第八章 参数估计

$ $ $ $ P(θ1 < θ < θ2 )不是θ落在区间(θ1 , θ2 )的概率。 $ θ 而是随机区间(θ1,$ 2 )包含θ的概率。
即平均100次抽样计算得到的100个区间中，约有 (1-α)× 100个区间包含θ $ $ 区间(θ1 , θ2 )不包含θ的可能性不超过α
即平均1 α 次估计中至多会有一次犯错误。 $ 一般说来， 1 , θ2 )的区间长度越小(越精确)， (θ $
例2 用矩法估计事件发生的概率p
ξ 0 1 解： P 1 p p Eξ = p
若X1 ,..., X n为一组样本，则
m 1 n $=X= = p ∑ Xi n n i=1
其中m = ∑ X i表示重复试验中事件发生次数。
i =1 n
即可用事件发生的频率来估计概率。
例3 设总体ξ服从[a, b]上的均匀分布，用矩法 估计a与b
例2 若已知某天某车间生产的灯泡寿命服从正态分 布N(,8), 抽取10只灯泡,平均寿命为1147小时，求出 灯泡平均寿命的置信区间(α=0.05)
解：α＝0.05, u α = 1.96 n=10 σ= 8
x = 1147
8 8 置信区间为1147 1.96， + 1147 1.96 10 10
例9 已知ξ服从正态分布N(, σ2 ),(x1,...,xn ) 为ξ的一组样本观察值，用最大似然法估计， σ2的值。
解：L = ∏
i =1 n
1 2π σ
n
2
e
(x i )2 2 σ2
1 1 i =1 = σ2 e 2π n 1 n ln L = n ln 2π ln σ 2 2 ∑ (x i ) 2 2 2σ i=1
0 < x <1 其它
α +1 解：Eξ = ∫ x (α + 1)x dx = 0 α+2 α +1 +1 令 ＝X α+2
1 α
2X 1 解得 α＝ 1 X 矩估计的优点：直接、简便 缺点：未充分利用分布信息
(二)最大似然法 两人射击，一人打中，一人没打中，认为打中者 技术较好。
某事件发生的概率为0.01或0.1，若一次试验中该 事件发生了，认为其概率为0.1 例5 在一个袋中有许多黑球与白球，其数量比为1： 3 或3： 1，通过抽样判断黑球多还是白球多。
例6 用最大似然法估计事件发生的概率p
ξ 0 1 解： P 1 p p
P(ξ = k) = p k (1 p)1k k = 0,1
若x1 ,..., x n为一组样本观察值
L(p) = ∏ P(ξ = x i ) = ∏ p xi (1 p)1xi
i =1
n
n
i =1 n
= p i=1 (1 p)
n 2
1 2 2σ
∑ (xi )2
nLeabharlann 分别对与σ 2求偏导，得ln L 1 n = 2 ∑ (x i ) ＝0 σ i=1 ln L n 1 n = 2 + 4 ∑ (x i ) 2 ＝0 σ 2 2σ 2σ i=1
求解可得
1 n $ = ∑ xi = x n i=1
1 n 1 n $ $ σ = ∑ (x i ) 2 = ∑ (x i x) 2 n i=1 n i=1
解：有放回地抽取3个球， 若取到0个或1个白球，认为袋中黑球多。 若取到2个或3个白球，认为袋中白球多。
用ξ表示取到的白球个数 若白球占1 4，则ξ的分布为
ξ P 0 1 2 3 27 27 9 1 64 64 64 64 若白球占 3 4，则ξ的分布为
ξ 0 1 2 3 1 9 27 27 P 64 64 64 64 可见，当ξ＝0或1时，认为白球占1 4 当ξ＝2或3时，认为白球占 3 4 即选择使观察结果概率较大的参数。
X 而 U = < u α可改写为 σ n
α = 0.01时 ， u α = 2.58
σ σ X uα < < X + uα n n σ σ 即 P X uα < < X + uα = 1 α n n 故的置信度为1 α的置信区间为 σ σ uα , X + uα X n n 2σ 区间长度为 uα n 要提高精度，需要增大样本容量n α 或减少u α ,即降低1- , 也就是降低1 α 2
i =1 n
其中θ是未知参数，可以是一个值，也可以是向量。
若ξ是连续型随机变量，
ξ (x, θ)
n
则应将概率改为
L(x1 ,..., x n , θ) = ∏ (x i , θ)
i =1
称L为样本的似然函数
若θ是向量，则L是多元函数。 $ 定义1 如果L(x ,...,x ,θ)在θ处达到最大值，
1 xi θ i=1
n
1 n ln L = n ln θ ∑ x i θ i=1 n 1 n (ln L) ' = + 2 ∑ x i ＝0 θ θ i=1
求解得到最大似然估计为
1 n $ θ = ∑ xi = x n i=1 1 而 x = (16 + 29 + ... + 800 + 1100 ) ≈ 318 18 $ 故 θ＝318
即(1145.25，1148.75 )
此区间比例1中的区间短，更精确 这是因为它利用了分布的信息。
例3 已知某炼铁厂的铁水含碳量再正常生产情况下服 从正态分布，其方差σ2＝0.1082。现在测定了9炉铁水， 其平均含碳量为4.484。按此资料计算该厂铁水平均含 碳量的置信区间，并要求有95％的可靠性。
(
)
S S P X tα < < X + tα = 1 α n n
即置信度为1-α的置信区间为
S S tα , X + tα X n n 2S 区间长度为 tα n 要提高精确度，需要增大样本容量n 或减少t α ,即增加α,降低可靠度1 α 确定t α要查t分布的双侧临界值表,样表如下：
1 n
$ 则称θ是θ的最大似然估计。
$ 实际上， θ是似然函数L的最大值点。
由于lnL与L同时达到最大值 求 ln L的最大值点往往更方便。
ln L称为对数似然函数。
若θ为向量，θ＝(θ1 ,..., θm )
ln L θ = 0 1 ... 解方程组 ln L =0 θm
$ $ 得到驻点(θ1 ,..., θm ), 它常常就是最大值点。
1 n 1 n
$ $ P(θ1 < θ < θ2 ) = 1 α $ $ 区间(θ1 , θ2 )称为置信区间。 $ $ θ1及θ2分别称为置信区间的上下限。
1 α称为置信系数，也称置信概率或置信度。
α是事先给定的一个小正数，它是指参数估计不准的 概率。 一般设α＝0.05或α＝0.01 $ 当样本不同时，与θ2也会不同，而θ是真实值。 θ1 $
∑ xi
n
∑ xi
i =1
n
取对数得
n n ln L(p) = ∑ x i ln p + n ∑ x i ln(1 p) i =1 i=1
求驻点：
n n 1 1 ln L(p) ] ' = ∑ x i n ∑ x i [ i =1 i=1 p 1 p 1 n $ 解得 p = ∑ x i = x n i=1
设(x1 ,..., x n )为总体ξ的一组样本观察值。 $ 要选取总体分布中未知参数θ的估计值θ, 使得
$ θ作为参数时，上述样本出现的可能性最大。
这种方法称为最大似然法。
若ξ是离散型随机变量
P(ξ = x i ) = p(x i , θ) 则样本x1 ,..., x n发生的概率为
L(x1 ,..., x n , θ) = ∏ p(x i , θ)
用样本方差S2估计总体的方差
§1 点估计
例1 某厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取10个 进行寿命试验，得数据如下(单位：小时) 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 问该天生产的灯泡平均寿命大约是多少？
解： 1147 X＝
灯泡的平均寿命约为1147小时
x>0 其它 130
(θ > 0)
若有一组样本 16 29 50 68 100 140 270 280 340 410 450 520 620 190 210 800 1100 用最大似然法估计θ
解：用x1 ,..., x n 表示样本观察值
1 L=∏ e i =1 θ
n
x i θ
∑ 1 = ne θ
解：设该厂铁水平均含碳量为 α=0.05 u α = 1.96
σ = 0.108
n =9
x = 4.484
置信度为95％的置信区间为 0.108 0.108 1.96, 4.484 + 1.96 4.484 9 9 即 (4.413,4.555)
3、一般总体大样本 当样本容量很大时,由中心极限定理, X近似服从 正态分布，可利用正态总体的区间估计。 例4 对某地家庭收入进行抽样检查，随机抽取100个 家庭，其样本平均值为11900元，据现有资料，总体 家庭收入的标准差是1500元。求置信度为95％的家庭 收入均值的置信区间。 解：n=100 x = 11900 σ = 1500 u α = 1.96 1500 1500 置信区间为11900 1.96， 11900 + 1.96 100 100 即 (11606,12194)
2
$ 2不是σ2的无偏估计。 注意： σ
8.2 区间估计
点估计值未必等于真实值。 即使相等也无法判定。 根据估计量的分布，在一定的可靠程度下，指出被估计 的总体参数所在的可能数值范围。 这类问题称为参数的区间估计。 $ $ 找两个统计量θ1 (X ,..., X )与θ2 (X ,..., X ), 使得