追及与相遇问题

变式训练2、甲、乙两汽车在一条平直的单 行道上乙前甲后同向匀速行驶．甲、乙两车 的速度分别为v01＝40m/s和v02＝20m/s，当两 车距离接近到x＝250m时两车同时刹车，已 知两车刹车时的加速度大小分别为a1＝ 1.0m/s2和a2＝1/3m/s2，问甲车是否会撞上乙 车？
解析：作两车的运动草图和v－t图象如图甲、乙所示. 从图中可看出:在0～t秒即两车速度相等之前,后面的 甲车速度大,追得快;前面的乙车速度小,“逃”得慢.两 车之间的距离越来越小,而在t秒后,后面的车速度小于 前面车的速度.可见,速度相等时,两者距离最近．此时 若不会相撞,那么以后一定不会相撞,由此可知速度相 等是解决本题的关键.
A车的初速度v0 应满足的条件是v0 6ax .
例2、在水平面上，一辆小车从静止开始以 1m/s2的加速度前进．有一人在车后与车相距 x0＝20m处，同时以6m/s的速度匀速追车． (1)试分析人能否追上车？ (2)若能追上，求追上时小车的速度；若追不 上，求人与车的最小距离．
解析： 当人与车相距最近时，即人与车速度相等时， 1 v 6 所需时间：t s＝6s a 1 v 车的位移：x t 18m，x＋x0＝18m＋20m＝38m 2 人的位移：x1＝vt＝36m 因为x1 x＋x0，所以，人追不上小车．
Байду номын сангаас
③图象法：图象法解追及相遇问题，一般画 出两物体的速度图象，利用图象围成的面积 即为物体的运动位移大小的特点，解决物理 问题，该方法往往较为直观方便．应用图象， 可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解 决．尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的 计算，快速找出答案．
3．分析追及、相遇问题时应注意的问题： (1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间 能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界 条件，也是分析判断的切入点．如两物体恰能相遇 的临界条件是，两物体处于同一位置时速度相等， 或两物体速度相等时恰处于同一位置． (2)两个关系，即时间关系和位移关系．时间关系 是指两物体的运动时间是否相等，两物体是同时运 动还是一先一后运动等；位移关系是指两物体是同 地运动还是一前一后运动等．通过画示意图找到两 物体间的位移关系是解题的突破口，因此要养成画 图分析问题的习惯．
解法三： 象法)利用速度－时间图象求解， (图 先作A、B两车的速度－时间图象，其图象 如右图所示，设经过t时间两车刚好不相撞， 则对A车有vA＝v＝v0－2at 对B车有vB＝v＝at v0 以上两式联立解得t = 3a 经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x， v0 v02 1 1 它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x = v0 t = v0 = ， 2 2 3a 6a 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0 应满足的条件是v0 6ax .
(三) 匀速 追匀 加速
规律同上(二)
(四) 匀速 追匀 减速
规律同上(一)
(五) 匀加 速追 匀减 速 (六) 匀减 速追 匀加 速
规律同上(一)
规律同上(二)
例1、在水平轨道上有两列火车A和B相距 x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小 为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初 速度为零、加速度为a的匀加速直线运动， 两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A 车的初速度v0满足什么条件.
2 两者相距的最小距离：xmin＝x＋x0－x1＝38m－36m＝2m
例3、经检测汽车A的制动性能：以标准速度 20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下 来．现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发 现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向 匀速行驶，司机立即制动，是否发生撞车事故？
(3)若被追及的物体做匀减速直线运动，一定
要注意，追上之前该物体是否已经停止运动． (4)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼， 充分挖掘题目中隐含的条件，如“刚好”、 “恰好”、“最多”、“至少”等，根据它们 对应的临界状态分析相应的临界条件． 4．追及与相遇与图象的结合
类型
(一) 匀加 速追 匀速
两车速度相等时有v01－a1t＝v02－a2 t，得t＝30s 故在30s内，甲、乙两车运动的位移分别为 1 2 1 2 x甲＝v01t - a1t =750m，x乙 =v02 t－ a2 t ＝450m 2 2 因为x乙＋x＝700m x甲，故甲车会撞上乙车．
解法四： (相对运动法)巧选参考系求解，以B车对参考系， A车的初速度为v0，加速度为a A =-2a－a =-3a. A车追上B车 且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车
2 的位移为x，由运动学公式vt2－v0＝2a A x得：
2 02 －v0＝2 (－3a) x，所以v0 = 6ax ,即要使两车不相撞，
解析：如图汽车A以v0＝20m / s的初速做匀减速直线运 动经40 s停下来．据加速度公式可求出a＝－0.5m / s 2 .当 A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻， 这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞．
2 据vt2 v0 2ax可求出A车减为与B车同速时的位移 2 vt2 v0 400 36 x1 m 364m 2a 2 0.5
此时间内B车位移为
v2 v0 ＝28s ) a x＝364m－ 168m＝ 196m＞ 180m x2＝v2 t＝6 28m＝ m(t 168 所以两车相撞．
点评：分析追及问题应把两物 体的位置关系图画好,通过此图 理解物理情景.本题也可以借图
象帮助理解.如图,阴影区是A车
比B车多通过的最多距离,这段距离若能大于两车 初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相 撞.从图中也可以看出A车速度为零时,不是A车比B 车多走距离最多的时刻,因此不能作为临界条件分 析．
解析：解法一： (物理分析法) A、B车的运动过程(如图) 利用位移公式、速度公式求解． 1 对A车有xA =v0 t + (－2a) t 2 2 vA =v0 +(-2a) t 1 2 对B车有xB = at ，vB =at，两车有x =x A－xB 2 追上时，两车不相撞的临界条件是vA =vB 联立以上各式解得v0 = 6ax 故要使两车不相撞，A车的初速度v0 应满足的条件是v0 6ax .
解法二： (极值法)利用判别式求解，由解法一可知 1 1 2 2 xA x xB，即v0 t (－2a) t ＝x＋ at 2 2 2 整理得3at －2v0 t＋2 x＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式 ＝(2v0 ) 2 －4 3a 2 x＜0时，t 无实数解，即两车不相 撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0 应满足的 条件是v0 6ax .
追及与相遇问题 虽然新课程标准对追及与相遇问题已人为淡化．但作 为一轮复习还是应予一定的时间，毕竟对于培养同学 们的画草图能力及分析解决问题能力有一定帮助．对 于加深对图象的理解有一定的帮助． 1．分类： (1)初速度为零的匀加速直线运动的物体A追及同方向 的匀速运动的物体B，一定能赶上．在追上之前两者 有最大距离的条件是两物体速度相等．
2．分析方法 (1)解题思路： 分析两物体 运动过程,画 运动示意图 由示意图找两 物体位移关系 据物体运动性质列 含有时间的位移方 程并解答
(2)追及和相遇问题多种解法 ①数学公式法:追及和相遇问题,可以根据两物体运动性 质,(如果追上或相遇则两物体在同一时刻到达同一位 置),从而列出位移关系方程,并建立时间关系,列式求解.
图象
特点
能追及且只能相遇一 次；交点意义：速度 相等，追上前两物体 的距离最远．
(二) 匀减 速追 匀速
当v减＝v匀时，如果Δx ＝x0，则恰能追及，这 也是避免相撞的临界条 件，只相遇一次；若 Δx＜x0，则不能追及 (其中x0为两物体开始 追及时的距离) 交点意义：速度相等时 若未追及，则距离最近 ； 若Δx＞x0(也就是Δx＝ x0时，v减＞v匀)能相遇 两次．
如若追及者甲和被追及者乙最初相距d0，令两者在t 时相遇，则有x甲－x乙＝d0，得到关于时间t的一元二 次方程：当Δ＝b2－4ac>0时，两者相撞或相遇两次； 当Δ＝b2－4ac＝0时，两者恰好相遇或相遇不相撞；Δ ＝b2－4ac<0时，两者不会相撞或相遇． ②物理分析法：追及和相遇问题除了列方程，用公式 的方法解决外，也可以用物理逻辑推理分析的方法求 解，就是根据物理情景，结合科学的推理得到结论。 如两物体处于同一位置时速度相等，或两物体速度相 等时恰处于同一位置．是追上和追不上的临界条件。 通过找临界条件列方程求解．
(2)匀速运动的物体A追及同方向做匀加速运动的物体 B，恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体的速 度相等时的位置相同． ①物体A追及物体B：开始时，两个物体相距x0，要使 A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB； ②物体A追及物体B：开始时，两个物体相距x0，要使 两物体恰好不相撞(即相遇而不相碰)，必有xA－xB＝ x0，且vA＝vB. (3)匀减速运动的物体追及同方向的匀速运动的物体时， 情形跟第二种情况相似．