空间直角坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系
图 5－ 16－ 2
第 16 讲 │ 要点热点探究
(方法二)如图，以点 C 为坐标原点， 以 CB，CF 和 CD 分别为作 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C－xyz. 设 AB＝a，BE＝b，CF＝c，(b<c) 则 C(0,0,0)，A( 3，0，a)，B( 3， 0,0)，E( 3，b,0)，F(0，c,0)，D(0,0，a)． → ＝( 3，0,0)，CB → ＝( 3，0,0)， (1)DA → ＝( 3，b－c,0)， FE → |＝2，得 3＋(b－c)2＝4，∴b 由|FE －c＝－1.
→＝ (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点，PQ →， λPC 试确定 λ 的值， 使得二面角 Q－ BD － P 为 45° .
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
例1 : 在长方体OABC DABC中， OA 3， OC 4， OD 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0, 0, 2)
C '0,4,2
B '(3, 4, 2)
4
3,0,2 A '
O 0,0,0
第 16 讲 │ 要点热点探究
如图 5－ 16－ 2，矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在 平面互相垂直，∠ BCF＝ 90° ， BE∥ CF， CE⊥ EF， AD＝ 3 ， EF＝ 2. (1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角； (2) 当 二 面 角 D— EF— B 的 大 小 为 45° 时，求二面角 A— EC— F 的大小．
第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点二 空间距离的有关问题
例 2 如图 5－ 16－ 3， 四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点， △ ABD 和△ BCD 均为等边三角形， AB＝ 2， AC＝ 6. (1)求证：AO⊥平面 BCD； (2)求二面角 A－ BC－ D 的余弦值； (3)求点 O 到平面 ACD 的距离．
空间直角坐标系
第 1 页 共 2 页空间直角坐标系1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条 且有 单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做 ，x 轴、y 轴、z 轴叫做 。
在画空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。
3、在空间直角坐标系中，空间一点M 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做 坐标，y 叫做 坐标，z 叫做 坐标.4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
注意：(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy ，xOz ，yOz 上非原点的坐标有什么特点？(2)y 轴、z 轴上非原点的坐标有什么特点？5（1）空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式： 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=（2）在空间直角坐标系O-xyz 中，设点P(x ，y ，z)、()111,,z y x A 、()222,,z y x B ， 则：点P 到原点O 的距离|OP|=222z y x ++ A 与B 两点间距离公式|AB|=212212212)()()(z z y y x x -+-+- 点A 与B 的中点()000,,z y x P 坐标公式：2,2,2210210210z z z y y y x x x +=+=+= 专题例题与练习：例1. 在空间直角坐标系中，到点M(3，—1，2)，N(0，2，1)距离相等且在y 轴上的点的坐标为___________例2. 与点P(1,3,5)关于原点对称的点是( )A 、(—1，—3，5)B 、(1，—3，5)C 、(—1，3，—5)D 、(—1，—3，—5) 例3. 已知空间两点M(2，3，6)，N(—m ，3，—2n)关于xOy 平面对称，则m+n=_________例4. 如图右侧，已知正方体ABCD －A′B′C′D′的棱长为a ，|BM|=|2MD’|，点N 在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN 的长．练习1．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( )A ．4 3B ．2 3C ．4 2D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P(－5，－2,3)到x 轴的距离为( )第 2 页 共 2 页 A ．5 B.29 C.13 D.343．在空间直角坐标系中，已知点P(x ，y ，z)满足方程(x ＋2)2＋(y －1)2＋(z －3)2＝3， 则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段4．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．5．以正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB 、AD 、AA1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( ) A.(21，1，1). B.(1，21，1). C. (1，1，21). D. (21，21，1).6．空间直角坐标系中，x 轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个7．已知A(1，－2,11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是() A.62 B.3 C.32 D.63。
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
空间直角坐标系
2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
本书上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。
二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
空间直角坐标系
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空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次 交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x， y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
返回
总结 1．求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的 问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论． 2．空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊 对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是 P1(－x，－y，－z)；
返回
空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的 对称点的坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1， 点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对 称点为 P3，则点 P3 的坐标为________．
返回
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系
4
3
O
y
1
D`
x
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y
P2 (1,1, 1)
四、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1) D '
(1，0，1) A '
C '(0，1，1)
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
A(1，0，0) B(1，1，0)
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•C
1
•
E
•
F
B
O• 1 •
•1
A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴
[答案] A
空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示？
二、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Qy
P
M’
x
二、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面
空间直角坐标系
x轴和z轴所确定的坐标面称为xoz坐标面；
y轴和z轴所确定的坐标面称为yoz坐标面.
三个坐标平面将空间分为八个部分，称其 每个部分为卦限，它们分别是： 第一卦限
x>0,y>0,z>0， 第二卦限 x<0,y>0,z>0， 第三卦限 x<0,y<0,z>0，
第四卦限
第五卦限 第六卦限 第七卦限
z
Ⅲ Ⅳ O Ⅶ Ⅷ x Ⅴ
原点O 坐标为(0,0,0).
练习
1、在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z D 4
哪些在坐标轴上, 哪些在坐标平面上, 哪些在卦限里?
3
O
1 D`
y
x
点M（x，y，z）关于坐标轴的对称点 M（x，y，z） x轴 （x，－y，－z）
例3
试判定以A(4,1,9)，B(10,–1,6)，C(2,4,3)
为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 (10 4) 2 (1 1) 2 (6 9) 2 49,
同理有
| AC | 49,
2
| BC | 98.
2
| AB | | AC | , AB AC，
1 1 （ ， ，1）． 2 2
思考：类比平面直角坐标系中两点间距离, 空间的两点之间的距离公式如何？
设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 求 它们之间的距离 d = |M1M2|. 过点 M1 M2 各作三张平 z 面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体. 易知
空间直角坐标系
坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z)
空间直角坐标系中的点的对称问题
P1(-x,-y,-z); P2(-x,y,z); P3(x,-y,z); P4(x,y,-z);
P5(x,-y,-z); P6(-x,y,-z); P7(-x,-y,z).
4.3.1 空间直角坐标系
坐标系 空间直角 坐标系
右手直角 坐标系
空间直角坐标系
定义
图示
空间直角坐标系Oxyz,其中点O 叫做① 坐标原点 ,x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫做② 坐标 平面 ,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面
在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向x轴的正方向,③ 食指
确定空间中的点的坐标
1.确定空间中的点P(x,y,z)的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影,方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A、B、C三点(A、B、C即为点P在三条坐标轴上的射影),点A、 B、C在x轴、y轴、z轴上对应的数分别为a、b、c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上,记为点P1,由P1P的长度 及点P和z轴正方向在xOy平面哪侧确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐 标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
2.求空间几何体中的点的坐标 (1)建立适当的空间直角坐标系. ①在几何体中找到三条两两垂直且共点的直线. ②以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ③建立的坐标系不同,求出的点的坐标不尽相同. (2)通过解三角形等方法求出相关线段的长度. (3)利用线段长度结合符号写出各点坐标.
空间直角坐标系
05
空间直角坐标系的发展 历程
空间直角坐标系的起源和发展
起源：古希腊时期， 欧几里得提出平面 直角坐标系
发展：16世纪， 笛卡尔将平面直角 坐标系推广到三维 空间
应用：17世纪， 牛顿和莱布尼茨使 用空间直角坐标系 进行科学研究
现代发展：20世 纪，空间直角坐标 系在物理学、工程 学等领域得到广泛 应用
04
空间直角坐标系与笛卡 尔坐标系的关系
笛卡尔坐标系的概念和性质
笛卡尔坐标系是 数学中常用的坐 标系之一，由法 国数学家笛卡尔 提出
笛卡尔坐标系由 三个相互垂直的 坐标轴组成，通 常用x、y、z表 示
笛卡尔坐标系中 的点可以用三个 坐标值（x、y、 z）来表示，这 三个坐标值分别 对应三个坐标轴 上的位置
空间直角坐标系
XXX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XXX
目录 /目录
01
空间直角坐标 系的定义
02
空间直角坐标 系的性质
03
空间直角坐标 系的应用
04
空间直角坐标 系与笛卡尔坐 标系的关系
05
空间直角坐标 系的发展历程
01 空间直角坐标系的定义
空间直角坐标系的定义和概念
空间直角坐标系是 描述三维空间中点 的位置的一种方法
空间直角坐标系由 三个互相垂直的坐 标轴组成，通常用 x、y、z表示
空间直角坐标系中 的点可以用三个坐 标值（x、y、z） 来表示
空间直角坐标系中 的点可以用向量来 表示，向量的起点 是原点，终点是点 所在的位置
空间直角坐标系的构成
原点：空间直角坐标系的中心点 坐标轴：x轴、y轴、z轴，分别代表三个相互垂直的方向 单位长度：规定每个坐标轴上的单位长度 坐标值：表示点在空间中的位置，由三个坐标值组成，分别对应x轴、y轴、z轴上的位置
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
空间直角坐标系课件
原点和坐标轴的确定
原点确定
空间直角坐标系的原点一般选择为观察点的位置。
坐标轴确定
过原点作三条互相垂直的直线，即可确定X、Y、Z轴的方向。其中，X轴指向东 ，Y轴指向南，Z轴指向高。
02 空间点的坐标表示
CHAPTER
空间点的直角坐标表示
空间点的直角坐标系
使用三维坐标系来表示空间中的点。每个点由三个坐标值x、y、z表示，其中(0,0,0)代表原点。
VS
两点间距离公式
当两点不在同一平面内时，需要利用三维 坐标系中的距离公式进行计算。
空间角度的计算
两向量夹角
利用向量的点积和模长可求得两向量之间的 夹角，即 $\arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{| \vec{A}||\vec{B}|}\right)$。
性质
空间直角坐标系是一个正交坐标 系，三个坐标轴相互垂直，原点 为它们的交点。
空间直角坐标系的建立
确定观察点和坐标轴
选择一个观察点作为原点，以过原点 的三条互相垂直的直线作为X、Y、Z 轴。
建立坐标系
标记坐标值
在空间任意一点P处，分别测量其到X 、Y、Z轴的距离，即可得到该点的坐 标值。
以原点为中心，以单位长度为间隔， 分别在X、Y、Z轴上建立坐标系。
曲面与平面的交线求法
定义法
通过曲面的方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离 ，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系
名 称 内 容 以空间一点O为原点，具有相同的单位长度,给 空间直角坐 定正方向,建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、 标系 Oxyz z轴，这时建立了一个空间直角坐标系_____. 坐标原点 坐标轴 坐标平面 点O x______________ 轴、y轴、z轴 坐标轴 的平面 通过其中两个_______
2
H(0,- 2 a, 1 4b 2 2a 2 ).
【拓展提升】求空间中点P的坐标的方法 (1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P
的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.
(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点 P到三个平面的距离
等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进
(2)右手直角坐标系的含义 y轴 的正方向时， 当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向____ z轴 的正方向. 中指指向____ (3)空间中点M的坐标 空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作
横坐标 ，y叫做点M的_______ 纵坐标 ， M(x,y,z)，其中x叫做点M的_______
4b 2 2a 2 ,
∴P点坐标为(0，0， 4b2 2a 2 ),
且A( 2 a,0,0),B(0,
2 a,0),C(- 2a,0,0),D(0,2 a,0).
∴E( 2 a,0, 1 4b 2 2a 2 ),
2 2 F(0, 2 a, 1 4b 2 2a 2 ), 2 2 G(- 2 a,0, 1 4b 2 2a 2 ), 2 2 2
而可求得点P的坐标.
【变式备选】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为 坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标. 【解析】以A点为坐标原点，AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴 建立空间直角坐标系，如图所示. 设AC的中点是D，连接BD，则 BD⊥y轴，且BD= 3 ， ∴A(0,0,0),B( 3 ,1,0),C(0,2,0)， A1(0,0,2),B1( 3 ,1,2),C1(0,2,2).
空间直角坐标系
空间直角坐标系一、主讲知识【知识点讲解1】空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O 叫做，i ，j ，k 都叫做。
对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作。
【讲透例题1】例1、已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN →的坐标．【相似题练习1】如图在边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取D 点为原点建立空间直角坐标系，O ，M 分别是AC ，DD 1的中点，写出下列向量的坐标.AM →＝________，OB 1→＝________.向量运【小结】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．【知识点梳理2】空间向量坐标运算1、空间向量的坐标运算空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝减法a －b a －b ＝数乘λa λa ＝数量积a ·ba ·b ＝2、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示加法a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23【讲透例题2】例1、已知()1,2,1a =- ，()1,2,1a b +=-- ，则b = （）A ．(2，－4，2)B ．(－2，4，－2)C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)【相似题练习2】1、已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC，且AP =uu u v P 的坐标为（）A ．()4,2,2-B ．()2,2,4-C ．()4,2,2-或()2,2,4-D ．()4,2,2--或()2,2,4-2、(1)设a ＝(1，－1，3)，b ＝(－2，1，2)，则a ＋2b ＝________.(2)设a ＝(1，－1，1)，b ＝(－2，0，1)，则cos 〈a ，b 〉＝________.(3)已知点A (－1，2，0)，B (－1，0，2)，则|AB →|＝________.3、已知四点()1,2,1A -，()1,1,3B -，12,,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),,0D x y ，且//AB CD ，则x ，y 的值分别为（）A ．3，1B ．4，52-C ．3，-1D ．1，14、与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是()A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭D ．)5、已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__．6、已知向量(1,2,1),(1,1,1)a b =-=-- ，则a 与b的夹角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30°7、下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（）A ．()100b =，，B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，8、已知向量()1,0,1a =r，()2,0,2b =- ，若()()2ka b a kb +⋅+= ，则k 的值等于（）A ．1B ．35C ．25D ．159、在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是()A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）10、若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.11、已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b，分别求λ与m 的值；（2）若||a =(2,2,)c λλ=--垂直，求a.二、课堂练习1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°2.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为()A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1)3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5)D．(－2，－3,5)5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且k a＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1 B.15C.35D.756.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为()A.5 5B.555C.355D.1157.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．空间向量研究立体几何距离、夹角一、主讲知识【知识点讲解1】距离问题空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A 、B 为空间中的任意两点，则d ＝|AB |点线距设直线l 的单位方向向量为u ，A ∈l ，P ∉l ，设AP →＝a ，则点P 到直线l 的距离d ＝|a |2－(a ·u )2点面距已知平面α的法向量为n ，A ∈α，P ∉α，则点P 到平面α的距离为d ＝|AP →·n ||n |【讲透例题1】例1、如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.求点A 到平面MBC 的距离．【相似题练习1】1、在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，求O 1到直线AC 的距离．2、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，则点1A 到平面MBD 的距离是（）A ．66a B ．36a C ．34a D ．63a 3、如图所示，ABCD -EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足312423AP AB AD AE =++ ，则P 点到直线AB 的距离为________．4、四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1＝3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（）A ．2B ．1C ．32D ．35、如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA AB ⊥，1AD AF FE ===，2AB =，AD BE ⊥.（1）求证：BE DE ⊥；（2）求点F 到平面CBE 的距离.【知识点讲解2】求两条异面直线所成的角空间角的向量求法【讲透例题2】例1、如图，在三棱柱OAB -O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．【相似题练习2】1、已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．155C ．32D ．332、在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2∠=︒==ACB CA CC CB ，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）AB ．53CD ．353、在正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA =，底面边长AB =，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（）A ．30B ．45C ．60D ．904、如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ⊥平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（）A ．66B ．53C ．33D ．63【知识点讲解3】直线与平面所成的角空间角的向量求法【讲透例题3】例1、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【相似题练习3】1、在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若F ，G 分别是棱AB ，CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于()A．23B ．54C ．33D ．362、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，1AB AC ==，2PA =，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（）A ．255B ．55C ．35D ．2353、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DCPD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：//CF 平面PAB ；（2）求直线PA 与平面BPD 所成角的正弦值．5、如图四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA PC =，点E 在棱PB 上，O 为AC 与BD的交点．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）当E 为PB 的中点时，求证：//OE 平面PDA ；（3）当APD △是正三角形时，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PBC 所成的角的正弦值．【知识点讲解4】平面与平面的夹角空间角的向量求法例1、如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面DOB 1的夹角的余弦值．【相似题练习4】1、（多选）三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n ，若12,3n n π<>= ，则二面角A BD C --的大小可能为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2、如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 为棱AA 1的中点，AB ＝1，AA 1＝2．（1）求点B 到平面B 1C 1E 的距离；（2）求二面角B 1﹣EC 1﹣C 的正弦值．3、如图：直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF //AB ，AD =2AE =2AB =4FC =4，将四边形EFCD 沿EF 折起成如图的位置，使AD =AE .（1）求证：BC //平面DAE ；（2）求四棱锥D ﹣AEFB 的体积；（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.4、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ⊥====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ 所成角的正弦值为515，求AQ 的长．1．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．2．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．3．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,0)A -，6)B ，则向量AB与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________.4．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点，则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.5．如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．6．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90∠∠== ，SA ⊥平面ABCD ，SA AB BC 2===，AD 1=．()1求SC 与平面ASD 所成的角余弦值；()2求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．7、如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝3π，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．空间向量在立体几何中的应用一、主讲知识【知识点讲解1】求平面的法向量平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．【讲透例题1】例1、四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系A -xyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．【相似题练习1】1、已知三点A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．2、若直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，平面α的法向量为()2,0,4n =--，则（）A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l 与α斜交3、（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法正确的是（）A ．AB 与AC是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．AB 和BC 夹角的余弦值是5511D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【知识点讲解2】利用空间向量证明线线平行、线面、面面平行线线平行设两条不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1＝(a 1，b 1，c 1)，u 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)线面平行设l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u·n ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0面面平行设α，β的法向量分别为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)【讲透例题2】例1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .例2、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【相似题练习2】1、如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．2、若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则能使//l α的是（）A ．()1,2,1m =，()1,0,1n = B ．()0,1,0m =，()0,3,0n = C ．()1,2,3m =- ，()2,2,2n =-D ．()0,2,1m = ，()1,0,1n =--4、已知两个不同的平面α，β的法向量分别是()11,2,2n = 和()23,6,6n =，则平面α，β的位置关系是________.5、已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.（1）求平面ABC 的一个法向量；（2）证明:向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行.6、如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =平面1OCB 的法向量n =________.【知识点讲解3】利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直线线垂直设直线l 1的方向向量为u ＝(a 1，a 2，a 3)，直线l 2的方向向量为v ＝(b 1，b 2，b 3)，则l 1⊥l 2⇔u ·v ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0线面垂直设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔u ＝λn ⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)(λ∈R )面面垂直设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0【讲透例题3】例1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1E 为AC 的中点．求证：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.例2、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .例3、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .【相似题练习3】1、若平面αβ⊥，且平面α的一个法向量为12,1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则平面β的法向量可以是（）A ．111,,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,1,0)-C ．(1,2,0)D ．1,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-- .对于结论：①||6AD = ；②AP AD ⊥；③AP是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（）A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②3、（多选题）已知v为直线l 的方向向量，→→21,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（）A ．→1n ∥→2n ⇔α∥βB ．→1n ⊥→2n ⇔α⊥βC ．v∥→1n ⇔l ∥αD ．v⊥→1n ⇔l ∥α4、（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α-中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知5、如图，在四棱锥P ABCDPA=．2AB=，2⊥；（Ⅰ）求证：AE PD（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．。
空间直角坐标系
即所求旋转曲面方程为
z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ),
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点 表示的曲面称为圆锥面， 圆锥面 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z = a( x + y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面 该曲面称为旋转抛物面. 旋转抛物面 其特征是: 其特征是 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地， 抛物面的开口向下 一般地， 方程
x y z + 2 + 2 = 1. 2 a b b 该曲面称为旋转椭球面 旋转椭球面. 该曲面称为旋转椭球面
类似地， 类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面 的方程为
2
2
2
x2 y2 z 2 + 2 + 2 = 1. 2 a b a
一般地， 一般地，方程
x2 y2 z 2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x y (3) x y 坐标面上的椭圆 2 + 2 = 1 , 分别绕 x、y 轴. a c
2 2
解 (1) y z 坐标面上的直 线 z = ay( a ≠ 0 )绕 z 轴旋转， 绕 轴旋转， 保持不变， 故 z 保持不变，将 y 换成
±
x2 + y2 ,
则得
z = a (± x 2 + y 2 ).
f (x , y)= 0 ) 平行于 z 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 x y 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面 类似地， 类似地， 不含变量 x 的方程 f( y , z)= 0 ( ) 在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线，平行于 x 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面 而不含变量 y 的方程 f (x , z)= 0 ) 平行于 y 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面
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空间直角坐标系
4．3．1空间直角坐标系
主要概念：
空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy 轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y 叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
一、重点难点
本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
二、教材解读
如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。
古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。
西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。
用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。
阿波罗尼在<<圆锥曲线论>>中，已借助坐标来描述曲线。
十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。
十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为X轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与X轴成一固定角度的线段的长表示。
1637年笛卡儿出版了他的著作<<方法论>>，这书有三个附录，其中之一名为<<几何学>>，解析几何的思想就包含在这个附录里。
笛卡儿在<<方法论>>中论述了正确的思想方法的重要性，表示要创造为实践服务的哲学。
笛卡儿在分析了欧几里得几何学和代数学各自的缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法。
这种方法就是几何与代数的结合----解析几何。
按笛卡儿自己的话来说，他创立解析几何学是为了“决
心放弃那仅仅是抽象的几何。
这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。
我这样作，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何”。
关于解析几何学的产生对数学发展的重要意义，这里可以引用法国著名数学家拉格朗日的一段话：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。
但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善”。
十七世纪之后，西方近代数学开始了一个在本质上全新的阶段。
正如恩格斯所指出的，在这个阶段里“最重要的数学方法基本上被确立了；主要由笛卡儿确立了解析几何，由耐普尔确立了对数，由莱布尼兹，也许还有牛顿确立了微积分”，而“数学中的转折点是笛卡儿的变量。
有了它，运动进入了数学，因而，辩证法进入了数学，因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了”。
恩格斯在这里不仅指出了十七世纪数学的主要内容，而且充分阐明了这些内容的重要意义。
解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代。
从古希腊时起，在西方数学发展过程中，几何学似乎一直就是至高无上的。
一些代数问题，也都要用几何方法解决。
解析几何的产生，改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃，代数方程和曲线、曲面联系起来了。
最早引进负坐标的英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰 贝努利。
“坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。
牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便。
不同的坐标系统之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。
我们今天常常把直角坐标系叫做笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后的结果。
例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)。
M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出
横坐标是6的点
1
M，再将
1
M沿与y轴平行的方向向
左移动2个单位得到点
2
M，然后将
2
M沿与z轴平行
的方向向上移动4个单位即得点M。
点的位置如图所示。
出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可
M
以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。
在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。
答案：略
例2：已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角
坐标系，写出各顶点的坐标。
称性，建立适当的空间直角坐标系。
正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为232。
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所
在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、
B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、
P(0,0，232)。
计算所需确定的点的坐标。
在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=12，AD=8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
答案：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A (0,0，5)、1B (12,0，
5)、1C (12,8，5)、1D (0,8，5)。
例3：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面
yOz 的平面α的方程。
yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解。
坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行，
∴平面α也与x 轴垂直，
∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等。
平面α过点A(2,3，1)，∴平面α内的所有点的横坐标都是2，
α的方程为x=2。
再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。
本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定
点且与x 轴(或y 轴)平行的直线的方程。
在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3，0)且垂直于坐标平面xOy 的直线方程。
答案：所求直线的方程为
x=2,y=3.
1、在建立空间直角坐标系O-xyz 时，要注意使 135=∠=∠xOz xOy ， 90=∠yOz ，且使y 轴和z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y 轴(或z 轴)的单位长度的一半。
2、在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。
3、对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求解方法解决。