第五讲常系数微分方程
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。
这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。
它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。
为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。
1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。
我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。
2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。
它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。
3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。
常系数线性微分方程的一般解法
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解1常系数微分方程概述常系数微分方程（Constant Coefficient Differential Equation,CCD），是指存在有限个常数系数的微分方程，即存在有m 个常数a1,a2,…,an的微分方程：y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an*y=0其中，y是函数，y^(n)是函数的n阶微分，当n>=0时，常系数微分方程称为普通的常系数微分方程，而当n<0时，称为被动的常系数微分方程。
2常系数微分方程的求解常系数微分方程的求解是数学分析学中的重要内容，目前已经形成了解该类问题的一些方法：（1）对于线性方程，采用求解线性常系数微分方程的一般解法，例如附加变量法、变特征值法等；（2）对于高阶非线性微分方程，采用求解微分方程的数值方法，即差分近似法，例如有限差分法、有限元法等；（3）对于常系数微分方程的拓展问题，则需要添加对应的拓展方法，例如组合数值分析法、Laplace变换法等；（4）对于非线性常系数微分方程的求解，采用求解非线性方程的数值方法，例如弦截法、分段线性化方法、图像法、牛顿迭代法等；（5）对于具有给定强行条件的常系数微分方程，有时需要采用求解条件方程的解析方法，例如克莱姆法、特征值法等；（6）综合方法，例如基于拟牛顿方法的滤波器法、基于随机变量的最大似然估计方法等。
3四个重要概念在学习常系数微分方程的求解时，要熟悉以下4个概念：（1）特征根：对于函数y=f(x)，它的特征根是指y'=0时的解。
所以，当一个微分方程有解时，那么它的特征根就可以成为方程解中特定变量x的“0值变化”点，即可将该方程分解为特征根和变量x的关系。
（2）特征方程：特征方程是指常系数微分方程的特征多项式及其对应的特征方程的求解问题。
特征多项式就是通过将常系数微分方程化为特征形式，转换出来的多项式。
在求解特征方程时，利用传统的多项式解法，即贝祖定理，计算出特征方程的特征根。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
常系数微分方程
VS
生理过程
常系数微分方程可以用来描述生物体内的 生理过程，例如血糖浓度、血压变化等。 通过求解微分方程，可以预测生理参数的 变化趋势和疾病的发展情况。
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热传导问题
在热传导过程中，常系数微分方程可以用来描述温度随时间和空间的变化规律。通过求解微分方程，可以预动现象，例如声波、光波等。通过求解微分方程，可以得出波的传播 速度、幅度等物理量。
经济问题中的应用
供需关系
常系数微分方程可以用来描述商品在市场上的供需关系。通过 求解微分方程，可以预测商品价格的变化趋势和供需平衡点的
解法：常数变易法推广
常数变易法是一种求解线性微分方程的 方法，通过将常数项视为待定系数来求 解。
对于高阶常系数线性微分方程，可以推广常 数变易法，通过引入多个待定系数来求解。
具体步骤包括：将原方程转化为标 准形式，利用常数变易法得到一个 等价的低阶微分方程，然后求解该 低阶微分方程。
解的振动性分析
特性
具有形式简单、解法明确、易于理解等优点，是微分方程研究的重要内容之一。
解法：分离变量法
原理
通过将方程中的变量分离，将微分方程转化为代数方程， 从而求解未知函数。
01
步骤
将方程中的变量分离，得到 y' = f(t)g(y) 的形式，然后对两边积分得到通解。
02
03
示例
对于方程 y' + 2ty = t^2，通过分离 变量法可以得到 y = (1/2)ln|t| + C， 其中 C 是积分常数。
通过定性分析，可以深入了解非线性 微分方程解的行为和动态特性，有助 于解决实际问题。
04 高阶常系数微分方程
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微积分学中的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将探讨常系数线性微分方程的定义、解析解的求法以及应用领域。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程可以写成形如：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=f(x)\]其中，\(y^{(n)}\)表示y对x的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1,a_0\)为常数，f(x)为已知函数。
二、解析解的求法对于形如上述的常系数线性微分方程，我们可以借助特征根法求解。
具体步骤如下：1. 首先，我们将微分方程中的导数表示转化为特征方程的根表示。
设解为\(y=e^{rx}\)，则微分方程可以表示为\(a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0\)的特征根问题。
2. 解特征根问题，求得方程的特征根。
这一步需要借助代数方法或者传统解法（如求解一元高次方程），将特征方程的根求得。
3. 根据特征根的实部、虚部的不同情况，可以推导出不同的解的形式。
当特征根是实数时，解的形式可以表示为\(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_n\)为常数；当特征根是共轭复数对时，解的形式可以表示为\(y=e^{px}(c_1\cos qx + c_2\sin qx)\)，其中\(p\)为实部，\(q\)为虚部，\(c_1, c_2\)为常数。
4. 根据已知条件，可以确定具体的常数值，从而得到微分方程的解析解。
三、应用领域常系数线性微分方程广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
以下是一些常见应用的例子：1. 机械振动：通过建立质点在弹簧系统中的运动方程，可以使用常系数线性微分方程描述机械振动的行为。
2. 电路分析：电路中的电流和电势满足欧姆定律和基尔霍夫定律，可以通过常系数线性微分方程建立电路的运行模型。
常系数线性常微分方程
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
大学微分方程中的常系数线性微分方程
大学微分方程中的常系数线性微分方程在大学微分方程课程中，常系数线性微分方程是一种非常重要的类型。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、性质和解法，并通过一些例子来说明其应用。
一、常系数线性微分方程的定义和性质常系数线性微分方程是指形如下式的微分方程：\[a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x) \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为常数，$y^{(n)}(x), y^{(n-1)}(x), \cdots, y'(x), y(x)$为待求函数$y$的各阶导数，$f(x)$为已知函数。
常系数线性微分方程有以下几个重要性质：1. 齐次性质：如果$f(x)=0$，即方程右端为零函数，那么称该方程为齐次常系数线性微分方程；2. 非齐次性质：如果$f(x)\neq0$，即方程右端不为零函数，那么称该方程为非齐次常系数线性微分方程；3. 线性性质：常系数线性微分方程是线性方程，即方程中的未知函数$y(x)$及其各阶导数的线性组合；4. 一阶方程：当$n=1$时，方程称为一阶常系数线性微分方程；5. 高阶方程：当$n>1$时，方程称为高阶常系数线性微分方程。
二、一阶常系数线性微分方程的解法对于一阶常系数线性微分方程$ay'(x)+by(x)=f(x)$，其中$a$和$b$为常数，我们可以使用以下步骤来求解：1. 首先求齐次方程的通解：假设$y(x)$是方程$ay'(x)+by(x)=0$的解，我们可以使用分离变量法或者特征方程法求解齐次方程；2. 然后求非齐次方程的一个特解：根据$f(x)$的形式和齐次方程的通解形式，选择一个特解形式，并代入方程求解；3. 最后得到非齐次方程的通解：将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加，即可得到非齐次方程的通解。
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式，其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的，且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用，因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪，数学家开始研究常系数线性微分方程的解法，如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据，建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系，建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据，建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中，y''表示y的二阶导数，p和q是常数，f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先，选择一个新的变量代换，将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后，将这个新变量的函数代入微分方程，得 到一个更容易求解的方程。最后，对方程进 行求解，得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 一个更简单的方程，从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程，可以采 用数值方法进行近似求解，如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术，如神经网络、遗传算 法等，可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况，采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法在微积分学中，常系数线性微分方程是一类重要的微分方程，其形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。
解常系数线性微分方程有多种方法，下面将介绍其中两种常见的解法：特征根法和常数变易法。
一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。
它的基本思想是假设解具有指数形式：\[y = e^{rx}\]其中，\(r\) 是待定的常数。
代入微分方程得：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得：\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知，对于任意 \(x\)，\(e^{rx} \neq 0\)，因此上式成立等价于：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。
解特征方程，求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。
根据根的个数和重数，我们可以得到不同类型的解：1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数，那么相应的解为：\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。
2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数，那么相应的解为：\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。
常系数线性微分方程
通常系数线性微分方程（Linear ODEs with Constant Coefficients）是一
类常用的数学工具，它可以用来解决各种跟时间有关的工程问题。
它
是一个重要的分支，是传统数学方法，它应用于解决一些常见的技术
和科学问题。
通常系数线性微分方程是一种形式，它可以用于处理各种类型的方程，包括常微分方程，偏微分方程以及一阶偏微分方程的线性部分。
它对
于一般的普通微分方程具有更高的效率，也更易于用符号数学系统求解，得到正确的解。
这种线性方程形式一般使用标准格式解决，即总是可以将其写成一阶
微分方程形式，表示为P(t)X + Q(t)Y + R(t)Y ′= 0。
其中P(t)、Q(t)和
R(t)是常数系数。
同时,Q(t)、R(t)必须都是非负函数。
一旦我们确定好
这些系数，求解一般线性微分方程就可以用一般办法来解决了。
通常系数线性微分方程的重要性首先在于它的解非常简单而直观，同
时可以用符号数学系统来解决。
此外，其出现的场景也比较丰富，可
以应用于从电子系统的传递函数的分析到电力系统的模拟分析等多种
工程领域。
最重要的是，由于它的特殊形式，其分析计算跨度非常大，可以很容易应用于设计和分析系统中不同时间尺度的复杂工程模型。
总之，通常系数线性微分方程具有广阔的应用范围，它是一种经典的
数学工具，为解决跟时间有关的工程问题提供了简洁而有效的解决方案。
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解微分方程是数学特别重要的一个研究对象，是描述多变量函数在变化中的变化规律的数学工具。
常系数微分方程（Constant coefficient differential equation,CCDE）是一类特殊的微分方程，其中所有空间变量都是常量。
它是在解理论计算机科学、力学、计算物理学（CFD），热力学、积分变换等多个领域有重要的应用。
常系数微分方程的求解是比较复杂的工作，它涉及多阶段的求解过程。
首先，我们需要分析微分方程的构造，将其分解为更小的子问题，然后利用可用的数学工具来解决这些子问题。
其次，我们需要考虑常系数微分方程的初始条件，考虑如何将初始条件消除，以实现更精确的求解。
最后，我们需要对解进行误差分析，确保解的准确性。
在求解常系数微分方程方面，一般有两种方法可用：一是采用数值计算方法，如欧拉法、改进欧拉法、拉普拉斯差分方法等；二是采用解析方法，如常系数线性微分方程的积分变换、Laplace换、Fourier 换、Fourier近等。
在采用解析方法求解复杂的常系数微分方程时，我们可以采用把方程转化为积分方程的方法。
首先，我们需要将复杂的常系数微分方程转换成积分形式。
其次，我们需要将积分方程转换成常系数线性积分方程的形式，然后采用解析方法求解。
这种转化的过程需要考虑常系数微分方程的各种特殊情况，以确保得到准确的结果。
此外，在求解常系数微分方程的过程中，还需要考虑计算机算法的优化问题。
由于常系数微分方程涉及多个空间变量，其计算量可能较大。
因此，在计算过程中，我们做出尽可能多的优化，例如采用快速傅立叶变换（FFT）或多项式系统求解等方法，以提高计算效率。
总之，在求解常系数微分方程方面，我们既可以采用数值计算方法，也可以采用解析方法。
而在求解常系数微分方程的过程中，我们需要考虑的因素不外乎：分析方程的构造，消除初始条件，解决子问题，优化计算机算法等。
只要把握住这些基本概念，就能成功的求解常系数微分方程。
《高等数学教学课件》 第五、六节 常系数线性微分方程共28页
y1
e(i)xe(i)x
2
excosx是
微
分
方;
程
y2
e(i)xe(i)x 2i
exs
inx是
微
分
方;
程
y2 y1
eexxcsionsxxtanx不
恒
等
于 .常 y1, y数 2线
性
无
关 .
微分方 :y c 1 y 程 1 c 2y 2的 e x (c 1c 通 o x s c 解 2six n ).
微分方
程
2 的
通
解 : 为
2
;
yLeabharlann e2x2 (c1
cos
2 2
x
c2
s in
2 2
x)
e
2 x
2 (c3
cos
2 2
x
c4
s in
2 2
x).
解例特 4、求 征方 y方 :4r 42 程 y 程 2 r 35 为 y 5r 20 的 0 r通 .2(r2解 2r5)0
(rr210 )2 4r1 ,20 0 ;或 (rr2 1)2 2r 540 r3,4 12i;
(3)若 . p24q0,
有 一 对 共 轭 r1,2的 i复 . 特 征 根
则 ypyqy 0的 通:y 解 ex 为 (c1cox sc2sin x)
证明 因 r1 ,2 为 i是特 ,所 征 e( 以 i)x 根 ,e( i)x是 微分;方 e ( i)x程 e x e i的 x 欧 拉 e 解 x (公 cx o 式 is six n );
d2x dt2
g 4a
x
0
;
x t0 a, x t0 0
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注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 是重根次数） 程（k是重根次数）.
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特别地
y′′ + py′ + qy = Aeλx
A e λx , λ不是特征方程的根 λ 2 + pλ + q A y= xe λx λ是特征方程的单根 2λ + p A 2 λx xe λ是特征方程的重根 2
一、复习提问
1、可分离变量的微分方程的解法 2、齐次方程与可化为齐次方程的非齐次方程的 微分方程的解法 3、一阶线形微分方程的解法 4、可降阶的微分方程的解法
y ( n ) = f ( x ), y ′′ = f ( x , y ′), y ′′ = f ( y , y ′)
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特征方程为 r 2 − 2r + 5 = 0 , 解得 r1， = 1 ± 2i , 2 故所求通解为
y = e x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
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三、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法
y(n) + P y(n−1) + L+ Pn−1 y′ + Pn y = 0 1
故有
Q e rx ≠ 0,
特征方程
r + pr + q = 0
2
特征根 r1, 2 =
− p±
p 2 − 4q , 2
5
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( 1、 有两个不相等的实根 ∆ > 0)
特征根为 r1 =
− p+
p − 4q , 2
2
r2 =
− p−
p 2 − 4q 得 2 Ax + B + 2 A = x
1 于是 y = x( x − 1)e2 x 2
1 A = ∴ 2 , B = −1
1 y = C1e x + C2e2 x + x( x − 1)e2 x . 原方程通解为 2
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例4 解
的通解。 求方程 y ( 4 ) − 2 y' ' '+5 y' ' = 0 的通解。
4 3 2 特征方程为 r − 2r + 5r = 0,
解得根为 r1 = r2 = 0 和 r3,4 = 1 ± 2i . 因此所给微分方程得的通解为
y = C1 + C 2 x + e x (C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x ).
y′′ + py′ + qy = f (x)
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****二、二阶常系数齐次线性方程解法 二
y′′ + py′ + qy = 0
-----特征方程法 -----特征方程法
设 y = e rx , 将其代入上方程 得 将其代入上方程,
( r 2 + pr + q )e rx = 0
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例5 求方程
y(5) + y(4) + 2 y( 3) + 2 y′′ + y′ + y = 0 的通解 .
解 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
( r + 1)( r 2 + 1) 2 = 0,
特征根为 r1 = −1, r2 = r3 = j , r4 = r5 = − j , 故所求通解为
例2**** 解
求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe 2 x 的通解.
特征方程 r 2 − 3r + 2 = 0, 特征根 r1 = 1，r2 = 2， 对应齐次方程通解 Y = C1e x + C 2e 2 x ,
Q λ = 2 是单根， 设 y = x( Ax + B)e 2 x , 是单根，
,
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例1 解
求微分方程 y' '−2 y'−3 y = 3 x + 1 的一个特解 所对应的齐次方程 y' '−2 y'−3 y = 0 的特征方程
r 2 − 2r − 3 = 0 不是特征方程的根， 解得根为 r1 = −1, r2 = 3, 由于 λ = 0 不是特征方程的根，
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若是 k 重共轭 复根 α ± jβ
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注意 n次代数方程有 个根 而特征方程的每一个根都对 次代数方程有n个根 次代数方程有 个根, 应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数. 应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数
y = C1 y1 + C 2 y2 + L + C n yn
型
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 通解结构 常见类型
y′′ + py′ + qy = 0,
y = Y + y,
Pm ( x ),
λx
Pm ( x )e λx ,
Pm ( x )e λx sin βx ,
Pm ( x )e cos βx ,
难点：如何求特解？ 难点：如何求特解？
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r12 + pr1 + q )u = 0,
知 u′′ = 0, 取 u( x) = x, 则 y 2 = xe r x ,
1
y = (C1 + C2 x)er x ; 得齐次方程的通解为
特征方程为 r n + P r n−1 + L+ P −1r + P = 0 1 n n 特征方程的根 若是 k重根 r 重根 通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck −1 x k −1 )e rx
[(C0 + C1 x + L + Ck −1 x k −1 ) cosβx + ( D0 + D1 x + L + Dk −1 x k −1 ) sinβx]eαx
1
重点：标准解法 难点：公式变形及方程化成标准型 知识连接： 注：本讲是本章的重点 第七章 微分方程 第七节 常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性微分方程
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2
第七节 常系数齐次线性微分方程
一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 四、小结
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y′′ + py′ + qy = 0
r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
通解的表达式
≠ r2 实根r1 = r2 复根r = α ± β i 1, 2
实根r1
y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C 1e r x + C 2 e r x = (C1 + C 2 x )e r x y
y = Qm ( x)eλx ; 可设 Q ( x ) = Qm ( x ),
( 2) 若λ是特征方程的单根， 是特征方程的单根，
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p ≠ 0,
y = xQm ( x)eλx ;
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可设 Q( x ) = xQm ( x ),
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y = C1e − x + C 2 e 3 x .
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例2
d 2s ds 求方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
t =0
s t = 0 = 4、s'
解
= −2 的特解。 的特解。
所给方程的特征方程为
r 2 + 2r + 1 = 0
其根为 r1 = r2 = −1, 所求方程的通解为
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一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式 阶常系数线性微分方程的标准形式
y( n) + P y( n−1) + L+ Pn−1 y′ + Pn y = f ( x) 1
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
( 3) 若λ是特征方程的重根， 是特征方程的重根，
λ2 + pλ + q = 0,
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ), y = x2Qm ( x)eλx .
综上讨论
0 λ不是根 k λx k = 1 λ是单根 , 设 y = x e Qm (x) , 2 λ是重根