数学人教版七年级下册平行线中应注意的分类讨论

《平行线中应注意的分类讨论》

西平县出山初级中学焦华刚

教学目标：

知识与技能：1.掌握平行线的判定方法与性质，并会运用判定方法与性质解决实际问题；2.经历利用平行线的性质探究两个角之间的关系；3.经历利用平行线的判定与性质探究折线、拐点的问题；4.初步了解推理论证的方法，逐步培养逻辑推理能力，以及渗透并培养学生的分类讨论的思想意识。

过程与方法：经历操作、观察、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力与有条理的表达能力,让学生根据不同位置的图形能够产生分类讨论的意识，进而逐渐提高自身全面考虑问题的习惯。

情感态度与价值观：通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现、敢于实践与合作交流的习惯。

学情分析：由于学生对上册《几何图形初步》一章已有初步认识，并且已经学习了《相交线与平行线》的有关知识，根据学生的年龄特点，以及在以往的教学中学生对平行线的性质与判定方法容易混淆在一起，因此，本章学习后及时开展渗透并培养学生分类讨论思想的综合课，目的是学生能够在操作、观察、推理、交流中更加牢固地、系统地掌握平行

线的性质与判定方法，能够正确的区分平行线的性质与判定，并且能够熟练应用平行线的性质与判定解决实际问题。教学重点、难点：

重点：利用平行线的性质探究两个角之间的关系.

利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。

难点：利用平行线的性质探究两个角之间的关系.

利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。教学过程：

一、创设情境：活动（1）同学们，请你画一画。

在同一平面内不重合的三条直线交点个数可能有几个？四条直线呢？

分析与解答：因为三条直线的位置关系不清楚，故应该分类讨论：①若三条直线互相平行，则三条直

线没有交点，或说成三条直线有0个

交点。如图a所示。

②若两条直线互相平行，第三条直线

与它们相交，则它们有两个交点。

如图b所示

③若三条直线相交于同一点时，则

它们有1个交点。如图c所示

④若三条直线两两相交，且不交于同

一点时，则它们有3个交点。如图d所示图a 图b 图c 图d

综上所述，同一平面内不重合的三条直线

交点个数可能有0个，1个，2个，3个。

活动（2）同学们,想一想：在同一平面内的三条直线能把该平面分成几部分？

二、典例分析：活动（3）探究思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么关系？

分析：如图a 、图b 所示，∠1与∠2的两边分别平行，根据平行线的性质可得，∠1=∠2.

如图c 、图d 所示，∠3与∠4的两边分别平行，根据平行线的性质可得，∠3+∠4=180°.

结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

活动（4）结论应用举例：如果∠α与∠β的两边分别平行， 且∠α比∠β的3倍少60°，求∠α与∠β的度数. 1 图a 2 2 1

图b 图d

图c 4 3 4 3

解：∵∠α与∠β的两边分别平行

∴∠α=∠β，或∠α+∠β=180°

∵ ∠α比∠β的3倍少60°

∴∠α=3∠β-60°

∴3∠β-60°=∠β, 或 3∠β-60°+∠β=180°

∴∠β=30°或∠β=60°

∴当∠β=30°时，∠α=3∠β-60°=30°

当∠β=60°时，∠α=3∠β-60°=120°

∴∠α=30°，∠β=30°或∠α=120°，∠β=60° 活动（5）探究思考：已知直线AB ∥CD ，点P 是AB 与CD 内一点，试探究 ∠PAB 、∠PCD 、∠APC 之间的关系。 分析：点P 的位置不同，得到的图形也不同，故需要分类讨论。

解：如图①，过点P 作PM ∥AB ，则∠PAB+∠APM=180°，

∵AB ∥CD

∴PM ∥CD

∴∠PCD+∠APM=180°

∴∠PAB+∠APM+∠PCD+∠APM=360°

M M A A A B B B D C D

C D C P P P •

• • 图③ 图② 图①

∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°

如图②，∵点A、P、C在同一条直线上，

∴∠APC=180°，

∵AB∥CD

∴∠PAB+∠PCD=180°

∴∠PAB+∠PCD=∠APC

如图③，过点P作PM∥AB，则∠PAB=∠APM

∵AB∥CD

∴PM∥CD

∴∠PCD=∠CPM

∵∠APC=∠APM+∠CPM

∴∠APC=∠PAB+∠PCD

评析：像图①、图③属于折线、拐点问题，其中我们把∠P 叫做拐角，点P叫拐点，在解决这类问题时,通常过拐点作平行线为辅助线，然后利用平行线的性质和判定加以解决。

三、培优演练。1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）

A平行或相交 B 垂直或相交

C垂直或平行 D 平行、垂直或相交

2.已知直线AB及一点P，若过点P作一条直线与AB平行，则这样的直线（）

A 有且只有1条

B 有两条

C 不存在或只有1条

D 不存在

3.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是（）

A 相等

B 互补

C 相等或互补

D 无法确定

四、小试牛刀：1.如果两个角的两边互相平行，其中一个角等于55°，那么另一个角的度数是_____.

2.如果∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的2倍少36°，求∠1、∠2的度数。

五、课堂总结：通过本节课的学习，我们主要探究了1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。2.折线、拐点的问题：在解决这类问题时，常常是经过拐点作平行线为辅助线，这种转化思想在解题时经常用到。3.要根据题意，认真思考，画出符合题意的图形，由位置不同的图形，要注意分类讨论，再利用所学的平行线的性质、判定方法加以解决，达到学以致用的目的。

六、拓展延伸：1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别

垂直，那么这两个角有什么关系关系?

2.如图，已知∠B=∠AEB，∠D=∠CED，

AB∥CD，求证：BE⊥DE.

E

D C A

B