常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.

()()()t A t t Φ=Φ，

.

1

()()()

A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.

()x A t x

=

和.

()T x A t x =-的解，所以

11

1

()

()()n

k k k n

nk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

∑∑ ，

11211111122222*

121

()()()n

n k k k n n kn k

n n n nn

k a a a a a a a d t A t t dt

a a a a ψψψψψψ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪=-ψ=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭

∑∑ 因而

1111

112

2

1

1

(,)(,)(,),,n

n

k k k k k k n

n

kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψ

ϕϕψϕψ

ψϕψϕψϕ====⎡⎤

⎛⎫

⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪

⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪

⎪ ⎪⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥

⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭

⎣⎦

∑∑∑∑ 11

111

1

1

1()0

n

n

n n n

n

n

n

n n n

n

m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ==

===

=

==

==

=

=

-=

+=

-=-=∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑所以

(),()

()()1

n

t t t t k k

k ϕψϕψ≡≡

∑=常数。

3.证明：设)t Φ(为系统.

()x A t x

=

的一个基本解矩阵，则由定理2.11知

[

]1

()

T

t -Φ是系统.

()T

x A

t x =-的基本解矩阵，由定理

2.4知系统.

()x A t x

=

满足初始条件00()x t x =的特解为1

00()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)

0,0,t t ∈+∞由题可

知)t Φ(与[

]1

()

T

t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0

k k t ∃=>

和

220()0

k k t =>使得

101

20(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞⎪⎨Φ≤≤<+∞⎪⎩

,利用常数变易法公式

（2.32），可知式

.

()()y A t y B t y

=+的初始条件为

00

()y t y =的解满足

1

()()()()()()t

t y t t t s B s y s ds ϕ-=+ΦΦ

⎰

因

为

1

1

1

1

()(

)

(

T

t

t

t

t

---ΦΦ

≤

Φ

所

以

1

2

1

20

()()(),t

t y t k k

x k k B s y s

≤

+

≥⎰

，利用格朗瓦尔不等式有12

()120().t

t k k B s ds

y t k k x e

⎰≤记

12

()12t

t k k B s ds

C k k e ⎰=设0

()B t dt M +∞

=<+∞

⎰则

()()t

t B s ds B t dt M

+∞≤

=⎰

⎰

有1212k k M

C

k k e

≤从而

00

(),y t C x t t ≤≥所以系统

.

()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

4.解：设以矩阵cos sin ()sin cos t t

e t

t t e t

t ϕ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

为基本解矩阵的线性齐次系统为.

1112.

2122

()()()()x a t x a t y y a t x a t y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩则

.

1112

2122

()()a a t t a a ϕϕ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

即

1112

2122cos sin cos cos sin sin sin cos sin cos t t t

t

t t e t e t a a t e t t t a a e t t e t e t ⎛--⎛⎫

-⎛⎫⎫= ⎪ ⎪⎪ -+⎭⎝⎭⎝⎭

⎝

得

1112111221222122

cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t t t t

t t t

e t e t a e t a e t t a t a t e t e t a e t a e t t a t a t ⎧-=+⎪

-=-+⎪⎨+=+⎪⎪-=-+⎩整理得

1112

1112

212122

cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t a t a t t a t a t t t a t t t a t a t -=+⎧⎪

=-⎪⎨

+=+⎪⎪=-⎩解

得

12

2

11212

22

cos sin 1

cos 1sin cos sin a t t a t a t t a t

=-⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=⎩所以齐次系统.2

.

2cos (cos sin 1)(1sin cos )sin x x t t t y

y t t x y t

⎧=+-⎪⎨⎪=++⎩即为所求。

5.（1）解：由.

cos x x t =，分离变量得

c o s dx tdt

x

=解得

s i n

1t x C e

=由