备战高考数学一轮复习(热点难点)专题 让抽象函数不再抽象
2024年高考数学第一轮复习重点总结
2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质：- 函数定义域、值域、对应关系、图像等基本概念。
- 奇偶性、周期性的判定与性质。
- 函数与方程的关系。
2. 一次函数与二次函数：- 一次函数的定义与性质。
- 二次函数的定义、图像、顶点坐标、单调性等。
- 利用一次函数和二次函数解决实际问题。
3. 一元二次方程与不等式：- 解一元二次方程的方法（配方法、因式分解法、求根公式等）。
- 一元二次方程的根与系数之间的关系。
- 一元二次不等式的解法和解集表示。
4. 一次不等式与绝对值不等式：- 一次不等式的解法和解集表示。
- 绝对值不等式的解法和解集表示。
- 利用一次不等式和绝对值不等式解决实际问题。
5. 分式与分式方程：- 分式的定义与性质。
- 分式方程的解的概念与解法。
二、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质：- 等差数列、等比数列等常见数列的概念与性质。
- 通项公式、前n项和公式的推导和应用。
- 数列的递推公式与特殊项。
2. 数列的求和与数学归纳法：- 等差数列、等比数列的求和公式。
- 数学归纳法的基本思想和应用。
- 利用数学归纳法证明一些数学命题。
三、平面几何与空间几何1. 平面几何的基本概念：- 直线、线段、射线、角的概念与性质。
- 平行线、垂直线的判定条件。
- 同位角、内错角、同旁内角等角度关系。
2. 三角形的性质和判定：- 三角形的内角和、外角和的性质与推论。
- 三角形形状的判定条件（全等、相似等）。
- 利用三角形的性质解决实际问题。
3. 直线与圆的位置关系：- 直线与平面的位置关系（相交、平行等）。
- 直线与圆的位置关系（相切、相交等）。
- 利用直线与圆的位置关系解决实际问题。
4. 空间几何的基本概念：- 点、线、面、体的概念与性质。
- 平行面、垂直面的判定条件。
- 点、线、面的投影、平移、旋转等基本变换。
四、概率与统计1. 随机事件与概率：- 随机事件的概念与性质。
2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳
2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳函数是数学领域的一个重要概念，在高考中占据着很大的比重。
下面是2024年高考一轮复习函数知识点及最新题型的详细归纳。
1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
通常用f(x)表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
2.函数的表示方法函数可以用解析式、图像、表格等多种方式表示。
其中，解析式是最常见的表示方法，常见的函数表示如下：线性函数：f(x) = ax + b二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c指数函数：f(x)=a^x对数函数：f(x) = loga(x)三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)3.函数的性质-定义域和值域：函数的定义域是自变量能取的全部实数值的集合，值域是因变量能取的全部实数值的集合。
-奇偶性：若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数；若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数。
-单调性：如果对于函数的定义域内的任意x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数是递增的；如果当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数是递减的。
-周期性：如果对于函数的定义域内的任意x，有f(x)=f(x+T)，其中T为正常数，则称函数具有周期T。
4.函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
-两个函数的和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)-两个函数的差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)-两个函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)-一个函数除以另一个函数：(f/g)(x)=f(x)/g(x)随着高考的，函数的考查形式也在不断变化，以下是一些最新的函数题型归纳：-函数的图像分析：考生需要根据给定函数的解析式或表格，画出其对应的图像，然后分析图像的特点，如极值、拐点、单调性等。
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结2024年高考数学第一轮复习是考生们备战高考的重要阶段，这一阶段的复习主要目的是回顾巩固基础知识，培养解题思维和技巧。
下面将从数学的各个章节出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路。
一、函数与方程在函数与方程这一章节中，主要涉及到函数的概念、一次函数、二次函数以及指数与对数函数的应用问题。
在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 理解并掌握函数的概念，了解函数的性质和图像变化规律。
2. 对于一次函数和二次函数，要掌握其基本的性质和变化规律，学会通过函数的解析式确定函数的图像。
3. 对于指数与对数函数，要理解其定义及性质，学会解决指数方程和对数方程。
4. 理解函数的应用，学会应用函数解决实际问题，包括函数的最大值和最小值、函数模型的建立等。
二、数列与数列求和数列与数列求和是高考数学中的重点内容，主要包括等差数列、等比数列、特殊数列的求和等。
在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 对于等差数列，要掌握通项公式和求和公式的推导和应用，学会利用已知条件求解未知。
2. 对于等比数列，要掌握通项公式和求和公式，学会利用递推关系求解未知。
3. 对于特殊数列，如等差中项数列、倒数数列等，要理解其特点和求和方法，学会运用特殊数列的性质解题。
4. 在解题过程中，要注意数列的性质和数学符号的运用，尤其是在求和过程中要注意边界条件的处理。
三、平面几何与立体几何平面几何与立体几何是高中数学的基础部分，其中包括点、直线、圆、多边形等概念的学习与应用。
在解题思路上，可以按照以下步骤进行：1. 对于点、直线、圆等基本概念，要理解其定义和性质，学会判断点与线的位置关系，圆与直线的位置关系。
2. 对于多边形，要学会判断多边形的凸凹性和判断多边形的相似性，熟练掌握多边形的面积和周长的计算方法。
3. 在立体几何中，要理解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的定义和性质，学会计算立体几何图形的体积和表面积。
高考数学一轮复习抽象函数求解技巧
高考数学一轮复习抽象函数求解技巧我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，下文是抽象函数求解技巧，希望可以帮助到同学们。
函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。
然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。
例：设y=蕊(x)是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)u-v。
(Ⅰ)证明：对任意的x[-1，1]，都有x-11-x;(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，都有f(u)-f(v)1。
解题：(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x[-1，1]时，有f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即x-11-x.(Ⅱ)证明：对任意的u,v[-1，1]，当u-v1时，有f(u)-f(v)1当u-v1，uv0,不妨设u0，则v0且v-u1,其中v(0，1]，u[-1，0)要想使已知条件起到作用，须在[-1，0)上取一点，使之与u 配合以利用已知条件，结合f(-1)=f(1)=0知，这个点可选-1。
同理，须在(0，1]上取点1，使之与v配合以利用已知条件。
所以，f(u)-f(v)f(u)-f(-1)+f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u )1综上可知，对任意的u,v[-1，1]都有f(u)-f(v)1.抽象函数求解技巧的全部内容及时这些，希望考生可以完全掌握。
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结随着高考的临近，数学复习也进入了关键的阶段。
为了能够顺利备战高考数学，学生们需要理清数学知识的脉络，掌握一定的解题思路和方法。
本文将从数学各个板块出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路和要点。
1. 函数与方程函数与方程作为高考数学的基础，是各种高等数学知识的基础。
在复习中，对于函数与方程的掌握至关重要。
首先，要掌握基本的函数与方程的概念和性质，包括一元二次方程、一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
要熟悉这些函数的图像和特点，能够准确地画出函数的图像和描述函数的性质。
其次，要掌握函数与方程的解法和应用。
对于一元二次方程，要熟悉求解一元二次方程的方法，包括因式分解法、配方法、根的判别式、完全平方公式等。
对于一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，要掌握相应的解法和应用，能够求解函数和方程的零点、最值、极值等。
最后，要注意函数与方程的综合应用。
在复习中，要注重函数与方程的应用题，特别是与实际问题相关的应用题。
要熟悉建立函数模型和方程模型的方法，能够将实际问题转化为函数与方程，从而解决问题。
2. 解析几何解析几何是高考数学中的重要部分，也是考察学生几何思维和空间想象能力的重要手段。
首先，要熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系，掌握坐标变换的方法。
要能够根据给定的坐标条件确定图形的位置和几何特征，能够解决点、线、面的位置关系、相交关系和对称关系等问题。
其次，要熟练掌握解析几何的基本定理和性质。
包括直线的方程、平面的方程、圆的方程等，要能够根据给定的条件求解方程和解决相应的问题。
最后，要注重解析几何的应用题。
要熟悉解析几何的应用方法，能够将实际问题转化为几何问题，并解决问题。
要能够解决距离、面积、体积等问题，并应用相应的几何定理和性质求解。
3. 概率统计概率统计是高考数学中的重要考点，涉及到概率、统计、函数、方程等多个知识点的综合运用。
首先，要掌握基本的概率与统计的概念和技巧。
2020年高考数学复习让抽象函数不再抽象专题突破
2020年高考数学复习让抽象函数不再抽象专题突破考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
2、指数函数型抽象函数3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
应用举例:招数一：赋值法【例1】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是()A. B.C. D.【答案】A招数二：函数的奇偶性和单调性的应用【例2】定义在上的单调递减函数:对任意都有，．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，，．若，，比较的大小并说明理由．【答案】（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；（Ⅰ）解:为上的奇函数证明：取得∴取得即：对任意都有∴∴为上奇函数（Ⅱ）∵∴∵在上单减∴在上恒成立∴∴在上恒成立在上恒成立∴当时，∴即同理：∴。
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结可以总结如下：
1.掌握基本概念和公式：在复习过程中，要重点掌握数学的基本概念和公式，比如函数的性质、三角函数的基本关系、几何图形的性质等。
理解清楚这些基本概念和公式，才能够灵活应用到解题中。
2.抓住题型特点：不同的题型有不同的解题方法，因此复习中要抓住题型的特点，理解各种题型的解题思路。
比如代数题多涉及方程和不等式的解法，几何题多涉及图形的性质和推理等。
3.注重练习题目：做大量的习题是提高数学解题能力的关键。
在复习中要注重练习各种类型的题目，尤其是历年真题和模拟题。
通过不断练习，可以熟悉题目的出题风格，增强解题的灵活性。
4.总结解题方法：在复习过程中，要不断总结解题方法和技巧。
比如一些常用的解方程的方法，如因式分解、配方法、置换法等。
通过总结解题方法，可以提高解题效率，更快地解决问题。
5.注意归纳和总结：在复习过程中，要及时归纳总结自己遇到的难题和易错题的解题思路和方法。
通过总结，可以加深对知识的理解和记忆，并且在考试中遇到类似的题目时能够有思路。
综上所述，2024年高考数学第一轮复习解题思路总结包括掌握基本概念和公式、抓住题型特点、注重练习题目、总结解题方法和注意归纳和总结。
通过有针对性的复习和练习，可以提高数学解题的能力和应对考试的水平。
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2021年高考数学重难点复习：破解抽象函数
2021年高考数学重难点复习破解抽象函数难题一．方法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法.二．解题策略类型一 函数性质法【例1】【2020届重庆一高一模】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜ 【答案】B 【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∵()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∵f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∵f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∵f （x ）的对称轴为x ＝3，∵f （3.5）＝f （2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∵f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5），即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．【指点迷津】 1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)函数y ＝f(x)关于x ＝2a b +对称⇔f(a ＋x)＝f(b －x)⇔f(x)＝f(b ＋a －x)． 特例：函数y ＝f(x)关于x ＝a 对称⇔f(a ＋x)＝f(a －x)⇔f(x)＝f(2a －x)；函数y ＝f(x)关于x ＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y ＝f(x)关于点(a ，b)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝2b ⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝2b.特例：函数y ＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝0⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝0；函数y ＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f(x ＋a)是偶函数⇔函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 对称；y ＝f(x ＋a)是奇函数⇔函数y ＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x ：①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；②若f(x ＋a)＝1()f x ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－1()f x ，则T ＝2a ；(a>0) ④若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a≠b)，则T ＝|a －b|；⑤若f(2a －x)＝f(x)且f(2b －x)＝f(x)(a≠b)，则T ＝2|b －a|.（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．【举一反三】【2020届湖北荆门一中一模】()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，x R ∀∈，(1)(1)f x f x +=-，若f （1）1=，则f （1）22f +（2）23f +（3）210(10)f +⋯+= ．【答案】49【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，且函数()f x 关于1x =对称，即(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(0)0f =Q ，f （1）1=f ∴（2）(0)0f ==，f （3）(12)(12)(1)f f f f =+=-=-=-（1）1=-，f （4）(0)0f ==，所以f （1）f =（5）f =（9）1=，f （2）f =（6）(10)0f ==f （3）f =（7）1=-。
2024年高考数学第一轮复习重点总结(2篇)
2024年高考数学第一轮复习重点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义：给定一个集合X和Y，如果对于集合X中的每个元素x，都有唯一一个元素y与之对应，那么就称这个对应关系为函数，记作y = f(x)。
- 函数的性质：定义域、值域、图像、奇偶性、单调性等。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
掌握一次函数的图像、性质和应用。
- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
掌握二次函数的图像、性质和应用，包括顶点坐标、对称轴、开口方向、零点等。
3. 指数与对数函数- 指数函数：y = a^x，其中a>0且a≠1。
掌握指数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等。
- 对数函数：y = loga(x)，其中a>0且a≠1。
掌握对数函数的图像、性质和应用，包括定义域、值域、增减性等，以及常用对数函数的特殊性质。
4. 复合函数与反函数- 复合函数：由两个或多个函数通过代数运算得到的新函数。
掌握复合函数的性质和计算方法。
- 反函数：函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。
掌握反函数的概念、性质和计算方法。
5. 方程与不等式- 方程的解：使方程两边相等的未知数的值。
掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，以及应用题中方程的建立和解题方法。
- 不等式的解：使不等式左边大于、小于或等于右边的未知数的值。
掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法，以及应用题中不等式的建立和解题方法。
二、数与数量关系1. 数列与数列求和- 数列的概念与表示：数列是按照一定规律排列起来的一组数。
掌握等差数列、等比数列的概念与表示方法，以及常见数列的性质。
- 数列的通项公式：根据数列的规律，确定数列的通项公式。
掌握等差数列、等比数列的通项公式，以及应用题中数列的建立和求解方法。
名师精讲高中高考数学一轮复习重点热点难点与专题突破(24个专题,含答案)
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号 A∪B＝{x|x∈A，或 x 语言 ∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且 x ∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}
3.集合的运算性质
并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆ A．
，
可得集合 ，然
．
∴
．
图中阴影部分所表示的集合为
，
∴
．
故选 B． 点睛：本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴 影部分所表示的集合的含义． 【例 3】【宁夏石嘴山市第三中学 2017 届高三下学期第三次模拟考试】设全集 U＝R，集合
A {x| x2 2x 3 0}，B {x | x 1 0} ，则图中阴影部分所表示的集合为( )
招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学
问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难
为易的作用，而使问题得以解决． 2ex ex 2e2x
【例 6】已知集合 A {x x2 4mx 2m 6 0, x R}, B {x x 0} ，},若 A B ，求实数 m 的
∴k≤0，∴当
时，0＜k＜2，故选 C．
【 例 5 】【北京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试 】已知集合
，
，且
，则实数 的取值范围__________．
【答案】
.
【解析】分析：根据两个集合的并集的定义，结合条件即可.
高三一轮复习难点突破(2)——抽象函数不等式问题探究
2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题．抽象函数不等式的的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符号“f ”,转化为一般不等式求解．所以函数的单调性是函数和不等式的纽带，只有利用好这一条性质，问题才能得到有效的解决．而在实际解决抽象函数不等式的过程中，我们还要考虑函数有关的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，并且此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，再利用函数单调性解决.【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【解法探究】构造函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．【方法、技巧、规律】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】考向1．直接解抽象函数不等式例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式__________．【点睛】对于构造函数求导数问题，常见的构造有：（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=；（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =； （7）对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不________________.变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()120171x f x e ->⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_______________．考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A. B. C. D.【点睛】.变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，()0xf x >的解集是__________．变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()xf x e <的解集为________．考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．考向6．构造导函数，多次求导，求解抽象函数不等式 例6．若函数()f x 满足()(()ln )f x x f x x '=-，且11()e e f =，则1(e )()1exef f '<+A.B.C.D.考向7．抽象不等式与大小比较例7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<与()1f 的大小关系是（ ）A.B.C. D. 不确定《抽象函数不等式》试题精选1．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( )A ．()()af a bf b <B ．()()af a bf b >C ．()()af b bf a >D ．()()af b bf a < 2．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-⋃+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()212x f x xf x x'+=且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2e B ．0C D ．2e4．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y <B ．x y >C ．x y <D ．x y >6．已知函数12()(1)x f x e x -=+-（其中e 为自然对数的底数），则使(2)(1)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．1(,1)(,)3-∞-+∞ D ．11(,)(,)33-∞-+∞7．已知定义在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()()cos sin f x f x x x '<，则（ ）A 3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D 3π6πf ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>9．定义在()0,+∞上的函数()x 满足()'10xf x +>，()2ln2f =-，则不等式()0xf ex +>的解集为（ ）A ．()0,2ln2B ．()0,ln2C ．()ln2,+∞D ．()ln2,110．定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若()()1231f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x -<，(0)4f =则不等式()31x f x e >+的解集为（ ）A ．(,0)(0,)-∞+∞ B ．(0,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-⋃+∞B ．(3,0)(0,3)-⋃C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(0,3)-∞-13．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．已知()'f x 是函数()f x (0x R x ∈≠且)的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<15．设4log 3a =，5log 4b =，0.012c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<16．（2016·新课标Ⅰ，8）若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．cc b a <B ．cc ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究例2．()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式等价为()()0F x F <，解得0x >，故不等式的解集为()0,+∞. 变式1，∴()F x 在R 上是减函数．等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．变式2．【解析】设g (x )= ()()()11x x ef x e -----，则g ′(x )=− ()1x e --f (x )+ ()1x e --f ′(x )+ ()1x e --=()1x e --[f ′(x )−f (x )+1]，∵f (x )−f ′(x )>1,∴f ′(x )−f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()120171x f x e ->⋅+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()120171x f x e->⋅+的解集为(),1-∞，例3． ()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>， ∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()412f f <，()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，即D. 变式1．解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定； 构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．例4．()()()2''0xf x f x g x x-=>，所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x xx---===--，所以()g x 单调递减区间为(),0-∞，因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >．因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >，因为当1x <-或1x >时，()0g x >， 所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.变式1．【解析】令()()()()()2,0f x xf x f x g x g x xx -''==<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-⋃.变式2．【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称， ∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减，∵()xf x e <，∴，即()1g x <，，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.例5．【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ⎡⎤+++<⎣⎦，∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，令()()()11h x g x xf x =-=-，()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，，解得11x -<<， ∴不等式解集是()1,1-，故选C. 变式1．【解析】函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，即函数()f x 是周期为3的周期函数， ()()()2016367203f f f =⨯==，()g x ∴在R 上是单调递减，不等式()3x f x e <等价于即()(0)g x g <，0x >，∴不等式()3xf x e <的解集为()0,+∞.例6．首先从要解的不等式出发，1(e )()1exef f '<+，两边同除以e ，得111(e )()e e exf f '<+， 观察，右边是e x对应的函数值，要是左边能变成某一个变量的函数值，则可以考虑利用函数单调性来解决，观察其结果，对照()(()ln )f x x f x x '=-可知，1111()()e e e ef f '=+，则原不等式等价于解不等式：1(e )()ex f f <.下面考虑函数()f x 的单调性，对()(()ln )f x x f x x '=-两边求导，得：1()()ln (())f x f x x x f x x ''''=-+-，变形得ln 1()x f x x +''=，易知1()0f e''=，所以1()()f x f e ''≥，由11111()(()ln )f f e e e e e '=-=，解得1()0f e'=， 所以1()()0f x f e''≥=，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以1(e )()exf f <等价于1e ex<，解得1x <-， 所以不等式1(e )()1exef f '<+的解集为(,1)-∞-，选A.例7．【解析】令()()xg x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ⎡⎤=+⎣'<⎦'，所以函数()g x 在R 上单调递减. 因为210m m -+>，所以21m m -<，所以()()21g m m g ->，即()()2211m mef m m e f -->，所以()()2211mm f m m f e -+->．选A.一、单选题1．【答案】B 不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf′（x ）．∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增，则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ），故选B ．2．【答案】A 构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.故选A .3．【答案】A()()212x f x xf x x '+=，令()()2g x x f x =，则()()()212g x x f x xf x x'='+=， ()()1111f g =∴=，， ()()21ln 1ln ,x g x x f x x +∴=+=，()312ln xf x x --∴'=， ∴当120x e -<<时，()312ln 0x f x x --'=>，当12x e -> 时，()312ln 0x f x x--'=<， ∴当12x e-=时，()11222max 121ln 2e ef x f e e ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+===．故选：A ． 4．【答案】C 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x-'=，可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减， ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<. 故选：C. 5．【答案】D 设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >. 故选：D .6．【答案】B 解：∵12()(1)x f x e x -=+-，∴1122(1)(11)x xf x e x e x +-+=++-=+，112(1)(11)x f x ex ---=+--()22(1)xxex e x f x -=+-=+=+，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当1x ≥时，12()(1)x f x e x -=+-，1()2(1)0x f x e x -'=+-≥，∴函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，由对称性可知，函数()f x 在(),1-∞上单调递减， ∵(2)(1)f x f x >-，∴2111x x ->--，∴()()22212x x ->-，化简得()()110+->x x ，解得1x <-，或1x >，故选：B ．7． 【答案】A 解：构造函数()cos ()g x x f x =⋅，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， ()g x ∴在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确的是A ； 8．【答案】A30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 9．【答案】C 设()()ln g x f x x =+，则1'()1'()'()0xf x g x f x x x+=+=>， ∴()g x 在(0,)+∞上是增函数，不等式()0xf e x +>可化为()ln 0(2)ln 2xxf e e f +>=+，即()(2)x g e g >，∴2x e >，ln 2x >．故选C ．10．令()()g x f x x =-，()()10g x f x '='-<，故()y g x =单调递减.()()1221f m m f m m -≥-+-，即()()12g m g m ≥-，12m m ≤-，13m ≤.因此，m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.11．【答案】B 解：设()()x x g x e f x e --=-，则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x ----'=-+'+=--'-， ()()1f x f x -'<，()()10f x f x ∴-'-<，()0g x ∴'>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，()31x f x e >+，()3g x ∴>，00(0)(0)(0)1413g e f e f --=-=-=-=，()(0)g x g ∴>．0x ∴>，()31x f x e >+∴（其中e 为自然对数的底数）的解集为(0,)+∞．故选：B ．12．【答案】D 解：设()()()F x f x g x =,则'''()()()()()F x f x g x f x g x =+，由当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，则函数()y F x =在(),0-∞为增函数， 又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()y F x =在R 上为奇函数， 则函数()y F x =在()0,∞+为增函数，又(3)0g -=，所以(3)0F -=，则(3)0F =，则()0F x <的解集为(,3)(0,3)-∞-，即不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-，故选：D.13．【答案】A 根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，则函数()g x 为奇函数， 所以函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42x ππ<<，即不等式的解集为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 14．【答案】C 【解析】令()()f xg x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=，∵0x >时，()()0xf x f x '-<， ∴()g x 在0,递减，又0.2222log 5log 421220.20.04>=<=，＜，， ∴0.222log 520.2>>，∴()()()0.222log 520.2g g g <<，∴c a b <<，故选C.15．【答案】B 【解析】因为108981041048576,5390625,51953125,465536,359049=====；所以991010109554545log 4log 50.9<⇔<⇔<=；881010108554545log 4log 50.8>⇔>⇔>=； 881010810444334log 3log 40.8>⇔<⇔<=；所以54log 4log 3>，即a b <；设()21,0xf x x x =--<，则 ()'2ln 21,xf x =-由于0x <，所以021x <<；又0ln 21<<，所以02ln 21x <<， 所以()'2ln 210x fx =-<；所以()f x 在(),0-∞上单调递减，所以()()0=0f x f >；所以当0x <时，21x x >+， 所以0.0120.0110.990.9->-+=>， 所以0.015log 40.90.092-<<<；所以b c <；综上a b c <<. 故选:B.（2016·新课标Ⅰ，8）【答案】C 解析：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．中山一中2021届高三一轮复习难点突破（2）——抽象函数不等式问题探究以抽象函数为背景、题设条件等考查函数不等式的解法问题是近几年高考的热门问题，函数和不等式是高考复习中的两大重点和难点，对于求解抽象函数不等式问题，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识，属于综合性比较强的问题，可难可易，在备考中，要引起我们的重视．【典型母题】（2015全国卷Ⅱ，12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【解法探究】构造函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=． 因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减； 又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．【方法、技巧、规律】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 【探源、变式、扩展】考向1．直接解抽象函数不等式例1（2017新课标Ⅰ，5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【点睛】函数不等式的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符合“f ”,转化为一般不等式求解,所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质,如单调性、奇偶性等．本题的关键在于将()121f x -≤-≤，转化成()()()121f f x f ≤-≤-，再利用()f x 在()-∞+∞，单调递减，脱去抽象符合“f ”, 转化为一般不等式121x -≤-≤求解．考向2．构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例2．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()()f x f x >'，()01f =，则不等式__________．()()'f x f x >，()'0F x ∴<，即函数()F x 在定义域上单调递减， ()01f =，所以不等式等价为()()0F x F <，解得0x >，故不等式的解集为()0,+∞.【点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.对于构造函数求导数问题，常见的构造有：（1）对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -=，更一般地，遇到()()0'≠>a a x f ，即导函数大于某种非零常数(若a =0，则无需构造)，则可构()()ax x f x h -=；（2）对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h +=； （3）对于()()0'>+x f x f ，构造()()x f e x h x=；（4）对于()()x f x f >'[或()()0'>-x f x f ]，构造()()xe xf x h =； （5）对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h =； （6）对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =； （7）对于()()0'>x f x f ，分类讨论：(1)若()0>x f ，则构造()()x f x h ln =； (2)若()0<x f ，则构造()()[]x f x h -=ln ；变式1．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数, ()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不___________.，∴()F x 在R 上是减函数．等价于()()1F x F <，∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，．变式2．()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x -'>， ()12018f =，则不等式()120171x f x e->⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_____． 【解析】设g (x )= ()()()11x x e f x e -----，则g ′(x )=− ()1x e--f (x )+ ()1x e --f ′(x )+ ()1x e--=()1x e-- [f ′(x )−f (x )+1]，∵f (x )−f ′(x )>1,∴f ′(x )−f (x )+1<0，∴g ′(x )<0，∴y =g (x )在定义域上单调递减，g (1)=2017， ∵()120171x f x e ->⋅+,∴()()()11x x e f x e ----->2017= g (1)，得到g (x )>2017=g (1)，∴g (x )>g (1)，得x <1，∴()120171x f x e->⋅+的解集为(),1-∞，考向3．多次构造函数求导，利用单调性求解抽象不等式例3．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A. B.C.D.()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<，∴()0f x >， ()0g x '>，∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∴()()12g g <，即()()412f f <，()0,x ∈+∞，∵()0,x ∀∈+∞， ()()()23f x xf x f x '<<， ()0h x '<， ∴函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∴()()12h h >，D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，即()0f x '>得函数单调递增， ()0f x '<得函数单调递减，解决该题最大的难点在于构造函数，难度较大； ()0,x ∈+∞()0,x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出结论.变式1．（2015福建理，10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 解析：由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->， 故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭， 所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭， 所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断． 故选C ．考向4．构造导函数，结合函数奇偶性求解抽象函数不等式例4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()10f =，()0xf x >的解集是__________．()()()2''0xf x f x g x x -=>，所以()g x 的单调递增区间为()0,+∞，因为()()()()f x f x g x g x xx---===--，所以()g x 单调递减区间为(),0-∞， 因为()10f =，所以()10g =，()10g -=，所以当1x <-时， ()0g x >；当10x -<<时， ()0g x <； 当01x <<时， ()0g x <；当1x >时，()0g x >． 因为不等式()0xf x >的解集等价于()0g x >， 因为当1x <-或1x >时，()0g x >，所以不等式()0xf x >的解集{|1x x <-或1}x >.变式1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数, ()10f -=，当0x >时， ()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】令()()()()()2,0f x xf x f x g x g x xx -''==<，所以()g x 在()0.+∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数，因此()()110g g -==，当01x <<时， ()0g x >，所以()0f x >，同理，当1x <-时， ()0g x <，所以()0f x >，综上应填()(),10,1-∞-⋃.变式2．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()1y f x =+为偶函数， ()21f =，则不等式()xf x e <的解集为________．【解析】∵()1y f x =+为偶函数，∴()1y f x =+的图象关于0x =对称，∴()y f x =的图象关于1x =对称，∴()()20f f =，又∵()21f =，∴()01f =， （x R ∈）又∵()()f x f x '<，∴()()'0f x f x -<，∴()0g x '<，∴()y g x =单调递减， ∵()xf x e <，∴，即()1g x <，，∴()()0g x g <，∴0x >，故答案为()0,+∞.考向5．构造导函数，结合函数对称性解抽象不等式的解法例5．已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞ 【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'g x f x x f x =++， 当1x <-时，()()()()11'0x f x x f x ⎡⎤+++<⎣⎦，∴当1x <-时， ()()()1'0f x x f x ++>，则()g x 在(),1-∞-上递增，函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，∴函数()1f x -的图象关于点()0,0中心对称，则函数()1f x -是奇函数，令()()()11h x g x xf x =-=-，()h x ∴是R 上的偶函数，且在(),0-∞递增，由偶函数的性质得：函数()h x 在()0,+∞上递减，()()10h f = ，∴不等式()()10xf x f ->化为： ()()1h x h >，，解得11x -<<，∴不等式解集是()1,1-，故选C.变式1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()()f x f x '<，且()()12f x f x +=-，()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________．【解析】函数()f x 是偶函数，()()()122f x f x f x ∴+=-=-， ()()3f x f x ∴+=，即函数()f x 是周期为3的周期函数，()()()2016367203f f f =⨯==，()g x ∴在R 上是单调递减，不等式()3x f x e <等价于即()(0)g x g <，0x >，∴不等式()3x f x e <的解集为()0,+∞.考向6．构造导函数，多次求导，求解抽象函数不等式 例6．若函数()f x 满足()(()ln )f x x f x x '=-，且11()e ef =，则1(e )()1exef f '<+A.B.C.D.解题分析：一般来说，解函数不等式，我们常用的思路是利用函数的单调性，在已知函数单调性的条件下，通过比较函数值的大小，从而确定变量的大小关系，进而解出不等式．本题比较复杂，结构特征不是很明显．首先从要解的不等式出发，1(e )()1exef f '<+，两边同除以e ，得111(e )()e e exf f '<+， 观察，右边是e x对应的函数值，要是左边能变成某一个变量的函数值，则可以考虑利用函数单调性来解决，观察其结果，对照()(()ln )f x x f x x '=-可知，1111()()e e e ef f '=+，则原不等式等价于解不等式：1(e )()ex f f <.下面考虑函数()f x 的单调性，对()(()ln )f x x f x x '=-两边求导，得：1()()ln (())f x f x x x f x x ''''=-+-，变形得ln 1()x f x x +''=，易知1()0f e''=，所以1()()f x f e ''≥，由11111()(()ln )f f e e e e e '=-=，解得1()0f e'=， 所以1()()0f x f e''≥=，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以1(e )()exf f <等价于1e ex<，解得1x <-， 所以不等式1(e )()1exef f '<+的解集为(,1)-∞-，选A.考向7．抽象不等式与大小比较例7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<与()1f 的大小关系是（ ）A.B.C.D. 不确定【解析】令()()xg x e f x =，则()()()0x g x e f x f x ⎡⎤=+⎣'<⎦'，所以函数()g x 在R 上单调递减. 因为210m m -+>，所以21m m -<，所以()()21g m m g ->，即()()2211m mef m me f -->，所以()()2211m m f m m f e-+->．选A.结语综上所述，我们可以看出，抽象函数不等式的的解法通常是利用函数单调性,脱去抽象符号“f ”,转化为一般不等式求解．所以函数的单调性是函数和不等式的纽带，只有利用好这一条性质，问题才能得到有效的解决．而在实际解决抽象函数不等式的过程中，我们还要考虑函数有关的性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，并且此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，再利用函数单调性解决.抽象函数不等式问题属于综合性比较强的问题，可难可易，在备考中，我们只有准确理解了抽象函数的特点，才可能正确找到“解题之钥”．绝密★启用前2019-2020学年度???学校12月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．（2020·重庆高三月考（理））已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( ) A ．()()af a bf b < B ．()()af a bf b > C ．()()af b bf a > D ．()()af b bf a <【答案】B 【解析】 【分析】构造函数h （x ）=xf （x ），根据函数的单调性判断即可． 【详解】不妨设h （x ）=xf （x ），则h′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）． ∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf′（x ）+f （x ）＞0，即h′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增， 则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ）， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题． 2．（2020·江西省上高二中高二月考（文））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数. 3．（2020·河南省高二期中（理））已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()212x f x xf x x'+=且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2e B ．0CD ．2e【答案】A 【解析】 【分析】由题意构造函数()()2g x x f x =，可解得()()21ln 1ln xg x x f x x+=+=，，利用导数判断函数()f x 的单调性，求得最大值即可． 【详解】()()212x f x xf x x '+=，令()()2g x x f x =，则()()()212g x x f x xf x x'='+=， ()()1111f g =∴=，， ()()21ln 1ln ,x g x x f x x +∴=+=，()312ln xf x x --∴'=， ∴当120x e -<<时，()312ln 0x f x x --'=>，当12x e -> 时，()312ln 0x f x x --'=<， ∴当12x e-=时，()11222max 121ln 2e ef x f e e ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+===．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数()()2g x x f x =，逻辑性较强，属于中档题．4．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（理））已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C 【解析】 【分析】 令ln ()()xf x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()xf x x-'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∴b a c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y < B ．x y >C ．x y <D ．x y >【答案】D 【解析】 【分析】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到()()f x f y >，得到答案.。
让抽象函数不再抽象
让抽象函数不再抽象
作者：王春样
来源：《成才之路》 2012年第4期
广东龙川●王春样
抽象函数是指没有给出具体表达式，规定了若干逻辑规则的函数。
近几年，全国各地高考
中几乎都设置了有关抽象函数的试题，主要考查抽象函数思维能力、分析问题能力及创新能力。
抽象函数是高中数学函数部分的难点，因为抽象函数无具体解析式，所以研究起来往往困难重重。
本文就抽象函数的解题技巧作了如下归纳。
一、赋值法
函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）反映出来的，抽象函数也不例外。
因此，只有充分利用题设条件所表明（或隐含）的函数性质，灵活、综合运用上述解技巧，抽象函数问题才能峰回路转，柳暗花明。
（龙川县麻布岗中学）。
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题12 让抽象函数不
专题12 让抽象函数不再抽象考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
2、指数函数型抽象函数 3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
应用举例: 招数一：赋值法【例1】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是() A. B.C.D.【答案】A招数二：函数的奇偶性和单调性的应用 【例2】定义在R 上的单调递减函数()f x :对任意,m n 都有()()()f m n f m f n +=+，()()22g x x x =-． （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意[]1,4t ∈-，不等式()()()180f g t f t m -++<（m 为常实数）都成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）设()()1F x f x x =-+，()()2F x g x =，()31sin23F x x π=，()10,1,2,,100100i b i ==L ，()11f =-．若()()10k k k M F b F b =-()()21k k F b F b +-()()10099k k F b F b ++-L ，()1,2,3k =，比较123,,M M M 的大小并说明理由．【答案】（Ⅰ）()f x 为R 上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）()13,m ∈+∞（Ⅲ）132M M M >>；（Ⅰ）解:()f x 为R 上的奇函数 证明：取0m n ==得()()200f f = ∴()00f =取0m n +=得()()()00f m f n f +== 即：对任意x R ∈都有()()0f x f x +-= ∴()()f x f x -=- ∴()f x 为R 上奇函数（Ⅱ）∵()()()180f g t f t m -++< ∴()()()()188f g t f t m f t m -<-+=-- ∵()f x 在R 上单减∴()1)8g t t m ->--在[]1,4t ∈-上恒成立∴()2218t t t m -->--∴()2281m t t t >---+在[]1,4-上恒成立22101m t t >-+在[]1,4-上恒成立2)2101t t t ϕ=-+（2523222t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴当1t =-时，()max 13t ϕ= ∴13m > 即()13,m ∈+∞()()()()221202221M F b F b F b F b =-+-()()()()250249250251F b F b F b F b ++-+-L ()()2992100F b F b ++-L ()()()()250202502100F b F b F b F b =-+-()()22212012F F F ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12002=⨯--1=同理：()()()330530325M F b F b F b =-+()()()375360375F b F b F b -+- ()()()()325310036037522F b F b F b F b =+--11113sin 002sin 3223332ππ=⨯+⨯-⨯-⨯ 2233=+ 43= ∴132M M M >>。
高考数学一轮复习抽象函数求解技巧
2019 年高考数学一轮复习抽象函数求解技巧我们把没有给出详细分析式的函数称为抽象函数，下文是抽象函数求解技巧，希望能够帮助到同学们。
函数是每年高考的热门，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出详细的函数分析式或图像，但给出了函数知足的一部分性质或运算法例。
此类函数试题既能全面地考察学生对函数观点的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考察学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特别关系的认识。
所以备授命题者的喜爱，在近几年的高考试题中不停地出现。
但是，因为这种问题自己的抽象性和其性质的隐蔽性，大部分学生在解决这种问题时，感觉一筹莫展。
下边经过例题来商讨这种问题的求解策略。
例：设 y=蕊(x) 是定义在区间 [-1，1]上的函数，且知足条件：(i)f(-1)=f(1)=0;(ii) 对随意的 u,v[-1，1]，都有 f(u)-f(v)u-v 。
(Ⅰ)证明：对随意的x[-1，1]，都有 x-11-x;(Ⅱ)证明：对随意的u,v[-1 ，1]，都有 f(u)-f(v)1 。
解题：(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x[-1，1]时，有 f(x)=f(x)-f(1)x-1=1-x,即 x-11-x.(Ⅱ)证明：对随意的u,v[-1 ，1]，当 u-v1 时，有 f(u)-f(v)1当 u-v1，uv0,不如设 u0，则 v0 且 v-u1,此中 v(0，1]，u[-1，0)要想使已知条件起到作用，在[-1，0)上取一点，使之与 u 配合以利用已知条件，合f(-1)=f(1)=0 知，个点可 -1。
同理，在 (0，1]上取点 1，使之与 v 配合以利用已知条件。
所以，f(u)-f(v)f(u)-f(-1)+f(v)-f(1)u+1+v-1=1+u+1-v=2-(v-u)1与此刻“教”一称最靠近的“老”观点，最早也要追忆至宋元期。
金代元好《示侄伯安》云：“伯安入小学，悟非凡貌，属句有夙性，字惊老。
《高考试题中抽象函数问题的解决策略》
高考试题中抽象函数问题的解决策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。
【方法荟萃】一、“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12- D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ，从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。
【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。
解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。
令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。
（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-，所以，)(x f y =为偶函数。
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专题12 让抽象函数不再抽象考纲要求:抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.基础知识回顾:一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
二、求值问题三、定义域问题四、值域问题五、判断函数的奇偶性：六、单调性问题一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）八、对称性问题九、周期问题十.四类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
2、指数函数型抽象函数 3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
应用举例: 招数一：赋值法【例1】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是() A. B. C. D.【答案】A招数二：函数的奇偶性和单调性的应用 【例2】定义在R 上的单调递减函数()f x :对任意,m n 都有()()()f m n f m f n +=+，()()22g x x x =-． （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意[]1,4t ∈-，不等式()()()180f g t f t m -++<（m 为常实数）都成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）设()()1F x f x x =-+，()()2F x g x =)2,,100，()11f =-．(100k F b ++，()1,2,3k =，比较123,,M M M 的大小并说明理由．【答案】（Ⅰ）()f x 为R 上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）()13,m ∈+∞（Ⅲ）132M M M >>；（Ⅰ）解:()f x 为R 上的奇函数 证明：取0m n ==得()()200f f = ∴()00f =取0m n +=得()()()00f m f n f +== 即：对任意x R ∈都有()()0f x f x +-= ∴()()f x f x -=- ∴()f x 为R 上奇函数（Ⅱ）∵()()()180f g t f t m -++< ∴()()()()188f g t f t m f t m -<-+=-- ∵()f x 在R 上单减∴()1)8g t t m ->--在[]1,4t ∈-上恒成立∴()2218t t t m -->--∴()2281m t t t >---+在[]1,4-上恒成立22101m t t >-+在[]1,4-上恒成立2)2101t t t ϕ=-+（∴当1t =-时，()max 13t ϕ= ∴13m > 即()13,m ∈+∞()()()()221202221M F b F b F b F b =-+- ()()()()250249250251F b F b F b F b ++-+-()()2992100F b F b ++-()()()()250202502100F b F b F b F b =-+-1=同理：()()()330530325M F b F b F b =-+()()()375360375F b F b F b -+- ()()()()325310036037522F b F b F b F b =+--∴132M M M >>。
招数三：抽象函数的周期性【例3】【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设定义在R 上的函数()f x 满足()()27f x f x +⋅=，若()12f =，则()107f =__________．【答案】72.考点：函数的周期性. 招数四：抽象函数综合题目【例4】【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数()**,,y f x x N y N =∈∈满足：①对任意的*,,m n N m n ∈≠，都有()()()()mf m nf n mf n nf m +>+；②对任意的*a N∈都有()3f f a a ⎡⎤=⎣⎦.则()()()1628f f f ++=______________． 【答案】66实战演练:1．已知定义在R 上的函数()f x 满足，且()12f =，则()2017f =（）A.2B.－2C.1D.－1 【答案】A 【解析】()f x =-,()()3f x f x ∴=+,∴函数()f x 的周期为3，故()()()20176723112f f f =⨯+==，故选A.2．已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数，∴函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，∴−2<x−2<0，∴0<x<2.综上可得：不等式的解集为{x∣0<x<2或2<x<4}故选D.3．设函数f(x)的定义域为(－3,3)，满足f(－x)＝－f(x)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.(1)求f(2)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．【答案】（1）f(2)＝－4；（2）见解析；（3）(0,2].(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x)．又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x－1)≤f(2x－3)，又f (x )在(－3,3)上单调递减，所以313{323 3 123x x x x -<-<-<-<-≥-解得0<x ≤2，故不等式g (x )≤0的解集是(0,2]．点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域(－3,3).4．【山东省寿光现代中学2018届高三上学期开学考试】已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.（1）判断在上的单调性，并证明它；（2）解不等式.【答案】（1）是定义在上的增函数.（2）【解析】【试题分析】（1）运用单调性的定义：任取，且，则，借助已知可得，即，由于，所以，则是上的增函数；（2）借助（1）的结论将不等式不等式化为，通过解不等式使得问题获解：（2）由（1）可得在递增，可得不等式，即为，即，解得.则解集为.点睛：本题旨在考查函数的奇偶性、单调性等基本性质及综合运用。
求解第一问时，先运用单调性的定义任取，且，求差，借助已知可得，即确定，由于，所以，则是上的增函数；解答第二问时，先借助（1）的结论将不等式不等式化为，再通过解不等式组使得问题获解。
5．设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-. （1）求()1f ，（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析;.∴()f x 在R +上为减函数．（Ⅲ）由条件（1，其中02x <<，，解得x 的范围是 点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 6．【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设()f x 是定义域为()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数且在(),0-∞上为增函数.（1）若0m n ⋅<，0m n +≤，试判断()()f m f n +的符号； （2）若()10f =，解关于x 的不等式()2220f x x -->.【答案】（1）()()0f n f m +≤（2试题解析：解：（1）∵0m n ⋅<，0m n +≤，∴m ，n 一正一负. 不妨设0m >，0n <，则0n m ≤-<.取0n m =-<， ∵函数()f x 在(),0-∞上为增函数，则()()f n f m =-；取0n m <-<，同理()()f n f m <-，∴()()f n f m ≤-. 又函数()f x 在()(),00,-∞⋃+∞上为奇函数， ∴()()f m f m -=-，∴()()0f n f m +≤.7．【河南省郑州外国语学校2018届高三上学期第一次月考】已知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：①、是定义域中的数时，有；②是定义域中的一个数）；③当时，．（1）判断与之间的关系，并推断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当函数的定义域为时，①求的值；②求不等式的解集．【答案】（1）略（2）在上是增函数；（3），不等式的解集是．8．已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =，()42f =；（2）4x >.【解析】试题分析：（1）根据已知条件，只需取1x y ==，便可求出f （1）；取2x y ==，便可求出f （4）．（2）根据已知条件可以得到：[]34f x x f -（）＞（），根据已知的条件解这个不等式即可． 试题解析：（1）取1x y ==，得()()()111f f f =+，则()10f = 取2x y ==，得()()()422f f f =+，则()42f =（2）由题意，()()34f x x f ⎡⎤->⎣⎦，故()34{0 30x x x x ->>->解得，4x > 点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域[)0,+∞.9．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件：()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ)()01f =；(Ⅱ)见解析；【解析】试题分析：（1）因为定义在R 上的函数，令令0x y ==,可得()01f =.(2)抽象函数的单调性一般用定义证明，()()()()()()()()21211121111f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--，只需判断()21f x x -与1的大小比较。