电路课件第六章一阶电路
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t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
电路分析基础第六章.ppt
先求通解 （满足（1）式且含有一个待定常数的解。）
假设 x (t)K est
(3 )
则有 dx(t)Ksest dt
(4)
将（3）和（4）代入（1）式，可得
K e st(s A ) 0
(5 )
s A 0
( 6 )
（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的 特征根或固有频率。因而可求得：
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称 为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言， 如果电路中含有n个独立的动态元件， 那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电 路也称为n阶电路。
分解方法在这里的运用：
首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2 两部分。
无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路 电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差 别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是导数与 积分关系(见第五章)。因此，根据KCL、KVL和元 件的VAR所建立的动态电路方程是以电流、电压为 变量的微分方程或微分—积分方程。如果电路中的 无源元件都是线性时不变的，那么，动态电路方程 是线性常系数微分方程。
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用 §6.2 零状态响应 §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
再看如图所示电路。
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这 种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠 加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电 容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。
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第6章 一阶电路分析
动态电路在任一时刻的响应与激励的全部历史有关， 也就是说， 动态电路是有记忆的， 这是与电阻电路完全不 同的。 当动态电路的连接方式或元件参数发生突然变化时， 电路原有的工作状态需要经过一个过程逐步到达另一个新的 稳定工作状态， 这个过程称为电路的瞬态过程或过渡过程。 瞬态分析(或称动态电路分析)是指分析动态电路从电路结构 或参数突然变化时刻开始直至进入稳定工作状态的电压、 电流的变化规律。
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
第6章 一阶电路分析
事实上， 许多实际电路模型并不能只用电阻元件和电 源元件来构成。 电路中的电磁现象将不可避免地涉及到电 容元件和电感元件， 由于这两种元件的伏安关系都涉及对 电压或电流的微分或积分， 因此称这两种元件为动态元件。 含有动态元件的电路称为动态电路。 描述动态电路激励— 响应关系的数学方程称为微分方程， 在线性非时变条件下 为线性常系数微分方程。
第6章 一阶电路分析
6.1 电容元件和电感元件
6.1.1 电容元件
把两块金属极板用电介质隔开就可构成一个简单的电容 器。 由于理想介质是不导电的， 因此在外电源的作用下， 两块极板上能分别积聚等量的异性电荷， 在极板之间形成 电场。可见， 电容器是一种能积聚电荷、 储存电场能量的 器件。 电容器的种类很多， 按介质分有纸质电容器、 云母 电容器、 电解电容器等； 按极板形状分有平板电容器、 圆 柱形电容器等。
一阶电路课件PPT
其解为 s － 1 RC
(6 3)
称为电路的固有频率。
于是电容电压变为
t
uC (t) Ke RC
t 0
式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+
时上式变为
t
uC (0 ) Ke RC K
根据初始条件 uC (0 ) uC (0 ) U 0
求 得 K U0
图6-3
最后得到图6－3(b)电路的零输入响应为
Rt
iL (t) Ke L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得
K I0
最后得到电感电流和电感电压的表达式为
Rt
t
iL (t) I0e L I0e τ
uL
(t
)
L
diL dt
RI0e
Rt L
RI0e
t τ
(t 0) (t 0)
(6 7a) (6 7b)
其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规
0.018U0
0.007U0
0
表6－1
图6－4 RC电路零输入响应的波形曲线
电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为
WR＝
i 2
0R
(t)Rdt
U (
0
0R
t
e RC
)2
Rdt
1 2
CU
2 0
计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的
确全部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻 消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压 衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电 过程的快慢。
将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，
第六章(一阶电路)
uC (t ) 输入单独作用时的响应
uC (t ) 初始电压源单独作用时的响应
(2) uC (t )和uC (t )
+ R +
6-6
R
us(t) t≥０
-
uc(t)
c
+
c
-
uc(t) +u c(0)
-
-
u C (t ) 称为零状态响应(zero-state response)
iL (t ) 3(1 e )A
t 2
t 0
t≥0
原电路中电感用电流源iL(t)臵换后，用网孔 法可求得i(t)，t≥0。注意：除iL(t)外，其它i、u 未必按指数律上升。 提问：若电源电压为9V，L(t)、i(t) 将为多少？ i
§2-1-1 两类重要的零状态响应
6-17
（1）单位阶跃函数(unit step function) ε(t)：
(3)
例题
6-27
（b）计算零输入响应 ：t≥0时
i
4Ω 1H +
8-8=0V
i L (0 ) 2A
+
uL
iL
L 1H 1 s Ro 3Ω 3
12Ω
t≥0时
-
iL (t ) 2e 3t A
diL u L (t ) L 6e 3t V dt
u L (t ) i (t ) i L (t ) 1.5e 3t A 12
6-18
0 ε(t t 0 ) 1
t t0 t t0
1
0
t0
t
如矩形脉冲施加于电路的情况。
ε(t-t0) 连同ε(t) ，可以用数学形式表明分段常量信号、
uC (t ) 初始电压源单独作用时的响应
(2) uC (t )和uC (t )
+ R +
6-6
R
us(t) t≥０
-
uc(t)
c
+
c
-
uc(t) +u c(0)
-
-
u C (t ) 称为零状态响应(zero-state response)
iL (t ) 3(1 e )A
t 2
t 0
t≥0
原电路中电感用电流源iL(t)臵换后，用网孔 法可求得i(t)，t≥0。注意：除iL(t)外，其它i、u 未必按指数律上升。 提问：若电源电压为9V，L(t)、i(t) 将为多少？ i
§2-1-1 两类重要的零状态响应
6-17
（1）单位阶跃函数(unit step function) ε(t)：
(3)
例题
6-27
（b）计算零输入响应 ：t≥0时
i
4Ω 1H +
8-8=0V
i L (0 ) 2A
+
uL
iL
L 1H 1 s Ro 3Ω 3
12Ω
t≥0时
-
iL (t ) 2e 3t A
diL u L (t ) L 6e 3t V dt
u L (t ) i (t ) i L (t ) 1.5e 3t A 12
6-18
0 ε(t t 0 ) 1
t t0 t t0
1
0
t0
t
如矩形脉冲施加于电路的情况。
ε(t-t0) 连同ε(t) ，可以用数学形式表明分段常量信号、
第06章 一阶电路和二阶电路
电路
南京理工大学自动化学院
6.2 电感元件
电感元件的伏安关系
第二种形式：iL f (uL )
1
iL (t) L
t
uL ( )d
iL (t0 )
1 L
t
t0 uL ( )d
电路
南京理工大学自动化学院
6.2 电感元件
对偶关系
L
C
uL
iC
iL
uC
电路
南京理工大学自动化学院
电路
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6.1 电容元件
电容元件的伏安关系
第一种形式：iC f (uC )
. . iC(t) + _ q(t)
+
uC(t) _
iC
(t)
dq(t) dt
d[C
uC dt
(t)]
C
duC (t) dt
可见：
iC与uC是一种微分关系，C是动态元件
iC为有限值时， uC不可以发生跃变
第6章 一阶电路和二阶电路
目录
6.1 电容元件 6.2 电感元件 6.3 一阶电路 6.4 电路的初始条件 6.5 一阶电路的零输入响应 6.6 一阶电路的零状态响应 6.7 一阶电路的全响应 6.8 一阶电路的三要素法 6.9 一阶电路的阶跃响应 6.10 一阶电路的冲激响应 6.11 卷积积分 6.12 二阶电路的零输入响应 6.13 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
电路
南京理工大学自动化学院
6.4 电路的初始条件
换路定则
uC (t0 ) uC (t0 ), iL (t0 ) iL (t0 ) iC (t0 ) iC (t0 ), uL (t0 ) uL (t0 ) iR (t0 ) iR (t0 ), uR (t0 ) uR (t0 )
电路分析第6章 一阶电路
利用直接积分法：
duC uC dt RC
猜试法： 将解的形式
uC(t) = Kest 代入原方程得
duuCC R1Cdt
积分得
lnuC
t RC
故有
t
uC(t)Ke RC
代入初始条件 uC(0) = U0，
RCsKest + Kest = 0
RCs +1 = 0 s 1
RC
i = – –UR—0 e –t / RC
例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t≥0。
解：uC(0)=15V RO= —33×—+66— +3=5
= ROC = 5×0.01= 0.05S
i(t) 3Ω
ic
0.01F
+_uc
6Ω
uC(t)=uC(0)e- —t
iL
+
U-
SR b
+
I0
iL
u 0.368I0 L
-
0
iL
t
iL
=
I0
e
–
—R
L
t=
I0
e
–
—t
u
RI0
uR=R iL = R I0 e – —t
分解法的基本步骤
(1) 把给定的网络N分解为两个明确的单口网络 N1和N2 (P114 ) ；
(2) 分别求单口网络 N1、N2 的VCR (§4-2 )；
(3) 联立VCR，求单口网络端钮上的电压 u= a 和电流 i = b ；
(4) 应用置换定理，分别求单口网络N1、N2中的电压和电流 。
网络N
duC uC dt RC
猜试法： 将解的形式
uC(t) = Kest 代入原方程得
duuCC R1Cdt
积分得
lnuC
t RC
故有
t
uC(t)Ke RC
代入初始条件 uC(0) = U0，
RCsKest + Kest = 0
RCs +1 = 0 s 1
RC
i = – –UR—0 e –t / RC
例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t≥0。
解：uC(0)=15V RO= —33×—+66— +3=5
= ROC = 5×0.01= 0.05S
i(t) 3Ω
ic
0.01F
+_uc
6Ω
uC(t)=uC(0)e- —t
iL
+
U-
SR b
+
I0
iL
u 0.368I0 L
-
0
iL
t
iL
=
I0
e
–
—R
L
t=
I0
e
–
—t
u
RI0
uR=R iL = R I0 e – —t
分解法的基本步骤
(1) 把给定的网络N分解为两个明确的单口网络 N1和N2 (P114 ) ；
(2) 分别求单口网络 N1、N2 的VCR (§4-2 )；
(3) 联立VCR，求单口网络端钮上的电压 u= a 和电流 i = b ；
(4) 应用置换定理，分别求单口网络N1、N2中的电压和电流 。
网络N
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二．换路定律 由于物体所具有的能量不能跃变，因此， 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变．即 1 2 1 2 WC CuC , W L LiL 2 2 \ uC，iL不能跃变． 2. t = 0+与t = 0- 的概念 换路在 t=0时刻进行
f(t) t 0- 0 0+
0- 换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间
uc
uC'
t
uC
i
"
duC U S iC e dt R
t
t RC
0
能量关系 电源提供能量：
0
U S idt
0
US US e R
t RC dt
2 CU S
电容储存： 电阻消耗
1 2 CU S 2
R US
t
RC
+
C
0
US i Rd t ( e 0 R 1 2 CU S 2
强制分量(稳态解)
t
t0
自由分量(暂态解)
uc US U0 0 uc
全解
uC'
稳态解
uC"
t
暂态解
U0 -US
(3).两种分解方式的比较 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解) 稳态解 暂态解
t
uc U s (U 0 U S )e
物理概念清楚 (t ≥ 0)
全响应= 零状态响应 + 零输入响应
uR= Ri
duC RC uC 0 dt 一阶微分方程 uC ( 0 ) U 0
uC U 0e
uC U 0 i e R R
t RC
t0
I 0e
t RC
t RC
t0
U0 uC
电压、电流以同一指数规律衰减， 衰减快慢取决于RC乘积。
0 I0 0 i
t
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数。
适用条件：在换路瞬间，若电容电流和电感电压 为有限值
3. 初始条件 用时域分析法求解电路的动态过程实质就是 求解微分方程．因此，必须要用初始条件确定积 分系数．
初始条件：就是所求变量及其（n-1)阶导数 在换路后初瞬间的值． •独立变量：是指其变量及其初始值不能用其 它变量和初始值求出．如，uC和iL，或q和 Ψ． •非独立变量：是指其变量及其初始值可以用 独立变量和初始值求出．指电路中除uC和iL的 其他变量．
例1
+ -
i 10k 40k 10V
+ +
k iC
uC
10k 10V
+
40k uC
- -
i 10k iC
求 iC(0+)
(1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-) 10V uC(0-)=8V (2) 由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+)
+
+u –
uC
–
+
uC (0-)=U0
uC (0-)=0
uC (0-)=U0
uC U S (1 e
零状态响应
t
) U 0e
t
(t 0)
零输入响应
uc
全响应
US
U0
零状态响应
0
t
零输入响应
(2). 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)
uC U S (U 0 U S )e
当Rw=900时， =0.004s
1000 6 103 Ro i L ( t 0 ) t 0 ln1 2.77ms 0.004 ln1 US 12
§6-4 一阶电路的全响应
1、全响应： 非零初始状态的一阶电路受到激励时电路中产生的响应
t
RC 欧法 欧 库 欧 安秒 秒
伏 伏
=RC
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 小
过渡过程时间的长
uc U0 0
大 小
t
过渡过程时间的短
电压初值一定： C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
uC Ae
t RC
变化规律由电路参数和结构决定
uc U S U S e
强制分量(稳态)
t RC
U S (1 e
自由分量(暂态)
t RC
)
(t 0)
US 0 -US
US R
Ro R RW
US US I sc R RW Ro
电感电流的表达式为 设 t0 为延时时间，则有
i L (t0 )
US iL ( t ) (1 e Ro
t0 US (1 e τ
t τ
)
由此求得
t0
Ro
) 6 mA
Ro i L ( t 0 ) τ l n1 US
0-电路
+u – IS
L
iL
R
iL(0-) = IS
iC + C
2.求 uC(0+)和 iL(0+) uC(0+) = uC(0-) = RIS iL(0+) = iL(0-) = IS 3.求 iC(0+)和uL(0+)
RI S iC (0 ) I s 0 R
uC
–
0+电路 +u
L
IS – R
A f (0 ) f ( )
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
f ( ) 三要素 f (0 ) ຫໍສະໝຸດ R 大（ C不变） i=u/R
放电电流小
放电时间长
三. RL电路的零输入响应
Ro K (t 0) uo uL L uR R i
i I0
R t e L
I 0e
t L/ R
I0
i
t0
0 t uL
di uL L dt
RI 0 e
t L/ R
t0
t
-RI0
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
R1 uR1 uR 2 R2 K (t 0) uo iL uL L
iC uC
uo R1 R2
R2 uR2 (0 )
iC (0 )
R2uo R1 R2
0+时刻等效电路
例3
L +u –
L
iL
R
iC + C
求 iC(0+) , uL(0+)
IS
K(t=0)
uC
–
1.求 uC(0-)和 iL(0-) uC(0-) = RIS
L 亨 韦 伏秒 [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [秒] R 欧 安欧 安欧
I0一定： L大 R小
起始能量大 放电过程消耗能量小
放电慢 大
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值 引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数 衰减函数。
y( t ) y(0 )e
t0
Ro i L ( t 0 ) τ l n1 US
当 Rw=0 时， = 0.04s
100 6 103 Ro i L ( t 0 ) t 0 ln1 2.05 ms 0.04 ln1 US 12
2
-
)2 R d t
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量
储存在电容中。
三. RL电路的零状态响应（恒定激励）
Is
iL R uL L K (t 0) iR
求: 电感电流iL(t)
iL(0-)=0
例 图为一个继电器延时电路的模型。已知继电
器线圈参数为：R=100，L=4H，当线圈电流达到
iC
+ R IS –
uL(0+)= –RIS
§6-2 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储 能元件初始储能作用于电路产生的 响应。 二、 RC电路的零输入响应 已知 uC (0-)=U0 K(t=0)
i
C
uC
–
+
R
uR
–
+
uR uC 0
duC i C dt
非齐次线性常微分方程
齐次方程的通解 非齐次方程的特解
uC uC uC 解答形式为：
K(t=0)
R
R
i
+
C
US
+u –
uC
–
duC RC uC U S dt
uC (0-)=0
uC ：特解（强制分量） uC = US
强制分量与输入激励的变化规律有关，为电 路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量。
4.求初始值的步骤: 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求出uC(0-) 和 iL(0-)。 电容（电感）相当于开路（短路）。
2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3. 画0+等效电路。 a. 若uC(0+) 或 iL(0+) 为零，电容（电感）用 短路（开路）替代。 b.若uC(0+) 或 iL(0+) 不为零，电容（电感） 用电压源（电流源）替代。 电压源（电流源）取0+时刻值，其方向 同原假定的电容电压、 电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。