辽宁高考数学理科卷带详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（ 理科 ）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，1.已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且AB ={3},U BA ð={9},则A = ( )A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9} 【测量目标】集合间的基本运算.【考查方式】列举法给出全集，给出交集的结果通过Venn 图求子集. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为AB ={3}，所以3A ∈，又因为U BA ð={9}，所以9A ∈，所以选D.本题也可以用Venn 图的方法帮助理解.第1题图2.设,a b 为实数，若复数12i1i ia b +=++，则 ( )A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式，求等式中的未知数. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由12i 1i i a b +=++可得12i ()()i a b a b +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A. 3.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12 B.512 C.14 D.16【测量目标】互斥事件与对立事件的概率.【考查方式】给出两个事件的独立发生的概率，求两个事件恰有一件发生的概率.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】12()()()P A P A P A =+=21135343412⨯+⨯=. 4.如果执行右面的程序框图，输入正整数,n m ，满足n m …，那么输出的P等于( )A.1C m n- B.1A m n-C.C m nD.A mn第4题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出流程图，根据循环条件的设置，输出. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】第一次循环：k =1,p =1,p =n -m +1;第二次循环：k =2,p =(n -m +1)(n -m +2)； 第三次循环：k =3，p =(n -m +1) (n -m +2) (n -m +3)第m 次循环：k =m ，p =(n -m +1) (n -m +2) (n -m +3)…(n -1)n (步骤1)此时结束循环，输出p =(n -m +1) (n -m +2) (n -m +3)…(n -1)n =A mn .(步骤2) 5.设ω>0,函数y =sin(x ω+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 （ ） A.23 B.43 C.32D.3 【测量目标】函数图象sin()y A x ωϕ=+的图象变换.【考查方式】给出函数式进行移动一定单位与原图象重合，求ω的最小值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】将y =sin(x ω+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后为4ππsin[()]233y x ω=-++π4πsin()233x ωω=+-+，所以有4π3ω=2πk ,即32kω=，又因为0ω>，所以1k ...,故32k ω= (3)2，所以选C.6.设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和.已知241a a =,37S =,则5S =（ ）A.152 B.314 C.334 D.172 【测量目标】等比数列前n 项和.【考查方式】给出通项的乘积与前三项和，求出公比来求某项和. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由24a a =1可得2411a q =，因此121a q =，(步骤一) 又因为231(1)7S a q q =++=，联立两式有11(3)(2)0q q+-=，所以q =12,（步骤二） 所以5514(1)3121412S ⨯-==-，故选B.（步骤三） 7.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF |= （ ） A． B.8C. D.16【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线上过动点与焦点直线的斜率以及与准线关系，求线段长. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抛物线的焦点F （2，0），直线AF的方程为2)y x =-，所以点(2,A -、(6,P ，从而|PF |=6+2=8.8.平面上,,O A B 三点不共线，设,OA OB ==a b ,则OAB △的面积等于（ ）【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】给出平面向量的向量值，求三不共线向量围成的三角形面积.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】111sin,222OABS=<>=△a b a b a a b=.9.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）C.12D.12【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线方程，给出直线与渐近线的位置关系，求双曲线离心率.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)x ya ba b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b（步骤1）一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc-，()1b ba c∴-=-，2b ac∴=,220c a ac--=，解得cea==.（步骤2）10.已知点P在曲线4e1xy=+上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦D.3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出曲线方程，利用导数求曲线上动点的切线倾斜角范围.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】24e41e2e1e2exx xxxy'=-=-++++，1e2,10exxy'+∴-<厔，即1tan 0α-<…，3π[,π)4α∴∈ 11.已知0a >，则0x 满足关于x 的方程6ax =的充要条件是（ ）A.220011,22x ax bx ax bx ∃∈--…R B.220011,22x ax bx ax bx ∃∈--…R C.220011,22x ax bx ax bx ∀∈--…R D.220011,22x ax bx ax bx ∀∈--…R 【测量目标】全称量词与存在量词，充要条件.【考查方式】给出方程式，求满足该方程的充要条件. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】由于a >0,令函数22211()222b b y ax bx a x a a =-=--，此时函数对应的开口向上，当x =ba时，取得最小值22b a -，（步骤一）而0x 满足关于x 的方程ax b =,那么0x =ba ,min y =2200122b ax bx a -=-，（步骤二）那么对于任意的x ∈R ,都有212y ax bx =-…22b a -=20012ax bx -.（步骤三）12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 （ ）A ．（+ B.（1,）D. （0,）【测量目标】三棱锥的概念.【考查方式】给出三棱锥四边长，求其他边长度的取值范围. 【难易程度】较难 【参考答案】A 【试题解析】四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，,a a ，如图，此时a 可以取最大值，知AD =，SD =，则有<2+，即228a <+=，即有a第12题（1）图(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a >0; 综上分析可知a ∈（.第12题（2）图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________. 【测量目标】二项式定理【考查方式】给出二项式求二项式展开式的常数项. 【难易程度】容易 【参考答案】-5【试题解析】61()x x-的展开式的通项为6216C (1)r r r r T x -+=-，当3r =时，346C 20T =-=-，当4r =时，456C 15T ==，因此常数项为-20+15=-5.14.已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示）.【测量目标】二元线性规划求目标函数的取值范围.【考查方式】给出两不等式，求z 的取值范围，将不等式化简后画图求解. 【难易程度】容易 【参考答案】（3,8）【试题解析】先将不等式化简，利用线性规划，画出不等式组1423x y x y x y x y +>-⎧⎪+<⎪⎨->⎪⎪-<⎩表示的平面区域，即可求解第14题图15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.第15题图【测量目标】由三视图求几何体的棱长.【考查方式】给出图形的三视图，求几何体最长的棱长. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】画出直观图：图中四棱锥P ABCD -即是，PA =2,PB PD PC ===,所以最长的一条棱的长为PB =第15题图16.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【测量目标】已知递推关系求通项，利用导数判断函数的单调性.【考查方式】给出数列满足的关系式，利用导数判断单调性来求最小值.【难易程度】较难 【参考答案】212【试题解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)++(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+(n -1)]+33=33+n 2-n所以331n a n n n=+-.(步骤1) 设()f n =331n n +-，令()f n '=23310n-+>，则()f n在)+∞上是单调递增，在上是递减的，因为n +∈N ,所以当n =5或6时()f n 有最小值. (步骤2)又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n 的最小值为62162a =. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边与角的等式，利用正、余弦定理求其中一角值； 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++= 即bc c b a ++=222（步骤1） 由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+= 故1cos ,1202A A =-=（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：s i n s i n s i n s i n (60B C B B ︒+=+-1sin 2sin(60)B BB ︒=+=+ 故当B =30时，sin B +sin C 取得最大值1. （步骤3） 18.（本小题满分12分）为了比较注射,A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B . （Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm 2）表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表第18题图第18题图（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率，独立性检验.【考查方式】给出图示，完成频率分布直方图，检验独立性.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为991981002002C100C199P==(步骤1) （Ⅱ）（i）第18题（Ⅱ）（i ）图 第18题（Ⅱ）（i ）图 (步骤2)可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数.22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积于注射药物B 后的疱疹面积有差异”. (步骤3) 19．（本小题满分12分）如图所示，已知三棱锥P ABC -中，1,,,2PA ABC AB AC PA AC AB ⊥⊥==N 为AB 上一点，4,,AB AN M S =分别为PB,BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM SN ⊥；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.第19题图【测量目标】空间直角坐标系，线线垂直的判定，线面角.【考查方式】给出图示及三棱锥中部分线段数量及位置关系,利用法向量求线线垂直及线面角. 【难易程度】中等【试题解析】设P A =1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系如图.则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） (步骤1)第19题图(2)（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--, 因为110022CM SN =-++=， 所以CM SN ⊥（步骤2） （Ⅱ）1(,1,0)2NC =-,设(,,)x y z =a 为平面CMN 的一个法向量，则10,22(2,1,2)10.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪==-⎨⎪-+=⎪⎩令，得.a （步骤3）因为1cos ,2SN -==a 所以SN 与平面CMN 所成角为45.（步骤4） 20．（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,2AF FB =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程. 【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出直线的倾斜角，直线与椭圆的交点和焦点的向量的比例关系，求椭圆离心率；给出线段长求椭圆方程. 【难易程度】较难【试题解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y >0，2y <0.（Ⅰ）直线l的方程为：)y x c =+，其中c =联立2222),1y x c x y a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b +--=解得22122222(2)(2),33c a c a y y a b a b+-==++ （步骤1） 因为2AF FB =，所以122y y -=.即222222(2)3(2)233c a b c a a ba b+--=++ 得离心率 23c e a ==. （步骤2） （Ⅱ）因为21AB y =-222431534ab a b=+. 由23c a=得3b a =.所以51544a =，得a =3，b =椭圆C 的方程为22195x y +=. （步骤3） 21.（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，1212|()()4||f x f x x x --…，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出函数式，求分类讨论其单调性；确定未知数的范围，证明不等式，需要间接转化为证明单调性. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,+∞)，2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=.（步骤1） 当0a …时，()f x '＞0，故f (x )在(0,+∞)单调递增；（步骤2）当1a -…时，()f x '＜0, 故f (x )在(0,+∞)单调递减；（步骤3）当1-＜a ＜0时，令()f x '＝0,解得x 当x ∈(0, 时, ()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0, 故()f x 在（0,+∞）单调递减.（步骤4） （Ⅱ）不妨假设12x x …，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调递减，从而12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x --… 等价于12,(0,)x x ∀∈+∞，2211()4()4f x x f x x ++… ①令()()4g x f x x =+，则1()24a g x ax x+'=++ （步骤5） ①等价于()g x 在（0，+∞）单调递减，即1240a ax x+++…. 从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++… 故a 的取值范围为（-∞，-2]. （步骤6）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC △的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （Ⅰ）证明：ABE △∽ADC △; （Ⅱ）若ABC △的面积12S AD AE =，求BAC ∠的大小. 【测量目标】圆的性质的应用. 第22题图 【考查方式】给出图示，求圆内接三角形的相似，给出三角形的表达式，求解. 【难易程度】容易【试题解析】证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .（步骤1） 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .（步骤2）（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB AC ＝AD AE .（步骤3） 又S ＝12AB AC sin BAC ∠，且12S A D A E =，故s i n A B A C B A C A D A E∠=.（步骤4）则sin 1BAC ∠=，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90.（步骤5） 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知P 为半圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0πθ剟）上的点，点A 的坐标为（1，0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. （Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标; （Ⅱ）求直线AM 的参数方程.【测量目标】极坐标，圆的极坐标表示.【考查方式】给出圆的极坐标方程，给出部分坐标与位置关系，求一点的极坐标，及直线的参数方程. 【难易程度】容易【试题解析】 (Ⅰ)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为(π3,π3) （步骤1）(Ⅱ)M 点的直角坐标为(π,66),A (l,0)，故直线AM 的参数方程为π1(1)6x t y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （步骤2）24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知,,a b c 均为正数，证明：a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…，并确定,,a b c 为何值时，等号成立.【测量目标】均值不等式，基本不等式.【考查方式】给出未知数，求解不等式，解出当未知数为何值时，不等式等号成立. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(证法一)因为,,a b c 均为正数，由均值不等式得222233()a b c abc ++…,①111a b c++ (1)33()abc -, 所以2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…239()abc -. （步骤1）②故a 2+b 2+c 2+2111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ (23)3()abc 239()abc -+.（步骤2）又233()abc 239()abc -+…=③所以原不等式成立.（步骤3）当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当22333()9()abc abc -=时, ③式等号成立.即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立.（步骤4）(证法二):因为,,a b c 均为正数,由基本不等式得222a b ab +…,222b c bc +…,222c a ac +…所以a 2+b 2+c 2…ab bc ac ++ （步骤1）①同理222111a b c ++…111ab bc ac++ ②故a 2+b 2+c 2+2111()a b c++…ab bc ac +++31ab +31bc +31ac….③所以原不等式成立（步骤2）当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b =c ,(ab )2=(bc )2=(ac )2=3时,③式等号成立.即当且仅当a =b =c =143时,原式等号成立. （步骤3）。