2018届苏教版 空间的平行与垂直问题 单元测试

专题13：空间的平行与垂直问题
班级 姓名
一、前测训练
1．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D ，E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．
提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形． “中心投影法”：取B 为投影中心，延长BD 与B 1C 1交于M ，利用
三角线中位线证DE ∥AM ．
法二：用面面平行的性质
取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1．
2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C
提示：用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ．
3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ． （1）求证：A 1O ⊥平面MBD ；
（2）若AB ＝2，求点B 1到平面BDM 的距离．
提示：用线面垂直的判定定理：
证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ；
在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；
4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ．
求证：平面PBD ⊥平面PAC ．
提示：设BD 与AC 交于点O ，证BD ⊥AC ，BD ⊥OP ， 从而得出BD ⊥平面PAC ．
5．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形．
提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，
由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，
A 1 D 1
A
B
C
D B 1
C 1
M · O
V A 1
D 1
A B C
D B 1
C 1
C
D
B
A P
由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．
四、反馈练习
１．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 和BD 的长分别为8和6，它们所成的角为90°，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则MN 的长为 ． 答案：５
(考查：空间中直线的平行与垂直)．
２. 如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，点F 在BE 上，当BE
BF
＝
时，有DE ∥平面ACF ．
答案：２
(考查：线面平行的性质定理)．
３．已知P －ABC 为正三棱锥，D 为BC 的中点，则直线BC 与平面PAD 的位置关系
是 ．
答案：垂直
(考查：线面垂直的判定定理)．
４．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝26，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为 ． 答案：6
(考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)． ５．如图，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，M 是PC 上的一个动点，当点M 满足 时，
平面MDB ⊥平面PCD ．
答案：MD PC ⊥或MB PC ⊥
(考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)．
6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为 ． 答案：16
(考查：线面垂直的判定定理，体积变换)
７．如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为
D
P C
D B A P Ｄ
Ｃ Ｂ Ａ
Ｍ
AB 的中点．
（1）证明：CM ⊥DE ；
（2）在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN . 答案：(2)N 为靠近A 的三等分点
(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的性质；线面平行的 性质定理)．
8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形， DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .
（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE
PE 的值； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.
证 （1）因为OE ∥平面PBC ，OE ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，
所以AO ∶OC ＝AE ∶EP ．
因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝1
2． （2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ．
因为△PAD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . 因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ．因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ． 设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．
在Rt △PAB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ． 因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ． 在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．
在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ．
由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB ⊂平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC ．
法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ，所以MF ∥DC ，MF ＝1
2DC ． 因为DC //AB ，AB ＝1
2DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ， 即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． 在正三角形PAD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ．
因为AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥AM ．又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ．
P
A
B D
O
E
因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．
又因为PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BF ⊥平面PCD ． 因为BF ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDC . (考查：线面平行的性质定理；面面垂直的判定定理)
９．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段
CO
的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝22． 求证：（1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．
(考查：面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理；线面平行 的判定定理，面面平行的性质)．
10．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G ，F 分别为AD ，CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC ，如图所示．
(1)求证：BC ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ；
(3)在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR ⊥平面DCB ，并说明理由．
答案：（3）1
2
AR =
(考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理； 面面垂直的判定定理和性质定理)． 11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，
∠BAD ＝π
3
．
(1)求证：平面BCF ∥平面AED ； (2)若BF ＝BD ＝a ，求四棱锥A -BDEF 的体积．
答案：（２）3
6
a 3
(考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)．
１2．如图，直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点． (1)证明：MN ∥平面A′ACC′；
P
A
B C
O E
F
G
(2)求三棱锥A′－MNC 的体积．
答案：（２）1
6
(考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换)。