2019-2020年八年级数学下册 第七章《一元二次方程》复习教案 鲁教版
2019-2020年八年级数学下册 7.3用公式法解一元二次方程教案 鲁教版
2019-2020年八年级数学下册 7.3用公式法解一元二次方程教案鲁教版教学目标（1）会用公式法解一元二次方程；（2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力；（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.教学重点知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.教学难点:求根公式的推导.总体设计思路:以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.教学过程整体教学流程：形成表象,提出问题分析问题,探究本质得出结论,解决问题拓展应用,升华提高归纳小结,布置作业.形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(学生选两题做)(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程）(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.分析问题,探究本质由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.进而提出下面的问题:既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根据学生学习程度的不同,可ax2+bx=-c 以采用学生独立尝试配方, 合x2+x=- 作尝试配方或教师引导下进行x2+x+=-+ 配方等各种教学形式.(x+)2=然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.当b2-4ac≥0时，(x+)2= 注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,x+= 便于学生的理解.x=-即x=x1= , x2=当b2-4ac<0时，方程无实数根.设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.得出结论,解决问题由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b2-4ac≥0时，x=;当b2-4ac<0时，方程无实数根.这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)[共同练习](1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;(3)x2+15x=-3x; (4)x2-x+=0.此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.[独立完成]用公式法解一元二次方程:(1)x2+x-6=0; (2)x2-x-=0; (3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.拓展运用，升华提高分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).[用一用]解决本章引言中的问题:要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:即BC2=2AC.设雕像下部高xm,于是得方程x2=2(2-x)整理得:x2+2x-4=0.解这个方程,得x=,x1=-1+,x2=-1-.精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.在前面的基础上进一步提问: (结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢?(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.[想一想]清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.归纳小结,布置作业结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)。
鲁教版八年级数学下册 一元二次方程的应用教案
《一元二次方程的应用》教案教学目标知识技能1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．解决问题通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题．难点：发现问题中的等量关系．关键：建立一元二次方程的数学模型解问题．教学过程一、复习引入我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决.【思考】列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？二、探索新知【问题情境】练习：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：(1)设渠深为x m则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m 依题意，得：12(x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2+6x -8=0解得：x 1=45=0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ．(2)1.675048=25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道．练习：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+0.1x ×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元则(0.3-x )(500+1000.1x )=120 解得：x =0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．学生活动：合作交流，讨论解答．例1：机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因.为解决这一问题，某市试验将现有部分汽车改装成液化石油气燃料汽车(成为环保汽车).按计划该市今后两年内将使全市的这种环保汽车由目前的100辆增加到196辆，求这种环保汽车平均每年增长的百分率.例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么这种冰箱的定价应是多少？例3：如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．(1)小岛D和小岛F相距多少海里？(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)课程小结建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．课后作业习题8.12和习题8.13。
2019-2020学年八年级数学下册 7.3 用公式法解一元二次方程学案1 鲁教版五四制.doc
2019-2020学年八年级数学下册 7.3 用公式法解一元二次方程学案1 鲁教版五四制【学习目标】1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
【教学重点】用公式法解简单的数字系数的一元二次方程【预习导学】认真阅读教材49-52页内容，尝试独立完成对公式的推导，熟记公式并仿照例题求解简单的一元二次方程。
【教学过程】一、公式的推导：配方法解方程ax 2+bx+c=0(a ≠0，且b 2—4ac ≥0)通过上述推导过程，你得到了怎样的结论？二、探究与交流：用公式法解方程：x 2— 解：这里a=____,b=_____,c=______. ∵b 2—4ac=______________________ ∴x=________________, 即：x 1=___________,x 2=_____________. 练：用公式法解方程：2x 2x三、牛刀小试：1、把下列方程化成ax 2+bx+c=0的形式，写出其中 a 、b 、c 的值，并计算b 2—4ac 的值：（1）x 2—3x= —4 （2）4x 2+1=4x （3） （2x+1）（x+2）=32、用公式法解方程：（1）2x2—9x+8 = 0 （2）9x2+6x+1=0（3）16x2+8x= 3 （4）（x—2）（3x—5）=1四、达标测评：1．用公式法解方程：（1）2x2—4x—1 = 0 （2）5x+2=3x2（3）x2—x = 1 （4）t（t+= —22. 若两个连续奇数的积为323，求这两个数。
3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。
五、应用拓展1、《九章算术》勾股章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。
问户高、广各几何？（注：广即宽）2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4厘米，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求这两个正方形的边长。
(完整版)鲁教版八下一元二次方程教案
神堂中学数学学科备课文稿备课时间：4.14 总备课第 17 课时备课人：刘福秋教学过程央长方形图案的长为_____m,宽为________m，根据题意，可得方程_______________________问题2. 观察下面等式102＋112＋122＝132＋142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为________,__________,__________,_ _________.根据题意，可得方程________________________________ ___.议一议：你是否还有其他的设未知数的方法，比较一下.问题3. 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙_____m，如果设梯子底端滑动_______m，那么滑动后梯子底端距墙__________m，．根据题意，利用勾股定理，可得方程____________________________ 问题（2）由学生先独立思考，然后再同桌交流并汇报：说出所用的方法、思路及注意事项，还有题中涉及到的已知量、未知量、等量关系，从而列出方程问题（3），对学生而言，有一定的挑战性，学生可能出现的问题有：①梯子的底端误认为也滑动1m；②虽能理解题意，但不能正确列出梯子的底端滑动的距离所满足的方程。
为此，在学生交流讨论前提下，以多媒体动画演示，验证猜想；在学生互相补充、纠正基础上，针对学生回答不完善之处，引领学生分析，给出正确解答1m启发诱导探索新知板书上述问题得到的三个方程：① x（x+1）=132②（8-2x）（5-2x）=18③ (x+6)2+72＝102问：你能化简它们吗？上述3个方程有什么共同特点？深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”形式，适时对各小组进行点拨、总结：上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a、b、为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
初中数学鲁教版八年级下册《一元二次方程的应用》教案
《一元二次方程的应用》教学设计一、教材分析本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。
但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。
因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。
显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
二、学情分析本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。
但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。
因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。
显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
三、教学目标知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程过程与方法：1.经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感、态度与价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
四、教学过程一、创设情境，导入新课提出问题：1.利用方程解决实际问题的关键是什么？2.还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离是8m,梯子顶端下滑1m时,梯子底端向外滑动的距离大于1米,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端向外滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度改为13米，梯子的顶端地面的垂直距离改为12m,其余条件不变,你列出怎样的方程求解?所列方程与上题有何关系？像这样的运动的点的问题我们如何来分许问题，解决问题呢？二、分析问题，探索新知如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头。
【鲁教版】中考数学一轮分类复习八《一元二次方程》教案
【鲁教版】中考数学一轮分类复习八《一元二次方程》教案一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是中考的热点。
本节内容通过引入一元二次方程的概念、性质、解法以及应用，使学生掌握一元二次方程的解法，提高解决实际问题的能力。
教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过探究、合作、交流的方式，让学生理解一元二次方程的解法，从而达到学以致用的目的。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的运算、方程的解法等基础知识，但对于一元二次方程的解法及应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师要注重引导学生利用已有的知识解决新的问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.能够运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的合作、交流能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的解法及应用。
2.难点：如何引导学生利用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的解法。
2.利用合作交流法，让学生在讨论中理解一元二次方程的应用。
3.运用实例讲解法，帮助学生掌握一元二次方程的实际应用。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程实例，用于讲解和练习。
2.准备一些实际问题，让学生解决。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入一个实际问题，引导学生认识一元二次方程。
例如：“某商品的原价是a元，商店进行了一次打折活动，如果售出8件商品，则每件商品可以便宜b元。
请问，商店打折后的总收入是多少？”2. 呈现（15分钟）教师引导学生将实际问题转化为数学问题，呈现出一元二次方程。
例如，将上述问题转化为方程：8(a - b) = 90。
3. 操练（20分钟）教师引导学生分组讨论，探究一元二次方程的解法。
学生通过合作交流，掌握求解一元二次方程的方法。
2019-2020学年八年级数学下册 7.3 用公式法解一元二次方程学案2 鲁教版五四制.doc
2019-2020学年八年级数学下册 7.3 用公式法解一元二次方程学案2 鲁教版五四制【学习目标】1．会不解方程通过根的判别式判断一元二次方程根的情况；2．已知一元二次方程的根的情况，能确定方程中字母系数的取值或取值范围。
【教学重点】一元二次方程的根的判别式的应用【预习导学】认真阅读教材53-54页内容，尝试独立完成对公式的推导，熟记公式并仿照例题求解简单的一元二次方程。
【教学过程】一、知识梳理：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是：________________________________①当b 2—4ac ＞0时，方程有________________________根，它们是__________________________________;②当b 2—4ac=0时，方程有_____________________根，它们是________________________________________;③当b 2—4ac ＜0时，方程________________________.我们把b 2—4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的______________,记作：“△”思考：反过来，已知一元二次方程的根的情况，能确定判别式△的取值或取值范围吗？二、探究与交流：1、不解方程，确定方程根的情况：(1) 3x 2— 5x —2 = 0 （2）t 2+3=t(3) x 2 = 3 ( 2x —3) （4）x （2x —5）= —42、已知一元二次方程的根的情况，能确定方程中字母系数的取值或取值范围：m 为何值时关于x 的一元二次方程022=++m x x（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；3、方程2610mx x -+=有两个不相等的实数根, 求m 的值.三、达标测评：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）4p （p-1）＝3 （2）2、已知关于x 的方程x 2—ax+a+3 = 0有两个相等的实数根，求a 的值。
鲁教版初中数学八年级下册《7.1一元二次方程》
3） x2 4 (x 2)2
随堂练习
练习二 将下列方程化为一般形式，并分别指出它的
二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4
2x2 2 3x
2 y 12 y 12 y 3y 2
3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？ 在什么条件下此方程为一元一次方程？
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 0 的根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0 的根吗?
1)已知关于x的一元二次方程
(a 1)x2 x a2 1 0,的一根是0
则a的值为B
A.1
B.-1 C.1或-1 D.0
?
(2)关于x的一元二次方程 (m 2)2 x2 3m2 x m2 4 0 有一根为0,则2m2 4m 3 的值为多少 ?
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二a次x2 项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做a常数项。.
bx
b
c
三、 例题与练习 1．例1 下列方程中哪些是一元二次方程？
（1） 3x 2 5x 3
（2） x 2 4
x2－75x＋350=0 和 5x2＋10x－2.2=0. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区别在 哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
鲁教版八下《用分解因式法解一元二次方程》word教案
课题§7．4 分解因式法解一元二次方程教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学过程一、出示自学指导：公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2-4ac的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探一元二次方程的解法．看书P59—P60，基本学会因式分解解方程的方法，5分钟后交流课本上提出的问题(议一议)。
展示自学成果一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．（1）解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．然后用公式法来求解的．解：由方程x2＝3x，得x2-3x=0．这里a=1，b=-3，c＝0.b2-4ac＝(-3)2-4×1×0＝9>0．所以x=293即x1=3，x2＝0．因此这个数是0或3．（2）我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．解：把方程两边同时约去x，得x＝3．所以这个数应该是3．因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．这说明在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?（3）我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x ，这时可把x 提 出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零， 这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x 2-3x ＝0，x(x-3)＝0，于是x ＝0，x-3＝0．∴x 1=0，x 2=3因此这个数是0或3．这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?根据是：如果a ×b ＝0，那么a=0，b ＝0，大家想一想，议一议．如果a ×b=0， 那么a ＝0或b ＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或” ．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0． 由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．二、解决问题：[例题]解下列方程：(1)5x 2=4x ；(2)x-2＝x(x-2)．解：原方程可变形为5x 2-4x ＝0，x(5x-4)=0，x ＝0或5x-4＝0．∴x 1=0，x 2=54． 解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x 1＝2，x 2=1．解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．你能用分解因式法解方程x 2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?方程x 2-4=0的右边是0，左边x 2-4可分解因式，即x 2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x 2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x 2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x1=-2，x2=2．方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x1=-6，x2=4．这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．三、课堂训练：课本P61随堂练习 1、2四、课时小结我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．五、课后作业必做课本P61习题7。
鲁教版数学八下7.2用配方法解一元二次方程教案
例4 解方程（x2+2）（y2+4）（z2+8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．
解 原方程变形，得
x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0
各自配方， 得
（xyz-8）2+2（4x-yz）2+4（2y-xz）2+8（z-xy）2=0
（2）师生互动
互动1
提出配方时方程两边同时加上的常数是如何确定 的？你能发现什么规律？
明确 配方时，化二次项系数为1，通过变形， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式，是配方法整个过程的重点．
互动2
配方法是一个重要的数学方法，它在很多地方有重要的应用，我们能总结出配方法的步骤吗？
明确 对于含有字母已知数的因式分解，移项得x2+px=-q，
配方得（x+ ）2= ，
x+ = 或x+ = ，
所以，x1=- + ，x2=- - ，
为下节课ax2+bx+c=0（a≠0） 通过配方法推出一元二次方程的根，打下知识基础．
4．达标反馈
（1）填空题：
①x2-2x+（1）=[x+（-1）]2；
拆项、配方，得
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0．
由非负数 的性质，得
a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b，b=c，c=a，a=b=c．
故△ABC是等边三角形．
六、资料下载
配方法在解题中的应用
配方法是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．
鲁教版八年级下册 用配方法解一元二次方程教案
鲁教版八年级下册用配方法解一元二次方程教案
鲁教版八年级下册第七章第二节用配方法解一元二次方程
教材的前后联系及地位作用
“用配方法解一元二次方程”是鲁教版八年级下册第七章第二节的内容，共分三课时，本课为第一课时。
主要内容是用配方法解简单数字系数的一元二次方程。
一元二次方程的解法是在学生掌握了一元二次方程概念之后提出的。
“配方法”是学生接触到的的第一种解一元二次方程的解法，它对继续学习其它解法有着指导和铺垫的作用。
在“配方法”的探索过程中体现了“化未知为已知”的数学思想方法，为今后学习高次方程、函数等奠定了基础。
具有承上启下的作用。
教学目标
1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．
3．体会转化的数学思想方法．
4．能根据具体。
八年级数学下册 7.1一元二次方程教学设计 鲁教版
教学任务分析教学流程安排教学过程设计数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备.问题与情景师生行为设计意图「活动2」1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
眼疾口快:请抢答下列各式是否为一元二次方程：由以上问题得到3个方程,由学生观察归纳这3个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.活动中教师应重点关注:(1) 引导学生观察所列出让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程2、2、一元二次方程的一般式：3、的3个方程的特点;(2) 让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.(3) 强调定义中体现的3个特征:①整式;②一元;③2次.由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.其中(1)~(6)题较为简单,学生可非常容易给出答案;而(7),(8)两题有一定难度,(7)需定义中3个特征的理解.(7),(8)两个题目的设置,目的在于进一步加深学生对定义的掌握,尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对变式的理解能力.此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.此环节让学生通过自主探究,类比一元一（1）它的一般形式为（2）它的二次项系数为5；（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。
「活动3」例1.某某四中为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？(列方程并整理成一般形式）案,全体学生进行判断是否正确.在此环节可设置一个小游戏,让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题,让大家进行判断给出的方程是否正确.此环节中,教师应注意板书学生给出的方程要,并且及时引导学生不要给出类似的条件.此题为与实际问题结合的题目,让学生思考解决问题的方法,列出满足题意的方程.以此题为例,教师板书整理一元采取游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣,参与课堂活动的积极性,还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习.整理一元二次方程的一般形式为本节课的重点,由实际问题出发列方程为本节的难点,所以在此设置此题,加强巩固练习.由篮球比赛引入题目,可激到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.问题与情境师生行为设计意图小试牛刀:你能否把下列方程整理成一般形式?例2、当m取何值时，方程是关于x的一元二次方程？考考你:判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：巩固练习学生整理一般形式的方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.此题是字母系数问题,由学生思考解题过程,让学生讲解此题,教师进行总结点评.大屏幕显示解题过程.此题由学生思考,讨论,并由学生让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容此题为一元二次方程概念中常见题型，通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解，为其他字母系数问( 为有理数);「活动4」1．问题：本节课你又学会了哪些新知识？2．思维拓展：若方程x2m+n +x m-n +3=0是关于x的一元二次方程，求m,n的值。
鲁教版初中数学八年级下册《一元二次方程的根与系数的关系》参考教案
5 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．知识与技能目标：（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；（2）会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．2．过程与方法目标：（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力；（2）在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．3．情感、态度与价值观目标：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．二、教学重点、难点1．重点：根与系数关系及应用．2．难点：定理的发现及应用．3．关键：根与系数关系的应用．4．突破方法：在归纳出根与系数的关系后，对学生进行反馈训练，反复练习，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解，掌握其应用．三、教法与学法导航1．教学方法：观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先引导学生观察、归纳其规律，然后再让学生通过证明，印证自己的发现，让学生从探究发现中，寻找快乐．最后再运用发现的规律，让学生不断强化应用，获得解决问题的能力．2．学习方法：观察、归纳，在此基础上，证明观察归纳的结果，最后通过反复应用，掌握知识点，形成能力与技巧．四、教学准备1．教师准备：制作课件，布置预习，精选习题．2．学生准备：复习公式法解一元二次方程的方法，预习新课．五、教学过程1．创设情境，引发兴趣我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如物理学中，牛顿由苹果落地重到了万有引力定律；欧姆发现电路中的电流、电压、电阻存在一定关系，于是总结出了欧姆定律．而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如，直角三角形的三边a 、b 、c 满足关系222c b a =+．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，体会一次当科学家的艰辛与幸福．【设计意图】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望．2．研究规律，探索新知先填空，再找规律：思考：观察表中21x x +与21x x ⋅的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？学生填表后，让学生分组探究，共同寻找规律．小组推选代表，交流成果．教师对学生的发现要给予及时的鼓励与表扬．【设计意图】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．3．证明规律，掌握新知课件出示思考题：你能证明自己的发现么？生小组讨论证明思路．讨论结束后，以小组为单位举行比赛，看哪一小组证明得又快又好．证明完成后，投影展示证明过程．证明过程：由公式法知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，在判别式042≥-ac b 时，方程的一个根a ac b b x 2421-+-=，另一个根aac b b x 2422---=．于是， 两根之和+-+-=+a ac b b x x 24221a ac b b 242---ab a b -=-=22； 两根之积⋅-+-=⋅a ac b b x x 24221a ac b b 242---2224)4()(a ac b b ---=244a ac =a c =． 教师对每一组的证明过程进行评价后，要求学生概括根与系数的关系，注意概括的准确与完整．投影展示根与系数的关系：如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个根1x 、2x ，那么21x x +a b -=，21x x ⋅ac =． 【设计意图】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．4．反馈训练，应用提高课件出示例1:求下列方程的两根之和与两根之积：（1）0672=++x x ； (2) 02322=--x x ；（3）2415x x =-； （4）x x 322=．分析：和公式法一样，要求方程的两根之和与两根之积，关键是准确确定一元二次方程中a 、b 、c 的值．解：（1）这里1=a ，7=b ，6=c ．025*******>=⨯⨯-=-=∆ac b ，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是1x 、2x ，那么21x x +717-=-=-=a b ，21x x ⋅616===a c ． （2）这里2=a ，3-=b ，2-=c ．025*******>=-⨯⨯--=-=∆）（）（ac b ， ∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是1x 、2x ，那么21x x +2323=--=-=a b ，21x x ⋅122-=-==a c ． （3）将方程变成一般式，得01542=+-x x ．这里4=a ，5-=b ，1=c ．09144)5(422>=⨯⨯--=-=∆ac b ，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是1x 、2x ，那么21x x +4545=--=-=a b ，21x x ⋅41==a c ． （4）将方程变成一般式，得0322=-x x ．这里2=a ，3-=b ，0=c ．09024)3(422>=⨯⨯--=-=∆ac b ，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是1x 、2x ，那么21x x +2323=--=-=a b ，21x x ⋅0==ac ． 教师让学生自己尝试练习，在学生练习的基础之上，强调解题步骤的完整与规范．启发学生思考：为什么在求两根之和与两根之积之前，一定要先判定方程根的情况？【设计意图】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解．课件出示例2:若一元二次方程0242=+-x x 的两根是1x 、2x ，求下列各式的值：（1）2111x x +；（2）2221x x +． 分析：由于21212111x x x x x x +=+，2122122212)(x x x x x x -+=+，因此，只要根据根与系数的关系，得到21x x +与21x x ⋅的值，问题就能迎刃而解．解：这里1=a ，4-=b ，2=c ，根据根与系数的关系，可得21x x +414=--=-=a b ，21221===⋅a c x x ． ∴22411212121==+=+x x x x x x ； 122242)(2212212221=⨯-=-+=+x x x x x x ． 教师在讲解中，务必告诉学生，在以后解决一元二次方程的问题时，常会用到根与系数的关系公式，运用这个公式，可以让许多看似复杂的问题简单化．同时让学生思考：在这题的解题过程中，为什么不用再去判别根的情况？【设计意图】进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，让学生体会到根与系数的关系可以让不少看似复杂的问题变得很简单．课件出示例3:若一元二次方程022=++Ax x 的两根满足122221=+x x ，求A 的值．分析：本题实际上是例2的变式题，只要从例2的解题思路入手，就能很容易求出a 的值．解：这里1=a ，A b =，2=c ，根据根与系数的关系，可得21x x +A A a b -=-=-=1，21221===⋅a c x x ． ∴12222)(2212212221=⨯--=-+=+A ）（x x x x x x ， 即1242=-A ．解这个方程，得4±=A ．本题教师放手让学生自己来解决．解题完成后，可以在例3基础上进一步变式，让学生思考：（1）如果一元二次方程022=++Ax x 的两根互为相反数，求A 的值；（2）如果一元二次方程022=++Ax x 的两根之差为22，求A 的值；【设计意图】它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性．5．小结教学，总结反思让学生谈谈本节课的收获与体会：（1）得到了哪些知识？（2）掌握了哪种方法？（3）学会了什么数学思想？……教师在学生总结的基础上适当引导和点拨．六、板书展示5 一元二次方程的根与系数的关系旧知温习 新知探究 总结反思根与系数的关系：公式法 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 知识 根的判别式 有两个根1x 、2x ，那么 方法21x x +a b -=，21x x ⋅a c =． 整体思想七、课堂作业1．若1x 、2x 是方程0752=--x x 的两根，那么2221x x += ，221)(x x -= ．2．关于x 的方程02=++q px x 的根为211+=x ，2x =21-，则p =______，q =__ __．3．方程0252=+-x x 与方程0622=-+x x 的所有实数根的和为___________．4．设方程0532=+-m x x 的两根分别为1x 、2x ，且0621=+x x ，那么m 的值等于（ ）．A ．32- B ．—2 C ．92 D ．—92 5．已知1x 、2x 是一元二次方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且1x 、2x 满足不等式0)(22121>++⋅x x x x ，求实数m 的取值范围．6．已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长．当矩形的对角线长为5时，求k 的值.八、教学反思 在探究一元二次方程根与系数关系问题时，采用了填表探究的方式，这种方法的优点是；引入自然，有已学内容到未知内容，由浅入深逐步深入，好学易懂．其实，教者也可以在学生初步掌握根与系数的关系时，让学生考虑二次项系数为1的情况，这样，可以加深学生对公式的理解．教学过程中，教者反复强调：运用公式，必须建立在方程有解的前提下．这样的好处很明显，可以使其学生思路清晰，因果明确．但不足点也很突出，那就是：运算目标不明确，层层深入难度加大，对课堂上学生的理解造成困难，学生在解题，往往不知道什么时候该判别根的情况，什么时候不需要．总之，本课上课一开始就很好地调动了学生的求知欲望，已掌握的求根公式进行计算得出结论，然后逐步减低难度最后达到熟练掌握．学习过程由一般到特殊，通过简单变形实现由易到难，学生通过学习达到了灵活运用的程度．。
八年级数学下册 7.2 用配方法解一元二次方程教案 鲁教版五四制-鲁教版五四制初中八年级下册数学教案
用配方法解一元二次方程【教学目标】1、会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程2、进一步理解配方法的解题思路, 体会转化的数学思想方法．【教学重点】用配方法解一元二次方程【预习导学】1．认真阅读教材，熟记回答课本上提出的问题，熟记定义和一般形式；2. 看例题独立规X完成随堂练习，尝试归纳本节课的学习目标和注意事项. 【教学过程】一、知识回顾：1、什么叫配方法？2、怎样配方？3、解方程（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0二、例题解析：1 例题：：解方程：3x2+8x―3=03、随堂练习与习题；口答与板书。
三、盘点收获通过学习我掌握了……，我还有一些疑惑……四、达标测评1. 用配方法解下列方程（1）5x2+2x-5=0 （2）3y2-y-2=02、用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ( )A.x 2-2x -99=0化为(x -1)2=100B. x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25C.2x 2-7x -4=0化为D.3x 2-4x -2=0化为3、（2008庆阳）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．55 (1+x )2=35B ．35(1+x )2=55C ．55 (1－x )2=35D ．35(1－x )2=554、关于x 的一元二次方程的一个根是0, 则另一个根是5三角形两边的长分别为8和6,第三边的长是方程2x 2-32x +120=0的根,求该三角形的面积6.（2008某某）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m ？五、课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
大单元教学鲁教版2023年八年级大单元教学 一元二次方程 教案
元二次方程大单元整体备课一、课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。
本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。
二、教材分析本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一•本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程,用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础,因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。
1、二次根式的纵向联系六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数2、二次根式的横向联系⅛,-4α<r>0»b'-40e=0o根的情况⅛j-4αe<0=方程没有颠粮三、教材的呈现方式本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。
2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。
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2019-2020年八年级数学下册第七章《一元二次方程》复习教案鲁教
版
本章内容主要分为三部分，第一部分是一元二次方程的有关概念第二部分是一元二次方程
的解
法第三部分是实际与探索（即一元二次方程的应用），该章是初中数学中十分重要的一个
内容，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源．主要题型有：（1）不解方程，
判断方程根的情况（2）求方程中的参系数值、范围或相互关系（3）确定抛物线与轴的位置关
系（4）验根、求根或确定方程根的符号（5）求与方程根有关的代数式的值（6）列方程解应用
题．应用题主要讨论行程问题、工程问题等及其他类型的常见应用问题．近年出现的一些与市
场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不断，且已成为中考命题的方向．
一、课标要求
1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量
关系的一个有效数学模型，了解一元二次方程及其相关概念．
2．能灵活用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解简单的一元二次方程，并在
解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
3．会用一元二次方程模型解实际问题，并从中经历“问题情境——建立模型——求解—
—解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体
会数学的价值．
二、重点、难点与关键
重点：一元二次方程的解法；
难点：一元二次方程的应用；
关键：通过分析题意，从中提炼有用信息，确定问题中各量之间的数量关系，建立一元二次方程模型．
四、主要知识解读
1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫
做一元二次方程．它的一般形式是．
2、一元二次方程的解法
五、典型例题解析
例1．方程()221
170
m m
m x x m
--
++-=
是一元二次方程，则 = ．
命题意图：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数不为零）．
思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，；再由一元二次方程的定义中这一条件得来求的值．
解：．
例2．请写出一个根为，另一个根满足的一元二次方程．
命题意图：本题考查一元二次方程根的定义．
思路分析：本题是道开放型试题，答案不唯一．首先要明确一元二次方程的概念及其解的
含义，其次要选用恰当的方法——待定系数法，即可以先假定中中一个数的值已给定，然后将方程的根代入原方程，求得另两个数，从而求得的值．
解：因为另一个根满足，所以不妨设另一根为0，那么满足条件的方程可以为． 例3．用配方法解方程：．
命题意图：本题考查用配方法解一元二次方程．
思路分析：用配方法解一元二次方程的关键是：首先将二次项系数化为，并将常数项移到方程右边后，关键是方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后写出完全平方的形式，用直接开平方法求得．
解：，，所以，所以，．
例4．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为kg ，出油率为（即每千克花生可加工成花生油kg ）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．
命题意图：考查学生运用增长率解决实际问题的能力．
思路分析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握：（1）增长率是指增长数与基准数的比；（2）如果设基准数为，增长率为，那么第一次增长后的亩产量为．
解：设新品种花生亩产量的增长率为，根据题意，得()2001132
2x x ∙⎛⎫
+50%1+= ⎪⎝⎭，解
得
120.220% 3.2
x x ===-， (不合题意舍去)．
答：新品种花生亩产量的增长率为．
例5．某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现；如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？
命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力． 思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数×每件童装赢利=每件赢利元”关系式建立方程．不妨设每件降价元，可知在每天售件，每天盈利元的基础上，根据每降价元，就多售件得降价元，多售件，即售件，相应每件盈利减少元，即盈利元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，从而得到最后结果．
解：设降价元，则，解得，由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库存越少，故取．
答：每件降价元．。