高等数学公式

高等数学公式
导数公式：
三角函数的有理式积分： 2
2
2
2
122
11cos 12sin u
du dx x tg u u
u x u
u x +=
=+-=+=
，　，　，　
tgx x x x
ctgx x
tgx sec )(sec csc )(sec )(2
2
⋅='-='='22
11)(arccos 11)(arcsin x
x x
x --='-='⎰
++
-=
-C
a x a
x a x dx x a arcsin
2
2
2
2
2
2
2
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
arthx e
e chx e
e shx x
x
x
x
+=-=--2:2:双曲余弦双曲正弦...
590457182818284
.2)11(lim 1
sin lim
==+
=∞
→→e x
x x x
x x
·倍角公式：
tg
(=当.
1;
0.)
1(lim
M 3
2
a
K a K y y ds
d s
K s =
='+''==∆∆=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：αα
α
ααααααααα233
3
3133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
ααααααααααα
αα22
2
2
2
2
122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=-=-=-==
定积分的近似计算：
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a b x f )]
(4)(2)[()(])(21
[)()
()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：
功：。

代表平行六面体的体积
空间Pr c b a j u =⋅
面的距离：
平面外任意一点到该平、截距世方程：
、一般方程：，其中、点法式：
平面的方程：3211
302),,(},,,{0)()()(12
2
2
0000000000+++++=
=++=+++==-+-+-C
B A D
Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
z
y z x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy
F F y F F x dx y d F F dx dy y x F y x y
x du u z z -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂-∂∂=-==∂∂∂∂=
==， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
当0),,()()(0),(22
),(1),(1),(),(1),(),(1),()
,(0
),,,(0),,,(G F v G F u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u G v F u
F
v u G F J v u y x G v u y x F v
u v u
∂⋅-=∂∂⋅-
=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：
30)210z =∴多元
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极
为极小值为极大值时，
则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(2200002
0000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
==
=
=
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+=
==
'
x D y
x
D D D
F d y x y M y d y x x M x dxdy
y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f D
2
2
),(,),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρθ
θθ 平面薄片的重心：的面积曲面柱
⎰⎰⎰
Ω
f 曲
⎩⎨
⎧==<'+'=
⎩
⎨=⎰
⎰
)
()()()()](),([),()((2
2t y t x dt t t t t f ds y x f t y f L
ϕβαψϕψϕψβ
α
特殊情况： 设
在当分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为
设标的曲线积分）：
第二类曲线积分（对坐(·21·)cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()
(+=
+'+'=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰u L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L L
L
L
βαβα
ψψϕϕψϕψϕβ
α
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
++=
++ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz zx
D )cos cos cos (γβα
系：两类曲面积分之间的关
式：
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰∑
Ω
∑
<∂∂+∂∂+∂∂=++=
++=
∂∂+
∂∂+
∂∂z
R
y Q x P ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz
dv z
R y
Q x
P
...
,0div ,div )cos cos cos ()(
则为消失的流体质量，若
即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义ννγβα
⎰⎰
∑
时，级数收敛设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛，则设：别法）：
—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n
n n s U u +∞
→=⎪
⎧<⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=312111lim
11ρρρρρ
绝对
如果如果)2()1(1u u
)3(11111221032+++++≥-<++++++x a x a x a a x x
x x x x x n
n n
收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点
　对于级数时，发散
时，收敛于
函数=x 0一
sin 1(+x =ix
e。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0]
,[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2
)sin()(001
01
0ππωϕϕϕω-====++
=
++
=∑∑== nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a
t n A
A t f n n n n n n n n n
n n n
傅立叶级数：
其中，周期⎰
⎰
∑⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=====++
=
--∞
=n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a
a x f n n
n n n
)
3,2,1(sin )(1)
2,1,0(cos )(12)sin cos (2
)(1
0 π
π
π
π
πππ
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧=====++
=
⎰⎰∑
--∞
=l l n l
l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l
l
x n b l
x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin
cos
(2
)(1
0 其中，周期ππππ
，
一
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2
12
2
,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根
、求出的系数；
式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r。