人教B版高中数学文9.4直线与圆、圆与圆的位置关系名师精编单元测试
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
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1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两
(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
2021高三数学人教B版一轮学案：直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情分析1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形．(2)弦长公式|AB|＝|x A－x B|＝.知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．两圆相交时公共弦的方程求法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)2．小题热身(1)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(D)A．±B．±C．±D．±1解析：将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.(2)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B)A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．(3)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围为[－3,1]．解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.(4)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2.解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.(5)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为2.解析：由得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.考点一直线与圆的位置关系命题方向1位置关系的判断【例1】在△ABC中，若a sin A＋b sin B－c sin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】因为a sin A＋b sin B－c sin C＝0，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.【答案】 A命题方向2弦长问题【例2】(1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.B．1 C. D.(2)(2020·海口一中模拟)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为() A．4πB．2πC．9πD．22π【解析】(1)因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.(2)易知圆C：x2＋y2－2ay－2＝0的圆心为(0，a)，半径为.圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝，由直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，|AB|＝2，可得＋3＝a2＋2，解得a2＝2，故圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π，故选A.【答案】(1)D(2)A命题方向3切线问题【例3】已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∴|MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.∴x＝3时，切线长为1.方法技巧(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法①几何法：利用d与r的关系.②代数法：联立方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.1．(方向1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．2．(方向2)(2020·昆明市教学质量检测)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(D)A．1 B．±1C. D．±解析：圆的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0,3)，半径为，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝，所以圆心C(0,3)到直线y＝ax的距离d＝×＝，所以＝⇒2＝⇒a＝±.3．(方向2)(2020·成都市第二次诊断性检测)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB长度最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，a＝3.4．(方向3)若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b 的取值范围是(D)A．(－1,1] B．{－}C．{－，2} D．(－1,1]∪{－}解析：由x＝知，曲线表示半圆，如图所示，当－1<b≤1时，直线y ＝x＋b与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时＝1(b<－1)，解得b＝－.考点二圆与圆的位置关系命题方向1位置关系判定【例4】分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．【解】将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.从而|C1C2|＝＝5.当|－1|<5<＋1，即4<<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切；当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．命题方向2公共弦问题【例5】已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．【解】(1)证明：由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2.方法技巧(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.1．(方向1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．相离解析：∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<|MN|<r1＋r2，∴两圆相交，故选B.2．(方向2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为x－2y＋6＝0.解析：两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.。
最新人教B版高中数学必修二同步练习：直线与圆的位置关系(一) Word版含答案
人教 B 版 数学 必修 2：直线与圆的位置关系（一）一、选择题1、若 P (2, 1)(x 1) y 25 为圆 2 2 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是()y 3 0 y 1 02x y 3 0 2x y 5 0A. x C. xB. D. 2、圆 2 0 和圆 2 2 4y0 的位置关系是（ ）x 2 2 y x x y A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定π2 3、圆 2x ＋2y ＝1 与直线 xsin θ ＋y －1＝0（θ ∈R ，θ ≠ ＋k π ，k ∈Z ）的位置关系是（）2 2 A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4、设直线 2x －y － 3 ＝0 与 y 轴的交点为 P ，点 P 把圆（x ＋1）＋y ＝25 的直径分为两段，2 2 则其长度之比为（） 7 3 37 4 47 5 57 66A ． 或7B ． 或7C ． 或7D ． 或7 15 245、以点 ( 3,0)、 (0, 3)、 ( , ) 为顶点的三角形与圆 y R R0) 没有公( A B C x 2 2 2 7 7共点，则圆半径 R 的取值范围是（ ）3 10 10 3 8973 10 3 89, ) A ．(0,) ( ,)B ． (10 72 22 2 3C ． (0, ) (3,)D ． ( ,3)3 二、填空题6、直线 x ＋2y=0 被曲线 x ＋y －6x －2y －15=0 所截得的弦长等于________________. 2 27、以点(1，2)为圆心，且与直线 4x+3y -35=0 相切的圆的方程是________________.8、集合 A ＝｛（x ，y ）|x ＋y =4｝，B ＝｛（x ，y ）|（x －3） ＋（y －4） =r ｝，其中 r ＞0，若2 2 2 2 2 A ∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的值是________________. 9、一束光线从点 A （－1，1）出发经 x 轴反射到圆 C ：（x －2） ＋（y －3） ＝1 的最短路程 2 2 是________________.10、已知三角形三边所在直线的方程为y ＝0，x ＝2，x ＋y －4－ 2 ＝0，则这个三角形内切 圆的方程为________________. 三、解答题11、求过点（3，1），且与圆( 1)2y4 相切的直线的方程。
高中数学第二章平面解析几何圆与圆的位置关系课后习题新人教B版选择性必修第一册
2.3.4 圆与圆的位置关系A级必备知识基础练1.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是( )A.内切B.相交C.内切或内含D.外切或外离2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为( )A.1B.2C.3D.43.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为( )A.1B.2C.√3D.2√34.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是( )A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=05.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是( )A.r<√5+1B.r>√5+1C.|r-√5|≤1D.|r-√5|<16.已知两圆(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|= .7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是 .8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值为 .9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2√2,求圆O2的方程.10.已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.B级关键能力提升练11.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是( )A.1B.-3C.5D.-712.(多选题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( )A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0C.公共弦AB的长为√22D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为√22+113.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=8与圆C2:x2+y2+2x+y-a=0相交于A,B两点.若圆C1上存在点P,使得△ABP为等腰直角三角形,则实数a的值组成的集合为 .14.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为 .15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是 .16.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.C级学科素养创新练17.已知圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是( )A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆C.过P1且与圆C1圆心相同的圆D.过P2且与圆C1圆心相同的圆18.(多选题)设有一组圆C k:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个结论中正确的有( )A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点2.3.4 圆与圆的位置关系1.D 两圆的圆心距为d=√(1-0)2+(-3-0)2=√10,两圆的半径之和为r+4,因为√10<r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.B 两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1)2+ (y+1)2=9,圆心C2(-1,-1),半径为3,圆心距|C1C2|=√2,|4-3|<√2<|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.D 两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为y=1,圆x2+y2=4的半径R=2,圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,则弦长l=2√R2-d2=2√3.故选D.4.A 设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,λ≠-1,再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.5.C 由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为√(-1)2+22=√5.∵两圆有公共点,∴|r-1|≤√5≤r+1,∴√5-1≤r≤√5+1,即-1≤r-√5≤1,∴|r-√5|≤1.6.2√2 由题意可知直线MN的方程为(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即l MN:x-y+2=0,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d=2√=√2,所以|MN|=2√r2-d2=2×22-(√2)2=2√2.7.a2+b2>3+2√2 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),√2和(0,b),1.因为两圆外离,所以√a2+b2>√2+1,即a2+b2>3+2√2.8.43 ∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆.又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,则d=√2即3k2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k的最大值为43.9.解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=√2,所以|O1H|=√r12-|AH|2=√4-2=√2.由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=024√2√2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.10.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为√11和√61-m.两圆圆心之间的距离d=√(5-1)2+(6-3)2=5.(1)当两圆外切时,5=√11+√61-m,解得m=25+10√11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径√11小于两圆圆心间距离5,故只有√61-m−√11=5,解得m=25-10√11.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2√(√11)2-|4×1+3×3-23|√222=2√7.11.A 圆C 的方程为(x-3)2+y 2=1,则圆心C (3,0).设y 轴上一点A (0,b ),当以A 为圆心,半径为3的圆与圆C 有公共点时,满足3-1≤|CA|≤3+1,即2≤√(0-3)2+(b -0)2≤4,所以2≤√9+b 2≤4,化简得b 2≤7,∴-√7≤b ≤√7,∴A 的纵坐标可以是1.12.ABD 对于A,由圆O 1:x 2+y 2-2x=0与圆O 2:x 2+y 2+2x-4y=0的交点为A ,B ,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB 所在直线方程为x-y=0,故A 正确;对于B,圆O 1:x 2+y 2-2x=0的圆心为(1,0),又k AB =1,则线段AB 中垂线的斜率为-1,即线段AB 中垂线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B 正确;对于C,圆O 1:x 2+y 2-2x=0,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离d=√√22,半径r=1,所以|AB|=2√1-(√22)2=√2,故C 不正确;对于D,P 为圆O 1上一动点,圆心O 1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=√22,半径r=1,即P 到直线AB距离的最大值为√22+1,故D 正确.13.{8,8-2√5,8+2√5} 由题知,直线AB 为2x+y+8-a=0.当∠PAB=90°或∠PBA=90°时,设C 1到AB 的距离为d.因为△ABP 为等腰直角三角形,所以d=12|AB|,即d=√8-d 2,所以d=2,所以|8-a |√222,解得a=8±2√5.当∠APB=90°时,AB 经过圆心C 1,则8-a=0,即a=8.14.4 ∵P (t ,t-1),∴P 点在直线y=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|,设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.15.(x-115)2+(y+85)2=1 当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=√(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知a-14-1=25,所以a=115,b-0-4-0=25,所以b=-85,所以所求圆的方程为(x-115)2+(y+85)2=1.16.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),半径为√5,圆C2:x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径为1.若过圆C1的圆心(0,0)与圆C2相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=√21,整理得3k2=1,解得k=±√3 3,所以直线方程为y=±√3 3x.若直线斜率不存在,直线不与圆C2相切.综上所述,直线方程为y=±√3 3x.(2)圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,所以|AB|=2(√5)2-22=2.17.D 由题意,圆方程C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.18.BD 根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项B正确;考虑两圆的位置关系,圆C k:圆心(k-1,3k),半径为r=√2k2,圆C k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为R=√2(k+1)2,两圆的圆心距d=√(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=√10,两圆的半径之差R-r=√2(k+1)2-√2k2=2√2 k+√2,任取k=1或2时,(R-r>d),C k含于C k+1之中,选项A错误;若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选项D正确.。
直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材必修(解析版)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系【题组一 直线与圆的位置关系】1．（2020·开封市第二十五中学高一期末）若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或1 【答案】D【解析】由题意，圆心坐标为(,1)m 0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，=1m =或3m =-．故选：D ．2．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）由点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，若反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，则光线l 所在的直线方程为（ ）A ．4330x y --=B ．4330x y ++=C ．3430x y +-=D ．3430x y -+=【答案】BC【解析】已知圆的标准方程是22(2)(2)1x y -+-=，它关于x 轴的对称圆的方程是22(2)(2)1x y -++=， 设光线l 所在直线的方程是3(3)y k x -=+（其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心(2,2)C '-到这条直线的距离等于1， 即d =21225120k k ++=， 解得：34k =-，或43k =-． 故所求的直线方程是33(3)4y x -=-+，或43(3)3y x -=-+， 即3430x y +-=，或4330x y ++=．故选：BC ．3．（2020·江苏泰州.高一期末）过点P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___．40y +-=【解析】因为点P 在圆上，则过圆上点的切线方程为0044xx yy y +=+=40y +-=【题组二 弦长】1．（2020·昆明市官渡区第一中学高二开学考试（理））已知圆()22:16C x y -+=，在所有过点()2,1P -的弦中，最短的弦的长度为（ ）A．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】圆C 的圆心为()1,0，半径为r =由于()2,1P -，()()2221126-+-=<，所以P 在圆内.在所有过P 点的弦中，最短的弦是垂直于PC 的弦，PC ==所以最短弦长为4==.故选：B2．（2020·勃利县高级中学高一期末）若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为这个圆的方程是（ ）A ．()()22212x y -++=B ．()()22218x y -++= C ．()()22214x y -++=D ．()()222112x y -++= 【答案】C。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系Word
§ 9.4直线与圆、圆与圆的地点关系考纲显现 ?1.能依据给定直线、圆的方程判断直线与圆的地点关系；能依据给定两个圆的方程判断两圆的地点关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步认识用代数方法办理几何问题的思想．考点 1直线与圆的地点关系直线与圆的地点关系(1)三种地点关系： ________、 ________、 ________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：22＝r 2上一点0，y0002.①过圆 x＋ y P( x) 的圆的切线方程为x x＋ y y＝r②过圆 (x －a)2＋ (y－ )2＝2上一点(0，0)的圆的切线方程为(x0－)(－a) ＋(y－b r P x y a xb)( y－b)＝ r2.22＝r 2外一点0000③过圆 x＋ y M( x，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x＋ y y＝r 2.答案： (1)订交相切相离(2) ①订交相切相离②订交 2r 2－ d2相切相离(1)[教材习题改编 ] 圆(x －1) 2＋(y＋2) 2＝6与直线 2 ＋－ 5＝0的地点关系是 ()x yA．相切B．订交但直线可是圆心C．订交过圆心D．相离答案： B分析：由题意知，圆心 (1 ，－ 2) 到直线2x＋y－ 5＝ 0 的距离d＝|2 ×1－ 2－ 5|＝5< 6，22＋ 1且 2×1＋ ( － 2) －5≠0，所以直线与圆订交但可是圆心．(2)[教材习题改编 ] 圆x2＋y2－ 4x＝ 0 在点P(1 ，3) 处的切线方程为 ________．答案： x－3y＋2＝0分析：圆的方程为 ( x－ 2) 2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0) ，半径为2，点P在圆上．易知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝ k( x－1)，即 kx－ y－k＋3＝0，|2 k－k＋ 3|3∴k2＋1＝ 2，解得k＝3，3∴切线方程为 y－3＝3( x－1)，即 x－3y＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点 (2,3) 作圆x2＋y2＝ 4 的切线，则切线方程为________．答案： 5x－12y＋ 26＝0 或x－ 2＝ 0分析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x－2＝0.当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝ k( x－2)，即 kx － y＋3－2k＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3 － 2k|＝ 2，k2＋15解得 k＝12，5所以切线方程为y－3＝12( x－2)，即 5x－ 12y＋26＝ 0.综上可知，切线方程为5x－ 12y＋ 26＝ 0 或x－ 2＝0.[ 典题1](1)[2017·湖北七市联考] 将直线x＋ y－1＝绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°获得直线l，则直线l 与圆( x＋3)2＋y2＝4的地点关系是()A．订交 B ．相切C．相离 D ．订交或相切[ 答案]B[ 分析]依题意得，直线 l的方程是 y＝tan 150°(x－1)，即 x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线 l| －3－ 1|的距离 d＝＝2，所以该直线与圆相切．3＋ 1(2)[2017 ·陕西西安一模 ] 直线 ( a＋ 1) x＋( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a∈ R) 与圆x2＋y2－ 2x＋ 2y－ 7＝ 0的地点关系是 ()A．相切 B ．订交C．相离 D ．不确立[ 答案]B[ 分析]解法一： x2＋ y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为( x－ 1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 9，故圆心坐标为 (1 ，－ 1) ，半径r＝ 3，a＋－－＋ 2 ||2a＋ 2|圆心到直线的距离d＝a＋2＋a－2＝2a2＋2.224a2＋ 8a＋ 47a2－ 4a＋ 7再依据 r － d ＝9－2a2＋2＝a2＋1，而 7a2－ 4a＋ 7＝0 的鉴别式＝ 16－ 196＝－ 180＜0，故有 r 2＞ d2，即 d＜ r ，故直线与圆订交．解法二：由 ( a＋ 1) x＋( a－ 1) y＋2a＝ 0( a∈ R) ，整理得 x－ y＋ a( x＋ y＋2)＝0，x－ y＝0，x＝－1，则由解得x＋ y＋2＝0，y＝－1，即直线 ( a＋ 1) x＋ ( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a∈ R) 过定点 ( － 1，－ 1) ，又 ( － 1) 2＋ ( － 1) 2－2×( －1)＋2×( － 1) －7＝－ 5＜ 0，则点 ( － 1，－ 1) 在圆x2＋y2－ 2x＋ 2y－ 7＝0 的内部，故直线 ( a＋ 1) x＋ ( a－ 1) y＋ 2a＝ 0( a ∈R) 与圆x2＋y2－ 2x＋2y－ 7＝0 订交．(3)已知直线 l ： y＝ kx＋1，圆 C：( x－1)2＋( y＋1)2＝12.①求证：无论 k 为什么实数，直线l和圆 C 总有两个交点；②求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．解法一：① [ 证明 ]y ＝ kx ＋ 1，y由x －2＋y ＋消去 ，得2＝ 12( k 2 ＋1) x 2－ (2 －4k ) x － 7＝ 0，由于 ＝ (2 － 4k ) 2＋ 28( k 2＋ 1)>0 ，所以无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．②[ 解] 设直线与圆交于( 1， 1)， ( 2 ， 2)两点，A x yB xy则直线 l 被圆 C 截得的弦长 | AB | ＝2121＋ k | x － x |8－ 4k ＋ 11k 24k ＋ 3＝21＋ k 2＝ 211－ 1＋k 2，4k ＋ 32令 t ＝ 1＋ k 2，则 tk － 4k ＋ ( t －3) ＝ 0，3 当 t ＝ 0 时， k ＝－ 4； 当 t ≠0时，由于 k ∈R ，所以 ＝ 16－ 4t ( t －3) ≥0，解得－ 1≤ t ≤4，且 t ≠0，故 t ＝ 4k ＋ 3|最小为 2 7.2的最大值为 4，此时 |1＋kAB则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.解法二： ①[ 证明 ] 由于无论 k 为什么实数， 直线l总过点 P (0,1) ，而| PC |＝ 5<2 3＝ r ， 所以点 P (0,1) 在圆 C 的内部，即无论 k 为什么实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P . 所以无论k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．②[ 解]由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1) 的弦，只有与 PC ( C 为圆心 ) 垂直时才最短，而此时点 P (0,1) 为弦 AB 的中点，由勾股定理知， || ＝ 2 12－ 5＝ 2 7，AB即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.[ 画龙点睛 ]判断直线与圆的地点关系时，若双方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点 2 切线、弦长问题[ 教材习题改编 ] 过点P(1,0)的直线l被圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为________．答案：1或－1分析：点 P(1,0)在圆 O上，而圆O的半径为1，由图 ( 图略 ) 可知直线l 的斜率为 1 或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线 x＋3y－ 2＝ 0 与圆x2＋y2＝4 订交于A，B两点，则弦AB的长度等于 ________．答案： 23分析：由题意可知，圆心(0,0) 到直线x＋ 3 －2＝ 0 的距离为|0＋3×0－ 2| ＝1，312＋2则| | ＝ 2 22－12＝2 3.AB2．圆的切线方程问题：代数法或数形联合法．过点 P(－1,0)作圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 的切线，则切线方程是 ________．3答案： y＝±3 ( x＋1)分析：作出图形 ( 图略 ) ，可知过点P( － 1,0)的圆的切线的倾斜角为 30°或 150°，所以切线方程为y ＝±3x＋1).(3[典题 2](1) 已知圆C过点 ( －1,0) ，且圆心在x轴的负半轴上，直线l ：y＝ x＋1被该圆所截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[ 答案 ] x－y＋ 3＝ 0[ 分析]设圆心为 ( a, 0)( a＜ 0) ，则圆的半径r＝| a＋ 1| ，圆心 ( a,| a＋ 1|，0) 到y＝x＋ 1 的距离为2由截得的弦长为22，得 | a＋1|2| a＋ 1| 2＝＋ 2，解得a＝－ 3，2所以过圆心且与l平行的直线为y－0＝x＋3，即 x－ y＋3＝0.(2) 已知点P(2＋ 1,2 － 2) ，点M(3,1)，圆 C：( x－1)2＋( y－2)2＝4.①求过点 P的圆 C的切线方程；②求过点 M的圆 C的切线方程，并求出切线长．[ 解] 由题意，得圆心 (1,2)，半径r ＝2.C①∵ ( 2＋1－1) 2＋(2 － 2－2) 2＝4，∴点 P在圆 C上．又 k PC＝2－ 2－2＝－ 1，2－1－11∴切线的斜率k＝－＝ 1.k PC∴过点 P 的圆 C的切线方程是y－(2－2) ＝1×[x－ ( 2＋ 1)] ，即x－y＋1－ 2 2＝ 0.②∵ (3 － 1) 2＋(1 － 2) 2＝ 5>4，∴点 M在圆 C外面．当过点 M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即 x－3＝0.又点 C(1,2)到直线 x－3＝0的距离 d＝3－1＝2＝r ，即此时知足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝ k( x－3)，即 kx－ y＋1－3k＝0，| k －2＋ 1－3k|3则圆心 C到切线的距离 d＝k2＋1＝ r ＝2，解得 k＝.43∴切线方程为y－1＝4( x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆 C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵| |＝－2＋－2＝ 5，MC∴过点 M的圆 C的切线长为| MC|2－r2＝5－ 4＝1.[ 画龙点睛 ] 1. 圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为 y－ y0＝ k( x－ x0)，与圆的方程构成方程组，消元后获得一个一元二次方程，而后令鉴别式＝0从而求得k.(2)几何法：设切线方程为 y－ y0＝ k( x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，而后令 d＝ r ，从而求出k.[ 提示]00222上，则过点M的圆的切线方程为002若点 M( x ， y )在圆 x ＋ y ＝ r x x＋ y y＝r . 2．弦长的两种求法(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后获得一个一元二次方程．在鉴别式＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，依据弦长公式求弦长．(2) 几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2.[ 提示 ] 代数法计算量较大，我们一般采纳几何法.1.[2017 ·重庆调研 ] 过点 ( － 2,3) 的直线 l 与圆 x 2＋y 2＋ 2x － 4y ＝ 0 订交于 A ，B 两点，则| AB | 获得最小值时 l 的方程为 ()A ．x － y ＋ 5＝ 0B ． x ＋ y － 1＝ 0C ．x － y － 5＝ 0D ． 2x ＋ y ＋ 1＝0答案： A分析： 由题意，得圆的标准方程为( x ＋ 1) 2＋( y － 2) 2＝5，则圆心 C ( － 1,2) ．3－ 2过圆心与点 ( － 2,3) 的直线 l 1 的斜率为 k ＝＝－ 1.－ 2－－当直线 l 与 l 1 垂直时， | AB | 获得最小值，故直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y － 3＝ x －( － 2) ，即 x － y ＋5＝ 0.2．过原点 O 作圆 x 2＋ y 2－ 6x － 8y ＋ 20＝ 0 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段 PQ的长为 ________．答案： 4分析： 将圆的方程化为标准方程( x － 3) 2＋ ( y － 4) 2＝ 5，则圆心为 (3,4)，半径为 5.由题意可设切线方程为y ＝ kx ，则圆心 (3,4) 到直线 y ＝ kx 的距离等于半径，|3 k － 4| 1 11 即 k 2＋ 1 ＝ 5，解得 k ＝ 2或 k ＝ 2 ，1 11则切线方程为 y ＝ 2x 或 y ＝ 2 x .P ， Q 的坐标分别为 (4,2) 4， 22联立切线方程与圆的方程，解得两切点，55 ，由两点间的距离公式得 | PQ | ＝ 4.考点 3圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系设圆地点关系222222O1：( x－a1)＋ ( y－b1) ＝r1( r1>0) ，圆O2：( x－a2)＋ ( y－b2) ＝r2( r2>0).方法几何法：圆心距d 与 r 1， r2代数法：两圆方程联立构成方的关系程组的解的状况外离________________________________外切________________________________订交________________________________内切________________________内含________________________答案： d>r＋r2无解d＝ r＋r2一组实数解| r－r|< d<r＋r2两组不一样的实数解11121d＝|r－r|(r≠r)一组实数解0≤ <|r－r|(r≠r)无解12121212(1)[ 教材习题改编] 圆O1： ( x＋2) 2＋y2＝ 4 与圆O2： ( x－2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 9 的地点关系为________．答案：订交分析：两圆圆心分别为O1(－2,0)， O2(2,1)，半径长分别为r 1＝2， r 2＝3.∵| 1 2|＝ [2－－2＋－2＝ 17，OO3－2< 17<3＋ 2，∴两圆订交．(2)[ 教材习题改编] 圆x2＋y2－ 4＝ 0 与圆x2＋y2－ 4x＋ 4y－ 12＝0 的公共弦长为 ________．答案：22分析：由x2＋ y2－4＝0，x2＋ y2－4x＋4y－12＝0，得 x－ y＋2＝0.又圆 x2＋ y2＝4的圆心到直线x－ y＋2＝0的距离为2＝ 2.2由勾股定理得弦长的一半为4－ 2＝ 2，所以所求弦长为 2 2.两圆相切：注意是内切仍是外切．若两圆 x2＋ y2＝1与( x－ a)2＋( y＋ a)2＝4( a>0)相切，则 a＝________.2 32答案：2或2分析：两圆的圆心距为2a，半径分别为r 1＝1， r 2＝2.2当两圆内切时，2a＝ 2－ 1＝1，得a＝2；3 2当两圆外切时，2a＝ 2＋ 1＝3，得a＝2 .[ 典题 3]已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为 ()6 3A. 2B.29C.4D． 23[ 答案]C[ 分析]由圆 C 与圆 C 相外切，可得12a＋ b2＋－ 2＋2＝ 2 ＋ 1 ＝ 3 ，即 ( a＋b) 2＝ 9 ，依据基本 ( 均值 ) 不等式可知，a＋b 29ab≤2＝4，当且仅当 a＝ b 时等号建立．应选 C.[题点发散 1]把本例中的“外切”变成“内切”，求ab 的最大值．解：由 C1与C2内切，得a＋ b2＋－2＋2＝1.2a＋ b 21即( a＋b)＝ 1，又ab≤2＝4，当且仅当a＝b 时等号建立，1故 ab 的最大值为.4[ 题点发散2]把本例条件“外切”变成“订交”，求公共弦所在的直线方程．解：由题意得，把圆C1，圆 C2的方程都化为一般方程．圆 C1：x2＋ y2－2ax＋4y＋ a2＝0，①圆 C2：x2＋ y2＋2bx＋4y＋ b2＋3＝0，②由②－①，得 (2 a＋ 2b) x＋ 3＋b2－a2＝ 0，即(2 a＋ 2b) x＋ 3＋b2－a2＝ 0 为所求公共弦所在直线方程．[ 题点发散3]将本例条件“外切”变成“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋ y－1＝ 0 与圆 ( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝ 1 的地点关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故a ＋ b2＋ － 2＋2>3.∴ ( a ＋ b ) 2>9，即 a ＋ b >3 或 a ＋ b <－ 3.∴圆心 ( a ，b ) 到直线 x ＋ y － 1＝0 的距离 d ＝ |a ＋b － 1|>1，2∴直线 x ＋ y － 1＝ 0 与圆 ( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝1 相离．[ 画龙点睛 ]1. 办理两圆地点关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采纳代数法．2．若两圆订交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差获得 .1. 圆 ( x ＋ 2) 2＋y 2＝ 4 与圆 ( x － 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 9 的地点关系为 ()A ．内切B ．订交C ．外切D ．相离答案： B分析： 两圆圆心分别为 ( － 2,0) 和 (2,1) ，半径分别为 2和 3，圆心距 d ＝ 42＋1＝ 17.∵3－ 2<d <3＋ 2，∴两圆订交．2．过两圆 x 2＋ y 2＋ 4x ＋ y ＝－ 1， x 2＋ y 2＋ 2x ＋ 2y ＋ 1＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程为 ________．＋326 24答案： x 5 ＋ y＋＝5522x ＋ y ＋ 4x ＋y ＝－ 1，①1 ①－②得2x － y ＝ 0，代入①得 x ＝－或－ 1，51 2，( －1，－ 2)． ∴两圆两个交点为－ 5，－ 512， ( － 1，－ 2) 为端点的线段为直径的圆时，面积最小．过两交点的圆中，以－5，－ 5 ∴该圆圆心为 －3，－6，5 5－1＋1 2＋ －2＋ 2 22 555半径为＝，2532624圆的方程为 x ＋ 5 ＋ y ＋5 ＝ 5.[ 方法技巧 ]1. 圆的弦长的常用求法l 222(1) 几何法：求圆的半径为r ，弦心距为 d ，弦长为 l ，则 2 ＝r － d ； (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：＝＋ 21－2＝＋k 2x ＋x2| AB |1k | x－ 4x x ].x |1 21 22．两圆的地点关系与公切线的条数：①内含：0 条；②内切： 1 条；③订交： 2 条；④外切： 3 条；⑤外离： 4 条．3．当两圆订交时，两圆方程( x 2， y 2 项系数同样 ) 相减即可得公共弦所在直线的方程．[ 易错防备 ]1. 求过一点的圆的切线方程时，第一要判断此点能否在圆上，而后设出切线方程．注意：斜率不存在的情况．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程能否正确外，还要考虑斜率不存在的状况，以防漏解．真题操练集训1．[2016 ·新课标全国卷Ⅱ ] 圆x 2＋ y2－2 －8 y ＋ 13＝0 的圆心到直线ax ＋ －1＝ 0 的距xy离为 1，则 a ＝ ()43A ．－ 3B ．－ 4 C. 3D ． 2答案： A分析： 由已知可得，圆的标准方程为(x － 1) 2＋ ( － 4) 2＝ 4，故该圆的圆心为 (1,4) ，由点y| a ＋ 4－ 1|4到直线的距离公式得d ＝a 2＋ 1 ＝ 1，解得 a ＝－ 3，应选 A.2．[2015 ·新课标全国卷Ⅱ ] 过三点 A (1,3) ，B (4,2) ，C (1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点，则| MN |＝()A ．2 6B ． 8C ．4 6D ． 10答案： C分析： 设圆的方程为 x 2 ＋y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，D＋3E＋ F＋10＝0，则 4D＋ 2E＋F＋ 20＝ 0，D－7E＋ F＋50＝0，D＝－2，＝ 4，解得 EF＝－20.∴圆的方程为 x2＋ y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2 6，∴M(0，－2＋26) ，N(0 ，－ 2－ 2 6) 或M(0 ，－ 2－26) ，N(0 ，－ 2＋26) ，∴ | MN|＝4 6，应选 C.3．[2015 ·重庆卷 ] 已知直线l ：x＋ ay－1＝0( a∈R)是圆 C： x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4， a)作圆 C的一条切线，切点为B，则| AB|＝()A．2B．42C．6 D ．2 10答案： C分析：∵直线 x＋ ay－1＝0是圆 C： x2＋ y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心 C(2,1)在直线 x＋ ay－1＝0上，∴ 2 ＋a－ 1＝ 0，∴a＝－ 1，∴A(－4，－1)．∴| AC| 2＝ 36＋4＝ 40.又 r ＝2，∴| AB|2＝40－4＝36.∴| AB| ＝6.4．[2016 ·新课标全国卷Ⅲ ] 已知直线l：mx＋y＋ 3m－3＝ 0与圆 x2＋ y2＝12交于 A，B两点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D两点．若| AB|＝23，则 | CD| ＝________.答案： 4分析：设圆心到直线l ： mx＋ y＋3m－3＝ 0 的距离为d，则弦长 | AB| ＝ 2 12－d2＝ 23，得 d＝，即 |3 m－ 3|＝，解得 m＝－3，则直线 l ：x－3y＋＝，数形联合可得|CD ＝323360|m＋1| AB|cos 30 °＝4.5．[2015 ·江苏卷 ] 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝ 0( m∈R) 相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案： ( x－1) 2＋y2＝ 2分析：直线 mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点 (2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读圆与线性规划的综合应用2x－y＋2≥0，[ 典例]假如点P 在平面地区x－2y＋1≤0，上，点Q在曲线x2＋( y＋2)2＝1上，x＋ y－2≤0那么 | PQ|的最小值为 ________．[ 审题视角 ]求解此题应先画出点P 所在的平面地区，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转变成圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出| PQ| 的最小值．2x－y＋2≥0，[ 分析]由点 P 在平面地区x－2y＋1≤0，上，画出点 P所在的平面地区．x＋y－2≤0由点在圆x 2＋(y＋ 2) 2＝1上，画出点Q所在的圆，如下图．Q由题意，得 | PQ| 的最小值为圆心(0 ，－ 2) 到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径 1.又圆心 (0，－ 2) 到直线x－ 2y＋1＝ 0 的距离为|0 －－＋ 1|5，12＋ 22＝此时垂足 ( －1,0) 在知足条件的平面地区内，故| PQ| 的最小值为5－ 1.[ 答案] 5－1方法点睛此题考察线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考察考生综合应用知识解决问题的能力．此题的突出特色就是将圆与线性规划问题有机地联合起来，为我们显现了数学知知趣互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特别性，其实是对数形联合思想的提高，即利用线性或非线性函数的几何意义，经过作图来解决最值问题．提示达成课时追踪检测( 五十 )。
高一数学下册 第四单元 直线、圆的位置关系知识点及练习题(含答案)
直线、圆的位置关系1. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断2. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随第5题图 第6题图 第7题图 8．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ）BPB3题图） 4题图）A. 20B. 30C. 40D. 213510．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、填空题：(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题 15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P =35°，则∠Q=________．三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．APDBABCD E OBDACEFABCDEOABCDQP DCBAP18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．19．AB 、CD 是两条平行弦，BE//AC ，交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于求证：AC 2=PC ·CE ．20．点P 为圆外一点，M 、N 分别为AB ⌒、CD ⌒的中点，求证：∆PEF 是等腰三角形．21．ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点，求证：BE ·AD=BC22．已知∆ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BC CD 22=．23．如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 = CE 2＋DA ·DE ．BEAB D C参考答案基础达标验收卷 一、选择题：二、填空题：1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题：1. 解：如右图，延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5.∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ， ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°. 又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ，∴∠4=∠2.∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°. ∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ . ∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°. ∴∠CBA =90°.（2）∵PC B PC B C BA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA . 5.解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可. （2）∵∠B =30°，∴∠A=∠BGF =60°. ∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC .N又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等.2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠F AB ，⑤∠EAB =∠F AB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B . ∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可 求得MA 的长.∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理， 得DA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE .（2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE .∴AE BE BA DB =，AE BEAC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF.。
直线与圆的位置关系+高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当且仅当 <− 2 或 > 2 时， ∆<0 ，方程③没有实数解，此时直线与
圆没有公共点，直线与圆相离.
（方法二）因为圆的半径 = 2，圆心 (0,0) 到直线 = + 的距离 为d |b| .
解：（方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为 = 1 ，但圆心 (0,0)
到 = 1 的距离为 1 ，不等于圆的半径 5，矛盾.
因此切线的斜率一定存在，设为 ，从而切线方程为 − 2 = ( − 1)，
即 − +2 − = 0， 从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知 | 2 k | 5 ，解得
所以
1+ 2+
1 +2 = 2 +2 =
0, 0,
第二式减去第一式可得
2 − 1 + 2 − 1 =0，
因此 2 − 1 =− 2 − 1 ，从而| |2 = 2 − 1 2 + − 2 − 1 2 = 2 2 − 1 2.
又因为从方程组
+ +2 = 0, 2 + 2 = 9 中消去
类似地，可以得到直线与圆相切和相离的充要条件.
例 1 已知直线 = + ，圆 2 + 2 = 2，分别求直线与圆相交、相切、相 离时 的取值范围.
= +, 解：（方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组 2 + 2 = 2, 从方程组中消去 ，整理得 2 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ，③ 这个方程的判别式 Δ = (2 )2 − 4 × 2 2 − 2 =− 4( + 2)( − 2). 当且仅当 −2 < < 2 时，Δ > 0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与 圆有两个公共点，直线与圆相交；
新课改地区版高考数学一轮复习核心素养测评四十九直线与圆圆与圆的位置关系新人教B版
核心素养测评四十九直线与圆、圆与圆的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每题5分，共25分)1.(2022·桂林模拟)圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,那么圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.2.假设圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,那么m= ( )A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.3.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,那么弦AB的长为( )A. B.2 C.2 D.4【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为的直线l为y-1=x,即x-y+1=0,因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:x-y+1=0的距离d==1,所以直线被圆截得的弦长l=2=4.4.假设直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,那么点P(b,a)与圆C的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,那么>1,即a2+b2<1,所以点P(b,a)在圆C内部.5.(多项选择)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.假设直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,那么实数k的取值可以是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选AB.圆C的方程为x2+y2-4x=0,那么圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A、B,那么由题意可得四边形PACB为正方形,故有PC=R=2,所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2,即≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,所以实数k的取值可以是1,2.二、填空题(每题5分,共15分)6.(2022·合肥模拟)圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,那么ab的最大值为________.【解析】由得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤.答案:7.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是________.【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.答案:2x+y+5=0或2x+y-5=08.(2022·杭州模拟)直线l:x+y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为2,那么圆心C到直线l的距离是________,m=________.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心C(1,0),半径r=2,根据几何法得:d===1,所以|1-m|=2,得m=-1或3.答案:1 -1或3。
学年新教材高中数学第二章平面解析几何..直线与圆的位置关系训练含解析新人教B版选择性必修第一册
第二章平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)2+y 2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切(x-1)2+y 2=1,圆心为(1,0),半径r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m (x+y )=x+3y+2,由{x +y =0,x +3y +2=0,得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1), 代入(x-1)2+y 2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.2.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y 2=1所截得的弦长为( )A.√32B.1C.√3D.2√3,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l ,其方程为y=tan30°(x-1),即y=√33(x-1),变形可得x-√3y-1=0,圆(x-2)2+y 2=1的圆心为(2,0),半径r=1,设直线l 与圆交于点A ,B ,圆心到直线的距离d=√1+3=12,则|AB|=2×√1-14=√3,故选C . 3.已知圆x 2+y 2=9的弦过点P (1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )A.y-2=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=0,该弦所在直线与过点P (1,2)的直径垂直.已知圆心O (0,0),所以过点P (1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.4.若直线x-y=2被圆(x-a )2+y 2=4所截得的弦长为2√2,则实数a 的值为( )A.0或4B.0或3C.-2或6D.-1或√3,可知圆心坐标为(a ,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2√2,所以圆心到直线的距离d=√22-(2√22)2=√2.又d=√2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.5.已知直线l :3x+4y+m=0(m>0)被圆C :x 2+y 2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍,则m 等于( )A.6B.8C.11D.9C :x 2+y 2+2x-2y-6=0可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为2√2,由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m |5=2.∵m>0,∴m=9.6.直线x+y+1=0被圆C :x 2+y 2=2所截得的弦长为 ;由直线x+y+3=0上的一点向圆C 引切线,切线长的最小值为 .√6 √102C :x 2+y 2=2的圆心坐标为C (0,0),半径r=√2.圆心C 到直线x+y+1=0的距离d=√2=√22. ∴直线x+y+1=0被圆C :x 2+y 2=2所截得的弦长为2√(√2)2-(√22)2=√6.圆心C 到直线x+y+3=0的距离d 1=√2=3√22,则由直线x+y+3=0上的一点向圆C 引切线,切线长的最小值为√(3√22)2-(√2)2=√102. 7.已知对任意实数m ,直线l 1:3x+2y=3+2m 和直线l 2:2x-3y=2-3m 分别与圆C :(x-1)2+(y-m )2=1相交于A ,C 和B ,D ,则四边形ABCD 的面积为 .,直线l 1:3x+2y=3+2m 和直线l 2:2x-3y=2-3m 交于圆心(1,m ),且互相垂直,∴四边形ABCD 是正方形,∴四边形ABCD 的面积为4×12×1×1=2.8.过点A (3,5)作圆x 2+y 2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是 .8=0x 2+y 2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M (2,4),则点A 在圆内,当AM 垂直这条弦时,所得到的弦长最短. ∵k AM =5-43-2=1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.9.一圆与y 轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x 截圆所得弦长为2√7,求此圆的方程.y 轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b )2+(y-b )2=9b 2.又因为直线y=x 截圆得弦长为2√7,则有(√2)2+(√7)2=9b 2,解得b=±1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.已知圆C :(x+2)2+(y+2)2=3,直线l 过原点O.(1)若直线l 与圆C 相切,求直线l 的斜率;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(-2,0).若AP ⊥BP ,求直线l 的方程.。
高中数学人教B版必修2学业测评：2.3.3 直线与圆的位置
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b 的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋(－1)2＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－(32)2＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0只有一个公共点，则实数m的值为________．【解析】将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，即d＝|3×1＋4×(－2)＋m|32＋42＝|m－5|5＝1，∴m＝0或m＝10.【答案】0或108．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题9．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 【导学号：60870079】【解】 (1)设圆A 的半径为r ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ，∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2， 又∵|MN |＝219，r ＝25，∴|AQ |＝20－19＝1，解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[能力提升]1．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab。
圆与圆的位置关系
4 2
尝试与发现
2
2
2
2
[
−
(
+
)
][
−(
−
)
]
1
2
1
2
2
=−
4 2
因此，当且仅当 2 > 0时, 即(1 −2 )2 < 2 < (1 +2 )2 ，
解得 1 − 2 < < 1 + 2 时，有两个不同的实数
满足方程组，从而 两圆相交 。
演练与提升
的公切线。
寄语
用数学的眼光观察世界
用数学的思维分析世界
用数学的语言表达世界
尝试与发现
位置关系
发现1
相切
相离
外离
内含
外切
相交
内切
图示
公共解
个数
0个
个数，可以判断两圆位置关系
圆与圆的位置关系
尝试与发现
位置
关系
外离
发现2
外切
相交
内切
内含
图示
圆心距
与1 ，2 > 1 + 2 = 1 + 2
的关系
1 − 2 < < 1 + 2 = 1 − 2 < 1 − 2
（2）1 : 2 + 2 − 2 = 0，2 : 2 + 2 − 2 3 − 6 = 0
解：(2)将两圆方程化为标准方程，分别为
2 +（ − 1）2 = 12 ，（ − 3）2 + 2 = 32 ，
由此可知圆1 的圆心坐标为（0，1）半径1 =1；
圆2 的圆心坐标为（ 3，0）半径2 = 3，
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考点规范练44直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.42.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.4C.6D.24.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x+1)2+(y-1)2=45.(2017山东潍坊二模)已知圆C1:(x+6)2+(y+5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.7B.8C.10D.136.(2017福建宁德一模)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以-为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.8.(2017福建泉州一模)若过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.能力提升11.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.212.若直线y=x+b与曲线y=3--有公共点,则b的取值范围是()A.[1-2,1+2]B.[1-,3]C.[-1,1+2]D.[1-2,3]13.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=014.(2017河南洛阳一模)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有||≥|,则k的取值范围是()A.(,+∞)B.[,+∞)C.[,2)D.[,2)15.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.高考预测17.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.≤1D.≥1参考答案考点规范练44直线与圆、圆与圆的位置关系1.B解析由方程(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,则圆心到直线l的距离d=.-由r=,故所求点的个数为2.2.B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2-=2-a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=--,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.3.C解析依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=-.又|AC|=2,所以|AB|=-=6.4.A解析设圆心的坐标为(a,b),解得-由题意可知--故所求圆的标准方程是(x-1)2+(y+1)2=2.5.A解析圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-----3=7.故选A.6.D解析∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴-即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=--=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,∴圆C中以-为中点的弦长为2-=2-=4.故选D.7.4π解析因为圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.8.-解析因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),所以直线P'Q的方程为y=---(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d==1,∴a=-.9.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为-=1<所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解圆的半径r=,圆心C到直线l的距离为d=-.由点到直线的距离公式得-,解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为或.10.解(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由-得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得-.所以M的轨迹C的方程为-+y2=.(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q-,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE=-=-,k QE=--,当-≤k≤时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则-,解得k=±.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.11.C解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=,故选C.12.D解析y=3--变形为(x-2)2+(y-3)2=4 0≤x≤4 1≤y≤3 表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.若直线y=x+b与曲线y=3--有公共点,只需直线y=x+b在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离为2,即=2,解得b=1-2或b=1+2舍去),故b的取值范围为1-2≤b≤3.故选D.13.A解析设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1 .因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,所以,即|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.14.C解析设AB中点为D,则OD⊥AB,∵||≥|,∴2||≥|,∴||≤2|.∵||2+|2=4,∴||2≥1.∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.∴4>||2≥1 ∴4>≥1.∵k>0,∴k<2,故选C.15.解因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由,得k=2±.所以此时切线方程为y=(2±x.综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-x-y=0或(2+)x-y=0.16.解因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.=2.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,-①所以因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤--≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].17.D解析因为点M(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,又直线=1过点M,所以直线与圆相交或相切.所以≤1 所以≥1.。