复变函数与积分变换第二章习题解答
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
y
v ex ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x
v ex (cos y y( sin y ) x cos y) ex (cos y y sin y x cos y ) y
所以 u
v ,
u
v
xy
y
x
所以 f( z)处处可导，处处解析 .
v
xy
y
x
所以 v xv,v源自xyv ,即 u u v v 0
y
xyxy
从而 v 为常数， u 为常数，即 f(z)为常数 .
(3) Ref (z)=常数 .
证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, u x
u0 y
因为 f( z)解析， C-R 条件成立。故 u x
u 0 即 u=C2 y
从而 f( z)为常数 .
而 lim u x, y x, y 0,0
x 3 y3
lim
x, y 0,0
x2
y2
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7
—
∵
x3 x2
y3 y2
xy x y 1 x2 y2
∴ 0≤
x3 x2
y3 3 y2 ≤ 2 x
y
x3 y3
∴
lim
x, y 0,0
x2
y2
0
同理
x3
lim
x, y 0,0
x2
y3 y2
0
∴ lim f z 0 f 0 x, y 0,0
证明：因为 f ( z) 0 ，所以 u x
u 0, v
y
x
v 0.
y
所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .
复变函数与积分变换习题答案
第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式: (1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+ (2);(1)(2)ii i --解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i ii i i i i i +-====+----+-(3)1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y yi z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b caz z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+= 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+ 解: sin cos 1,i αα+= 故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sincos.66i ππ--解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=-s i n c o s 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin.3333i i ππππ-+-=- 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线?(1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周.(2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=- 若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.第二章 解析函数1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因0()()lim z f z z f z z∆→+∆-∆0()Re()Re lim z z z z z z zz∆→+∆+∆-=∆ 0Re Re Re limz z z z z z z z∆→∆+∆+∆∆=∆0Re lim(Re Re )z zz z z z∆→∆=+∆+∆ 000Re lim(Re )lim(Re ),z x y z xz zz z z x i y ∆→∆→∆→∆∆=+=+∆∆+∆ 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1)(,).az bc d cz d++至少有一不为零 解: 当0c ≠时，()az b f z cz d +=+除d z c =-外在复平面上处处解析, dz c=-为奇点,222()()()()()()()()().()()az bf z cz daz b cz d cz d az b cz d a cz d c az b ad cb cz d cz d +''=+''++-++=++-+-==++当0c =时，显然有0d ≠，故()az b f z d +=在复平面上处处解析，且()af z d'=. 5.设()f z 在区域D 内解析,试证: 222222()|()|4|()|.f z f z x y ∂∂'+=∂∂证: 设 222(),|()|,f z u i v f z u v =+=+ 222(),|()|()().u uu u f z i f z x y x y∂∂∂∂''=-=+∂∂∂∂ 而2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f z u v u v x y x y u u v v u u v v u v uv xx x x y y y y∂∂∂∂+=+++∂∂∂∂⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦又()f z 解析,则实部u 及虚部v 均为调和函数.故222222220,0.u u v vu v x yx y∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂则22222222()|()|4(()())4|()|.u uf z f z x y x y∂∂∂∂'+=+=∂∂∂∂ 7.设sin ,px v e y =求p 的值使v 为调和函数,并求出解析函数().f z u iv =+ 解: 要使(,)v x y 为调和函数,则有0.xx yy v v v ∆=+=即2sin sin 0,px px p e y e y -=所以1p =±时,v 为调和函数,要使()f z 解析,则有,.x y y x u v u v ==-1(,)cos cos (),1sin ()sin .px pxx pxpx y u x y u dx e ydx e y y pu e y y pe y pφφ===+'=-+=-⎰⎰所以11()()sin ,()()cos .px px y p e y y p e y C p pφφ'=-=-+即(,)cos ,px u x y pe y C =+故(cos sin ),1,()(cos sin ),1.x z xze y i y C e C pf z e y i y C e C p -⎧++=+=⎪⎨--+=-+=-⎪⎩9．求下列各式的值。
复变函数习题解答(第2章)
p90第二章习题(一)[ 1, 6, 9, 14(3), 26 ]1. 设连续曲线C : z = z(t), t∈[α, β]，有z’(t0) ≠ 0 (t0∈[α, β])，试证曲线C在点z(t0)有切线．【解】首先，因为当t →t0时，(z(t) -z(t0))/(t-t0) →z’(t0) ≠ 0，故| (z(t) -z(t0))/(t-t0) | → | z’(t0)| ≠ 0，因此存在δ> 0，使得∀t∈[α, β]，当0 < | t-t0 | < δ时，有| (z(t) -z(t0))/(t-t0) |≠ 0，故| z(t) -z(t0) |≠ 0，即z(t) ≠z(t0)．此时，存在唯一确定的过点z(t0)以及点z(t) (t ≠t0)的割线：(y(t) -y(t0))(X-x(t0)) + (x(t) -x(t0))(Y-y(t0)) = 0．此方程等价于(y(t) -y(t0))/(t-t0) · (X-x(t0)) + (x(t) -x(t0))/(t-t0) · (Y-y(t0)) = 0．当t→t0时，有y’(t0) (X-x(t0)) + x’(t0)) (Y-y(t0)) = 0．因为z’(t0) ≠ 0，故y’(t0)2 + x’(t0)2≠ 0．直线y’(t0) (X-x(t0)) + x’(t0)) (Y-y(t0)) = 0就是曲线C在点z(t0)处的切线．[这里采用的切线的定义：切线是指割线的极限位置的直线．在这个题目的证明中，我们主要说明两点：第一，当t充分接近t0 (t≠t0)，有唯一确定的割线过点z(t0)和z(t)；第二，当t →t0 (t≠t0)时，过z(t0)和z(t)的割线确实有“极限位置”] 6. 若函数f(z)在区域D内解析，且满足下述条件之一，试证f(z)在D内为常数．(6.1) 在D内f’(z) = 0；【解】设f(z) = u(x, y) + i v(x, y)，(x, y)∈D．由f’(z) = 0及f’(z) = u x + i v x，知u x = v x = 0；由Cauchy-Riemann方程，v y = u x = 0，u y = -v x = 0；因u x = u y = 0，故u在区域D内为常数．因v x = v y = 0，故v在区域D内为常数．所以，f(z) = u(x, y) + i v(x, y)在区域D内为常数．(6.2) ( f(z))*在D内解析；【解】因f(z) = u(x, y) + i v(x, y)在区域D内解析，由Cauchy-Riemann方程，u x = v y，v x = -u y；因( f(z))* = u(x, y) -i v(x, y)在区域D内解析，由Cauchy-Riemann方程，u x = -v y，v x = u y；因此得到u x = u y = v x = v y = 0，所以u, v都在区域D内为常数．所以，f(z) = u(x, y) + i v(x, y)在区域D内为常数．(6.3) | f(z) |在D内为常数；【解】若| f(z) |在D内恒为零，则在D内f(z) = 0 (常数)．若在D内| f(z) | = c > 0，则f(z) · ( f(z))* = c2．因f(z)在D内解析且f(z) ≠ 0，故( f(z))* = c2/ f(z)在D内解析．由(2)知f(z)在区域D内为常数．(6.4) Re( f(z))或Im( f(z))在D内为常数．【解】设f(z) = u(x, y) + i v(x, y)．若u(x, y) = Re( f(z))在D内为常数，则u x = u y = 0．由Cauchy-Riemann方程，v x = -u y = 0，v y = u x = 0；所以v(x, y) = Im( f(z))也在D内为常数．故f(z)在区域D内为常数．9. 试证下面的定理：设f(z) = u(r, θ) + i v(r, θ)，z = r e iθ，若u(r, θ), v(r, θ)在点(r, θ)是可微的，且满足极坐标的Cauchy-Riemann方程：∂u/∂r = (1/r)∂v/∂θ，∂v/∂r = (-1/r)∂u/∂θ(r > 0)，则f(z)在点z是可微的，并且f’(z) = (cosθ-i sinθ)(∂u/∂r + i∂v/∂r) = (r/z)(∂u/∂r + i∂v/∂r)．【解】注意到在点(r, θ)处，因为r > 0，r, θ也是(x, y)的可微函数，并且，r x = x/r = cosθ，r y = y/r = sinθ；θx = -y/r2 = - sinθ/r，θy = x/r2 = cosθ /r．所以u, v也是(x, y)的可微函数．由求导的链锁法则，我们有u x = u r·r x + uθ·θx = ((1/r)vθ)· cosθ + (-r v r) · (- sinθ/r)= vθ · (cosθ /r) + v r · sinθ= vθ ·θy + v r ·r y= v y；以及v x = v r·r x + vθ·θx = ((-1/r)uθ)· cosθ + (r u r) · (- sinθ/r)= uθ · (- cosθ /r) + u r · (- sinθ)= - (uθ ·θy + u r ·r y)= -u y；即满足Cauchy-Riemann方程，故f(z)在点z是可微的，且f’(a) = u x + i v x = (vθ · (cosθ /r) + v r · sinθ) + i (uθ · (- cosθ /r) + u r · (- sinθ))= (r u r · (cosθ /r) + v r · sinθ) + i ((-r v r) · (- cosθ /r) + u r · (- sinθ))= (cosθ-i sinθ)(∂u/∂r + i∂v/∂r)= (r/z)(∂u/∂r + i∂v/∂r)．[ r = √(x2 + y2)在(x, y) ≠ (0, 0)处有连续的偏导数，所以是可微的．θ作为(x, y)函数在(x, y) ≠ (0, 0)处的可微性的证明如下(参考第一章习题13的解答)：设D1 = { z∈ | Re(z) > 0}，D2 = { z∈ | Im(z) > 0}，D3 = { z∈ | Im(z) < 0}，D4 = { z∈ | Re(z) < 0}．则 \{0} = D1⋂D2⋂D3⋂D4．在D1上，θ = arctan(y/x) + 2k1π；在D2上，θ = arccot(x/y) + 2k2π；在D3上，θ = arccot(x/y) -π + 2k3π；在D4上，θ = arctan(y/x) + π + 2k4π．不论在那个区域D j上，θ都有连续的偏导数，因此θ在 \{0}上是可微的．] 14. 试验证：(3) lim z→ 0 ( z–z cos z )/( z– sin z ) = 3．【解】因分母z– sin z的一阶导数1 – cos z在原点处的值为0，故此题不能直接用L’Hospital法则(第2题的结论)．但可对lim z→ 0 sin z / z用L’Hospital法则．开始以为这个题目应该放在后面的章节，可是终究不甘心，考虑再三，退到sin z 最原始的定义，发现可以以它的实部和虚部为实变量展开．先用L’Hospital法则，lim z→ 0 sin z / z = cos 0 = 1，得到sin z = z + o(z)，z→ 0．所以1 – cos z = 2 sin 2(z/2) = 2 ( z/2 + o(z) )2 = z2/2 + o(z2)，z→ 0．而sin z = sin(x + i y) = exp( i (x + i y) ) – exp( –i (x + i y) )/(2 i)= (exp(–y)(cos x + i sin x) – exp(y)(cos x–i sin x))/(2 i)= (exp(y) + exp(–y)) sin x + i (exp(y) – exp(–y)) cos x )/2注意到当k + m≥ 3时，o(x k y m) = o(| z |3)，z→ 0；故sin z = (1 + y2/2 + o(y3)) (x–x3/6 + o(x4) ) + i (y + y3/6 + o(y4)) (1 –x2/2 + o(x3))= (x + i y ) – (x3 + i 3x2y– 3xy2/2 –i y3 )/6 + o(z3) = z–z3/6 + o(z3)，z→ 0．所以，( z–z cos z )/( z– sin z ) = z (1 – cos z )/( z– sin z )= z (z2/2 + o(z2))/(z3/6 + o(z3)) → 3，z→ 0．26. 试证：在将z平面适当割开后，函数f(z) = ( (1 – z ) z2 )1/3能分出三个单值解析分支．并求出在点z = 2取负值的那个分支在z = i处的值．【解】根据课本p83的结论，1和0是仅有的支点，∞不是支点．所以，将z平面沿从0到1的直线段I = { z∈ | Im(z) = 0, 0 ≤ Re(z) ≤ 1 }割开后，就能保证变点z不会单绕0或1转一周，因此在G= \I上函数f(z)就能分出三个单值解析分支．设g(z) = ((1 – z ) z2 )1/3是在点z = 2取负值的那个分支．设arg g(2) = π + 2kπ ( k∈ )．又设C是G内一条从2到i的任一曲线，当变点z沿着曲线C从2到i时，z的辐角的连续增量为∆C arg z = π/2 + 2k0π ( k0∈ )，因此∆C arg (z2 )= π + 4k0π，相应地，1 –z的辐角的连续增量为∆C arg (1 –z )= 3π/2 + 2k0π ( m∈ )，所以g(z)的辐角的连续增量为∆C arg g(z) = (π + 3π/4 + 6k0π)/3 = 7π/12 + 2k0π．根据课本p84的结论，g(i) = | g(i) | · exp( i ∆C arg g(z)) · exp( i arg g(2))= | ((1 –i )i2 )1/3 | · exp( i (7π/12 + 2k0π)) · exp( i (π + 2kπ))= - 21/6 · exp( 7πi/12 )．[从上述的做法中可以看出，我们不妨(事实上也常常地)取k, k0 = 0，并不会造成任何影响．这类题目用辐角的连续增量来考虑是方便的，否则就有可能陷入辐角难以选择的困境，因为那时我们已经忘记了要求辐角是随着变点z连续变化的．设z = r1 exp( iθ1)，1 –z = r2 exp( iθ2)，那么g(z) = (r12 r2 )1/3 exp( i (2θ1 + θ2 + 2kπ)/3) (k是0, 1, 2之一)．当z = 2时，r1(2)= 2，r2(2)= 1；θ1(2) = 0，θ2(2)= π．由于g(2) = 21/3 exp( i (π + 2kπ)/3) < 0，故只能k = 1．当z = i时，r1(i)= 1，r2(i)= 21/2；θ1(i) = π/2，θ2(i) = 7π/4．所以g(i) = (21/2)1/3 exp( i (2(π/2) + 7π/4 + 2π)/3) = - 21/6 · exp( 7πi/12 )．但是，为什么θ2(i) = 7π/4而不是θ2(i) = –π/4 ?事实上，当初的θ1(2)和θ2(2)一旦选定，就决定了其这个单值解析分支中其他点的辐角选择，因为我们要求辐角是连续变化的．确定i的辐角θ1(i)时，要保证z从2到i的过程中，θ1(z)是连续变化的．故应该取θ1(i) = π/2．(增加了π/2)但1 –i的辐角θ2(i)，则应该是从z = 2时θ2(2)= π开始连续变化到z = i时所得到的辐角θ2(i)，也就是说，θ2从π开始增加了3π/4，因此θ2(i) = π + 3π/4 = 7π/4．特别强调的是：这里的θj(z)的连续变化，应该是随着同一个变点z来变化的．比如，如果我们认为z绕割线I反向地从2转到i，那么，θ1(i) = - 3π/2，这时，θ2(i) = π- 5π/4 = -π/4，显然，如此计算g(i)也会得到上述的结果．至此，我们应该可以看出，两种做法的本质是相同的．]∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）对任何z ，22z z =是否成立如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
1 i 1 i 1 i 2 2 2
4、证明：当且仅当 z z 时，z 才是实数．
3
1 1 3 1 8
3 1 3
2
2
3
3
3
证明：若 z z ，设 z x iy ，
3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
③解： 2 i 3 2i 2 i 3 2i 5 13 65 ．
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
za 因为 L ={z: Im =0}表示通过点 a 且方 b
向与 b 同向的直线，要使得直线在 a 处与圆相切， 则 CA⊥ L ．过 C 作直线平行 L ，则有∠BCD=β， ∠ACB=90° 故 α-β=90° 所以 L 在 α 处切于圆周 T 的关于 β 的充要条件
习题二xy所以4i的一段即平面上扇形域即是以原点为焦点张口向右抛物线如图所示limlimlimlim的极限不同所以极限不存在limlimlimlim00lim00lim00lim所以fz在整个为正整数所以fz在整个xyxy时才满足cr方程
复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
复变函数与积分变换 （修订版）
1 i 3 ∴ Re 1, 2
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
(
)
证明∵ z + w = ( z + w) ⋅ ( z + w) = ( z + w) z + w = z ⋅ z + z ⋅ w + w⋅ z + w⋅ w = z + zw+ z⋅ w + w = z + w
≤
2 2 2 2
(
)
∴ −8π 1 + 3i = 16π ⋅ e 2π 2π ⎞ ⑤解： ⎛ + i sin ⎟ ⎜ cos 9 9 ⎠ ⎝
5、Imz>1，且|z|<2． 解：表示圆盘内的一弓形域。
iϕ (2) 记 w = ρ e ，则
0<θ <
π ,0 < r < 2 4 映成了 w 平面 π . 2
习题二 1 z 下圆周 | z |= 2 的像.
上扇形域，即
0 < ρ < 4, 0 < ϕ <
−7i
⎤ = x ( x − y ) − 2 xy + ⎡ ⎣ y ( x − y ) + 2x y ⎦ i
2 2 2 2 2 2
= x3 − 3 xy2 + ( 3 x2 y − y3 ) i
∴
Re ( z
3
)=x
3
− 3 xy
2
,
Im ( z 3 ) = 3 x 2 y − y 3 ．
⎛ 1 + i ⎞ (1 + i ) 1 − i ⎜ 2 ⎟= 2 = 2 ⎝ ⎠
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
π ⎛ 2 i 2 ⎞ 4 解： 3 + 3i= 6 ⋅ ⎜ + i = 6 ⋅ e ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案
解：f(z)除 外处处可导，且 .
(4) .
解：因为
.所以f(z)除z=0外处处可导，且 .
6.试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) ;
解： 在全平面上可微.
所以要使得
， ,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) .
解： 在全平面上可微.
只有当z=0时,即(0,0)处有 , .
它们分别为
∴
∴满足C-R条件．
(3)当z沿y=x趋向于零时，有
∴ 不存在．即f(z)在z=0处不可导．
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证 在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即 ．
15.计算下列各值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．
设z=x+iy，
在复平面内可微．
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) ;
解： 在全平面上可微.
所以只有当 时，才满足C-R方程.
从而f(z)在 处可导，在全平面不解析.
(4) .
解：设 ，则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
复变函数与积分变换答案-第2章解析函数
11 27、第二章 解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。
- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。
4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。
1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。
f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。
uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。
z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。
复变函数与积分变换 第二章课后答案
e z sin z e z sin z 则 dz z 2i dz 2 z 2i z 4 z 3 z 2 i 1
2i
e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin( 2i ) 2i 2i 2i 2i 2i 2 2 sin 2i e 2i e 2i sin 2i cosh 2i . 2
i
i
i i
= 2 cos i .
7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分： （1）
C
ez dz ， C ： z 2 1 ； z2 dz (a 0) ， C ： z a a ； z a2
2
（2）
C
（3）
C
eiz 3 dz ， C ： z 2i ； 2 z 1 2 f ( z) dz ， C ： z 1 ； f ( z ) 在 z 1 上解析, z0 1 ； z z0
z 0
0.
4
(8) f ( z ) 有四个奇点， 其中 z i在c 内，作互不相交互不包含且 在 C 内的小圆周 c1和c2 包含 i 与-i，则
c1
(z
2
1 dz 1 dz 2 4)( z i ) z i c2 ( z 4)( z i ) z i
(2) 由于被积函数在全平面上解析,利用柯西积分定理得
求积分
C
3 z 2 dz 0 .
2. 设 C 是由点 0 到点 3 的直线段与点 3 到点 3 i 的直线段组成的折线，
C
Re zdz ．
解 将 C 分为两段,从 z=0 到 z=3, c1 的方程为 z 3 x, 0 x 1,
(含答案)复变函数与积分变换习题解析2
习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明． （1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在． （2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析． （3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导． （4） 如果0z 是()f z和()g z 的一个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ⋅的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应用导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导． 习题2.21. 设试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.（提示：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=； （2）i y x y x z f 22332)(+-=； （3）=)(z f232z z -+； （4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=； （4 4. （1）iz z z f 2)(3+=； （25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--； （2 (0)z ≠； （3）1(33)x iy ω-=-； （4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+． （1）2(1)u x y =-； （2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-； （4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=； （62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满足1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是一个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满足下列条件之一，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ； （7）i 3； （8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++； （10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+； （12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ； （3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ； （2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复 习 题 二一、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B一、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（ ）.A.函数的连续点一定不是奇点B.可微的点一定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内无奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（ ）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（ ）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满足C-R 方程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（ ）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（ ）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ ）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（ ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（ ）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（ ）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（ ）. A. )(z f 在复平面上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（ ）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==二、填空题 在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivuzf+=)(.（1）xu=；（2）xyu=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22yxvu-=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数),(yxu和),(yxv都具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，现令xyvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第二章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)Re()(zzf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导， （44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(； （2）ci z z z f +-=32)(； （3）=)(z f 3z ci +； （4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2； （62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈； （（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈； （9 （ （2.（1 （23.（1）正确； （2）正确； （3）正确.复习题二二、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0( ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平面内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平面内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平面内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -； （2）)4sin 4(cos 3i e +； （3（4（6 （7。
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。
复变函数第二章习题解答
习题二解答1、解：1）连续 令iyx z zy x iv y x u z f +=+=+=,11),(),()(2则由222222222212111111zxy izy x zz z+-++-+=++=+显然，),(),,(y x v y x u 在1<z 内连续2）不一致连续 因为取⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=+=>∀=δδεδδ11'',1',0,51n inn z i n n z 取显然，()δδδ<+=--+=-1111'''n n nn n n z z但()()()()222222111111''11'11nn n n z z ---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+δδ()()ε>=->--=-+-=41421412121212222222nn n n n n n n2、()iyx z y x zz f +=+==,222则，0),(,),(22=+=y x v y x y x u0,2,2====y x y x v v y u x u显然上述四个偏导在整个复平面上连续 由R C-条件⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==00202y x y x22222222)2()1(2),(,)2()1(1),(xy y x xyy x v xy y x yx y x u +-+-=+-+-+=∴()2zz f =∴只在0=z 处可导，而处处不解析3、证明：()yy x xziUV R C iV U z f D iy x V--+='=∈+=0,0====∴y x yx V V UU),(),,(y x V y x U 在D 内为常数 故)(z f 在D 内为常数 4、证明（1）令()),(),(y x iv y x u z f +=若),(y x u 在D 内为常数，则在D 内，0==y xu u由C-R 条件知，对),(y x v 有在D 内0==y xv v∴),(),,(y x v y x u 在D 内为常数 )(z f在D 内为常数对),(y x v 于D 内为常数时，同理可证得结论 （2）由()222v u z f +=在D 内为常数设()*22cv u =+若0=c 知()0=z f 于D若0≠c ，此时：对()*求偏微分得22022=+=+y y x x vv uu vv uu再由C-R 条件，并讨论二元一次方程组的解，可解出====y x y x v v u u ，由此可得)(z f 在D 内为常数5、证明：若∈z 上半平面，则∈z 下半平面 设()),(),(y x iv y x u z f +=，则()),(),(),(),(y x i y x y x iv y x u z f ψϕ+∆---=)(z f 在上半平面解析),(),,(y x v y x u ⇔在上半平面解析且满足RC -方程x y y x v u v u -==,又()()),(,),,(,y x v y x y x u y x --=-=ψϕ()()()()yy x v y x y x v x yy x u y x y x u x x ∂-∂=∂∂∂-∂-=∂∂∂-∂-=∂∂∂-∂=∂∂,,,,,,ψψϕϕ∴当)(z f 在半平面解析时，),(,,y x y ）（x ψϕ在下半平面可微，且满足R C -方程xyy x2222,2222ψϕψϕ-==)(z f ∴在下半平面解析6、证明：（1）xyi y x iy ）（x z 2.2222+-=+=xv y v y uy x ux xy y x v y x y x u y x 2,2,2,22),(,),(22==-===-=显然y x y xv v u u,,,在整个复平面连续，且xy x v uy v u -==,2z ∴在复平面解析 （2）yie y e ee xx iyx zsin cos +==-ye v y e v y e u y e u yie y x v y e y x u xy xx xy xx xxcos ,sin ,sin ,cos sin ),(,cos ),(==-====显然，yx y xv v u u,,,在整个复平面上解析，且x y y xv v v u-==,满足C-R 方程z e ∴在整个复平面上解析()()()()[]()xee y x v x ee y x u xeei x e e xe ei x eeieei z yyyyyyyyy yyyizizcos 2),(,sin 2),(cos 2sin 2sin cos 2121sin3--------=+=--+=++-=-=xee u x ee u yyy yyx sin 2,cos 2---=+=x eev x ee v yyy yyx cos 2,sin 2++=--=--yx y x v v u u ,,,在复平面上连续，且满足x y y xv u v u-==,zsin ∴在整个复平面上解析（4）同理z cos 在整个复平面上解析 （5）()xyi y x iy x z 222--=+=xv y v y u x u xy y x v y x y x u y x y x 2,2,2,22),(,),(22-=-=-==-=-=yx y x v v u u ,,,在复平面上连续由得xy y x v u v u ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=--=02222y x y y x x所以2z 只在0=z 处可导，而在整个复平面上均不解析 同理可证z z e z cos ,sin ,在复平面上不解析、7、证明()θθθθθθθθθθθθ∂∂⋅=∂∂∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂-===vr ru x uy u r R C r yv r xv y y vxx v v y u x u r yy u r x x u ru r y r x y x iv y x u z f 1cos sin cos sin 22sin cos sin ,cos ),,(),(条件则设()()rv ru y u xu y v x v r yy v r x x v rv x u y u r r yu r xu y yu x x u u ∂∂-=∂∂∴⋅∂∂-⋅∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂θθθθθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos cos sinrv ru vr ru ：∂∂-=∂∂∂∂⋅=∂∂∴θθ,1条件是极坐标下的柯西一黎曼8、证明：（1）如同证明)(z f 存在则),(),,(y x v y x u 的偏导数也存在一样归纳可证明：)(z f 的实部和虚部在D 内也有任意阶导数 而xy y xv u u u-==,xy yy xy xxv u v u -==∴,=+∴yy xxv u，同理0=+yy xxv v（2）设()()),(,y x iv y x u z f +=，则()222vu z f +=()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∴22222222222222222222y v vy v y u u y uyz f x v v x v x u u x u xz f又0,022222222=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂yv xv yu xu且,,xv yu yv xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂代入整理得：()()()22222222244z f x v x u yz f xz f '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+∂∂9、()()()()()[]()[]()()()()()()()()()()()()()()(),1,0,122sin122cos 2122sin 122cos2,1,022ln 22cos 1,1,0,,2,1,0,242ln 2121arg 1ln 11sin 1cos 2122ln 222arg 2ln 2222222221arg 1ln 2122222202arg ln 222ln 2±=+++=+++====-±=+=====±=====+±+⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++==+++-+--++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++k k i k k i k e e e e k k is k e eeek e eee i k k i k i i i i Ln i ee e ek i k i Ln k i k i k i i Ln k k i i k i i i i iLnii i ziπππππππππππππππππππ10、()()()()()1111221cos 22222-+-=-+=∴-+==+-+==-z z iLn w z z Ln iw z z ezee eez w ziwiwiwiwiw即故11、证明：()()()()()zz eeiz ee z iz i z e e ieeiee i iz ee z zzzzzzzziz i izi zzcosh cosh 21cos 2cosh sin sinh 212121sin 2sinh =∴+=+=-=∴-⋅-=-=-=-=---+---()()()()()()()222221ln 1ln 11ln 101221sin 1z iz i iiz i w iiz iw iiz eizee eeiz w ziwiwiwiwiw-+-=-+=-+=∴-+==---==-即故()()()()212112212121222222sinh cosh cosh sinh cos sin cos sin )sin()(1sin cos sin cos sinhcoshz z z z iz iz i iz iz i iz iz i z z son iz iz z i iz z z +=--=+-=+=+=--=-212121212121212121sinh sinh coshcosh )sin )(sin (cos cos sin sin cos cos )cos()(cos )cosh(z z z z iz i iz i z iz z iz iz iz iz iz z z i z z +=--+=-=+=+=+yz i y z z siyiy i i iy z ziy iy z iy x sinh cos cosh cos cos )(cos sin cos sin cos sin )sin(+=-+=+=+yx i y x iy i x i iy z iyx iy z iy x sinh sin cosh cos sin )(sin cos cos sin sin cos cos )cos(-=--=-=+ziz i iz dzd z dzd z iz iz i i iz i dz d z dz d sinh sin )(cos cosh cosh cos cos )sin (sinh =-====⋅-=-=12、证明()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂-+=-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=+=-=+=y u i x u zv y u i xui zux u zy y u zx xu z u y u i x u i y u x u z y y u y x x u z u i zz z z u y x u izy zx izy zx z z iy ，z z x iy x z iy x z 21212121212121)2,2(),(21,21,21,21,2121,同理于是得由),(0,2121212121=∂∂+∂∂=∂∂∴=∂∂+∂∂=∂∂∂∂-=∂∂∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+=zv iz u zf z f zv izu zf y ux v y v x u：x v y u i y v x u y v i x v i y u i x u zv i z u zf ivu f 成柯西一黎曼条件可以写对于得由柯西一黎曼条件13、解：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+====z z Ln z z Ln z f z z Ln z f ，z e zf e z f z z111111)11(20)1(,)(11从而不解析点无定义在。
复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案
习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-=+=+=∴1ππ13cos isin i 3322=+=+z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换第二章测验题与答案
第二章 解析函数一、选择题：1．函数在点处是( )23)(z z f =0=z （A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ） （B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ） （D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( ))Im()(2z z z f =0=z （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于 （D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( )=a （A ） （B ） （C ） （D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ） （B ） （C ） （D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是)(z f D（A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D （D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ） （B ） （C ） （D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( )i i （A ） （B ） （C ） （D ）012πe 2π-e 11．在复平面上( )z e （A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析 （B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ） （D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( )αα1（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( )（A ） （B ） （C ） （D ）3)1(i -i cos i ln e23π-15．设是复数，则( )α（A ）在复平面上处处解析 （B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数 （D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则 i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(lim2．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 iv u z f +=)(D v u +)(z f D 3．导函数在区域内解析的充要条件为 xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(D 4．设，则 2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f 5．若解析函数的实部，那么 iv u z f +=)(22y x u -==)(z f 6．函数仅在点 处可导)Re()Im()(z z z z f -==z 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 8．复数的模为 i i 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程的全部解为01=--z e 三、设为的解析函数，若记),(),()(y x iv y x u z f +=iy x z +=，则．)2,2(2,2(,(i z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=0=∂∂zw四、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设，求.023=+-ze zw w 22,dz wd dz dw六、设试证在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f )(z f 七、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(八、设和为平面向量，将按逆时针方向旋转即得.如果为解析函数，s n s2πniv u z f +=)(则有（与分别表示沿,的方向导数）.s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,s ∂∂n∂∂s n 九、若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.)(z f )(z f 十、解方程.i z i z 4cos sin =+答案第二章 解析函数一、1．（B ） 2．（B ） 3．（D ） 4．（C ） ５．（A ） ６．（C ） ７．（C ） ８．（C ） ９．（A ） 10．（D ） 11．（A ） 12．（C ） 13．（D ） 14．（B ） 15．（C ）二、填空题1．2．常数3．可微且满足i +1x vx u ∂∂∂∂,222222,xv y x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．5．或，为实常数6．i 827427-ic xyi y x ++-222ic z +2c i7．8．3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k ),2,1,0(2 ±±=π-k ek 9． 10．34arctan-),2,1,0(2 ±±=πk ik 四、1．2．;sin )(z z f -='.)1()(ze z zf +='五、,zw e w dz dw z2322--=.22222222)23(2431268234)(6z w z e e w e w w e w z w e dzdw dz dw w dzwd z z z z z-+---+=--+-=七、.为任意实常数.c i z i z f )1(21)(2++-=c 十、.),2,1,0(4ln 2 ±±=+π-=k i k z。