系统仿真技术——第4章 频域仿真建模方法学

“根匹配法”：由 e sT z 上 一一对应地确定出零、极点的位置，然后根据其 它特点(比如，终值点)来确定Kz
' ' K z z q1' z q2 z qm G z ' ' ' z p1 z p2 z pn
(n≥m) 的转换关系，在Z平





n n n 1 n 1
将其分子、分母同乘以 z 1 ，可得：
n
2 2 n n 1 n a0 z 1 a1 z 1 z 1 an z 1 T T G0 z n n 1 2 2 n n 1 n b0 z 1 b1 z 1 z 1 bn z 1 T T
1 T 2 2T 2 1
欧拉替换法（续）
Z平面上的单位圆按该替换式反映射到S平面上，
将是一个以（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆。
一个原来稳定的系统G(s)，通过替换得到的仿真
模型G(z)却可能是不稳定的。
S域到Z域的映射关系
4.1.2 双线性替换
观察梯形积分公式： xk 1 xk T xk xk 1 可得： z 1x T z 1x 2 2 z 1 即： 称为双线性替换公式 s
欧拉替换：简单，但是稳定性差，并不实用。下面
分析其稳定性： 设 s j
2
T x 1 1 因为 故有：s z 1 x s
z 1 即s T
有 z Ts 1
2
则 z 1 T 2 2T 2 对于Z平面上的单位圆，有 z 1 ，故 也就是：
1 2 1 2 2 ( ) ( ) T T
a0 diag1 2 2 ( ) n xij T T
an1 a1
z
n
n
z n1 z 1 z
n 1

T
bn1 b1 b0 diag1
2 2 n ( ) xij T T
z
z 1

T
双线性替换（续）
这样就得到了G0 z 分子分母的各系数的表达式：
pi' e piT
qi' e qiT
n－m个零点在负无穷远处，不妨假设均在－∞处，由此可见，
在Z平面上尚有n－m个零点在 e T 0处，即尚有n－m个零点 在Z平面的原点。
根匹配法（续）
(5)在典型输入下，根据终值定理求出连续系统G(s) 的终值及离散系统G(z)的终值 (6)根据终值相等的原则确定。 s G s 2 例： s 2s 1 T p p (1) Gs s s1 ，故 p1 1 ， 2 1 ， 1' e ，n=2，m=1 ' q (2) p2 e T ， ' 1 ， 1 0 q (3) Gz K z z 1
系统仿真技术
第4章 频域仿真建模方法学
陈无畏 合肥工业大学机械与汽车工程学院
频域仿真建模方法学
频域仿真建模方法：面向S域的传递函数 G(s)，根据相似原理，得到与它相匹配的Z 域传递函数G(z)。 “匹配”：包括动态性能----G(s)的零点、极 点要与相应G(z)的零、极点相匹配 稳态性能----对于同一个输入函数，终值相同
n
n 1
A z Bz
双线性替换（续）
B 将 Az ， z 写成向量形式：
2 0 T A z an , an1 , , a1 , a0 0 0 n 2 T
（6）故：
(1 e T ) 2 Kz T
根匹配法（续）
G(s)与零点配在原点： G(z)在相位上领前较 大 零点配置在z=-1处，即在G(z) 的分子上乘上z 1nm， 此时相位有一些滞后：
G z K z z 1 z 1
z e
T 2

K z z 2 1
d 0
d1 d n an
an1 a1 a0 H
e0
其中
e1 en bn bn1 b1 b0 H
2 n 2 H diag1 ( ) xij T T

4.2 根匹配法
假定被仿真的连续系统的传递函数如下式：
K s q1 s q2 s qm Gs s p1 s p2 s pn
f h (t ) f (kT ) kT t (k 1)T 1 e Ts Gh s Lg h t s
(4-4)
与理想的信号重构器相比， 在幅频上略有误差，而相 频上则略有所延迟，大约 比 f t 延迟T/2。
f t
图 4.9 零阶信号重构器的频谱特性
第一列诸元素为1，第一行诸元素为 z 1n 展开式
的各系数，阶次n确定后，这些元素均为已知；
可以证明，其余n×n个元素可由下式求得：
xi, j xi 1, j xi, j 1 xi 1, j 1 i,j =1，2,…，n
从而可得：
Az an
Bz n 1
z 1n n 1 z 1 z 1 n z 1
双线性替换（续）
2 0 T B z bn , bn1 , , b1 , b0 0
s 0 2 2
z ( z 1) ( z e T ) 2
z 1 K ( z 1) z Tz K zT z 1 y lim Gz U z lim ( z e T ) 2 ( z 1) 2 (1 e T ) 2 z 1 z 1 z z
z
＝1，
这就是说，Z平面上的单位圆，映射到S平面
上将是整个左半平面，其逆也真。 即如果原来G(s)稳定，那么G(z)也是稳定的。
线性化替换的映射关系
双线性替换（续）
程序替换算法
设线性系统的传递函数为 U s a0 s n a1s n1 an1s an Gs s b0 s n b1s n1 bn1s bn E 在双线性替换下得到的Z传递函数为：


根匹配法（续）
只要原系统是稳定的，则不论T取多大，都能保证仿真模 型也是稳定的。 根匹配法的一般步骤如下： (1)由Gs 计算出 K , q1 ,, qm , p1 ,, pn 。 (2)把S平面上的零极点映射到Z平面上，即： (3)初步构造一个具有上述零极点的 G z (4)确定Z平面上的附加零点。因为m≤n，故在S平面上有
1
2 T
2 T
n 1
0 n 2 T
z 1n z 1n1 z 1 n z 1
双线性替换（续）
由于z 1 ，z 1
n

z 1
n1
1 ，…，z - 均为n阶多项
n
式，可得到：
z 1n x00 n 1 z 1 z 1 x10 n i i z 1 z 1 xi 0 n z 1 xn 0
T z 1
2
也可写成为： z 1 sT / 2
1 sT / 2
2
即：
T 1 T 2 2 2 z 2 2 T 1 T 2 2
2
双线性替换（续）
若 0 ，则 z 1 ；若 0 ，则 而若 >0，则 z >1。
z e


T 2
Kz
1 e
2T
T 2
为了使相位既不领先也不滞后，可以将一个附加零 点设置在(0，－1)之间，即在G(z) 的分子上乘上 ( z ) nm ， 其中 为(0，1)之间的一个数，即：
G z K z z 1 z
现在有两个待定常数：K z 与 ，它可以通过频率特性 来确定。
z e
T
2
4.3 频域离散相似法
4.3.1 频域离散相似法基本原理
G( z) Z Gh (s)G(s)
G(z)
(4-3)
~ t y
u(t) G(s) (a )
y(t)
u(t) T
~ u t
Gh(s)
T G(s)
~t y
u t
u t
(b)
直接将双线性替换公式代入G(s)，可得：
2 z 1 2 z 1 2 z 1 a0 a1 a n 1 an T z 1 T z 1 T z 1 G0 z n n n 1 n 1 2 z 1 2 z 1 2 z 1 b0 b1 bn 1 bn T z 1 T z 1 T z 1
4.1 替换法
已知 z e ，这是一个超越函数，不能直接用
sT
它来替换。
4.1.1、欧拉替换
微分方程： / dt f (t ) ，根据欧拉积分公式： dx
xk 1 xk Tf k xk Txk
所以可得 即
z 1x Tx
x T x z 1
欧拉替换法（续）
U z d 0 z n d1 z n1 d n1 z d n G0 z E z e0 z n e1 z n1 en1 z en
(4-1) (4-2)
由ai，bi(i=0，1，…，n) 确定di，ei (i=0，