Mathematica第6章 插值与拟合
Mathematica使用教程
Mathematica使用教程【Mathematica 简介】Mathematica 软件是由沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研发的。
Mathematica 版发布于1988年6月23日。
发布之后，在科学、技术、媒体等领域引起了一片轰动，被认为是一个革命性的进步。
几个月后，Mathematica 就在世界各地拥有了成千上万的用户。
今天，Mathematica 已经在世界各地拥有了数以百万计的忠实用户。
Mathematica 已经被工业和教育领域被广泛地采用。
实际上，Mathematica 负责将高级的数学和计算引入了传统上非技术的领域，极大的增加了科技软件的市场。
一个包含应用、咨询、书籍、和课程软件的行业支持着国际化的 Mathematica 用户群，这个行业还在不断地膨胀。
随着沃尔夫勒姆研究公司不断地扩大和 Mathematica 的使用被不断地扩展到不同的领域，将会看到 Mathematica 在全世界范围内对未来产品、重要研究发现、和教学的巨大影响。
数学软件是现在科研工作者的必备的工具，个人比较喜欢用Mathematica，因为它是最接近数学语言的。
Mathematica 在15日发布，其最显著的变化是允许自由形式的英文输入，而不再需要严格按照Mathematica语法，这类似于Wolfram|Alpha搜索引擎。
Mathematica 8允许用户按照自己习惯的思考过程输入方程式或问题，最令人激动的部分是软件不是逐行执行命令，而是能理解上下文背景。
1. Enter your queries in plain English using new free-form linguistic input2. Access more than 10 trillion sets of curated, up-to-date, and ready-to-use data3. Import all your data using a wider array of import/export formats4. Use the broadest statistics and data visualization capabilities on the market5. Choose from a full suite of engineering tools, such as wavelets and control systems6. Use more powerful image processing and analysis capabilities7. Create interactive tools for rapid exploration of your ideas8. Develop faster and more powerful applicationsWolfram Research 的CEO 和创立者斯蒂芬·沃尔夫勒姆表示：“传统上，让计算机执行任务必须使用计算机语言或者使用点击式界面：前者要求用户掌握它的语法；而后者则限制了可访问函数的范围。
Mathematica的主要功能
3、数
Mathematica 以符号运算为主，这与一些语言有所不同，例如源自, e, 2 ,3
2 等符号表示准确数，近似数用带小数点的数表示，例如
1.2，2.3*10^5 等。Mathematica 中求近似值以及近似值的精度控制
函数为函数“N”，其调用格式如下：
N[表达式] 计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16 位有 效数字），但是按标准输出只显示前 6 位有效数字
每次运行结束后，Mathematica 会自动在输入的式子前面加上 “In[n]：=”（n 表示输入命令的序列号），在输出的答案前面加上 “Out[n]=”（n 表示输出结果的序列号），以便分清输入和输出并 自动加上编号。可以用“%”表示前一个输出的内容，“%%” 表 示倒数第 2 个输出的内容，依此类推，“% n”表示第 n 个（即 Out[n]）输出的内容。也就是说 Mathematica 输出的内容被系统 记忆，它们可以像其它变量一样在后面的计算中引用。
四、编程基础
1、自定义函数
前面介绍了 Mathematica 本身自带的内置函数，下面我们以实 例来说明定义函数的方法。例如，要定义函数 f (x) ex (sin x 1) ln x2 ， 我们只要键入命令 f[x_]:=Exp[x]*(Sin[x]+1)+Log[x^2] 运行即可。
注意：在函数的自变量后面有一个下划线“_”，这表示 x 为自变量， 可以把 x 代入为任何的值进行计算；等号前面的有个冒号，表示定 义函数。同样可以定义多变量函数。定义了函数 f[x]后，可以直接 地调用 f[x]来进行符号数学运算（例如积分、微分等）
三、基本代数运算
下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用于变换数学表达式、解 方程和解不等式。Mathematica 具有强大的符号运算功能，下面列 举的函数均可代入具有字母的表达式进行计算，得到精确解。
mathematica中数据拟合算符的用法
mathematica中数据拟合算符的用法在数据处理中常常设法用一个函数按照某种法则去描述一组数据，这就是数据拟合。
上面介绍的最小二乘法就是一种最常用的数据拟合方法。
mathematica中最基本的数据拟合算符是fit[ ] ,语法为fit[数据,拟合函数的基函数列表，变量]线性函数拟合的基函数为1，x ，n阶多项式拟合的基函数是1,x,x2,…xn。
例一册书的成本费y与印刷的册数x有关，统计数据如下：xi(千册) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yi（元）10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15试用y=a+ 去拟合上述数据。
mathematica程序及运行结果如下：data={10.15,5.52,4.08,2.85,2.11,1.62,1.41,1.30,1.21,1.15};fit[data,{1,1/x},x]四、实验内容与要求1 画出实验问题的数据图，并粗略估计这些数据与什么类型的函数比较吻合？2 取经验公式为线性函数y＝ax＋b 按照最小二乘法的原理用mathematica编程解实验问题。
3 取经验公式为y＝ax＋b ＋c sin[ x]+d cos[ x] ,用mathematica中算符fit[]来求解实验问题，并与内容2的精度比较，对比实际情况，你能得出什么？五、操作提示12 拟合程序及运行结果如下：预测程序及运行结果如下：3 程序及运行结果如下：计算两种经验公式的精度可以看出第二种较好，这与客流量呈季节被动变动的实际情况吻合。
怎样用mathematica拟合二元函数？数据拟合由一组已知数据（xk，yk）（k=1，2，…，n），求函数的近似解析式y=f（x），就是数据拟合问题，当然函数还可以是多元的。
Mathematica提供了进行数据拟合的函数：Fit[data，funs，vars] 对数据data用最小二乘法求函数表funs中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars是自变量或自变量的表。
Mathematic在多项式插值教学中的应用
第 ｌ ６卷 第 ４期
安庆 师 范学院 学报（ 自然科 学版）
Ｊｕ ａ ｏ ｎ ｉ ｅ ｃｅｓ ｏｌ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｑｎ Ｔ ａｈ ｒ Ｃ ｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｎ Ａ ｇ ｅ ｅ ｉ
ＮＯ ． ２ １ Ｖ ０ ０
插值 和 Ｎ ｗｔｎ插值 的上 述缺 陷 ， 该插 值 比较 复杂 ， ｅ ｏ 但 使用 起来 不是 很方 便 。 本文 主 要讨 论 Ｍａｈ ｍａｉ ｔｅ ｔ ｃ 数学 软件在 多项式 插值 教学 以及进 一步研 究 中的辅助 作用 Ｉ 。 ４ ］
１ Ｍ ａｈ ｍａｉ 在 多 项 式 插 值 数 值 实 验 中 的 应 用 ｔｅ ｔ ｃ
这就 导致 了学生在 学 习多项式 插值方 法 的过程 中很难 掌握好 这部 分 内容 。
常用 的多项式 插值 有 Ｌ ｇａ ｇ 插值 、 ｗｔｎ插值 和 三次样 条插值 。 ａ ｒｎ ｅ 值 和 Ｎｅ ｏ 插 值 ａ ｒｎ ｅ Ｎｅ ｏ Ｌ ｇａ ｇ 插 ｗｔｎ 的 主要缺点 是 ， 次插值 收敛 性差 ， 就是 可能 会 出现 Ｒｕ ｇ 高 也 ｎ ｅ现象 。 分段 多项式插 值可 以避 免 Ｌ ｇ ａ ｇ ａ ｒｎ ｅ
用 的多 项 式 插值 有 很 大 的局 限 性 ， 多数 学 生 一 般 难 以 掌 握 。本 文 主 要 讨 论 Ｍａｈ ｔ 数 学 软 件 在 多项 式 插 值 教 学 和 进 大 ｔｍａｉ ｅ
一
步 研 究 中 的辅 助作 用 。
关 键 词 ：数 值 分析 ； 学 ； 项 式 插值 教 多 中 围 分 类 号 ：Ｇ６ ２ ４ ．３ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ —４ ６ （ ０ ０ ０ 一Ｏ ８ 一Ｏ ０ ７ ２ ０ ２ １ ） ４ Ｏ８ ３
MATHEMATICA的综合、作图与拟合功能
(3) Mathematica中有许多符号已被软件包内部专用，因此，使用者在编程
序时禁止使用C、D、E、I、N、M、Pi等。
(4) 若在Mathematica的程序后面打分号“；” hematica的程序最后面加 //Timing ，则机器不但显示运算结
如下： <<Graphics`Graphics` 。其中的“`”号，是键盘左上角数字1旁边的“`” 。以后，只要是进入子程序软件包，其中的“`”号，都是键盘左上角数字1旁边的“`” 。
(9) 在Mathematica中作图，输出的图形按 1：0.618 的比例显示，若想得
时，首先激活此命令所在工作块右边的蓝色标志线（或者将光标放在此工作块程序之中的任何位置上），然后按击键盘右下方数字区的小Enter健（或者Shift + Enter ），即可执行指定工作块中的程序和命令。
(2) 点击工具栏中的“help”功能，可以查询任何一条命令的功用、要求、
使用范围、格式等等。
Mathematica软件系统是由美国的 Wolfram Research 公司1986年开始开发的，现今市面上已有Mathematica软件系统出售。
应用Mathematica软件系统的几点说明：
(1) Mathematica每次执行一个工作块（Cell）中的程序与命令。执行命令
其主要功能是（1）数学符号运算：几乎所有我们能够见到的数学运算它都能计算，并且它能根据使用者的需要给出符号结果与数值结
115果。例如，运算 ? 的结果可以是 ，也可以是0.833333；（2）强大的作图236
功能：可以数据作图，也可以参数作图或函数作图，还可以自定义作图；（3）带有丰富的子程序软件包，方便各种专业人士的使用。
Mathematica第6章 插值与拟合资料讲解
6.3 曲线拟合
给定一组数据，Mathematica可按最小二乘法的原 理对这组数据进行线性拟合或n次多项式等曲线拟 合，调用函数格式：
函数 Fit[data,funs,vars] Fit[{f1,f2,…},{1,x},x] Fit[{f1,f2,…},{1,x,x^2},x]
A,b]
x≥0下取得最小值的
矢量x
6.5.2无约束非线性规划
函数
意义
FindMinimum[f,{x,x0}] 从点x=x0开始，求函数f局 部最小值
FindMinimum[f,{x,x0,x 以x0,x1作为x的开始两个
1}]
值，求局部最小值
FindMinimum[f,{x,x0}, 求多自变量函数的极小值
Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x]
意义
用变量为vars的函数 funs拟合一组数据 线性拟合,拟合函数形式 为a+bx 二次曲线拟合,拟合函数 形式为a+bx+cx2
n阶多项式拟合
练习
已知函数为2e-x 1、求x从0到10的函数表（为近似值）。 2、求第一题所得数据的线性拟合。 3、求第一题所得数据的二次线性拟合。 4、把两次拟合的图形与原图形进行比较。
{y,y0},…]
FindMinimum[f,{x,x0, (xmin,xmax),(ymin,ymax)局 xmin,xmax},{y,y0,ymin 部极小点的上下界估计值
,ymax},…]
演示.5.nb
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
6.5数学规划
6.5.1线性规划
Mathematica函数及使用方法
Mathematica函数及使用方法(来源：北峰数模)--------------------------------------------------------------------- 注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。
---------------------------------------------------------------------一、运算符及特殊符号Line1; 执行Line，不显示结果Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果name 关于系统变量name的信息name 关于系统变量name的全部信息!command 执行Dos命令n! N的阶乘!!filename 显示文件内容< Expr>> filename 打开文件写Expr>>>filename 打开文件从文件末写() 结合率[] 函数{} 一个表<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数(*Note*) 程序的注释#n 第n个参数## 所有参数rule& 把rule作用于后面的式子% 前一次的输出%% 倒数第二次的输出%n 第n个输出var::note 变量var的注释"Astring " 字符串Context ` 上下文a+b 加a-b 减a*b或a b 乘a/b 除a^b 乘方base^^num 以base为进位的数lhs&&rhs 且lhs||rhs 或!lha 非++,-- 自加1，自减1+=,-=,*=,/= 同C语言>,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）lhs=rhs 立即赋值lhs:=rhs 建立动态赋值lhs:>rhs 建立替换规则lhs->rhs 建立替换规则exprule 将规则rule应用于exprexpr..的无限精度数值E ...的无限精度数值Catalan ..卡塔兰常数EulerGamma ....高斯常数GoldenRatio ...黄金分割数Degree Pi/180角度弧度换算I 复数单位Infinity 无穷大-Infinity 负无穷大ComplexInfinity 复无穷大Indeterminate 不定式—————————————————————————————————————三、代数计算Expand[expr] 展开表达式Factor[expr] 展开表达式Simplify[expr] 化简表达式FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数Collect[expr, x] 合并同次项Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项Together[expr] 通分Apart[expr] 部分分式展开Apart[expr, var] 对var的部分分式展开Cancel[expr] 约分ExpandAll[expr] 展开表达式ExpandAll[expr, patt] 展开表达式FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数Numerator[expr] 表达式expr的分子Denominator[expr] 表达式expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简TrigToExp[expr] 三角到指数的转化ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化RootReduce[expr]ToRadicals[expr]—————————————————————————————————————四、解方程Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出varsSolve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出varsDSolve[eqn, y, x] 解微分方程，其中y是x的函数DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组，其中yi是x的函数DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开InverseFunction[f] 求函数f的逆函数Root[f, k] 求多项式函数的第k个根Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根—————————————————————————————————————五、微积分函数D[f, x] 求f[x]的微分D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dxDt[f] 求f[x]的全微分dfDt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^nDt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对xNormal[expr] 化简并给出最常见的表达式SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]'或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数，其中ai为系数O[x]^n n阶小量x^nO[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n—————————————————————————————————————八、数值函数N[expr] 表达式的机器精度近似值N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]微分方程组数值解FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}]NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分优化函数：FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合在>=b&&x>=0约束下的最小值，x,b,c为向量,m为矩阵LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组vi的极小无关组数据处理：Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和data可以为{{x1,y1,..f1},{x2,y2,..f2}..}多维的情况emp: Fit[{,12,,}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]Interpolation[data]对数据进行差值,data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数InterpolationOrder默认为3次，可修改ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}] FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值Max[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数Sort[list] 将表中元素按升序排列Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater集合论：Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序Complement[listall,list1,list2...]从全集listall中对listi的差集—————————————————————————————————————九、虚数函数Re[expr] 复数表达式的实部Im[expr] 复数表达式的虚部Abs[expr] 复数表达式的模Arg[expr] 复数表达式的辐角Conjugate[expr] 复数表达式的共轭—————————————————————————————————————十、数的头及模式及其他操作Integer _Integer 整数Real _Real 实数Complex _Complex 复数Rational_Rational 有理数(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*) IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元RealDigits[x,b,len] 类上FromDigits[list] IntegerDigits的反函数Rationalize[x,dx] 把实数x有理化成有理数，误差小于dxChop[expr, delta] 将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10 Accuracy[x] 给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大Precision[x] 给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大SetAccuracy[expr, n] 设置expr显示时的小数部分位数SetPrecision[expr, n] 设置expr显示时的有效数字位数—————————————————————————————————————十一、区间函数Interval[{min, max}] 区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5}],x]*) IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗IntervalUnion[intv1,intv2...] 区间的并IntervalIntersection[intv1,intv2...] 区间的交—————————————————————————————————————十二、矩阵操作或Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积Inverse[m] 矩阵的逆Transpose[list] 矩阵的转置Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换Det[m] 矩阵的行列式Eigenvalues[m] 特征值Eigenvectors[m] 特征向量Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}LinearSolve[m, b] 解线性方程组==bNullSpace[m] 矩阵m的零空间，即[m]==零向量RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是) MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到的矩阵Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].vPseudoInverse[m] m的广义逆QRDecomposition[m] QR分解SchurDecomposition[m] Schur分解LUDecomposition[m] LU分解—————————————————————————————————————十三、表函数(*“表”，我认为是Mathematica中最灵活的一种数据类型*)(*实际上表就是表达式，表达式也就是表，所以下面list==expr *)(*一个表中元素的位置可以用于一个表来表示*)表的生成{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套Table[expr,{imax}] 生成一个表，共imax个元素Table[expr,{i, imax}] 生成一个表，共imax个元素expr[i] Table[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},..] 多维表Range[imax] 简单数表{1,2,..,imax}Range[imin, imax, di] 以di为步长的数表Array[f, n] 一维表，元素为f[i] (i从1到n)Array[f,{n1,n2..}] 多维表，元素为f[i,j..] (各自从1到ni) IdentityMatrix[n] n阶单位阵DiagonalMatrix[list] 对角阵元素操作Part[expr, i]或expr[[i]]第i个元expr[[-i]] 倒数第i个元expr[[i,j,..]] 多维表的元expr[[{i1,i2,..}] 返回由第i(n)的元素组成的子表First[expr] 第一个元Last[expr] 最后一个元Head[expr] 函数头，等于expr[[0]]Extract[expr, list] 取出由表list制定位置上expr的元素值Take[list, n] 取出表list前n个元组成的表Take[list,{m,n}] 取出表list从m到n的元素组成的表Drop[list, n] 去掉表list前n个元剩下的表，其他参数同上Rest[expr] 去掉表list第一个元剩下的表Select[list, crit] 把crit作用到每一个list的元上，为True的所有元组成的表表的属性Length[expr] expr第一曾元素的个数Dimensions[expr] 表的维数返回{n1,n2..},expr为一个n1*n2...的阵TensorRank[expr] 秩Depth[expr] expr最大深度Level[expr,n] 给出expr中第n层子表达式的列表Count[list, pattern] 满足模式的list中元的个数MemberQ[list, form] list中是否有匹配form的元FreeQ[expr, form] MemberQ的反函数Position[expr, pattern] 表中匹配模式pattern的元素的位置列表Cases[{e1,e2...},pattern]匹配模式pattern的所有元素ei的表表的操作Append[expr, elem] 返回在表expr的最后追加elem元后的表Prepend[expr, elem] 返回在表expr的最前添加elem元后的表Insert[list, elem, n] 在第n元前插入elemInsert[expr,elem,{i,j,..}]在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elemDelete[expr, {i, j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表DeleteCases[expr,pattern]删除匹配pattern的所有元后剩下的表ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元替换为newSort[list] 返回list按顺序排列的表Reverse[expr] 把表expr倒过来RotateLeft[expr, n] 把表expr循环左移n次RotateRight[expr, n] 把表expr循环右移n次Partition[list, n] 把list按每n各元为一个子表分割后再组成的大表Flatten[list] 抹平所有子表后得到的一维大表Flatten[list,n] 抹平到第n层Split[list] 把相同的元组成一个子表，再合成的大表FlattenAt[list, n] 把list[[n]]处的子表抹平Permutations[list] 由list的元素组成的所有全排列的列表Order[expr1,expr2] 如果expr1在expr2之前返回1,如果expr1在expr2之后返回-1,如果expr1与expr2全等返回0Signature[list] 把list通过两两交换得到标准顺序所需的交换次数(排列数)以上函数均为仅返回所需表而不改变原表AppendTo[list,elem] 相当于list=Append[list,elem];PrependTo[list,elem] 相当于list=Prepend[list,elem];--—————————————————————————————————————十四、绘图函数二维作图Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线Plot[{f1,f2..},{x,xmin,xmax}] 在一张图上画几条曲线ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},..}] 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,tmax}]在一张图上画多条参数曲线选项：PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比PlotLabel ->label 标题文字Axes ->{False,True} 分别制定是否画x,y轴AxesLabel->{xlabel,ylabel}x,y轴上的说明文字Ticks->None,Automatic,fun用什么方式画轴的刻度AxesOrigin ->{x,y} 坐标轴原点位置AxesStyle->{{xstyle}, {ystyle}}设置轴线的线性颜色等属性Frame ->True,False 是否画边框FrameLabel ->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel}边框四边上的文字FrameTicks同Ticks 边框上是否画刻度GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线FrameStyle ->{{xmstyle},{ymstyle}设置边框线的线性颜色等属性ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线PlotSytle->{{style1},{style2},..}曲线的线性颜色等属性PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致三维作图Plot3D[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]的空间曲面Plot3D[{f,s}, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]同上，曲面的染色由s[x,y]值决定ListPlot3D[array] 二维数据阵array的立体高度图ListPlot3D[array,shades]同上，曲面的染色由shades[数据]值决定ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]二元数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{t,tmin,tmax}]多条空间参数曲线选项：ViewPoint ->{x,y,z} 三维视点，默认为{,,2}Boxed -> True,False 是否画三维长方体边框BoxRatios->{sx,sy,sz} 三轴比例BoxStyle 三维长方体边框线性颜色等属性Lighting ->True 是否染色LightSources->{s1,s2..} si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color} color为灯色，向dx,dy,dz方向照射AmbientLight->颜色函数慢散射光的光源Mesh->True,False 是否画曲面上与x,y轴平行的截面的截线MeshStyle 截线线性颜色等属性MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}}网格范围ClipFill->Automatic,None,color,{bottom,top}指定图形顶部、底部超界后所画的颜色Shading ->False,True 是否染色HiddenSurface->True,False 略去被遮住不显示部分的信息等高线ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图ListContourPlot[array] 根据二维数组array数值画等高线选项：Contours->n 画n条等高线Contours->{z1,z2,..} 在zi处画等高线ContourShading -> False 是否用深浅染色ContourLines -> True 是否画等高线ContourStyle -> {{style1},{style2},..}等高线线性颜色等属性FrameTicks 同上密度图DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图ListDensityPlot[array] 同上图形显示Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置Show[g1,g2...] 在一个图上叠加显示一组图形对象GraphicsArray[{g1,g2,...}]在一个图上分块显示一组图形对象SelectionAnimate[notebook,t]把选中的notebook中的图画循环放映选项：(此处选项适用于全部图形函数)Background->颜色函数指定绘图的背景颜色RotateLabel -> True 竖着写文字TextStyle 此后输出文字的字体，颜色大小等ColorFunction->Hue等把其作用于某点的函数值上决定某点的颜色RenderAll->False 是否对遮挡部分也染色MaxBend 曲线、曲面最大弯曲度绘图函数（续）图元函数Graphics[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象Graphics3D[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象SurfaceGraphics[array, shades]表示一个由array和shade决定的曲面对象ContourGraphics[array]表示一个由array决定的等高线图对象DensityGraphics[array]表示一个由array决定的密度图对象以上定义图形对象，可以进行对变量赋值，合并显示等操作，也可以存盘Point[p] p={x,y}或{x,y,z}，在指定位置画点Line[{p1,p2,..}]经由pi点连线Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] 画矩形Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]由对角线指定的长方体Polygon[{p1,p2,..}] 封闭多边形Circle[{x,y},r] 画圆Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度a1～a2的圆弧Disk[{x, y}, r] 填充的园、椭圆、圆弧等参数同上Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式PostScript["string"] 直接用PostScript图元语言写Scaled[{x,y,..}] 返回点的坐标，且均大于0小于1颜色函数(指定其后绘图的颜色)GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数RGBColor[red, green, blue] RGB颜色，均为0~1间的实数Hue[h, s, b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] CMYK颜色其他函数(指定其后绘图的方式)Thickness[r] 设置线宽为rPointSize[d] 设置绘点的大小Dashing[{r1,r2,..}] 虚线一个单元的间隔长度ImageSize->{x, y} 显示图形大小(像素为单位)ImageResolution->r 图形解析度r个dpiImageMargins->{{left,right},{bottom,top}}四边的空白ImageRotated->False 是否旋转90度显示—————————————————————————————————————十五、流程控制分支If[condition, t, f] 如果condition为True,执行t段，否则f段If[condition, t, f, u] 同上，即非True又非False，则执行u段Which[test1,block1,test2,block2..] 执行第一为True的testi对应的blocki Switch[expr,form1,block1,form2,block2..]执行第一个expr所匹配的formi所对应的blocki段循环Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次Do[expr,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},...]多重循环While[test, body] 循环执行body直到test为FalseFor[start,test,incr,body]类似于C语言中的for，注意"，"与";"的用法相反examp: For[i=1;t =x,i^2<10,i++,t =t+i;Print[t]]异常控制Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理Throw[value, tag] 同上，Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止Catch[expr, form] 当Throw[value, tag]中Tag匹配form时停止其他控制Return[expr] 从函数返回，返回值为exprReturn[ ] 返回值NullBreak[ ] 结束最近的一重循环Continue[ ] 停止本次循环，进行下一次循环Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处Label[tag] 设置一个断点Check[expr,failexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...]当特定信息产生时则返回failexpr CheckAbort[expr,failexpr]当产生abort信息时放回failexprInterrupt[ ] 中断运行Abort[ ] 中断运行TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止MemoryConstrained[expr,b]计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算交互式控制Print[expr1,expr2,...] 顺次输出expri的值examp: Print[ "X=" , X.},body]多自变量纯函数#，#n 纯函数的第一、第n个自变量## 纯函数的所有自变量的序列examp: ^& [2,3] 返回第一个参数的第二个参数次方映射Map[f,expr]或f/@expr 将f分别作用到expr第一层的每一个元上得到的列表Map[f,expr,level] 将f分别作用到expr第level层的每一个元上Apply[f,expr]或f@@expr 将expr的“头”换为fApply[f,expr,level] 将expr第level层的“头”换为fMapAll[f,expr]或f.}] 把f作用到expr[[{i,j,...}]]元上MapIndexed[f,expr] 类似MapAll,但都附加其映射元素的位置列表Scan[f, expr] 按顺序分别将f作用于expr的每一个元Scan[f,expr,levelspec] 同上，仅作用第level层的元素复合映射Nest[f,expr,n] 返回n重复合函数f[f[...f[expr]...]]NestList[f,expr,n] 返回0重到n重复合函数的列表{expr,f[expr],f[f[expr]]..} FixedPoint[f, expr] 将f复合作用于expr直到结果不再改变,即找到其不定点FixedPoint[f, expr, n] 最多复合n次，如果不收敛则停止FixedPointList[f, expr] 返回各次复合的结果列表FoldList[f,x,{a,b,..}] 返回{x,f[x,a],f[f[x,a],b],..}Fold[f, x, list] 返回FoldList[f,x,{a,b,..}]的最后一个元ComposeList[{f1,f2,..},x]返回{x,f1[x],f2[f1[x]],..}的复合函数列表Distribute[f[x1,x2,..]] f对加法的分配率Distribute[expr, g] 对g的分配率Identity[expr] expr的全等变换Composition[f1,f2,..] 组成复合纯函数f1[f2[..fn[ ]..]Operate[p,f[x,y]] 返回p[f][x, y]Through[p[f1,f2][x]] 返回p[f1[x],f2[x]]Compile[{x1,x2,..},expr]编译一个函数，编译后运行速度可以大大加快Compile[{{x1,t1},{x2,t2}..},expr] 同上，可以制定函数参数类型—————————————————————————————————————十七、替换规则lhs->rhs 建立了一个规则，把lhs换为rhs,并求rhs的值lhs:>rhs 同上，只是不立即求rhs的值，知道使用该规则时才求值Replace[expr,rules] 把一组规则应用到expr上，只作用一次expr /. rules 同上expr .}]综合各个规则，产生一组优化的规则组><Mathematica的常见问题><===================================1).Mathematica 可以定义变量为实数么1. 在Simplify/FullSimplify可以使用\[Element]，如Simplify[Re[a+b*I],a\[Element]Reals]2. 可以使用ComplexExpand[]来展开表达式，默认：符号均为实数：Unprotect[Abs];Abs[x_] := Sqrt[Re[x]^2 + Im[x]^2];ComplexExpand[Abs[a + b*I], a]3. 使用/:，对符号关联相应的转换规则x /: Im[x] = 0;x /: Re[x] = x;y /: Im[y] = 0;y /: Re[y] = y;Re[x+y*I]===================================2).Mathematica中如何中断运算Alt+. 直接终止当前执行的运算Alt+, 询问是否终止或者继续如果不能终止，用菜单Kernel\Quit Kernal\Local来退出当前运算===================================3).请高手推荐Mathematica参考书我迄今为止看到的最好的一本就是Mathematica自己带的帮助里面的The Mathematica Book，内容全面，循序渐近，非常容易学习使用。
60Mathematica数值计算
第六章数值计算命令与例题数值问题由一组已知数据来求出一组结果数据，使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，数值计算就是通过对数学问题解有效的近似处理去获得比较满意解的计算方法。
这里只介绍与数值计算中最基本方法的一些命令与例题。
6.1求近似函数在生产和实验中, 人们经常遇到需要通过某个未知(或复杂)的函数f(x)在有限个给定点的函数值:{x i, y i}, i=1,2,…., n, 这里f(x i) = y i 去获得函数f(x)的近似函数ϕ(x), 以便于处理涉及到f(x)的计算或其他处理问题, 这种求近似函数ϕ(x)的方法主要有拟合方法和插值方法。
一般, 曲线拟合是常用的拟合方法, 而插值方法常用的有多项式插值与分段插值方法, 在Mathematica 中它们都有相应的命令来获得相应的近似函数。
6.1.1 曲线拟合曲线拟合主要用来求一元近似函数, 它是根据一组函数值(通常是测量值或试验数据)去寻找描述相应函数关系的一种常用数据逼近方法, 是根据最小二乘原理的意义下获得近似函数的, 此近似函数具有在数据点处的误差平方和最小的特点。
通过拟合得到的函数关系通常称为经验公式, 该函数不必经过任何的数据点, 是实际函数的一种近似函数。
曲线拟合结果的好坏与选用什么类型的函数作为拟和曲线类型有关。
记函数集合:M=Span[ϕ0, ϕ1, ϕ2,…, ϕm]={ ϕ(x)| ϕ(x)= a 0 ϕ0(x)+a1ϕ1(x)+…+a mϕm(x), a i∈R}称集合M为函数ϕ0, ϕ1, ϕ2,…, ϕm张成的空间，m+1个函数ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x),…, ϕm(x)称为拟合基函数集合, 它们都是已知的函数。
拟合基函数集合不同对应不同的拟合函数类, 如果要用曲线拟合方法得到经验公式, 通常是先画出所给数据的散点图, 再根据散点图选择合适的拟和函数类型做曲线拟合。
应该注意的是:选择不同的拟合函数类会得到不同的拟合函数,拟合函数的好坏依赖于所选的拟合函数类,如果你知道的曲线类型多, 就容易获得满意的拟合函数。
Mathematica完美教程-从入门到精通
Mathematica 教程
第1章 Mathematica概述 第2章 Mathematica的基本量 第3章 Mathematica的基本运算 第4章 Mathematica函数作图 第5章 Mathematica微积分的基本操作 第6章 Mathematica微分方程的求解 第7章 Mathematica
• 2．特殊字符的输入
MathemMatica 还提供了用以输入各种特殊符号的 工具样。基本输入 工具样包含了常用的特殊字符 （上图），只要单击这些字符按钮即可输入。 若要输入其它的 特殊字符或运算符
号，必须使用从FILE 菜单中选取Complete Characters工具栏, 如图：
1.2 Mathematica的联机帮助系统
Mathematic担提供了两种格式的数学表达
式。形如x/(2+3x)+y*(x-w)的称为一维格式，
形如
的称为二维格式。
你可以使用快捷方式输入二维格式，也可 用基本输入工具栏 输入二维格式。
可从FILE菜单中激活Palettes->Basic Input 工具栏，也可输入， 并且使用工具 栏可输入更复杂的数学表达式。 如图：
ln[1]:=2^100 Out[1]=126765294376
在Mathematica中允许使用分数，也就是用有理数 表示化简过的分数。当两个整数相除而又不能整 除时，系统就用有理数来表示，即有理数是由两 个整数的比来组成如： In[2]:=12345/5555 Out[2]=2469/1111
六、用Mathematica作曲线拟合举例
六、用Mathematica 作曲线拟合举例1．用三次多项式对数据表{}{}{}{}{}1.001,1,1.9,4,3,9.2,4,15.9进行曲线拟合.d1 1.001,1, 1.9,4,3,9.2,4,15.91.00111.9439.2415.9Fit d1,1,x,x^2,x^3,x0.0813373x 30.215492x 22.18207x1.481762．对数据表{}{}{}{}{}1.001,1,1.9,4,3,9.2,4,15.9,(1)画散点图;(2)用二次多项式进行曲线拟合;(3)画出拟合曲线;(4)将散点图和拟合曲线放在一张图上观察拟合效果.d1 1.001,1, 1.9,4,3,9.2,4,15.91.00111.9439.2415.9st ListPlot d1,PlotStyle PointSize .02Graphicsnh Fit d1,1,x,x^2,x 0.82555x20.82101x0.618748nt Plot nh,x,1,4GraphicsShow st,ntGraphics3．对数据表{}{}{}{}{}1.001,1,1.9,4,3,9.2,4,15.9,(1)画散点图;(2)用一次多项式进行曲线拟合;(3)画出拟合曲线;(4)将散点图和拟合曲线放在一张图上观察拟合效果.d1 1.001,1, 1.9,4,3,9.2,4,15.91.00111.9439.2415.9st3ListPlot d1,PlotStyle Hue 0,PointSize .03Graphicsnh3Fit d1,1,x,x 4.95557x 4.74128nt3Plot nh3,x,1,5GraphicsShow st3,nt3Graphics4．当1,2,3,4,5,6x=时造函数sin x的函数表,用三次多项式进行曲线拟合. data4N Table Sin x ,x,1,60.841471,0.909297,0.14112,0.756802,0.958924,0.279415Fit data4,1,x,x^3,x^5,x0.00108081x50.0471705x30.114681x0.8506065.当0.2,0.4,0.6,0.8,1x=时,造函数ln sin x的函数表,(1)画散点图;(2)将散点图连点成折线;(3)以sin,sin2x x为基函数对该数据表进行曲线拟合;(4)画出拟合函数;(5)将散点图,折线和拟合曲线放在一张图上.data5Table x,Log Sin x,x,0.2,1.,0.20.2 1.616110.40.9431010.60.5715630.80.3321831.0.172604nh5Fit data5,1,Sin x,Sin2x,x1.39652sin x 0.940588sin 2x2.22709st5ListPlot data5,PlotStyle Hue.7,PointSize .03Graphicszx5=ListPlot[data5, PlotJoined -> True]GraphicsHue.9nt5Plot nh5,x,0,1,PlotStyleShow st5,zx5,nt5Graphics6. 为了测定刀具的磨损速度,我们这样做的实验:经过一定的时间t(如每隔一小时),测量一次刀具的厚度y,得到一组实测数据如下:t01234567y27.26.826.526.326.125.725.324.8试根据上面的实验数据用最小二乘法建立y和t之间的经验公式y=f(t).也就是说,要找出一个能使上述数据大体适合的函数关系.第一步画出数据表的散点图,以确定f(t)的类型.(*输入数据*)d0,27.0,1,26.8,2,26.5,3,26.3,4,26.1, 5,25.7,6,25.3,7,24.8;(*作出数据表的散点图*)st ListPlot d,PlotStyle Hue 0,PointSize .03Graphics由图可见,数据点大致在一条直线附近.可以认为f(t)是线性函数.因此设 f(t)=at+b第2步 构造偏差平方和Q a_,b_i 18d i,2a d i,1b 227.b 27ab24.826a b 25.325a b25.724ab26.123ab26.322ab26.52ab 26.82第3步 求出待定参数,a bSolveaQ a,b 0,bQ a,b 0,a,ba 0.303571,b27.125第4步写出拟合函数f t0.303571t27.1257. 用Fit对6题中的数据表分别进行直线拟合和抛物拟合,并比较那种拟合更好?(*输入数据*)d0,27.0,1,26.8,2,26.5,3,26.3,4,26.1, 5,25.7,6,25.3,7,24.8;(*作出数据表的散点图*)st ListPlot d,PlotStyle Hue 0,PointSize .03Graphics(*直接用Mathematica求出直线拟合函数*)nh t_Fit d,1,t,t27.1250.303571t(*直接用Mathematica求出抛物拟合函数*)nhp t_Fit d,1,t,t^2,t0.0232143t 20.141071t26.9625(*计算直线拟合nh的偏差平方和*)q18d k,2nh d k,12k10.108214(*计算抛物拟合nhp的偏差平方和*)q28d k,2nhp d k,12k10.0176786If q1q2,Print"直线拟合好",Print"抛物拟合好"抛物拟合好(*作出直线拟合函数的图形*)nt Plot nh t ,t,0,8Graphics(*作出抛物拟合函数的图形*)ntp Plot nhp t,t,0,8Graphics(*在同一坐标系中显示散点图和拟合曲线的图形*)Show st,nt,ntpGraphics8. 对6题中的数据表分别进行指数拟合和抛物拟合,并比较那种拟合更好?(*输入数据*)d0,27.0,1,26.8,2,26.5,3,26.3,4,26.1, 5,25.7,6,25.3,7,24.8;(*直接用Mathematica求出抛物拟合函数*)nhp t_Fit d,1,t,t^2,t0.0232143t20.141071t26.9625(*计算抛物拟合nhp的偏差平方和*)q18d k,2nhp d k,12k10.0176786Statistics`NonlinearFit`(*直接用Mathematica求出指数物拟合函数*)zsn t_NonlinearFit d,c E a b t ,t ,a,b,c0.954174 3.347670.0116052t(*计算指数拟合zsn的偏差平方和*)q28d k,2zsn d k,12k10.12244If q1q2,Print"抛物拟合好",Print"指数拟合好"抛物拟合好。
Mathematica软件进行拟合
实验九数据的曲线拟合一、实验目的与要求学会利用Mathematica软件对已知数据进行拟合处理，并针对拟合结果的图形显示分析拟合函数的优劣二、实验的基本知识熟知一些曲线及其方程三、实验的具体内容例1现有一组实测数据试用某种函数（如一元二次函数）对它进行曲线拟合解输入数据表L={{0,0.3},{0.2,0.45},{0.3,0.47},{0.52,0.50},{0.64,0.38},{0.7,0.33},{1.0,0.24}}由于假设用一元二次函数拟合，因而经验函数表为{1 , x , x^2}键入f=Fit[L,{1, x , x^2},x]为观察拟合情况，我们在一个图上画出数据点和拟合函数，键入ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}]Show[%,%%]或键入fp= ListPlot[L,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]gp= Plot[f,{x , -0.2 , 1.2}]Show[fp,gp]运行可得拟合函数为0.33129+0.596026x-0.71812x2，并且从图形中可以观察拟合的结果，若散点图与曲线拟合不够理想，可以考虑用更高次的多项式或其它函数进行拟合。
例2 在某化学反应里，由实验得到生物的浓度与时间的关系如下，求浓度与时间关系的拟合曲线t（分） 1 2 3 4 5 6 7 8y 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86t（分）9 10 11 12 13 14 15 16y 10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6解为确定拟合函数的类型，可先在直角坐标系中作出散点图，键入t1={{1,4},{2,6.4,{3,8.0}},{,{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}}t2=ListPlot[t1,PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],PointSize[0.04]}]若用四次多项式进行拟合，则键入t3=Fit[t1,Table[x^I,{I,0,4}],x]t4=Plot[t3,{x,0,17},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0]}]Show[t2,t4]运行后，可得拟合函数的表达式以及散点图与拟合函数图，从图中可见二者的吻合情况是否满意。
mathematica 拟合曲线
mathematica 拟合曲线Mathematica拟合曲线Mathematica是一款功能强大的数学软件，它具备拟合曲线的功能，可以帮助我们分析和处理曲线数据。
在本文中，我们将介绍如何使用Mathematica进行曲线拟合。
1. 数据准备在进行曲线拟合之前，首先需要准备一组数据。
这组数据应该包含自变量和因变量的取值。
假设我们有以下数据：自变量 x: 1, 2, 3, 4, 5因变量 y: 4, 7, 10, 13, 162. 构建数学模型在进行曲线拟合之前，我们需要选择一个数学模型来描述数据之间的关系。
在Mathematica中，可以使用各种数学函数来构建模型，包括线性函数、多项式函数、指数函数等。
假设我们选择了一个二次多项式函数来模拟数据，可以表示为：y = a*x^2 + b*x + c其中a、b、c是待确定的参数。
3. 曲线拟合在Mathematica中，可以使用FindFit函数进行曲线拟合。
语法如下：fit = FindFit[data, model, {a, b, c}, x]其中data是待拟合的数据，model是选择的数学模型，{a, b, c}是待确定的参数，x是自变量。
对于我们的数据，可以使用以下代码进行曲线拟合：data = {{1, 4}, {2, 7}, {3, 10}, {4, 13}, {5, 16}};model = a*x^2 + b*x + c;fit = FindFit[data, model, {a, b, c}, x]Mathematica将通过最小二乘法来拟合曲线，并得出参数的估计值。
4. 可视化结果完成曲线拟合后，可以使用Plot函数将实际数据和拟合曲线进行可视化。
可以使用以下代码：Show[ListPlot[data, PlotStyle -> Red], Plot[model /. fit, {x, 0, 6}]]其中ListPlot绘制实际数据的散点图，Plot绘制拟合曲线。
mathematica通过数据进行曲线拟合 导出公式
mathematica通过数据进行曲线拟合导出公式Mathematica是一种功能强大的数学计算软件，可以通过数据进行曲线拟合，并输出拟合公式。
要在Mathematica中进行曲线拟合，需要先导入数据。
可以使用`Import`命令导入数据文件，或直接使用`List`命令输入数据。
例如，假设要拟合的数据为一个二维列表，其中`x`为自变量，`y`为因变量，可以使用以下命令导入数据：```data = {{x1, y1}, {x2, y2}, ...}；```然后，可以使用`FindFit`命令进行曲线拟合。
`FindFit`命令需要指定拟合的函数形式和拟合参数的初始值。
例如，可以使用以下命令进行线性拟合：```fit = FindFit[data, a*x + b, {a, b}, x];```其中，`data`为输入数据，`a`和`b`为拟合参数，`x`为自变量。
拟合结果将存储在`fit`中。
要导出曲线拟合的公式，可以使用`Normal`命令。
例如，可以使用以下命令导出线性拟合的公式：```fitFunc = Normal[fit];```其中，`fitFunc`即为拟合的线性函数。
准确回答你的问题，曲线拟合的准确性取决于拟合函数的选择和数据的合理性。
可以通过调整拟合函数的形式和参数的初始值，以及增加拟合参数的数量，来提高拟合的准确性。
此外，还可以对数据进行预处理，例如去噪、平滑等，以获得更准确的拟合结果。
拓展的话，Mathematica不仅可以进行简单的曲线拟合，还可以进行更复杂的拟合任务，如非线性拟合、多项式拟合、曲面拟合等。
可以利用Mathematica提供的丰富的拟合函数和性能强大的计算能力，在科学研究、工程分析等领域中广泛应用。
mathematica多维数组插值
mathematica多维数组插值Mathematica是一款功能强大的数学软件，它支持多维数组插值。
多维数组插值是指在多维空间中，根据已知数据点的值，推断出未知点的值。
在实际应用中，多维数组插值常用于图像处理、地理信息系统、物理模拟等领域。
Mathematica中的多维数组插值函数为Interpolation。
该函数可以接受多维数组作为输入，返回一个插值函数。
插值函数可以用于计算任意位置的值。
下面是一个简单的例子，演示如何使用Interpolation函数进行二维数组插值：```data = Table[Sin[x y], {x, 0, Pi, Pi/4}, {y, 0, Pi, Pi/4}];f = Interpolation[data];f[0.5, 0.5]```在这个例子中，我们生成了一个二维数组data，其中每个元素的值为Sin(x*y)。
然后，我们使用Interpolation函数生成了一个插值函数f。
最后，我们计算了插值函数在位置(0.5, 0.5)处的值。
除了二维数组插值，Interpolation函数还支持更高维度的数组插值。
例如，下面的代码演示了如何进行三维数组插值：```data = Table[Sin[x y z], {x, 0, Pi, Pi/4}, {y, 0, Pi, Pi/4}, {z, 0, Pi,Pi/4}];f = Interpolation[data];f[0.5, 0.5, 0.5]```在这个例子中，我们生成了一个三维数组data，其中每个元素的值为Sin(x*y*z)。
然后，我们使用Interpolation函数生成了一个插值函数f。
最后，我们计算了插值函数在位置(0.5, 0.5, 0.5)处的值。
需要注意的是，Interpolation函数默认使用的插值方法是二次插值。
如果需要使用其他插值方法，可以通过指定Interpolation函数的第二个参数来实现。
mathematica实验报告6(线性代数,插值,拟合)
结果：{{15,13,22},{18,16,26}}
（2）。命令：Det[u]
结果：{{15,13,22},{18,16,26}}
（3）。命令：Inverse[u]结果：w={{1,2,0},{2,1,0},{0,0,2}}
三命令：w={{1,2,0},{2,1,0},{0,0,2}}
Eigensystem[w]
四、程序、命令与结果
一．（1）命令：IdentityMatrix[3] %//MatrixForm
结果：
（2）命令：Table[If[i>j,0,2],{i,1,3},{j,1,4}] //TableForm
结果：
二．（1）命令：v={{4,5,6},{5,6,7}}
u={{1,2,0},{1,1,2},{1,0,2}}
新疆财经大学《数学软件》实验报告
实验6线性代数、插值与拟合
班级专业：姓名：学号：日期：成绩：
一、实验目的
1．掌握线性代数中的各种变换及运算；
2.掌握函数的插值与拟合方法；
二、实验准备
命令：MatrixForm、Table、IdentityMatrix、DiagonalMatrix、Det、Transpose、Inverse、Eigenvalue、Eigenvectors
3）利用所求得的P5（x）计算P5（2.3），P5（4.5）。
6.对数据表Tb1：
1)在[0，6]上分别求2，4，6次拟合多项式P2(x),P4(x),P6(x)；
2）依次画出y2=P2（x），y4=P4（x），y6=P6（x）的图形c2,c4,c6;
3）将曲线c2,c4,c6连同曲线c0： 组合在同一坐标系下。
PseudoInverse、SingularValues、RowReduce、LinearSolve、NullSpace、Interpolation、Fit等命令
Mathematics中数据处理插值拟合和编程基础
{{x0,f0},{x1,f1},…,{xn,fn}} (平面点的坐标) {f1,…,fn} (点的纵坐标，第i个点的横坐标为i) {{x0,{f0,df0}},{x1,{f1,df1}},…,{xn,{fn,dfn}}} (点的函数 值及一阶导数值) {{x0,y0,z0},{x1,y1,z1},…,{xn,yn,zn}} (三维空间点列)
m=i^3 ;Module[{i=b},i+m] m=i^3 ;Block[{i=b},i+m]
二、条件控制结构
逻辑表达式和逻辑运算符
关系运算符：= = != > >= 逻辑运算符： ！ && || 意义： 非 与 或 < <=
逻辑表达式的值
真、假、非真非假
If语句的结构
设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…n, 如何揭示自变量x与因变量y 之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合
一、插值
给定n+1个插值点(xi,yi), i=0,1,2,…,n, 构造次数不超过n的多 项式p(x), 使p(xi)=yi, 则称p(x)为插值多项式。 构造插值对象的函数： Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 功能： 对数据data进行插值运算，并可设置插值多项式的次数n, 默认 值为3。 注: 生成一个InterpolatingFunction[插值范围，<>]目标，不显 示所构造的函数。 所得目标为近似函数 数据data的表示形式
程序设计
一、过程的基本构成
过程是用分号隔开的表达式序列,也称为复合表达式. 复合表达式的值是该表达式序列最后一个表达式的值. 全局变量与局部变量 局部变量的说明： Module[{局部变量表},表达式] Block[{局部变量表},表达式] 注： 变量表中只列变量名,可赋初值,变量间用逗号隔开. Module与Block函数中的表达式常常是复合表达式. Module与Block函数的函数值即为表达式的值. 例: wc[n_]:= Module[{i, f}, b = Table[x^i, {i, 1, n}]; f[x_] = Fit[data, b, x]; Sum[(data[[i, 2]] - f[data[[i, 1]]])^2, {i, 1, Length[data]}]]
mathematica插值与拟合 (1)
第6章插值与拟合
插值：
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
6.1一元插值
6.1.1数据的给出方式
6.1.2整区间上的插值
6.1.3分段区间上的插值
分段区间上插值的调用函数及其调用格式如下：
这种插值函数还可以用在区间端点处带有导数条件的问题上，要求输入的数据必须具有data3的形式。
6.2二元插值
6.3一元拟合
6.4二元拟合。
mathematica多维数组插值
mathematica多维数组插值Mathematica是一种强大的数学软件，它提供了许多功能和工具，可以用于处理和分析多维数组数据。
在本文中，我们将介绍如何使用Mathematica进行多维数组插值。
让我们了解一下什么是多维数组。
多维数组是一个由多个维度组成的数据结构，类似于矩阵。
每个维度都有一个索引，可以用来访问数组中的元素。
例如，一个二维数组可以表示为一个表格，其中每个元素都有两个索引：行索引和列索引。
在Mathematica中，我们可以使用Interpolation函数进行多维数组的插值。
插值是一种通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的方法。
插值可以用于填充缺失的数据，生成平滑的曲线或曲面，并在数据点之间进行预测。
要使用Interpolation函数进行多维数组的插值，我们首先需要准备一组已知数据点。
这些数据点可以是任意维度的数组，但需要确保数据点之间的间隔均匀。
然后，我们可以使用Interpolation函数将这些数据点拟合成一个插值函数。
下面是一个简单的例子，展示了如何使用Mathematica进行二维数组的插值：```data = {{0, 0, 1}, {1, 0, 2}, {0, 1, 3}, {1, 1, 4}};interp = Interpolation[data];```在这个例子中，我们有一个二维数组data，其中包含了四个数据点。
每个数据点都有两个坐标和一个值。
我们使用Interpolation函数将这些数据点拟合成一个插值函数interp。
一旦我们有了插值函数，我们就可以使用它来估计未知数据点的值。
例如，我们可以使用interp函数计算坐标为(0.5, 0.5)的点的值：```value = interp[0.5, 0.5]```在这个例子中，我们使用interp函数计算了坐标为(0.5, 0.5)的点的值。
插值函数会根据已知数据点之间的关系来估计这个未知点的值，并返回一个结果。
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6.5.2无约束非线性规划
函数 意义
FindMinimum[f,{x,x0}] 从点x=x0开始，求函数f局 部最小值 FindMinimum[f,{x,x0,x 1}] FindMinimum[f,{x,x0}, {y,y0},…] FindMinimum[f,{x,x0, xmin,xmax},{y,y0,ymin ,ymax},…] 以x0,x1作为x的开始两个 值，求局部最小值 求多自变量函数的极小值 (xmin,xmax),(ymin,ymax)局 部极小点的上下界估计值
6.3 曲线拟合
给定一组数据，Mathematica可按最小二乘法的原 理对这组数据进行线性拟合或n次多项式等曲线拟 合，调用函数格式： 函数 Fit[data,funs,vars] 意义 用变量为vars的函数 funs拟合一组数据 线性拟合,拟合函数形式 为a+bx 二次曲线拟合,拟合函数 形式为a+bx+cx2 n阶多项式拟合
6.5数学规划
6.5.1线性规划
函数 ConstrainedMax[f,{ine qualities},{x,y,…}] ConstrainedMin[f,{ine qualities},{x,y,…}] LinearProgramming[C, A,b] 意义 在不等式约束的区域 内求f的最大值 在不等式定义的区域 内求f的最小值 求使 C T X在A.x>=b和 x≥0下取得最小值的 矢量x
演示6.1.nb
6.1.3 分段区间上的插值 Interpolation[data,InterpolationOrder->r ] 若选项没有，则默认值为3，用最光滑的曲线 去近似。data数据可以是函数值，导数值等。 对表格形式数据的调用函数 ListInterpolation[data] 此函数也可用于多维插值
第6章 插值、拟合、数学规划
6.1 一元 插值 6.1.1插值函数中数据输入方式： data1={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}} data2={y1,y2,y3,…} data3={{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…,} data4={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…} data5=Table[fi,{I,imin,imax}] 6.1.2 整区间上的插值 InterpolatingPolynomial[data,x]
Fit[{f1,f2,…},{1,x},x]
Fit[{f1,f2,…},{1,x,x^2},x] Fi知函数为2e-x 1、求x从0到10的函数表（为近似值）。 2、求第一题所得数据的线性拟合。 3、求第一题所得数据的二次线性拟合。 4、把两次拟合的图形与原图形进行比较。
演示6.5.nb