高考复习数学(浙江)第9章 热点探究课6 概率中的高考热点问题
高考概率答题知识点
高考概率答题知识点在高考数学考试中，概率题目一直是考生的重点和难点之一。
正确掌握概率答题的知识点对于提高成绩至关重要。
下面将针对高考概率答题的知识点进行详细分析和讲解。
一、概率的基本概念及相关计算方法1.1 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小，用一个数值来表示。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.2 事件的互斥和独立性互斥事件是指两个事件之间不能同时发生，相互排斥；独立事件是指两个事件之间的发生与否不会相互影响。
1.3 事件的组合事件的组合包括排列和组合两种情况。
在计算概率时，需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。
1.4 频率与概率的关系频率是指事件发生的次数占总次数的比例，当试验次数越多时，频率逐渐接近于概率。
二、基本概率模型2.1 等可能性概型等可能性概型是指试验中每个基本事件发生的可能性是相等的模型。
在等可能性概型中，可以通过事件在样本空间中的位置关系与其概率之间的关系进行计算。
2.2 几何概型几何概型是指将试验的结果与几何图形相对应的模型。
在几何概型中，可以通过几何图形的性质和计算公式来计算概率。
2.3 排列组合模型排列组合模型是指考虑事件发生的次序和组合方式的模型。
在排列组合模型中，可以通过排列和组合的计算方法来计算概率。
三、条件概率和事件的独立性3.1 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
计算条件概率时，可以利用条件概率的定义和计算公式进行计算。
3.2 事件的独立性事件的独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响的性质。
在计算独立事件的概率时，可以利用事件独立性的定义和计算公式进行计算。
四、加法定理和乘法定理4.1 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们的概率可以通过将两个事件的概率相加来计算。
计算互斥事件的概率时，可以利用加法定理进行计算。
4.2 乘法定理乘法定理是指当两个事件不独立时，它们的概率可以通过将两个事件的条件概率相乘来计算。
高考数学概率题目大纲解析详解
高考数学概率题目大纲解析详解高考数学中的概率问题一直是许多考生感到棘手的部分。
概率作为数学的一个重要分支，不仅在高考中占据一定的分值，更是对学生逻辑思维和数学应用能力的重要考察。
接下来，让我们深入解析高考数学概率题目大纲，帮助同学们更好地掌握这一板块的知识。
一、概率的基本概念在高考概率题目中，首先需要考生清晰理解概率的基本概念。
概率是用来衡量某个事件发生可能性大小的数值，其取值范围在 0 到 1 之间。
其中，0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为 05。
理解这一基本概念是解决后续复杂问题的基础。
二、古典概型古典概型是高考概率题目中的常见类型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
在解决古典概型问题时，我们通常先确定总的基本事件个数，再确定所求事件包含的基本事件个数，最后通过两者的比值计算出概率。
比如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
总的基本事件个数为 8（5 个红球和 3 个白球），取出红球的基本事件个数为 5，所以取出红球的概率为 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
其概率的计算通常与长度、面积或体积等几何度量有关。
例如，在一个时间段内等待公交车，已知公交车在该时间段内随机到达，求等待时间不超过 10 分钟的概率。
此时，我们需要根据时间段的长度来计算概率。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知事件 A 发生的概率为 P(A)，事件 B 在事件 A 发生的条件下发生的概率为 P(B|A)，则条件概率的计算公式为 P(B|A) ＝ P(AB)／ P(A)。
五、独立事件与互斥事件独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
而互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
比如，同时抛两枚硬币，第一枚硬币正面朝上和第二枚硬币正面朝上是两个独立事件；从袋子中取球，取出红球和取出白球是互斥事件。
高考概率知识点及题型
高考概率知识点及题型在高考中，概率是数学必考的一个重要知识点。
概率是用来描述事件发生的可能性或不可能性的一种数学工具。
掌握概率知识不仅对高考有很大帮助，也有助于我们在日常生活中做出理性判断。
下面将介绍一些常见的高考概率知识点和题型。
一、基本概念1. 事件与样本空间：事件是指某个结果的集合，样本空间是指一个随机试验所有结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，而事件可以是“出现正面”的情况。
2. 概率：概率是一个事件发生的可能性，用一个介于0和1之间的数来表示。
如果事件发生的可能性越大，概率就越接近1；反之，越接近0。
概率的计算可以通过计数或几何概率的方法来进行。
3. 相互排斥事件与互斥事件：相互排斥事件是指两个事件不可能同时发生，而互斥事件是指两个事件不能共同发生，但可以各自发生。
4. 独立事件与非独立事件：独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响，而非独立事件则相反。
二、概率题型1. 确定事件的概率：这种题型要求根据题目的描述，确定某个事件发生的概率。
例如，“一枚骰子掷出的点数为奇数”的概率是多少？2. 计算组合事件的概率：这种题型要求根据事件的组合情况，计算事件发生的概率。
例如，“从1-10中选择两个不同的数，组成一个两位数”的概率是多少？3. 逆向概率题：这种题型要求根据已知的概率和相关信息，推断出可能的事件。
例如，“已知某一件商品的次品率为0.05，现从该批商品中随机抽取1件，抽到次品的概率是多少？”4. 条件概率题：这种题型要求根据给定的条件，计算某个事件发生的概率。
例如，“某班级男生人数为30人，女生人数为40人。
从中随机抽取一人，抽到男生且抽到女生的概率是多少？”5. 互斥事件概率题：这种题型要求根据已知的概率和条件，计算两个互斥事件中至少一个发生的概率。
例如，“已知学生中40%选择A专业，30%选择B专业，那么至少选择一个专业的概率是多少？”6. 解决问题的概率题：这种题型主要考察学生运用概率知识解决实际问题的能力。
概率问题与高考知识点总结
概率问题与高考知识点总结一、引言在高考数学考试中，概率问题是一个常见的考点。
概率是研究随机事件在一定条件下发生的可能性大小的数学工具。
在现实生活中，我们经常会接触到各种概率问题，如扔骰子的点数、抽卡的概率等。
本文将总结高考中常见的概率问题，并结合实例进行讲解。
二、基础概念在讲解具体问题之前，我们先来了解一些基础概念。
1. 随机事件：具有不确定性的事件，例如抛硬币的结果、摇色子的点数等。
2. 样本空间：随机事件所有可能结果构成的集合，在数学中通常用S表示。
3. 事件：样本空间的子集，表示我们关注的某个随机结果的集合。
4. 几何概型：事物的几何形状决定了概率事件的范围，如抛硬币、掷骰子等。
5. 等可能概型：指样本空间中的每个事件发生的可能性都相等，如抛硬币的正反面。
6. 概率：事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
7. 大数定律：随着试验次数的增加，实验结果趋于稳定，接近理论概率。
三、概率计算方法根据不同的问题，我们可以采用不同的概率计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法。
1. 古典概型：当试验满足等可能性时，可采用古典概型进行计算。
例如，抛硬币的正反面都有可能出现，概率相等。
2. 频率概率法：通过大量试验的实际结果进行概率估计。
例如，通过大量掷骰子得到某个点数的频率，可以近似估计该点数的概率。
3. 组合与排列法：当问题中有多个事件同时发生时，可以使用组合与排列的方法计算。
例如，从10个数字中选出3个，求其中含有某个数字的概率。
四、典型概率问题1. 抛硬币问题抛硬币是概率问题中一个经典的例子。
如果我们抛一枚硬币，求正反面的概率是多少？根据古典概型，正反面各有50%的概率。
又如果我们连续抛掷3次硬币，求不出现正面的概率是多少？根据概率乘法原理，不出现正面的概率为0.5的3次方，即0.125。
2. 排列组合问题排列组合问题在概率问题中也较为常见。
例如，从10个球中取5个，求其中至少两个是红色的概率是多少？根据组合与排列法，总共有10个球中取5个的组合数为C(10, 5)，其中至少两个是红色的组合数为C(5, 2)*C(5, 3)，所以概率为(C(5, 2)*C(5, 3))/C(10, 5)。
高三数学一轮复习： 热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题
热点探究课(六)概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：【导学号：01772430】(1)人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：(参考公式K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：4分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14， 所以女性应该抽取12×14＝3(人).6分 (2)根据2×2列联表，则K 2的观测值 k ＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879.10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1] 柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y ^－b ^x － [解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，6分 则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ^＝y －b ^x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．【导学号：01772431】[解](1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P(A)求解．[对点训练2]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.2分设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .4分(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.6分 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分 (3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥． 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.10分 所以ξ的分布列是12分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2017·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． [规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5，5分 P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，7分 P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，8分 P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081，10分 P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为11分E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求第一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．(2)第(2)问中利用对立事件求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．图1[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列、均值与方差．【导学号：01772432】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，2分所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3.6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.8分X 的分布列为10分E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或E (X )＝np ＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·济南调研)2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(2)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满意指数＝满意程度的平均分100 【导学号：01772433】图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025， 所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.2分 又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256.4分 (2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人， 从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C 315， 由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X 分布列为所以E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1.8分 (3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7. 因此市民满意度指数为80.7100＝0.807＞0.8， 所以该项目能够通过验收.12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙．考查学生的识图能力和数据处理能力．2．求解时注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12.2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024.5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分11。
高考数学概率知识点讲解
高考数学概率知识点讲解概率是高中数学中的一个重要概念，也是广泛应用于现实生活中的数学概念之一。
概率理论可以帮助我们预测事件的可能性和发生的频率。
在高考中，概率是一个重要的考点，掌握概率知识可以帮助考生在高考数学中获得更高的成绩。
一、基本概念概率是一个事件发生的可能性的度量，一般以0到1之间的数值表示。
当一个事件不可能发生时，概率为0；当一个事件一定发生时，概率为1。
例如，掷一枚均匀硬币，出现正面的概率是0.5，出现反面的概率也是0.5。
二、基本原则在概率的理论中，有三个基本原则：加法原理、乘法原理和全概率公式。
1. 加法原理：对于两个互不相容事件A和B，它们的概率和为它们的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
例如，抛一枚骰子，出现奇数的概率为1/2，而出现偶数的概率也为1/2，它们的和等于1。
2. 乘法原理：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们的概率之积。
即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，从一副扑克牌中抽取两张牌，第一张是红心的概率为1/4，而第二张也是红心的概率为1/4，它们的乘积等于1/16。
3. 全概率公式：对于一个事件A，它可以通过多个互不相容的事件B1、B2、...、Bn来发生，那么A的概率等于它们的概率之和。
即P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn)。
例如，某班级有40%的学生喜欢音乐，30%的学生喜欢运动，20%的学生既喜欢音乐又喜欢运动，那么随机选择一个学生，他既喜欢音乐又喜欢运动的概率为20%。
三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在医学诊断中，医生通过已知的疾病症状来确定患者患某种疾病的可能性。
高考数学概率题知识点总结
高考数学概率题知识点总结概率是高考数学中的一个重要知识点，也是很多考生感到头疼的内容之一。
概率题主要考察考生对事件发生可能性的评估能力，以及对概率的计算和运用能力。
在这篇文章中，我们将总结高考数学中常见的概率题知识点，帮助考生更好地应对这一部分的考试。
一、基本概念在开始具体的概率题目之前，我们首先需要了解概率的基本概念。
概率是用来描述事件发生可能性大小的数值，它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
通过概率的计算，我们可以判断事件发生的可能性大小，并进行进一步的分析和预测。
二、事件的排列组合在概率题目中，常常需要涉及到事件的排列和组合。
排列是指一组事物或对象按照一定的顺序进行排列的方式，而组合是指从一组事物或对象中，按照一定的规则选择出若干个事物或对象的方式。
1. 排列：常见的排列问题包括全排列和部分排列。
全排列是指将一组事物或对象按照一定的顺序进行排列，每个事物或对象只能使用一次。
部分排列是指将一组事物或对象中的一部分按照一定的顺序进行排列，每个事物或对象可以使用多次。
2. 组合：组合是指从一组事物或对象中，按照一定的规则选择出若干个事物或对象的方式。
在概率题目中，常常需要使用组合的概念来计算事件的可能性。
三、事件的互斥与独立在概率题目中，我们经常需要考虑事件的互斥与独立关系。
1. 互斥事件：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在计算互斥事件的概率时，我们可以使用加法原理，将两个事件的概率相加。
2. 独立事件：独立事件是指两个事件相互之间没有任何影响的情况。
在计算独立事件的概率时，我们可以使用乘法原理，将两个事件的概率相乘。
四、概率的计算概率的计算是解决概率题目的关键。
在具体计算概率时，我们可以使用频率法和几何法。
1. 频率法：频率法是指通过实验或观察，统计事件发生的次数，并根据统计结果计算概率。
在计算概率时，我们需要进行大量的实验或观察，以获取准确的统计结果。
2. 几何法：几何法是指通过图形或几何模型来计算概率。
高考概率知识点总结
高考概率知识点总结高考概率是高考数学中的一个重要知识点，它是数学中的一个分支，研究事件发生的可能性及其数量关系。
在高中数学课程中，概率以概念的形式出现，而高考则要求学生具备对概率进行运算和推理的能力。
下面我将对高考概率知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是用数字表示事件发生的可能性大小的数值，其取值范围为0到1之间。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率等于有利的结果数目与所有结果数目之比。
2. 概率的计算计算概率有两种基本的方法，分别是古典概率和频率概率。
古典概率适用于条件相同且有限个数的事件，其计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中的总次数。
频率概率适用于统计实际发生次数，其计算公式为：P(A) =n(A) / N，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，N表示试验的总次数。
3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空。
计算互斥事件的概率时，可通过概率的加法法则进行计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
对立事件指的是两个事件中至少有一个发生的情况，即它们的交集不为空。
计算对立事件的概率时，可通过概率的减法法则进行计算：P(A') = 1 - P(A)。
4. 事件的独立性和相关性独立事件指的是两个事件发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
对于独立事件来说，两个事件的概率可以互相相乘：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
相关事件指的是两个事件发生与否存在一定关联，即一个事件的发生会影响另一个事件的概率。
对于相关事件来说，要计算事件的交集概率时，需要考虑条件概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B|A)。
5. 抽样与排列组合在概率的计算中，经常会遇到抽样和排列组合的问题。
抽样问题指的是从一组对象中随机地选取若干个对象，排列组合问题指的是对已知对象进行不同排列的方式。
高考复习数学(浙江)第9章 第4节 随机事件的概率
第四节 随机事件的概率1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．()(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④B[至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13A[事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.]4．(2017·杭州调研)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________. 【导学号：51062340】13 [从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P ＝26＝13.]5．(2017·嘉兴模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．1735[由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735.]从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③C [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．][规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．[变式训练1]口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.【导学号：51062341】①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C ∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，④正确．由于B≠C，故P(B)≠P(C)，所以⑤不正确．]保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.4分(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.8分(3)由所给数据得12分调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.15分[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．[变式训练2] 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[解] (1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.6分 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78.13分以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.15分收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)． [解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20.2分该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．又x ＝1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3100＝1.9，∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.6分(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”8分将频率视为概率，得P (B )＝20100＝15， P (C )＝10100＝110.∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝310，13分 因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710，∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.15分[规律方法] 1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．[变式训练3]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，2分P(C)＝501 000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.5分(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000，8分故1张奖券的中奖概率约为611 000.9分(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.15分[思想与方法]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生． 3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．[易错与防范]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．课时分层训练(五十五)随机事件的概率A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对A[由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．]2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C ．0.35D ．0.3C [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.] 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )【导学号：51062342】A.17B.1235C.1735D ．1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，故P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.]4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536C [设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有n ＝6×6＝36种不同结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56.]5．(2017·杭州二中月考)同时掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118 B.112 C.19D.16C [同时抛掷两个骰子，向上的点数共有36个结果，其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)，共4个，所求概率为436＝19，故选C.]二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．0 [①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]7．(2017·温州调研)已知盒中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于________．1115[从袋中任取两球的所有结果共有15种，而取出两球颜色不同的结果有11种，故所求概率为1115.]8．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________. 【导学号：51062343】23 [将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”．则C ，D 互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3.]三、解答题9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．[解](1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝0.2.6分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋200 1 000＝0.3.15分10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．[解]记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥.1分(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，解得x＝0.3.6分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.9分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为()A.13 B.12C.23 D.56C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，∴P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13.∵B表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.]2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________. 【导学号：51062344】35[由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.]3．(2017·绍兴质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率. 【导学号：51062345】[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.2分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A＋B发生，且A，B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27，故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.6分(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，12分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.15分。
2018高考一轮数学(浙江专版)(课件)第9章热点探究课6概率中的高考热点问题
分
高三一轮总复习 (2)X 的可能取值为 2,3,4,5，7 分
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)
高三一轮总复习
(本小题满分 15 分)(2017· 浙江名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛， 约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数 2 1 多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果 3 3 相互独立． (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望). 【导学号：51062379】
高三一轮总复习
热点 3 概率与分布列的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大 亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的 关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基 础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
3 3 3
9
分
(3)依题设，ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 且 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥． 8 则 P(ξ＝0)＝P(A2)＝ ， 27
高三一轮总复习
P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3) 2 40 111 23 313 ＝C4 · ＋C4 × ＝ ，
3 3 3
3
81
P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4) 17 024 414 ＝C4 ＋C4 ＝ .13
高考概率知识点及答案
高考概率知识点及答案概率是数学中一个有趣而重要的概念，它可以帮助我们了解事物发展的趋势和规律。
在高考数学中，也会涉及到一些与概率有关的知识点。
在本文中，我们将分享一些高考概率的知识点，并给出相应的答案。
1. 相对频率和概率的关系相对频率是指某个事件发生的次数与总试验次数的比值。
概率则是对相对频率的一种理论上的估计。
简单来说，相对频率是通过实验得到的结果，而概率则是通过理论计算得到的结果。
例如，如果我们投掷一枚硬币，出现正面的次数为50次，总投掷次数为100次，那么正面出现的相对频率为0.5。
根据概率的定义，我们可以推断出正面朝上的概率为0.5。
2. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，常常用符号“∪”表示。
对立事件是指两个事件只能发生一个的情况，常常用符号“∩”表示。
例如，抛掷一枚硬币，出现正面和出现反面就是两个互斥事件。
而生男孩和生女孩则是两个对立事件，因为一个家庭同时不可能同时生男孩和女孩。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)计算得出。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
通过条件概率，我们可以解决一些实际问题，例如生男孩的概率在一个家庭已经有两个孩子的条件下是多少。
4. 独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响的情况。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率的乘积等于它们分别的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
例如，抛掷一枚硬币和掷一个骰子，出现正面和出现一个偶数是独立事件。
5. 事件的并、交和余事件的并是指两个事件至少有一个发生的情况，用符号“∪”表示。
事件的交是指两个事件同时发生的情况，用符号“∩”表示。
事件的余是指某个事件不发生的情况，用符号“¬”或“C”表示。
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第九章 第六节事件与概率精讲课件 文
得两个同色球的概率为P＝175＋115＝185.
答案：(1)0.32
8 (2)15
第十九页，共19页。
第二页，共19页。
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”； (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； (9)“没有水分，种子能发芽”； (10)“在常温下，焊锡(hànxī)熔化”．
解析：根据定义，事件(1)，(4)，(6)是必然事件；事件(2)，(9)，(10)是不 可能事件；事件(3)，(5)，(7)，(8)是随机事件． 点评：弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提， 正确把握各个事件的相互关系(guān xì)是解决问题的关键．
第九章
第六节 事件(shìjiàn)与概率
第一页，共19页。
事件的概念(gàiniàn)及判断
【例1】 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件， 哪些是随机事件？ (1)“抛一石块，下落”． (2)“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”； (3)“某人射击一次，中靶”； (4)“如果a＞b，那么a－b＞0”； (5)“掷一枚硬币，出现(chūxiàn)正面”； (6)“导体通电后，发热”；
第十七页，共19页。
变式探究(tànjiū)
4.(1)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中 红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则 摸出黑球的概率为________．
(2)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放
回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为
第十四页，共19页。
求互斥事件(shìjiàn)的概率
高考概率题知识点总结
高考概率题知识点总结高考数学中，概率题是一个常见而且重要的考点。
掌握概率的基本概念和计算方法，对于解题和应对高考数学考试至关重要。
本文将对高考概率题的一些重要知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
一、概率的基本概念概率是数学中的一个重要分支，它研究事件发生可能性的大小。
在高考中，我们常见的概率题目多以抛硬币、掷骰子等为基础，通过求解概率来得出某种情况的可能性。
在概率计算中，事件的发生可以用分数形式表示，范围在0到1之间，其中1代表必然事件，0代表不可能事件。
二、概率的计算方法在概率的计算过程中，有两种常见的方法：古典概率和统计概率。
1.古典概率古典概率是指通过计算所有可能结果的大小，来推断某一结果发生的可能性大小。
典型的例子就是抛掷硬币和掷骰子。
例如，掷一枚硬币，正反两面各出现的概率都是1/2。
2.统计概率统计概率是指通过实验和试验数据，来推测某一事件发生的可能性。
这种方法一般需要大量的数据支撑，通过频率来求解概率。
例如，通过大量的实验数据统计，我们可以推测扔一颗骰子出现点数1的概率是1/6。
三、概率的性质概率具有一些重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地解题。
1.加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过求和来计算。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.减法性对于事件A，我们可以通过事件B的概率计算出A与B同时发生的概率。
即P(A∩B) = P(A) - P(A∪B)。
3.乘法性对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
四、排列组合与概率问题在高考概率题中，经常涉及到排列组合的知识。
1.排列排列是指从一组对象中选取若干个进行排列。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行排列，共有A(n, m) = n!/(n-m)!种排列方式。
2.组合组合是指从一组对象中选取若干个进行组合。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行组合，共有C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)种组合方式。
浙江高考概率知识点总结
浙江高考概率知识点总结一、基本概念概率是现代数学中的一个重要分支，用来描述事件发生的可能性。
在高考中，概率常常与统计相关，是数学中的一个重要考点。
二、概率的基本属性1. 概率的取值范围：概率的取值范围是0到1之间，即0≤P(A)≤1，其中P(A)表示事件A发生的概率。
2. 必然事件和不可能事件：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
3. 互斥事件：如果两个事件不能同时发生，则称它们为互斥事件。
互斥事件的概率之和等于各事件概率之和。
三、计算概率的方法1. 等可能概率：当样本空间中的样本点具有相同的概率时，事件A 发生的概率可以通过计算事件A包含的样本点数与样本空间的样本点数之比来确定。
2. 几何概率：当样本空间中的样本点不具有相同的概率时，可以利用几何概率来计算事件发生的概率。
几何概率可以通过构造合适的图形，计算图形内的面积与总面积的比来确定。
3. 逆概率：当事件A的概率已知且不易计算时，可以通过计算事件A的对立事件（即A的补事件）的概率来得到。
4. 条件概率：当事件B已经发生时，事件A发生的条件概率可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率之比来确定。
四、概率的运算规则1. 加法定理：设A和B是两个事件，P(A∪B)表示事件A和事件B中至少有一个发生的概率，则加法定理可以表示为P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法定理：设A和B是两个事件，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，则乘法定理可以表示为P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
五、常见的概率分布1. 二项分布：二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数为k的概率分布。
其概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数，p表示每次试验成功的概率。
概率问题与高考知识点汇总
概率问题与高考知识点汇总高考物理、化学和生物等自然科学科目中，概率问题是必考的知识点之一。
而在数学科目中，概率问题更是占据着重要的位置。
掌握概率问题的解题方法和技巧，对于学生来说至关重要。
本文将对高考中常见的概率问题进行汇总，并分享一些解题技巧。
一、概率的基本概念概率是指事件发生的可能性，用一个介于0和1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在解题过程中，可以通过统计实验的结果来确定概率。
例如，投掷一枚均匀的硬币，可能出现正面或反面两种结果，因此正反面各自的概率都是0.5。
二、概率的计算方法1. 等可能事件的概率计算：当每个事件发生的可能性相同且总和为1时，每个事件的概率可以均分。
例如，一个正常的骰子共有六个面，每个面的概率都是1/6。
2. 概率的加法原理：当事件A和事件B互斥（即不可能同时发生）时，它们的概率可以相加。
例如，抛掷一个骰子，事件A表示出现奇数点数的概率，事件B表示出现偶数点数的概率，那么事件A和事件B互斥，它们的概率之和为1/2+1/2=1。
3. 概率的乘法原理：当事件A和事件B相互独立（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生）时，它们的概率可以相乘。
例如，从一副扑克牌中抽出一张红心牌的概率为1/4，而从剩下的牌中抽出一张黑桃牌的概率也为1/4，那么从一副扑克牌中同时抽到红心和黑桃的概率为1/4*1/4=1/16。
三、概率问题的常见类型1. 基本概率问题：根据实际情况，计算事件发生的概率。
例如，从一副扑克牌中抽出一张黑桃牌的概率是多少？2. 条件概率问题：在已知某个条件下，计算另一个事件发生的概率。
例如，已知一个家庭有两个孩子，其中一个孩子是女孩，求另一个孩子是女孩的概率。
3. 独立事件问题：计算多个事件同时发生的概率。
例如，同时抛掷两个硬币，求出现两个正面的概率。
4. 排列组合问题：计算一系列事件出现的不同情况数。
例如，从5个不同的球中随机抽取3个球的不同抽取情况数。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 热点探究训练6 概率中的高考
热点探究训练(六) 概率中的高考热点问题1．(2017·某某质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【导学号：51062381】[解] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.6分(2)由题意可得，ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在上学路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，所以P (ξ＝2k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k·⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)． 即ξ的分布列是12分所以ξ的期望是E (ξ)＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.15分2．A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率． [解] 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2，…，7. 由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2，…，7.2分(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.6分(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6，10分 因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.15分3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望.【导学号：51062382】[解] (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2.则P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.6分(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝14，则P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.11分∴X 的分布列为13分∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.15分4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为t2(0<t <2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的． (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t 的值； (2)记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求E (ξ)的取值X 围. 【导学号：51062383】[解] (1)由题意得2×t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＝12，解得t ＝1.4分(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＝2－t 28，P (ξ＝1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·t 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＝4－t 28，P (ξ＝2)＝2×12×t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×t 2×t 2＝4t －t28，P (ξ＝3)＝12×t 2×t 2＝t28.9分故ξ的分布列为ξ 0 1 23P2－t 284－t284t －t28t 28∴E (ξ)＝0·2－t28＋1·4－t 28＋2·4t －t 28＋3·t 28＝t ＋12.12分由题意知P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝t －12>0，P (ξ＝2)－P (ξ＝0)＝－t 2＋4t －24>0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝2t －t24>0，又0<t <2，∴t 的取值X 围是1<t <2，∴32<E (ξ)<52，即E (ξ)的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52.15分 5．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X ).【导学号：51062384】[解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”， 记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”， 记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，3分 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.6分(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.12分可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝236.15分 6．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【导学号：51062385】[解] (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18.5分 所以X 的分布列为6(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.11分(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.13分这表明，获得的分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.15分。
2022届高考数学(文)大一轮复习热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题 Word版含答案
热点探究训练(六) 概率与统计中的高考热点问题 A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2021·揭阳模拟)为调查乘客的候车状况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表所示：组别 候车时间(分钟)人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20)2 五1(1)估量这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． (1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8.2分 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×815＝32(人).5分(2)设第三组的乘客为a ，b ，c ，d ，第四组的乘客为1,2.“抽到的两个人恰好来自不同的组”为大事A ，所得基本大事共有15种，即ab ，ac ，ad ，a 1，a 2，bc ，bd ，b 1，b 2，cd ，c 1，c 2，d 1，d 2,12.10分其中大事A 包含基本大事a 1，a 2，b 1，b 2，c 1，c 2，d 1，d 2，共8种． 由古典概型可得P (A )＝815.12分2．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的生疏，对于雾霾天气的争辩也渐渐活跃起来，某争辩机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：x 4 5 7 8 y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试依据(2)求出的线性回归方程，猜测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． ⎝ ⎛⎭⎪⎫相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x－2，a ^＝y －－b ^x －(1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，x －＝4＋5＋7＋84＝6，y －＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x－2＝106－4×6×4154－4×62＝1，6分a ^＝y －－b ^x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以猜测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分3．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．依据相关报道供应的全网传播2021年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：【导学号：31222409】组号 分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7)7 43(1)求至少有1家的融合指数在内的概率；(2)依据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的全部的基本大事是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个.3分其中，没有1家融合指数在内的基本大事是{B 1，B 2}，共1个．所以所求的概率P ＝1－110＝910.7分(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.12分4．(2021·东北师大附中等校联考)甲、乙两位同学参与某项竞赛培训，在培训期间，他们参与的5项预赛成果的茎叶图记录如下：图4(1)从甲、乙两人的成果中各随机抽取一个，求甲的成果比乙的成果高的概率；(2)现要从中选派一人参与该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参与合适？并说明理由． (1)记甲被抽到的成果为x ，乙被抽到的成果为y ，用数对(x ，y )表示基本大事：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)，3分基本大事总数n ＝25，记“甲的成果比乙的成果高”为大事A ，大事A 包含的基本大事如下：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，5分大事A 包含的基本大事数m ＝12，所以P (A )＝m n ＝1225.8分(2)派甲参赛比较合适．理由如下：x 甲＝85，x 乙＝85，s 2甲＝31.6，s 2乙＝50，10分由于x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成果较稳定，故派甲参赛比较合适.12分 5．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5)先后抛掷两次时第一次、其次次消灭的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间上取值，求满足a·b ＜0的概率. 【导学号：31222410】 (1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36个基本大事． 由a·b ＝－1，得2x －y ＝1.2分∴a·b ＝－1包含的基本大事为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3种情形，故P (a·b ＝－1)＝336＝112.5分(2)若x ，y 在连续区间上取值，则全部基本大事的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本大事的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}．画出图形如图，8分正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率P ＝2125.12分6．(2021·西安模拟)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) 频数 510151055支持 “生育 二胎”4512821(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 总计 支持a ＝________ c ＝________ 不支持b ＝________d ＝________总计(2)若对年龄在 (1)由题设，列2×2的列联表如下：年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 总计 支持 a ＝3 c ＝29 32 不支持 b ＝7d ＝1118 总计104050k ＝50×3×11－7×2923＋729＋113＋297＋11≈6.27＜6.635，所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.5分(2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M，则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人全部可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，M)，(b，c)，(b，d)，(b，M)，(c，d)，(c，M)，(d，M).8分设“恰好这两人都支持“生育二胎”为大事A，则大事A全部可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，所以P(A)＝610＝35.10分所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.12分。
高三概率知识点百度文库
高三概率知识点百度文库概率是高中数学中的重要内容之一，也是数学应用的基础。
通过研究和应用概率，我们可以帮助我们更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
在高三学习中，掌握概率相关的知识点对于学生来说非常重要。
为了帮助大家更好地复习和掌握高三概率知识点，以下是一些可以在百度文库中找到的重要知识点和资源。
一、基本概念在学习高三概率知识点之前，我们首先需要了解一些基本概念。
比如，什么是随机事件？如何计算事件的概率？百度文库中有很多文档可以帮助我们理解这些基本概念，并通过示例来解释概率的计算方法。
二、概率模型和概率分布在概率的学习中，我们常常会遇到概率模型和概率分布的问题。
概率模型是描述一个随机试验的数学模型，而概率分布则是描述一个随机变量的可能取值及其对应的概率的分布。
通过百度文库，我们可以找到很多相关的文档和资料，了解不同概率模型和概率分布的特点，并学会如何进行概率计算。
三、事件的独立性独立性是概率中一个重要的概念，也是解决实际问题时常常需要考虑的因素之一。
百度文库中的文档可以帮助我们理解独立事件的定义和性质，并通过例题来讲解如何判断事件的独立性以及如何计算独立事件的概率。
四、条件概率与贝叶斯公式条件概率是指在已知一部分信息的情况下，另一事件发生的概率。
贝叶斯公式是条件概率的一种计算方法，在实际问题的解决中非常有用。
通过百度文库，我们可以找到很多关于条件概率和贝叶斯公式的资料和例题，帮助我们理解并掌握这一知识点。
五、数理统计的基本概念数理统计是概率的一个重要分支，也是一门独立的学科。
在高三学习中，我们也需要了解一些数理统计的基本概念，比如样本、总体、抽样、统计量等。
百度文库中的文档可以帮助我们更好地理解这些概念，并通过例题来帮助我们掌握数理统计的方法和技巧。
六、概率与统计的实际应用概率与统计不仅仅是一门学科，更是一种实际应用的方法和工具。
通过学习概率与统计，我们可以解决很多实际生活中的问题，比如投资分析、风险评估、市场调查等。
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(本小题满分 15 分)(2017·浙江名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛， 约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数 多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果 相互独立．
(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
热点探究课(六) 概率中的高考热点问题
热
热 点 二
点 探 究 训
练
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[命题解读] 1.概率是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法 体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识 及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其 中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工 具.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中 低档类题目，特别是与实际问题内容渗透，背景新颖，充分体现了概率的工具 性和交汇性．
设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)．则 P(Ai)＝ Ci413i234－i.4 分
(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.6 分
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4分
从而 E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).6 分
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(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的 分布列相同.7 分
设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分 钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.10 分
＝232＋132＝59，9 分
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝
13232＋23132＝29，11 分
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝
ξ
0
2
4
8
40
17
P
27
81
81
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15 分
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热点 2 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年 均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量 的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与 转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性 训练．
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高三一轮总复习
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B＝A3＋A4，且 A3 与 A4 互斥，7 分
所以 P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4) ＝C34133·23＋C44134＝19.9 分
(3)依题设，ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 且 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥． 则 P(ξ＝0)＝P(A2)＝287，
法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1 ＝35 ，T2≤35) ＋P(T1 ＝40， T2≤30)＝0.2×1 ＋0.3×1 ＋ 0.4×0.9＋0.1×0.5 ＝ 0.91.15 分
即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟
的概率．
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高三一轮总复习
[解] (1)由统计结果可得 T 的频率分布为
T(分钟) 25 30 35 40
频率
0.2 0.3 0.4 0.1
2分
以频率估计概率得 T 的分布列为
T 25 30 35 40
P 0.2 0.3 0.4 0.1
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高三一轮总复习 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃
圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活
垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数
据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 【导学号：51062378】
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[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃厨圾余”垃箱圾里总厨量余垃圾量＝400＋410000＋100＝23.6 分 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 A 表示生活垃圾投放正确．事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 “ 其 他 垃 圾 ” 箱 里 其 他 拉 圾 量 的 总 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 ， 即 P( A ) 约 为 400＋1 204000＋60＝0.7，所以 P(A)约为 1－ 0.7＝0.3.15 分
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14 分
高三一轮总复习
[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求第一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．上一页源自返回首页ξ0
1
2
3
P
32 243
80 243
80 243
17 81
ξ 的数学期望是 E(ξ)＝23423×0＋28403×1＋28403×2＋1871×3＝18311.15 分
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14 分
高三一轮总复习
热点 3 概率与分布列的综合应用
概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大 亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的 关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基 础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．
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高三一轮总复习
设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况
有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：
T(分钟)
25 30 35 40
频数(次)
20 30 40 10
(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立
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2313232＋1323132＝1801，13 分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10 81
8 81
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.15 分
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热点 1 常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几 何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)； 相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均 值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选 择概率公式．
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高三一轮总复习 [解] (1)P1＝C23CA6194A33＝218.4 分 (2)①P2＝C24×132×232×13＝881.8 分 ②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3， 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，
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[对点训练 2] 一个袋中装有形状大小完全相同的球 9 个，其中红球 3 个， 白球 6 个，每次随机取 1 个，直到取出 3 次红球即停止．
(1)从袋中不放回地取球，求恰好取 4 次停止的概率 P1； (2)从袋中有放回地取球． ①求恰好取 5 次停止的概率 P2； ②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列及数学 期望. 【导学号：51062380】
得 P(ξ＝0)＝C501－135＝23423； P(ξ＝1)＝C51×13×1－134＝28403； P(ξ＝2)＝C52×132×1－133＝28403；
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高三一轮总复习
P(ξ＝3)＝1－32＋28403×2＝1871.13 分 随机变量 ξ 的分布列是
＝232＋13232＋2313232＝5861.6 分
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高三一轮总复习 (2)X 的可能取值为 2,3,4,5，7 分
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)