集合的交并补运算
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
集合的交集、并集与补集
集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。
这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。
一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。
记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。
如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。
交集的定义可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。
交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。
假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。
因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。
二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。
记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。
如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。
并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。
并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
交集并集补集差集
交集并集补集差集交集、并集、补集和差集是集合论中的重要概念。
它们是用来描述集合之间的关系和操作的。
本文将对这些概念进行详细介绍，并阐明它们在数学中的应用。
首先，我们来了解一下集合。
在数学中，集合是由一些确定的元素组成的整体。
这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、词语等。
例如，集合A可以包含元素1、2、3，记作A={1, 2, 3}。
交集是指两个集合中共同存在的元素组成的集合。
记作A∩B。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A和B的交集为{2, 3}。
交集可以理解为两个集合中的共同点。
并集是指两个集合中所有元素组成的集合。
记作A∪B。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A和B的并集为{1, 2, 3, 4}。
并集可以理解为两个集合的总体。
补集是指一个集合相对于全集中不属于该集合的元素组成的集合。
通常，全集是指研究对象所属的领域的范围。
记作A'或A^c。
例如，如果全集为{1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 3}，那么A的补集为{1, 4, 5}。
补集可以理解为除了该集合中的元素以外的所有元素。
差集是指一个集合相对于另一个集合的补集的元素组成的集合。
记作A-B。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A和B的差集为{1}。
差集可以理解为属于一个集合但不属于另一个集合的元素。
交集、并集、补集和差集在数学中广泛应用。
它们是数学推理和证明的基础工具。
在集合论证明中，我们经常使用这些操作来判断两个集合是否相等或确定集合之间的包含关系。
此外，交集、并集、补集和差集也常用于概率、统计学和计算机科学中的问题。
在概率中，我们可以通过交集和并集来计算事件的概率。
例如，A和B是两个事件，我们可以通过计算A∩B和A∪B来确定事件A和事件B发生的可能性。
在统计学中，交集和并集可以用来描述样本空间和事件之间的关系。
集合运算法则
集合运算法则交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A。
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
集合运算法则交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C同一律：A∪∅=A；A∩U=A求补律：A∪A'=U；A∩A'=∅对合律：A''=A等幂律：A∪A=A；A∩A=A零一律：A∪U=U；A∩∅=∅吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。
文字表述：1.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集;2.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集。
容斥原理（特殊情况）：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A )+card(A∩B∩C)。
集合集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
高中数学 集合间交、并、补的运算
集合间交、并、补的运算一、交集：交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为。
数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合。
由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x ∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合{1，2，3} 和{2，3，4} 的交集为{2，3}。
数字9 不属于素数集合{2，3，5，7，11} 和奇数集合{1，3，5，7，9，11}的交集。
若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B = ? ;。
例如集合{1，2} 和{3，4} 不相交，写作{1，2} ∩{3，4} = ? 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。
交集运算满足结合律，即 A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素A，x 属于A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合{A，B，C} 的交集。
（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
这一概念的符号有时候也会变化。
集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。
后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈I} 的交集。
这里I 非空，Ai 是一个i 属于I 的集合。
注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。
集合的并、交、补基本运算法则
集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．之老阳三干创作
定理.设A,B,C为任意三个集合，Ω与Æ分别暗示全集和空集，则下面的运算法则成立：
(1) 交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；
(2) 结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,
(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C）；
(3) 分配律: (A∩B) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),
(A∪B) ∩C =(A∩C) ∪(B∩C)；
(4) 摩根(Morgan)律: ，；
(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；
(6) 吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；
(7)0―1律: A∪Æ=A，A∩Ω=A，
A∪Ω=Ω，A∩Æ=Æ；
(8)互补律: , Æ；
(9) 重叠律: , .
证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．
例试证明等式
证.
＝Ω∩C＝C
对偶.定理的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把Æ换成Ω，同时把Ω换成Æ，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式．
例的对偶为；的对偶为；的对偶式是。
第7讲：集合的交并补运算
第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。
(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。
集合的运算交集并集补集
到这两个集合的交集。
A
B
A∩B
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
x
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A
– （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅
– （3） A ∩ B⊆ , A ∩ B ⊆
【练习】1.3.1
1、设A={-1，0，1，2}，B={0，2，4，6}，求A ∩ B
3、设A={x|-2<x≤2},B={x| 0≤x ≤4},求A ∩ B。
1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生表彰的集合为A={王莉，李红，张
例5 设A={0<x≤ 2}, B = {x|1 < x ≤3},求A∪B
分析：在数轴上表示出集合A、B，观察可以得出这两个集合的并集。
B
A
x
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
【新知识】
由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
A
B
、
【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。
解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
集合运算的基本法则
集合运算的基本法则
集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．
设A，B，C为任意三个集合，Ω与Ø分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：1､交换律（Commutative Laws）：A ∪B = B∪A，A ∩B = B ∩A
2､结合律（Associative Laws）：(A ∪B) ∪C = A ∪(B∪C) = A ∪B∪C ，
(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) = A ∩B ∩C
3､分配律（Distributive Laws）：(A ∩B) ∪C = (A∪C) ∩(B∪C) ，
(A∪B) ∩C = (A ∩C) ∪(B ∩C)
4､德摩根律（De Morgan’s Law）:
5､等幂律（Impotent laws）: A∪A = A，A∩A = A；
6､吸收律（Absorption laws）：(A∩B)∪A = A，(A∪B)∩A = A
7､同一律（Domination laws）：A∪Ø = A，A∩Ω= A ，A∪Ω=Ω，A∩Ø = Ø；
8､互补律（Complement Laws）：
9、重叠律，
对偶原理：九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理.
例题一：证明等式。
集合的交并补运算
集合间关系与性质
子集
对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
真子集
如果A是B的子集，且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
空集
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集。
相等集合
如果两个集合A和B满足A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
集合的交并补运算
汇报人：XX
目 录
• 集合基本概念与性质 • 交集运算及其性质 • 并集运算及其性质 • 补集运算及其性质 • 复杂集合运算处理技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 集合基本概念与 性质
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物的总 体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母A、B、C等表示 ，元素用小写字母a、b、c等表示。 如果元素a属于集合A，则记作a∈A。
文氏图定义
文氏图是一种用图形表示集合及其关系的方法，通过图形中的重叠部分表示集合的交集、 并集等运算结果。
应用场景
当涉及多个集合的复杂运算时，文氏图可以直观地展示各个集合之间的关系，帮助我们更 好地理解运算过程。
举例
假设有三个集合A、B和C，它们的文氏图表示了三个集合之间的交集、并集等关系。通过 文氏图，我们可以清晰地看出各个集合之间的重叠部分，从而方便地进行复杂的集合运算 。
可数性的判断方法
可数集与不可数集
可数集是指能与自然数集建立一 一对应关系的无限集合；不可数 集则不能与自然数集建立一一对 应关系。
通过构造一一映射或反证法等方 法来判断一个无限集合是否为可 数集。
可数集的性质
可数集的任何子集都是可数集； 可数个可数集的并集仍然是可数 集。
集合的交并补运算
集合的交并补运算集合是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
集合的交、并和补运算是集合论中重要的概念，它们用于描述和操作不同集合之间的关系。
本文将详细介绍集合的交、并和补运算。
一、集合的交运算集合的交运算是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
用符号∩表示集合的交运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
集合的交运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∩(A∪B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∩B=A∩C，则B=C。
通过集合的交运算，我们可以得到两个或多个集合共有的元素，这有助于我们进行更精确的描述和操作。
二、集合的并运算集合的并运算是指两个集合中所有元素构成的新集合。
用符号∪表示集合的并运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
集合的并运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∪(A∩B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∪B=A∪C，则B=C。
集合的并运算能够将两个集合中的所有元素进行合并，形成一个更大的集合。
通过并运算，我们可以得到两个或多个集合的总体情况。
三、集合的补运算集合的补运算是指在全集中减去一个集合中的元素，得到一个新的集合。
用符号-表示集合的补运算。
例如，全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，则A的补集为A'={3,4,5}。
集合的补运算有以下几个特性：1. 对偶律：对任意集合A，有(A')'=A。
2. 同一律：对任意集合A，有A∪A'=U，A∩A'={}。
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
离散数学---集合的基本运算
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}
集合的并交差与补运算
集合的并交差与补运算集合是数学中的一个重要概念，在各个领域中都有着广泛的应用。
在集合论中，有几种常见的集合运算，包括并运算、交运算、差运算和补运算。
这些运算可以帮助我们更好地理解集合之间的关系，进而推导出更多有用的结论。
本文将详细探讨集合的并交差与补运算，并展示它们在实际问题中的应用。
一、并运算在集合中，如果将两个集合A和B进行并运算，就是将它们中的所有元素合并成一个新的集合。
并运算通常用符号“∪”表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么A∪B的结果就是新的集合{1, 2, 3, 4, 5}。
并运算具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A。
即并运算满足元素的无序性。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
即并运算满足结合性。
3. 幂等律：对于任意集合A，A∪A = A。
即并运算对于自身的幂等。
二、交运算与并运算类似，交运算是指将两个集合A和B中共有的元素提取出来构成一个新的集合。
交运算通常用符号“∩”表示。
如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么A∩B的结果就是新的集合{3}。
交运算也具有类似的性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B = B∩A。
即交运算满足元素的无序性。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
即交运算满足结合性。
3. 幂等律：对于任意集合A，A∩A = A。
即交运算对于自身的幂等。
三、差运算差运算是指将一个集合A中与另一个集合B中相同的元素去除后得到的新集合。
差运算通常用符号“-”表示。
如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么A-B的结果就是新的集合{1, 2}。
差运算的性质如下：1. 差集的结果只包含属于集合A但不属于集合B的元素。
2. 差运算不满足交换律，即A-B通常不等于B-A。
交、并、补集的混合运算
交、并、补集的混合运算交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，通过混合运算可以更好地理解集合之间的关系和性质。
下面将为你介绍这些概念以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来看一下交集。
交集是指两个或多个集合中共同的元素所构成的新集合。
可以用符号∩ 来表示。
例如，假设集合 A 包含 {1, 2, 3, 4}，集合 B 包含 {3, 4, 5, 6}，那么 A 与 B 的交集就是 {3, 4}。
交集代表了两个集合共有的部分，可以理解为两个集合的“重合区域”。
接下来，我们来看一下并集。
并集是指两个或多个集合中所有元素所构成的新集合。
可以用符号∪ 来表示。
继续以集合 A 和集合 B 为例，那么 A 与 B 的并集就是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
并集代表了两个集合之间的全部元素，可以理解为两个集合的“合并”。
最后，让我们来谈谈补集。
补集是指某个给定集合中不包含在另一个集合中的元素所构成的新集合。
可以用符号 ' 代表。
在这个概念中，我们需要明确所谈论的全集。
以集合 A 和全集 U 为例，A 的补集就是所有不属于 A 的元素构成的新集合。
例如，如果全集 U 是 {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A 是 {1, 2, 3}，那么 A 的补集就是 {4, 5}。
补集代表了一个集合中缺失的部分，可以理解为集合的“缺失区域”。
这些概念和混合运算在日常生活中有很多应用。
比如，在市场调研中，我们可以将消费者分为 A 组和 B 组，A 组喜欢产品 X，B 组喜欢产品 Y。
那么 A 组和 B 组的交集就是同时喜欢产品 X 和产品 Y 的消费者，可以针对这部分消费者开展有针对性的营销活动。
而 A 组和 B 组的并集则是所有潜在消费者的总和，有助于我们了解整体市场规模和潜力。
另外，通过研究补集，可以发现市场上尚未覆盖到的消费者群体，帮助企业制定更全面的市场策略。
总而言之，交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，在实际问题中具有广泛的应用。
交叉并补公式
交叉并补公式交叉并补公式是数学中常常用到的一种运算方法，它可以通过对两个集合进行操作，得到它们的交集、并集和补集。
在实际应用中，交叉并补公式具有广泛的应用，可以用于数据处理、集合运算、逻辑推理等方面。
我们来介绍一下交集运算。
对于两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，表示A和B中共同存在的元素构成的新集合。
例如，假设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
交集运算可以用来找出两个集合中共同存在的元素，进而实现数据的筛选和匹配。
接下来，我们介绍一下并集运算。
对于两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，表示A和B中所有的元素构成的新集合。
例如，假设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。
并集运算可以用来合并两个集合中的元素，进而实现数据的整合和汇总。
我们介绍一下补集运算。
对于两个集合A和B，它们的补集表示为A-B或者B-A，表示在A中存在而B中不存在的元素所构成的新集合。
例如，假设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A-B={1,2}，B-A={5,6}。
补集运算可以用来找出两个集合之间的差异，进而实现数据的比较和分析。
除了交集、并集和补集运算，交叉并补公式还可以进行多重运算。
例如，对于三个集合A、B和C，可以通过交叉并补公式得到它们的交集、并集和补集。
具体来说，可以先计算A∩B，然后再计算(A∩B)∪C，最后再计算((A∩B)∪C)-A，就可以得到最终的结果。
交叉并补公式的多重运算可以用来处理更加复杂的数据关系，进而实现更加精确的数据分析和决策。
交叉并补公式是数学中常用的一种运算方法，它可以通过对两个集合进行操作，得到它们的交集、并集和补集。
在实际应用中，交叉并补公式可以用于数据处理、集合运算、逻辑推理等方面，具有广泛的应用前景。
通过灵活运用交叉并补公式，我们可以更好地理解和处理各种数据关系，提高数据分析和决策的准确性和有效性。
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2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集（intersection set），记作 A∩B(读作“A交B”)，即
A∩B={x|x∈A且x∈B}. 可用Venn图表示：
四 知识创新
根据右图讨论一下并集 的运算性质
记作CUA，即CUA＝{ x | x∈U且 x A}
③全集及补集是相对的，全集不同，
补集也可能不同; ④用韦思图表示：全集、补集的关系
：
U A
CUA
2. 交集、并集、补集的关系：
①A∩(CUA)=Φ ②A∪(CUA)=U ③CU(CUA)=A ④CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ⑤CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)
1.1.3集合的 基本运算
一 学习目标
1. 理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简 单集合的并集与交集.
2. 能使用Venn图表达集合的关系和运算体会直观 图示对理解抽象概念的作用.
3. 能够正确的理解不同语言表示的集合的本质并 且能够在解题时准确表达.
二 知识铺垫
我们知道，实数有加法运算.类比实数的加 法运算，集合是否也可以“相加”呢？
集合B和C都是A的子集，我们就说A是全集 U。 那我们研究自然数呢？研究1到20以内的质 数呢？ 全集U会随着研究对象的变化而变化
1. 全集、补集
①一般地，如果一个集合含有我们所 研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U .
U
②对于一个集合A，由全集U中不属于 集合A中所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U的补集，简称集合A的补集，
六 知识总结
本节我们学习了集合的并、交两种基本运算， 要在理解其运算本质的基础上记忆其运算性质； 在掌握概念的基础上能够熟练运用自然语言、符 号语言、图形语言来表示集合的交、并运算.
作业：课本第13页第6题.
观察集合A，B，C之间的关系 1. A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，
考察下列各个集合，你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗？ 1) A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2， 3，4，5，6}； 2) A={x|x ∈Q}，C={x|x ∈R}. 3) A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，
C={8}.
三 知识学习
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于 集合B的元素所组成的集合，称为 集合A与B的并集(union set)，记作 A∪B(读作“A并B”)，即
1A B A, A B B; 2A A A; 3A A; 4A B B A.
四 知识创新
根据右图讨论一下交集 的运算性质
1(A B) A, (A B) B; 2A A A; 3A ; 4A B B A.
五 知识强化
练习1 已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三 角形}，求A∩B，A∪B.
答： A∩B ={x|x是等腰直角三角形}， A∪B ={x|x是等腰三角形或是直角三角形}
练习2 A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}，求A∩B， A∪B.
答： A∩B ={-1}，2-ax+a2-19=0}， B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，求 a取何值时，A∩B≠ 与A∩C= 同 时成立.
3. 并集、交集的运算性质
集合 性质
并集
交集
A A A, A A A A A, A
A∪B =B∪A
A∩B=B∩A
子集、交 集、并集 之间的关 系
(A∪B) A ，(A∪B) B (A∩B) A ，(A∩B) B
(A∩B)＝A A B (A∪B)＝B A B
(A∩B) (A ∪ B)
解：由已知，得B {2，3}，C {2， 4}.
A B ,
2和3是方程x2 ax a2 19 0的解; 又 A C ,
2和 4都不是方程x2 ax a2 19 0的解;
3是方程x2 ax a2 19 0的解.
a2 3a 10 0, a 2或a 5. 当a 2时,经验证适合题意; 当a 5时, A {2,3}, 此时A C , a 5舍去. a 2.
5} 2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
观察集合A，B，C之间的关系 1. A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，
5} 2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
德摩根定律
③全集及补集是相对的，全集不同，
补集也可能不同; ④用韦思图表示：全集、补集的关系
：
U A
CUA
1. U={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4， 5}
2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
当B=U或B为空集时？