高考大题分层练6解析几何函数与导数(B组)理新人教版

高考大题分层练 6.解析几何、函数与导数(B组)
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！
1.以椭圆C：+=1(a>b>0)的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准
圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足=2，S△OPQ=S△OFQ.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程.
(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M，N两点，试证明：
当·=0时，弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】(1)设椭圆C的左焦点F(-c，0)，c>0，由S△OPQ=S△OFQ得a=c，又=2，即a2+b2=4且b2+c2=a2，所以a2=3，b2=1，
则椭圆C的方程为+y2=1；椭圆C的“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)设直线ED的方程为y=kx+m(k，m∈R)，且与椭圆C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联列方程组代入消元得：
(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，
由x1+x2=；x1x2=，
可得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=，由·=0，
得x1x1+y1y2=0，即+
==0，
所以m2=(k2+1)，
此时Δ=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+3>0成立，
则原点O到弦ED的距离d====，
所以原点O到弦ED的距离为，
则=2=，
故弦ED的长为定值，定值为.
2.已知函数f(x)=lnx-kx+1(k为常数)，函数g(x)=xe x-ln，(a为常数，且a>0).
(1)若函数f(x)有且只有1个零点，求k的取值的集合.
(2)当(1)中的k取最大值时，求证：ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).
【解析】(1)f′(x)=，
①当k≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，+∞)单调递增.
而f(e k-2)=k-2-ke k-2+1=k(1-e k-2)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0，
故f(x)在(e k-2，1)上存在唯一零点，满足题意；
②当k>0时，令f′(x)>0得0<x<，则f(x)在上单调递增；
令f′(x)<0得x>，则f(x)在上单调递减；
若f=0，得k=1，显然满足题意；
若f>0，则0<k<1，而f=<0，
又f=2ln-+1=2+1，
令h(x)=lnx-x+1，则h′(x)=，
令h′(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上单调递增；
令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+∞)上单调递减；
故h(x)≤h(1)=0，则h=ln-+1<0，
即ln-<-1，
则f=2ln-+1=2+1<-1<0.
故f(x)在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意. 综上，k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}.
(2)由(1)知，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取“=”，
而x+1>1，故ln<x+1-1=x，
则k=1时，ag(x)-2f(x)
=axe x-aln-2lnx+2x-2>
axe x-a x-2lnx+2x-2=axe x-2lnx-2x-2，
记F(x)=axe x-2lnx-2x-2，
则F′(x)=(x+1)=(axe x-2)，
令G(x)=axe x-2，则G′(x)=a(x+1)e x>0，故G(x)在(0，+∞)上单调递增. 而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，故存在x0∈，
使得G(x0)=0，即ax0-2=0.
则x∈(0，x0)时，G′(x)<0，故F′(x)<0；x∈(x0，+∞)时，G′(x)>0，故F′(x)>0.
则F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，
故F(x)≥F(x0)=ax0-2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0)
=-2ln=2lna-2ln2.
故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).。