.左导数与右导数
左导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f
(x0 ).
右导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) , x x0
f( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
s s(t0 t) s(t0 )
速度
路程 时间
s
于是，物体在时刻
t 到时刻 0
t0 t 的平均速度为
越t 小,平均速度
v s s(t0 t) s(t0 )
t
t
就越接v近于物体在
t0 时刻的
瞬时速度 v(t0 )
t 无限变小时，平均速度
t 0 时，平均速度
v 就无限接近于
v(t0 )
,由导数几何意义,曲线
在点
的(切x线3与)法线3的x斜2 率分别为:
y x3
(2,8)
于是所求的切线方程为:
即 k1 y
(3x 2 ) 12,
x2
x2
k2
1 k1
1 12
法线方程为:
y 8 12(x 2)
12x y 16 0
y 8 1 ( x 2) 12
即 x 12 y 98 0
而
y 则为M0，M 的纵坐标之差，所以
即为
M
过M0，M两点的割线的斜率.
y
x
M0
x0
x0 x
曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近
时的极限位置M0P，因而当
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
M0
Dx 0
f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所f 以(x，) 导在数点M0(x0,f(fx0)()x处0的的) 几切何线意斜义率是. 曲线y =
M0
x0
M
P
x0 x
设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：
而当
时,曲线
在
的切线方程为
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
f ( x0 )
由此可见:
lim
x0
y
lim (
x0
f
(
x0
)
x
x)
0.
即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.
例5 证明函数
y | x在|x=0处连续但不可导.
证 因为 所以
lim | x | 0
x0
y | x | 在x =0连续
而
f(0)
lim
x 0
y x
lim
x0
x x
1
f (0)
lim
x0
y x
y f (x x) f (x)
( x x)2 x2 2xx (x)2
同理可得: 特别地,
y 2x x
.x
y lim y lim (2x x) 2x
x x0
x 0
( x n ) nx n1 (n为正整数）
(x) 1 (n 1)
例4 求曲线 解:因为
在y点 x 3 处的切线与(2法,线8)方程.
v 的极限值就是物体在
t0
时刻的瞬时速度 ，即 v(t0 )
v(t0)
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0)
例2 平面曲线的切线斜率
曲线
的图像如图所示,
在曲线上任y 取两f点(x)
和 作割线
，
，割线的斜率为 M ( x0 , y0 )
N ( x0 x, y0 y)
MN
y
y f (x) N
f ( x) M0
x x0
当 f ( x0 )时,曲0 线
在 的f 法( x线) 方程为M0
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f ( x时0 ),曲线0 在 的法f线( x方)程为 M0
x x0 (即法线平行y轴).
例3 求函数 解: (1)求增量:
y的导数x 2
(2)算比值: (3)取极限: