“超级全能生”2019高考全国卷26省9月联考甲卷-数学(理科)答案解析
2019届“超级全能生”高考全国卷26省9月联考甲卷-语文试题
“超级全能生”2019高考全国卷26省9月联考甲卷语文★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
近年来，关于汉语在各国持续升温的报道不断见诸国内外媒体。
语言是民族的重要特征之一，语言的影响力和传播力也日益成为民族国家综合实力的体现。
海外“汉语热”实际上反映的是中国合作共赢、大国担当和文化自信的国际魅力。
互利共赢是重要动力汉语难学，但挡不住学习的热情，海外汉语热出现的根本原因是中国综合国力和国际影响力的大幅度提升，经济上的互利共赢是推动海外汉语热的根本动力。
首先，海外中资企业对熟悉汉语的当地员工的需求越来越大，尤其是对从事国际贸易的企业来说，懂汉语的员工在录用和薪酬方面往往都具有较大优势。
择业方面的语言优势以引领和示范作用影响着海外青年的外语学习选择。
其次，中国游客海外旅游数量屡破新高，而且展现出强大的消费能力，“学说中国话”成为外国商铺每天必须面对的市场现实。
经济搭台，文化唱戏，一些从业人员开始有意识地了解中国文化，了解中国人的生活习惯、行为方式甚至文化传统。
同时，一些有远见的海外家庭看好中国的发展前景，着手培养下一代的汉语语言能力，认为掌握汉语能让孩子站在更好的起点。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
超级全能生2019高考全国卷26省12月联考乙卷(理科)数学试题及答案
“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|y=，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1，2，3，4}2．在复平面内，O为原点，已知z（1－2i）＝2－i，OZ 所对应的复数为zi，则Z点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“一带一路”是为了带动世界经济和社会的发展，其中男女平等是社会进步的一个重要方面．基于人类发展指数中的性别发展指数，联合国开发计划署测算了世界主要国家和地区的性别不平等指数．据统计，“一带一路”沿线国家的性别不平等指数的平均值为0.322（数值越大，性别不平等问题越严重），低于0.449的世界平均水平，根据下列统计图表，其中说法正确的是（）A．中国的性别不平等程度较低，不平等指数小于0.2B．“一带一路"沿线国家的性别发展不平等状况不存在显著的地区差异C．蒙俄、中东欧地区的性别不平等问题的严重程度较重，不平等指数平均值高于“一带一路”沿线国家平均值D．阿拉伯国家以及南亚地区的男女不平等问题比较弱，性别不平等指数较低4．已知2sin()63απ+=，则cos(2)3α2π-=（ ）A ．19-B ．19C ．23 D5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，E 为△ABC 的中线BD 的中点，0AB BC ⋅= 且1AE =，则ac 的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．163 D ．836．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球半径为（ ）ABC．12 D．127．已知（x ＋1）n 的展开式中，奇数项的二项式系数和为32，则22()nx x -的展开式的常数项为（ ）A ．32B ．64C ．120D ．608．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，32B，C成等差数列，2a c +==，则△ABC 的面积为（ ） A．12 B．12C1 D1 9．已知实数x ，y 满足230,240,210,x y a x y x y --⎧⎪+-⎨⎪++⎩≤≥≥且z ＝x －2y ＋2的最大值为4，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．92C ．52D ．3210．过抛物线x 2＝8y 焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，则OM NO ⋅=（ ）A ．－20B ．12C ．－12D ．2011．函数f （x ）＝sin （ωx＋φ）（ω＞0，02ϕπ<<）的部分图象如图所示，则下列选项中是函数1()3f x +的单调递增区间的是（ ）A ．[19，29]和[49，79]B ．[59-，29-]∪[19，49]C ．[59-，29-]和[19，49]D ．[－1，59-]∪[19，29]12．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，对任意x 均满足f （－x ）＝－f （x ），g （－x ）＝g （x ）≠0，当x ＞0时，总有f′（x ）·g （x ）＞f （x ）·g′（x ），f （2）＝0，则()()303f x g x --≥的解集为（ ）A ．[1，3]∪[5，＋≦）B ．[－2，0]∪[2，＋≦）C ．（－3，－2）∪（－1，＋≦）D ．[－5，－2]∪[3，＋≦） 二、填空题：本题共4小题．13．命题“x ∃∈R ，sinx ＋cosx ＜1”的否定是________．14．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |．若|a ＋b |＝|2b －a |，则向量a ，b 的夹角为________．15．双曲线x 2－y 2＝4的渐近线与圆C ：（x －3）2＋（y －2）2＝4交于A ，B 两点，则|AB|＝________．16．如图，点P 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体对角线A 1C 上（不包含线段端点），若AB ＝2AD ＝2AA 1＝2，则下列结论正确的有________．①存在P 点，使直线A 1C 与平面D 1AP 所成角为直角； ②无论P 点在何位置，都有∠APD 1＜90°； ③当112A P PC =时，D 1P ∥平面BDC 1． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n ＝An 2＋Bn （A ，B 为常数）．（Ⅰ）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）若a 8＝17，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．18．某羽毛球俱乐部规定，每天一人打球1小时收费30元（不足1小时部分按1小时收费，以此类推），注册成为会员，对会员一天连续打球2小时、3小时的优惠标准如下表：该俱乐部从注册的会员中，随机抽取了40人进行统计，得到统计数据如下表：假设该俱乐部一人一小时活动的成本为5元，根据所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）估计该俱乐部一位会员至少打球2小时的概率；（Ⅱ）假设每个会员每天最多打球3小时，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该俱乐部的会员中随机抽取2人，记俱乐部从这2位会员的消费中每小时获得的平均利润之和为X，求X的分布列和数学期望E（X）．19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 的对角线互相垂直，且BC ＝CD ，PA ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若1cos 2BAD ∠=-，12AB PA AC ==，M 在PC 上，且2PM MC = ，试求直线BM 与平面PBD 所成角的正弦值．20．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的周长为2+ （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设l 的倾斜角为θ，若2cos 3θ=，直线F 2A ，AB ，F 2B 与直线21x a=-分别交于P ，Q ，R 三个不同的点，记P ，Q ，R 三点的纵坐标分别为y P ，y Q ，y R ，求证：|y P |·|y R |＝|y Q |2．21．已知函数f （x ）＝（e x －1）mx －e x ＋x ＋1，m ∈R ． （Ⅰ）若m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若关于x 的不等式（m －1）e x ＋x ＋1＞m 在x ∈[12，3）上恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）设P 是曲线C 1上的动点，M （－2，5），N （6，1），求|PM|2＋|PN|2的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f （x ）＝|2x －1|－|2x －a|（a ＞2且a ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝4时，求不等式f （x ）≥x 的解集； （Ⅱ）若f （x ）的最大值为M ，且正实数m ，n 满足12m a m n ++=，求2112m n +--的最小值．“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（理科） 答案详解1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBAADBDBBBCA13．x ∀∈R ，sinx ＋cosx≥1 14．3π 15．16．①③17．解：（Ⅰ）证明：依题意，S n ＝An 2＋Bn ，所以nS An B n =+， 所以11n n S SA n n+-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（Ⅱ）依题意可得{a n }为等差数列，183,17,a a =⎧⎨=⎩所以183,30,S S =⎧⎨=⎩所以1,2,A B =⎧⎨=⎩所以S n ＝n 2＋2n ，所以11(2)n S n n =+， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111[(1)()()(2324112n n T n n n n n n+=-+-++-+--++++ ． 18．解：（Ⅰ）在40名会员中，至少打球2小时的会员有12＋8＝20（人）， 故估计至少打球2小时的概率为201402P ==．（Ⅱ）某会员打球1小时，该俱乐部每小时的平均利润为30－5＝25（元），概率为1201 402P==；某会员打球2小时，该俱乐部每小时的平均利润为1(2300.910)222⨯⨯-=（元），概率为2123 4010P==；某会员打球3小时，该俱乐部每小时的平均利润为1(3300.815)193⨯⨯-=（元），概率为381 405P==；由题意可知，X的所有可能取值为50，47，44，41，38．111(50)224P X==⨯=，133(47)221010P X==⨯⨯=，331129(44)2101025100P X==⨯+⨯⨯=，313(41)210525P X==⨯⨯=，111(38)5525P X==⨯=．所以X的分布列为所以数学期望()504744413845.84101002525100E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．19．解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD的对角线瓦相垂直，所以BD⊥AC，又因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，又因为BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）因为1cos 2BAD ∠=-，所以∠BAC ＝∠DAC ＝60°， 又因为12AB AC =，所以∠ABC ＝90°， 如图，以BC ，BA ，Bz （Bz ∥AP ）所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝1，所以B （0，0，0），C0，0），A （0，1，0），P （0，1，1），D，32，0）， 又因为2PM MC =，所以M（3，23，23），所以22(,)333BM = ，设平面PBD 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），3(,0)22BD = ，(0,1,1)BP = ，所以0,0,BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 令y ＝1，有1,1,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩所以(,1)=-m ，所以cos ,55||||BM BM BM ⋅==- m m m 故直线BM 与平面PBD． 20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以△AF 1F 2的周长为1212||||||2AF AF FF ++=，所以22a +=+a =所以C 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）证明：由题意得直线l的方程为(1)2y x =+，联立方程221),1,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得7x 2＋10x ＋1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然x 1≠1，x 2≠1， 所以12107x x +=-，1217x x =． 因为l 与直线12x =-交点Q的纵坐标为Q y = 所以25||16Q y =． 因为直线F 2A 的方程为11(1)1y y x x =--， 故直线F 2A 与直线12x =-交点P 的纵坐标为1132(1)P y y x -=-， 同理，点R 的纵坐标为2232(1)R y y x -=-，所以121233||||2(1)2(1)P R y y y y x x --⋅=⋅-- 121294(1)(1)y y x x =-- 1212121259(1)44[()1]x x x x x x x x ⋅+++=-++ 516=， 所以|y P |·|y R |＝|y Q |2．21．解：（Ⅰ）若m ＝0时，f （x ）＝－e x ＋x ＋1，所以f′（x ）＝－e x ＋1，令f′（x ）＝0，得x ＝0．故x ∈（－≦，0）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；x ∈（0，＋≦）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以函数f （x ）的极大值为f （0）＝0，无极小值．（Ⅱ）由（m －1）e x ＋x ＋1＞m ，得m （e x －1）＞e x －x －1，由x ∈[12，3）知，e x －1＞0， 所以e 11e 1e 1x x x x x m -->=---， 令()1e 1x x h x =--，x ∈[12，3）， 所以2e (1)1()(e 1)x x x h x -+'=-， 令g （x ）＝e x （x －1）＋1，g′（x ）＝e x （x －1）＋e x ＝xe x ，因为x ∈[12，3），所以g′（x ）＞0， 即g （x ）＝e x （x －1）＋1在[12，3）上单调递增，又1102g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以g （x ）＞0恒成立， 即2e (1)1()0(e 1)x x x h x -+'=>-， 所以h′（x ）＞0在[12，3）上恒成立， 所以()1e 1x x h x =--在[12，3）上单调递增， 所以33()(3)1e 1h x h <=--， 所以331e 1m --≥． 22．解：（Ⅰ）因为曲线C 1的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16．（Ⅱ）设P （4cosθ，4sinθ）（θ为参数），又因为M （－2，5），N （6，1），所以|PM|2＋|PN|2＝（4cosθ＋2）2＋（4sinθ－5）2＋（4cosθ－6）2＋（4sinθ－1）2＝98－16（3sinθ＋2cosθ）98)θϕ=-+（其中cosϕ=）． 因为－1≤sin（θ＋φ）≤1，所以|PM|2＋|PN|2的最大值为98+． 23．解：（Ⅰ）将函数f （x ）＝|2x －1|－|2x －4|去绝对值， 当12x ≤时，f （x ）＝－3≥x ⇒x≤－3； 当122x <<时，5()4523f x x x x =-⇒<≥≤； 当x≥2时，f （x ）＝3≥x ⇒2≤x≤3，综上所述，不等式的解集为（－≦，－3]∪[53，3]． （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||2x －1|－|2x －a||≤|（2x －1）－（2x －a ）|＝|a －1|＝a －1，所以f （x ）的最大值为a －1，因为正实数m ，n 满足12M a m n +==， 所以121m n +=，所以2nm n =-，所以2121122122212n n m n n n n +=+=-+=------≥（当且仅当1232n n n -=⇒=-时，取等号）， 所以2112m n +--的最小值为2。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2019届河北省全国卷26省高三“超级全能生”9月联考甲卷语文试题(解析版)
2019届河北省全国卷26省高三“超级全能生”9月联考甲卷语文试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。
近年来，关于汉语在各国持续升温的报道不断见诸国内外媒体。
语言是民族的重要特征之一，语言的影响力和传播力也日益成为民族国家综合实力的体现。
海外“汉语热”实际上反映的是中国合作共赢、大国担当和文化自信的国际魅力。
互利共赢是重要动力汉语难学，但挡不住学习的热情，海外汉语热出现的根本原因是中国综合国力和国际影响力的大幅度提升，经济上的互利共赢是推动海外汉语热的根本动力。
首先，海外中资企业对熟悉汉语的当地员工的需求越来越大，尤其是对从事国际贸易的企业来说，懂汉语的员工在录用和薪酬方面往往都具有较大优势。
择业方面的语言优势以引领和示范作用影响着海外青年的外语学习选择。
其次，中国游客海外旅游数量屡破新高，而且展现出强大的消费能力，“学说中国话”成为外国商铺每天必须面对的市场现实。
经济搭台，文化唱戏，一些从业人员开始有意识地了解中国文化，了解中国人的生活习惯、行为方式甚至文化传统。
“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷-数学理科答案
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（ 分） ５ 由绝对值三角不等式可得 ｜ （ ２ ｘ－１ ｜ －｜ ２ ｘ－ Ⅱ） （ ） （ ） ， ａ ｜≤ ｜ ２ ｘ － １ － ２ ｘ －ａ ｜ ＝｜ ａ － １ ｜ ＝ａ － １ 所以 ｆ （ ） 的最大值为 ａ ， ｘ － １ １ ２ 因为正实数 ｍ ， 满足 ＋ ＋Ｍ ＝ａ ， ｎ ｍ ｎ ｎ １ ２ ， （ 分） ， 所以 ｍ＝ 所以 ＋ ＝ ７ １ ｍ ｎ － ２ ｎ １ ２ １ ２ １ 所以 ＋ ＋ ＝ ＝ｎ －２ ＋ ≥ １ ｎ － ２ ｎ － ２ － ２ ｎ ｍ－ ｎ － １ － ２ ｎ １ １ ） ２ （ ＝ ２ 当且仅当 ｎ －２ ＝ ｎ ＝ ｎ － ２ ˑ ｎ － ２ － ２ ｎ
(
)
(
)
(
)
( {
)
{
３ ５ ５ 故直线 Ｂ Ｍ 与平面 Ｐ Ｂ Ｄ所成角的正弦值为 槡 ． ５ ５ 分） （ １ ２
— 数学（ 理科） ·答 １—
解： （ 由椭圆的定义得 ｜ ， ２ ０ ． Ａ Ｆ ＋｜ Ａ Ｆ ＝ ２ ａ Ⅰ） １｜ ２｜ 的周长为 所以△ Ａ ｜ Ａ Ｆ Ｆ ｜ ＋｜ Ａ Ｆ ｜ ＋｜ Ｆ ＝ Ｆ １ ２ １ ２ １Ｆ ２｜ ， ２ ２ ＋ ２ 槡
[
) [
)
{
(
)
２ ２ 所以 ｜ 的最大值为 ９ Ｐ Ｍ｜ ＋｜ Ｐ Ｎ｜ ８ ＋ １ ６ ３ ． 槡１ （ 分） １ ０ 解： （ ） 将函数 （ ） 去绝对值， ２ ３ ． Ⅰ ｆｘ ＝｜ ２ ｘ － １ ｜ －｜ ２ ｘ － ４ ｜ １ ｘ （ ） ； 当ｘ ｆ ｘ ＝－ ３ ３ ≥ｘ ≤－ ≤ ２时， １ ５≤ ｘ ； 当 ＜ｘ 时， （ ） ＜ ２ ＜ ２ ｆ ｘ ＝ ４ ｘ － ５ ≥ｘ ２ ３
“超级全能生”2019高考全国卷26省9月联考甲卷-历史答案解析
! " ! # $ " # # $ $ % % % & $ ' % ( " ) # ! * ! ! ! " # $ %
! $ ! % ! & ! ' ! ( ! ) " * " ! " " " # " $ # $ % $ $ " &史料实证素养 材料中没有涉及宰相制度和国家前途与命 运 " 项错误 解题思路 甲 骨 文 不 是 商 周 时 期 唯 一 的 文 字 资 料 商 的关系 故 $ 项错误 材料没 有 提 及 皇 权 与 相 权 矛 盾 问 周时期还有金文等文字资料 故 % 项错 误 材料没有体 题 故# 项错 误 由 材 料 可 知 五代十国时期宰相制度 现监 察 问 题 且 监 察 体 制 日 益 完 善 是 在 秦 汉 以 后 故 的变化是由于 当 时 军 事 的 变 化 所 引 起 北宋时期宰相 项错误 西周王朝 对 西 部 疆 域 的 管 理 采 用 的 也 是 分 制度的变化是由于当时 军 事 经 济 的 变 化 所 引 起 雍正 $ 封诸侯 藩屏 王 室 模 式 并 没 有 设 置 郡 县 故 # 项错 年间宰相制度 的 变 化 是 由 于 当 时 军 事 政治的变化引 误 根据材料 可 知 此时在宁夏发现西周文物上有 巡 起 由此可 见 宰 相 制 度 的 变 化 是 根 据 当 时 的 政 治 经 查 巡视 的字 样 说明西周对当时处于边疆的宁夏地 济 军事需要而变化的 故 % 项正确 (& 区实行了有效的管理 故 " 项正确 命题意图 本题主要考查两宋海外 贸易知识点 考 % 命题意图 本题主要考查中国古代分封制的知识 考 查 史 料 实 证 历 史 解 释 !& # 查调动和运 用 知 识 的 能 力 点 考 查 获 取 和 解 读 信 息 调 动 和 运 用 知 识 的 能 力 考 时空观念素养 查时空观念 史料实证素养 解题思路 材 料 中 两 宋 政 府 反 偷 渡 走 私 但并没有约 解题思路 司 马 氏 夺 取 曹 魏 政 权 之 前 有 人 指 出 若 不 束海外贸易 故 " 项错误 材料表明的是政府反对偷渡 分封 宗 室 诸 王 政 权 可 能 转 入 他 姓 之 手 因 此 西 晋 建 走私并颁布一 系 列 法 令 市民是否反对偷渡走私在材 国初期 晋武 帝 恢 复 了 古 代 的 分 封 制故 其 主 要 出 发 料中没有体现 故 $ 项错误 材料表明宋代政府禁止官 点是巩固司马氏的统治 地 位 并 不 是 要 扩 大 诸 王 权 力 禁止官员经 商 的 说 法 在 材 料 中 无 法 体 现 员偷渡走私 故 % 项错误 材 料 没 有 体 现 经 济 发 展 问 题 故 " 项 错 故 # 项错误 两 宋 官 员 偷 渡 走 私 并促使政府颁布许 误 此时西 晋 已 经 完 成 统 一 分 封 并 不 是 为 了 扩 大 版 多法令来限制 这 种 情 况 说明此时官员利用手中权力 图 故 $ 项错误 西晋分封的 出 发 点 是 利 用 同 姓 王 加 强 以谋私利的行为相当严重 故 % 项正确 对地方的管理 从而强化皇帝的统治 故 # 项正确 命题意图 本题主要考查中国古代的主流思想知 $ %& 识点 命题意图 本 题 主 要 考 查 中 国 古 代 经 济 重 心 南 移 考 查 获 取 和 解 读 信 息 的 能 力 考 查 史 料 实 证 唯 && $ 问题知识点 考查获取和 解 读 信 息 调 动 和 运 用 知 识 的 物史观素养 能力 考查时空观念 史料实证素养 解题思路 荀子 主 张 人 定 胜 天 是 唯 物 主 义 者 根 据 解题思路 经 济 重 心 南 移 完 成 是 在 南 宋 时 期 与 题 干 材料并结合所 学 知 识 可 知 王守仁思想属于唯心主义 所给 唐后期 这一时间不符 故 % 项错 误 经济重心南 故 % 项错误 老子思想以 道 为 宇 宙 本 体 属于 范畴 移导致南方某 些 地 区 的 过 度 开 发 一 定 程 度 上 破 坏 了 客观唯心主义 王守仁认为 人 心 为 万 物 主 宰 属于主 生态环境 不利于 经 济 的 可 持 续 发 展 故 " 项 错 误 材 并非 老 子 思 想 的 继 承 发 展 故 " 项 错 误 观唯心主义 料没有涉及人口和人地关系问题 故 # 项错误 安 史 之 李贽反对理学家的空谈 与 王 守 仁 主 张 的 思 想 无 关 故 乱后 北 方 的 藩 镇 割 据 混 战 导 致 人 口 大 量 南 迁 不 仅 # 项错误 王守仁认为 人心一点灵明是天地鬼神万物 使南方的劳动 力 增 加 还为南方带来了先进的生产工 的主宰 决定 天 地 鬼 神 万 物 的 隐 显 存 亡 变 化 这显然 具 生产经验和技 术 劳 动 力 生 产 工 具 均 属 于 生 产 力 过分夸大了人的主观作用 故 $ 项正确 的范畴 正是 由 于 生 产 力 水 平 提 高 南 方 才 能 大 规 模 )& 命题意图 本题主要考查科举制度 影响知识点 考 % 兴修水利工程 扩大土地耕种面积 故 $ 项正确 考 查 史 料 实 证 历史解释 查获取和 解 读 信 息 的 能 力 命题意图 本题主要考查宰相制度 知 识 点 考查获 素养 '& % 集部 取和解读信息能力 考查史料实证和历史解释素养 解题思路 图 片 显 示 科举出身者在 四 库 全 书
2019学年超级全能生9月联考
2019学年超级全能生9月联考一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集U R =，集合{}2|40A x x =-≥，集合{}|22x B x =≥，则()U A B =I ð（ ） A ．[)2+∞，B ．∅C ．[)1,2D ．()1,22. 已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（ ） ABCD3. 若实数,x y 满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．84. 在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，()01x b y a a a 且-=>≠的图像可能是（ ）5. 已知直线,m l ，平面,αβ满足l α⊥，m β⊂，则“l m ∥” 是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. A ．()E ξ增大，()D ξ增大 B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大7. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．43y x =±D ． 34y x =±8. 已知函数()(ln 1)(2)(1,2)i f x x x m i =---=，e 是自然对数的底数，存在m ∈R （ ） A ．当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B ．当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C ．当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D ．当2i =时，()f x 零点个数可能有4个DC B A9. 三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM 与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（ ） A ．,βαβγ≥≤ B ．,βαβγ≤≤C ．,βαβγ≤≥D ．,βαβγ≥≥10. 已知函数()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则（ ）A ．2837a <<或1a =-B ．2837a <<C ．7382a <<或1a =-D ．7382a <<二、填空题：单空题4分，多空题6分，共36分11. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算术十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．书中对一些特殊的柱体和锥体有特定的命名．例如，将长方体切割成两个一模一样的三角柱体，称之为“堑堵”．若某一个“堑堵”的三视图如图所示，则该柱体的外接球表面积是 ．12. 已知()()()2012111nn n x a a x a x a x =+++++++L （*n ∈N ）对任意x ∈R 恒成立，则0a = ；若450a a +=，则n = ．13. 已知单位向量1e ，2e 夹角为60︒，122+=e e ；12λ+e e （λ∈R ）的最小值为 ．14. 在ABC △中，D 为AC 中点，若46AB =，2BC =，5BD =，则cos ABC ∠= ；sin C = ．15. 将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是 ．16. 设()0,3F -是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，点()0,2A ，若椭圆上存在点P 满足9PA PF +=，则椭圆离心率的取值范围是 ．17. 已知数列{}n a ，满足()21n n n a k a a +=-．若112a =，1k =，则1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值是 ；若12a =，且存在常数0M >，使得任意n a M ≤，则k 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. 已知函数()1cos cos 34f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值和()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x θ+是奇函数（0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），求函数()2y f x θ=+⎡⎤⎣⎦的值域．19. 已知棱台111ABC A B C -，平面11AAC C ⊥平面111A B C ，111=60B AC ∠︒，111=90A B C ∠︒，11AA AC CC ===112AC，,D E 分别是BC 和11A C 的中点．（1）证明：11DE B C ⊥；（2）求DE 与平面11BCC B 所成角的余弦值．20. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且4a 为23a a ，的等比中项，31a +为24a a ，的等差中项．（1）求q 的值； （2）设()()*11nn n b a n N +=+-∈，数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S，求证：53n S <．21. 如图，已知抛物线C ：()220x py p =>，过抛物线上点B 作切线l ：24y x =-交y 轴于点A ．（1）求抛物线方程和切点B 的坐标； （2）过点A 作抛物线的割线，在第一象限内的交点记为D E 、，设F 为y 轴上一点，满足FD FE =，M 为DE 中点，求DEFAMFS S △△的取值范围．22. 已知函数()ln 12x f x a x⎫=+⎪⎭．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）设()()12g x f x x =-，若()g x 在()1+∞，上有极值点0x ，求证：()01g x <．。
最新“超级全能生”2019浙江省9月联考(数学)-解析版
解：几何体如图：
则
， 故选 C．
6. 在 1，2，3，4，5，6 这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，各个数位上的数字之和为 9 的
三位数共有 ( )
A. 16 个
B. 18 个
C. 24 个
D. 25 个
【答案】D
此题主要考查排列组合及简单的计数问题在实际中的应用，题中应用到分类讨论的思想，需要同学们注意 题目属于基础题型． 首先分析题目求在 1，2，3，4，5，6 这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为 9 的数的个数，故可以分类讨论． 情况 1：若取三个完全不同的数字 情景 2：若取有两个相同的数字 情况 3：若取三个相同的数字 分别求出 各种情况的个数相加即可得到答案．
解：
，
9. 已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量 若
A. 3
B.
【答案】B
，
，
C.
，则
的最小值是 ( )
D. 6
即
，取两边对数得：
， ，
本体的难点是通过设向量的坐标，转换成均值不等式求最值．
，则数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列，
，
解：设
，
，则
，
，
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故选 C．
二、填空题（本大题共 7 小题，共 35 分）
13. 复数
是虚数单位 的实部为________，
【答案】 ；
________．
本题考查了复数的四则运算，复数的概念和复数的模．
利用复数的四则运算得
，再利用复数的概念和复数的模计算得结论．
解：因为复数 所以 z 的实部为 ， 故答案为 ； ．
“超级全能生”2019浙江省9月联考-解析版
解：因为
，
，
，
所以
，所以
，
，
，
，又
，
，
所以
平面 ADE，
又
平面 CDEB，
所以平面
平面 CDEB，
作
，因为平面
平面
，
所以
平面 CDEB，连接 CH，
所以 为直线 CA 与平面 BCDE 所成的角
因为
平面 ADE，
所以
，
在直角梯形 BCDE 中，
，
因为
，所以
，
在直角三角形 ACD 中，
，
又
，
在
中，易求得
直线代入椭圆方程得：
，
．
由直线代入圆的方程得： ，
，设
，
， y 因为 ，
令
，则
，
令
，解得
舍或 ，
所以当 ，有最小值，最小值
，
所以
，
故答案为 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 55 分）
20. 已知函数
，
．
求函数 的最小正周期及单调递增区间；
22.
若 为锐角且
， 满足
，求 ．
【答案】解： ．
所以 的最小正周期
的
求数列
，
的通项公式；
求 m 及曲线 C 的方程；
若数列
的前 n 项和为 ，求数列
的前 n 项和 ．
若直线 l 与椭圆只有一个交点 P，与曲线 C 交于 A，B 两点，求
的值．
【答案】解： 当 时，
，
又因为
，
，所以
，
，
则当
时，
，
得
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)-附答案解析
，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
12．D
【解析】
【分析】
本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得 ，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】
当 时， ，
∵f（x）在 有且仅有5个零点，
∴ ，
∴ ，故④正确，
由 ，知 时，
【详解】
(1)证： ， ，又因为 和 粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又 .
平面BCGE， 平面ABC， 平面ABC 平面BCGE，得证.
(2)过B作 延长线于H，连结AH，因为AB 平面BCGE，所以
而又 ，故 平面 ，所以 .又因为 所以 是二面角 的平面角，而在 中 ，又因为 故 ，所以 .
【详解】
由 ．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，
，故选A．
【点睛】
忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
11．C
【解析】
【分析】
由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
A． B． C． D．
4．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
5．已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 （）
A．16B．8C．4D．2
6．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（）
A． B． C． D．
7．函数 在 的图像大致为
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
“超级全能生”陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}，则M∩N为()A. (−2,2)B. (1,+∞)C. (1,2)D. (−2,+∞)【答案】C【解析】解：∵集合M={x|−2<x<2}，N={x|log2x>0}={x|x>1}，∴M∩N={x|1<x<2}=(1,2)．故选：C．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足z=−1+5i2，则|z|=()A. 3B. √26C. 4D. √262【答案】D【解析】解：由复数模的运算法则可得：|z|=|−1+5i2|=|−1+5i||2|=√262．故选：D．由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可．本题主要考查复数的模的求解等知识，属于基础题．3.若实数x，y满足约束条件{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，则目标函数z=√x2+y2的最大值为()A. √6B. √10C. 2√2D. √7【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足约束条件{x+y≤4 y−x≥0 x−1≥0，所对应的可行域，而目标函数z=√x2+y2表示可行域内的点A到原点距离的平方，由：{x +y =4x=1，解得A(1,3)数形结合可得最大值为：√1+9=√10， 故选：B ．作出可行域，z =√x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离，数形结合可得． 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4. 已知命题p ：对∀x >0，总有x <sinx ；命题q ：直线l 1：ax +2y +1=0，l 2：x +(a −1)y −1=0若l 1//l 2，则a =2或a =−1；则下列命题中是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∧(￢q)C. (￢p)∨qD. p ∨q【答案】D【解析】解：设f(x)=sinx −x ，则f′(x)=cosx −1≤0，则函数f(x)在x ≥0上为减函数， 则当x >0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx <x 恒成立，即命题p 是真命题， 若a =0，则两直线方程为l 1：2y +1=0，l 2：x −y −1=0，此时两直线不平行，不满足条件．若a ≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a −1)=2，即a 2−a −2=0得a =2或a =−1，由1a ≠−1得a ≠−1，则a =2，即命题q 是假命题， 则p ∨q 是真命题，其余为假命题， 故选：D ．根据条件判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假的判断，根据条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．5. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A. 23 B. 12 C. 15 D. 25【答案】B【解析】解：现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p=mn =510=12．故选：B．基本事件总数n=C52=10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m= C51=5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图是计算12+14+16+18+110值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A. k≥5B. k<5C. k>5D. k≤6【答案】C【解析】解：∵算法的功能是计算12+14+16+18+110值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k>5或k≥6．故选：C．根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键．7. 已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >b >aD. b >c >a【答案】A【解析】解：点(2,8)在幂函数f(x)=x n 图象上， ∴f(2)=2n =8，解得n =3，∴f(x)=x 3，设a =f((45)0.3),b =f((54)0.2),c =f(log 1254)，∴45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1， c =(log 1254)3<(log 121)3=0，∴a ，b ，c 的大小关系是b >a >c ． 故选：A ．推导出f(x)=x 3，从而45<a =[(45)0.3]3=(45)0.9<(45)0=1，54>b =[(54)0.2]3=(54)0.6>(54)0=1，c =(log 1254)3<(log 121)3=0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8. 要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象经过下列两次变换而得到的( )A. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，再将所得图象向左平移π6个单位B. 先将y =sinx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移π24个单位C. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半D. 先将y =sinx 的图象向左平移π12个单位，再将所得图上各点的横坐标伸长为原来的2倍 【答案】C【解析】解：要得到函数y =sin(2x +π12)的图象，只需将函数y =sinx 的图象向左平移π12个单位，得到y=sin(x+π12)，再将所得图上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到y=sin(2x+π12)，故选：C．根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为()A. 2B. 2√2C. √6D. √2【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：可知PA⊥底面ABC，三角形ABC是等腰三角形，AB⊥BC，可知PC是最长的棱长：√4+4=2√2．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的最长棱长．本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．10.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为32，则双曲线的离心率为()A. 32B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，∴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为(−1,0)x=−1时，代入双曲线方程，由b2=1−a2，可得y=±1−a2a，∵△AOB 的面积为32， ∴12⋅1⋅2(1−a 2)a=32，∴a =12，∴e =ca =2． 故选：D ．求出抛物线y 2=4x 的准线方程，可得双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，求出x =−1时，y 的值，利用△AOB 的面积为32，求出a ，即可求双曲线的离心率．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查三角形面积的计算，正确运用抛物线、双曲线的几何性质是关键．11. 一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是( )A. 若n =9，则甲有必赢的策略B. 若n =11，则乙有必赢的策略C. 若n =6，则乙有必赢的策略D. 若n =4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n =9，则甲有必赢的策略， 必赢策略如下： 第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时； ②当乙抓2球时，甲再抓2球时； ③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球， 则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜． 故选：A ．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解． 本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12. 已知函数f(x)={xe x ,x ≥0−x,x <0，又函数g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,−e 2+1e )B. (e 2+1e ,+∞)C. (−e 2+1e ,−2)D. (2,e 2+1e )【答案】A【解析】解：由已知有f(x)=xe x (x ≥0)， f′(x)=1−x e x，易得0≤x <1时，f′(x)>0，x >1时，f′(x)<0， 即f(x)在[0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数， 设m =f(x)，则h(m)=m 2+tm +1， 设h(m)=m 2+tm +1的零点为m 1，m 2 则g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个， 函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置关系如图所示， 由图知：0<m 2<1e <m 1， 即h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，故选：A ．由函数的零点与函数图象的交点问题得：g(x)=f 2(x)+tf(x)+1(t ∈R)有4个不同的零点等价于t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的交点有4个，结合利用导数研究函数的图象可作出函数t =f(x)的图象与直线m =m 1，m =m 2的位置， 由二次方程区间根问题得：h(1e )<0，解得：t <−e 2+1e，得解本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题、利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题二、解答题（本大题共11小题，共102.0分）13. 若S 1=∫x 221dx,S 2=∫1x 21dx,S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______． 【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=13×(23−13)=73， S 2=ln2−ln1=ln2， S 3=e 2−e ，其中0<S 2<1，2<S 1<3，S 3>3， 故答案为S 2<S 1<S 3运用微积分基本定理可解决此问题． 本题考查定积分的简单应用．14. 公比为√2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12=16，则log 2a 15=______． 【答案】6【解析】解：∵a 2a 12=a 72=16，∴a 7=4， ∴log 2a 15=log 2a 7q 8=log 24×(√2)8=6． 故答案为：6．等比中项结合对数的运算性质可得结果．本题考查了等比数列的性质及对数的运算性质，属基础题．15. 圆x 2+y 2=1的任意一条切线与圆x 2+y 2=4相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O为坐标原点，则x 1x 2+y 1y 2=______． 【答案】−2【解析】解：根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2， 又由OP ⊥AB ，则∠BOP =60∘， 则∠AOB =120∘， 又由A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2， 则x 1x 2+y 1y 2=−2； 故答案为：−2．根据题意，设AB 与圆x 2+y 2=1相切于点P ，由两个圆的方程分析可得|OP|=1，|OA|=|OB|=2，又由OP ⊥AB ，分析可得∠AOB =120∘；结合数量积的计算公式可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=|OA||OB|cos120∘=−2，即可得答案．本题考查直线与圆相交的性质，涉及圆与圆的位置关系以及数量积的计算公式，属于基础题．16. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，具有性质：(1)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =b ∗a ； (2)对任意a ，a ∗0=0；(3)对任意a ，b ∈R ，(a ∗b)∗c =c(ab)+(a ∗c)+(b ∗c)−5c ． 则函数f(x)=x ∗1x (x >0)的最小值为______． 【答案】−3【解析】解：根据定义的运算性质得：f(x)=x ∗1x =(x ∗1x )∗1 =1×(x ⋅1x )+(x ∗1)+(1x ∗1)−5×1=1+1∗x +1∗1x =x +1x −5，因为x >0，由均值不等式得f(x)=x +1x−5≥2√x ⋅1x−5=2−5=−3(当且仅当x =1时取“=”)， 即f(x)的最小值为−3． 故答案为−3．根据题目给出的新定义，写出函数的解析式f(x)=x +1x −5，然后运用基本不等式求最值．本题考查了函数值域的求法，考查了利用基本不等式求函数最值的方法，解答此题的关键是能够根据题目所给的新定义，正确写出熟悉的函数表达式．17. 某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BE 为赛道内的一条服务通道，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km ．(1)求服务通道BE 的长度；(3)应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？【答案】解：(1)∵连接BD ，∠BCD =∠CDE =∠BAE =2π3，DE =4km ，BC =CD =√3km∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CD ⋅cos∠BCD =3+3+2×√3×√3×12=9， ∴BD =3， ∵BC =CD ，∴∠CBD =∠CDB =π6， 又∵∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2，在Rt △BDE 中，BE =√BD 2+DE 2=5． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2−2AB ⋅AE ⋅cos∠BAE ，即：25=AB 2+AE 2+AB ⋅AE ，可得：(AB +AE)2−25=AB ⋅AE ≤(AB+AE 2)2， 从而34(AB +AE)2≤25，即：AB +AE ≤10√33，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即设计为AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理可得BD 的值，由BC =CD ，可求∠CBD =∠CDB =π6，可求∠BDE =π2，利用勾股定理可求BE 的值． (2)在△BAE 中，∠BAE =2π3，BE =5，由余弦定理，基本不等式可求AB +AE ≤10√3，当且仅当AB =AE 时，等号成立，即可得解AB =AE 时，折线段赛道BAE 最长． 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示 (1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润； (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A ，B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A ，B 两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表： 寿命类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其它成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96,∑x i 6i=1y i =371．参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂,其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=96∑(n i=1x i −x −)2．【答案】解：(1)由折现图可知统计数据(x −,y −)共6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得x −=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，y −=16∑y i 6i=1=16⋅96=16，故b ̂=371−6⋅3.5⋅1617.5=2，故a ̂=y −−b ̂x −=16−2⋅3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ̂=2x +9， 故x =11时，则y ̂=2×11+9=31，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为31百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50， ∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角∠BAD =∠ADC =60∘，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EDA =90∘，ED =AD =2AF =2AB =2． (1)证明：平面ABE ⊥平面EBD ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【答案】证明：(1)∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，ED ⊥AD ，∴EAD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AD ， ∵AB =1，AD =2，∠BAD =60∘， ∴BD =√1+4−2×1×2cos60∘=√3， ∴AB 2+BD 2=AD 2，∴AB ⊥AD ，又BD ⊂平面BDE ，ED ⊂平面BDE ，BD ∩ED =D ， ∴AB ⊥平面BDE ，又AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面EBD ．解：(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,0，0)，C(−12,√32,0)，D(0,√3,0)，E(0,√3,2)，F(1,0，1)，则CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,−1)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗ =(λ,−√3λ,−λ)，(0≤λ≤1)， 则BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,√3−√3λ,2−λ)， 设平面CDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，平面ABM 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x +√32y =02z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)， {n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0λx +(√3−√3λ)y +(2−λ)z =0， 取y =2−λ，得n ⃗ =(0,2−λ,√3λ−√3)，∵平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=|2−λ|2√4λ2−10λ+7=√34， 解得λ=12，∴点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．【解析】(1)推导出EAD ⊥平面ABCD ，ED ⊥AD ，AB ⊥AD ，由此能证明AB ⊥平面BDE ，从而平面ABE ⊥平面EBD ．(2)以B 为坐标原点，以BA ，BD 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 中线段EF 中点时，使平面MAB 与平面ECD 所成角的锐二面角的余弦值为√34．本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，点P(2,3)为其上一点，且|PF 1|+|PF 2|=8． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y =kx −4交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12，∴椭圆的方程为x 216+y 212=1， (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{x 216+y 212=1y =kx −4得(4k 2+3)x 2−32kx +16=0， ∴x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k +3，由△>0，即(−32k 2)−4×16(4k 2+3)>0，解得k >12或k <−12.① ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ >0， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−4)(kx 2−4)=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16=(k 2+1)⋅164k 2+3−4k ⋅32k 4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0解得−2√33<k <2√33.② 由①②解得实数k 的范围是(−2√33,−12)∪(12,2√33). 【解析】(1)由题意可得{4a 2+9b 2=12a =8，解得a 2=16，b 2=12求椭圆C 的方程． (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，推出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，然后求解k 的范围即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t =0时，不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若g(x)=e x +ax ，当t ≤2时，证明：g(x)>f(x)． 【答案】解：(1)当t =0时，f(x)=lnx +ax ，x >0， ∴f′(x)=1x −ax 2=x−a x 2，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，若0<x <a ，则f′(x)<0，函数单调递减，若x >a ，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增， (2)∵不等式f(x)≥1在x ∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴h′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴h(x)在(0,1]上单调递增，∴h(x)max=h(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设h(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：x2+y2−x=0，C2：x2+y2−2y=0．(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数，写出曲线C2的参数方程；(2)直线l过原点，且与曲线C1，C2分别交于A，B两点(A,B不是原点)，求|AB|的最大值．【答案】解：(1)如图，C 1：x 2+y 2−x =0，即(x −12)2+y 2=14， 是以C 1(12,0)为圆心，12为半径，且过原点的圆，设∠PC 1x =α(0≤α<π)． 则{x =12+12cosαy =12sinα， 由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤θ<π，而α=2θ， 所以圆的参数方程为：{x =12+12cos2θy =12sin2θ(θ为参数，且0≤θ<π)． (2)根据已知C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=cosα，ρ=2sinα(ρ>0)， 故|AB|=|ρ1±ρ2|=|2sinα±cosα|=√5|sin(α±φ)|≤√5，其中tanφ12． 故当|sin(α±φ)|=1时，等号成立． 综上，|AB|的最大值为√5．【解析】(1)先设出圆C 2的参数方程的标准形式，再根据两个参数之间的关系可得； (2)利用极坐标方程的极径的几何意义可求得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正实数a ，b 满足4a+5b +13a+2b =n6时，求4a +7b 的最小值． 【答案】解：(1)对任意实数x ，都有|x +2|+|x −4|−m ≥0恒成立； 因为|x +2|+|x −4|≥|(x +2)−(x −4)|=6， 所以6≥m ，即m ≤6， 实数m 的取值范围是m ≤6；(2)由(1)知n =6，所以4a+5b +13a+2b =n6=1， 所以4a +7b =(4a +7b)(4a+5b +13a+2b )=[(a +5b)+(3a +2b)](4a +5b +13a +2b)=4+1+4(3a+2b)a+5b+a+5b 3a+2b ≥5+2√4(3a+2b)a+5b ⋅a+5b3a+2b =9，当且仅当b =5a ，即a =313，b =1513时取“=”； 所以4a +7b 的最小值为9．【解析】(1)不等式化为|x+2|+|x−4|≥m恒成立，利用绝对值不等式求出|x+2|+ |x−4|的最小值，即可得出m的取值范围；(2)由(1)知n=6，得4a+5b +13a+2b=n6=1，则4a+7b=(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)，再利用基本不等式求出它的最小值．本题考查了绝对值不等式以及基本不等式的应用问题，是中档题．。
“超级全能生”全国卷26省联考2019届高考英语试题(甲卷)及答案
“超级全能生”2018高考全国卷26省联考(甲卷)英语第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1. 5分，满分7. 5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A,B,C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the weather like today?A. Cold.B. Warm.C. Rainy.2. Where does this conversation probably take place?A. At a hotel.B. At a bank.C. At a post office.3. How much will the man pay for the tickets?A.$18.B.$28.C.$32.4. What is the man's attitude towards his job?A. He is satisfied with his job.B. He wants to quit his job.C. He was too busy to have a rest.5. How does the man feel about the play?A. He doesn't want to stay at home.B. He is pleased with the play.C. He felt disappointed about the play.第二节(共15小题;每小题1. 5分，满分22. 5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各个小题将给出5秒钟的作答时间。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME= B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND= A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
超级全能生2019高考全国卷26省2月联考乙卷理科数学
参考答案
“超级全能生”2019高考全国卷26省2月联考乙卷
数学（理科）
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8.D
9.C
10.D
11.C
12.B
13.
14.60
15.18
16.6
17.解法一(I )如图，过点D作DE⊥AB,
15.若ln(2a + 8b) =lna+lnb,则a+b的最小值为________.
16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理）“幂势既同则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同等高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 ，直线y = 0与y=6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图中阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为________.
手机依赖症
非手机依赖症
合计
男生
100
女生
100
合计
200
试运用独立性检验的思想方法分析:是否有90%的把握认为“手机依赖症”与“性别”有关?附:参考公式与临界值表: ，其中
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.(12分）
如图，已知AB丄平面ACD，AB//DE，△ACD为等边三角形，AD = DE = 2AB, F为CE的中点.
A. 36
B. 48
2019届浙江省“超能全能生”高三上学期9月联考数学试题(A卷)(带答案解析)
2019届浙江省“超能全能生”高三上学期9月联考数学试题(A 卷)1．已知集合{}2A x x =>，{}3B x x =≥，则()B A =R I ð（ ） A ．()2,3B ．(]2,3C ．(),2-∞D ．[)3,+∞ 2．双曲线22143x y -=的右焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B C ．2D3．二项式6x⎛+ ⎝的展开式中的常数项为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．204．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．72B ．113C ．236D ．4765．在1，2，3，4，5，6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，各个数位上的数字之和为9的三位数共有（ ） A ．16个 B ．18个C ．24个D ．25个6．函数()ln 11x x y x++-=图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()()20f x ax bx c a =++≠，其中b a c =+，若对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b cf bc ≥+成立，则方程()0f x =的根的可能性为（ ）A ．有一个实数根B ．两个不相等的实数根C ．至少一个负实数根D ．没有正实数根8．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若1a e ⋅=r r，2b e ⋅=r r ，3a b ⋅=r r ，则a b +r r 的最小值是（ ） A ．3BCD ．69．如图，矩形ABCD 中，3AD =，4AB =，E ，F 分别为AD ，AB 中点，M 为线段BC 上的一个动点，现将DEC V ，AEF V ，分别沿EC ，EF 折起，使A ，D 重合于点P ．设PM 与平面BCEF 所成角为α，二面角P EF C --的平面角为β，二面角P EC F --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ<<B ．a γβ<<C ．βγα<<D ．αγβ<<10．已知数列{}n a 满足12a =，()*1112n n n a a n N a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，设11n n na b a -=+，则100b =（ ） A ．1983- B ．9823-C ．9923-D ．10023-11．复数3134z i =-（i 是虚数单位）的实部为________，z =________．12．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，若ABC S =V 3b =，tan C =则c =________，sin 2sin AC=________． 13．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下条件：（1）在闭区间[],a b 上是连续不断的； （2）在区间(),a b 上都有导数．则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值．则()xg x e =在区间[]0,1上的拉格朗日中值ξ=________．14．若实数x ，y 满足0030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx +的最大值为________，若方程20x y a ++=有解，则实数a 的取值范围为________． 15．随机变量X 的分布列为其中a ，b ，c ，d 成等差数列()a b <，则()3P X ==________，()D X 的取值范围为________．16．已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y -的最大值是________．17．已知圆()()22:112C x y -+-=,椭圆22:12x y Γ+=,过原点O 的射线l 分别与圆C 、椭圆Γ交于M ,N 两点,点M 不同于点O ,则OM ON ⋅的最大值是________. 18．已知函数2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()fx 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β． 19．如图，在四棱锥A BCDE -中，ABC V 是边长为4的正三角形，//BE CD 且2BE CD =，CD =2AE =，BE AD ⊥，M 为AB 中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为()1n n S na n n =--且23a =．数列{}n b 为非负的等比数列，且满足134a b =，27416b b b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n C ，求数列{}n nC 的前n 项和n T ．21．已知椭圆2212x y m+=的一个焦点为()0,1F -，曲线C 上任意一点到F 的距离等于该点到直线3y =-的距离． （Ⅰ）求m 及曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆只有一个交点P ，与曲线C 交于,A B 两点，求FAP FBP AFS S BF-V V 的值． 22．已知函数()l 1n x f x b x=+-． （Ⅰ）若在曲线()y f x =上的一点P 的切线方程为x 轴，求此时b 的值； （Ⅱ）若()f x ax ≥恒成立，求2+a b 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】首先求出{}3R B x x =<ð，之后求交集得到结果. 【详解】由{}3R B x x =<ð，所以()2,3R B A =I ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于基础题目． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线22143x y -=，可得24a =，23b =，则c ==)F，又由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点在x 轴上，可得其渐近线方程为b y x x a =±=20y ±=， 所以右焦点F20y +=的距离为d ==右焦点F20y -=的距离为d ==.故选：B . 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．C【解析】 【分析】求得二项展开式的通项36216rrr T C x-+=，令3602r -=，求得4r =，代入即可求解.【详解】由二项式6x⎛+ ⎝，则二项展开式的通项3662166rr r r r r T C x C x--+==， 令3602r -=，解得4r =， 所以6x⎛+ ⎝的展开式中的常数项为4615C =.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 4．C 【解析】 【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体为一个长、宽、高分别为2、2、1的长方体切去一个底面为以1为直角边的等腰直角三角形，高为1的三棱锥所得，然后利用柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：由直观图可知，该几何体为一个长、宽、高分别为2、2、1的长方体1111ABCD A B C D -切去一个底面为以1为直角边的等腰直角三角形，高为1的三棱锥1A A EF -所得， 所以该几何体的体积111111123221111326ABCD A B C D A A EF V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】由三视图还原空间几何体的直观图时应遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，即正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出几何体直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图确定几何体的底面；（2）观察正视图和侧视图确定几何体的侧面；（3）画出整体，然后再根据三视图进行验证． 5．D 【解析】 【分析】可分为三类情况：（1）三位数各个数位没有重复数字；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类情况：（1）若三位数各个数位没有重复数字，则组合数字只能是1，2，6和1，3，5和2，3，4，则所组成的三位数共有333A 个；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字，则组合数字只能是2，2，5和1，4，4，则所组成的三位数有132C ⨯个；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，则组成额三位数只有333，由分类计数原理，满足题意的三位数共有313332125A C ++=个.故选：D ． 【方法归纳】本题主要考查了分类加法计数原理，以及解决排列组合的综合应用，其中解答中正确理解题意，解题过程中首先要分清“先分类还是先分步”“是排列还是组合”，合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．A 【解析】 【分析】利用函数的图象和性质及绝对值不等式的性质逐一判断，排除不正确的选项，得到结果． 【详解】 设()()ln 11x x f x x++-=，由()()()()ln 11ln 11x x x x f x f x xx-++---++-===---，所以题中函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ； 又由绝对值不等式112x x ++-≥，所以当0x >时，函数值为正，当0x <时，函数值为负，故排除C ， 故选：A ． 【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，在解题的过程中，注意从函数的定义域、单调性、特殊点、函数值的符号几个方面入手，属于简单题目． 7．C 【解析】 【分析】函数为二次函数，结合判别式()()222440b ac a c ac a c ∆==+-=-≥-，得到()0f x =至少有一个根，之后根据函数值的大小关系，以及函数的单调性，分情况讨论得到根的情况. 【详解】因为()()222440b ac a c ac a c ∆==+-=-≥-， 所以()0f x =至少有一个根①，因为对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b c f bc ≥+成立，222bc bc +≥恒成立，所以()()20f x ax bx c a =++≠在区间,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以0a >． 若0b =，由b a c =+得c a =-，此时()20f x ax a =-=有一个负根和一个正根；若0b >，则02bx a=-<， 结合①可知()0f x =至少有一个负根； 若0b <，由0a >，b a c =+，得0c <， 则()0f x =有一个负根和一个正根， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、一元二次方程根的分布特征，属于较难题目． 8．B 【解析】 【分析】根据e r 是单位向量及1a e ⋅=r r，2b e ⋅=r r ，可设()1,0e =r ，()1,a x =r ，()2,b y =r ，由3a b ⋅=r r 可得到1xy =，求出2a b +r r并结合基本不等式即可求出最小值.【详解】令()1,0e =r ，因为1a e ⋅=r r，则可设()1,a x =r ，同理可设()2,b y =r ，所以(3,)a b x y +=+r r ，由3a b ⋅=r r，得1xy=，所以()22229929413x y x xy y xy a b =++=+++≥++=r r ，当且仅当1x y ==或-1时，等号成立，所以a b +r r故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，同时考查基本不等式，属于中档题． 9．D 【解析】 【分析】过P 作PH ⊥平面BCEF ，作出三个二面角P BC F --，二面角P EF C --的平面角，二面角P EC F --的平面角，通过原平面图形计算可得这三个角的大小关系．从而得出结论． 【详解】在AFE △翻折过程中，A 点在底面的投影在过点A 且垂直EF 的直线上（设垂足为I ），同理在DEC V 翻折过程中，D 点在底面的投影在过点D 且垂直EC 的直线上（设垂足为K ），设点P 在底面的投影为点H ，过点H 向BC 作垂线HJ （垂足为J ），把PEC V ，PEF V 摊平到原来的平面图形，如下右图，H 就是AI 和DK 延长线的交点，由已知可得32AE DE ==，2AF =，4DC =，则52EF ==，3262552AE AF AI EF ⨯⨯===，同理可得DK =，AI DK <，则在左图中知易得HI HK <，由二面角的定义知tan tan PH PHHI HKβγ=>=，所以βγ>， 又在右图中，以DC ，DA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，3032408EC k -==--，则83DKk =，直线DH 方程为83y x =，同理直线AH 的方程为433y x =-+，由83433y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得342x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3(,2)4H ，∴313444HJ =-=，∴HK HJ <，所以二面角P BC F --的平面角小于二面角РEC F --的平面角，显然α不大于二面角P BC F --的平面角，∴αγ<，综上可知αγβ<<，故选：D【点睛】本题考查空间角（线面角和二面角）．立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考考查的热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度、距离的计算等．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理；解答第二类问题时可建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解． 10．C 【解析】 【分析】由已知n a 的递推关系代入n b 得出21n n b b +=，取常用对数后得数列{lg }n b 是等比数列，从而可求得通项公式n b ． 【详解】由11n n n a b a -=+得()()222112211111211112n n n n n n n n n na a a ab b a a a a ++++---====++++，两边取对数可得1lg 2lg n n b b +=，因此数列{}lg n b 是以1lg b 为首项，2q =为公比的等比数列，而1111113a b a -==+，因此1211111lg lg 22lg lg333n n n n b ---⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，则1213n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此可得9921003b -=，故选：C ． 【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的判定和通项公式．构造新数列{lg }n b 是解题关键，通过构造新数列，转化为求等比数列的通项公式． 11．325 15【解析】 【分析】由复数定义及复数除法运算，化简复数，即可求得其实部；根据复数模的定义，即可求得z . 【详解】根据复数定义及复数除法运算可得3113434z i i==-+ ()()343434ii i -=+-342525i =-， 所以复数z 的实部为325，由复数模的定义可知15z ==. 故答案为：325；15. 【点睛】本题考查复数的概念、复数模的求法，属于基础题． 12．3 2827【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系和tan C =sin ,cos C C 的值，由三角形的面积公式，列出方程求得a 的值，再结合余弦定理，求得3c =和7cos 9A =，最后利用正弦定理，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，因为tan C =sin co s CC=，又由22sin cos 1C C +=，可得sin C =，1cos 3C =，又因为12sin ABC ab S C ∆==3b =，即1332a ⨯=⨯2a =， 由余弦定理，可得2222212cos 2322393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，可得3c =， 又由222cos 729b c a A bc +-==，所以sin 22sin 222728cos cos sin sin 3927A A a A A C C c ⨯=⋅=⋅=⨯=． 故答案为：3，2827．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 13．()ln 1e - 【解析】 【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得1e e ξ=-，进而求得ξ的值即可. 【详解】()x g x e =，则()x g x e '=，所以()g e ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知，()()()10110g g g e ξ-'==--，即1e e ξ=-， 所以()ln 1e ξ=-． 故答案为: ()ln 1e -. 【点睛】本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题． 14．3 902a -≤≤ 【解析】 【分析】作出可行域，由1yx +的几何意义可得最大值，作直线:20l x y +=，平移直线l 求出2z x y =+的取值范围可得a 的范围．【详解】作出题中不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示OAB V 内部（包含边界）， 1yx +可理解为点(),x y 与点P ()1,0-连线的斜率， 由图可知当点(),x y 为()0,3B 时，1yx +取得最大值3；作直线:20l x y +=，平移直线l ， 当l 过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时z 取得最大值92，当l 经过原点时z 取得最小值0，若方程20x y a ++=有解，则直线20x y a ++=与可行域有交点，902a ≤-≤，所以902a -≤≤． 故答案为：3；902a -≤≤．【点睛】本题考查线性规划．对于线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，边界是实线还是虚线，其次如果目标函数是非线性的，则确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值的取法、值域范围，如果目标函数是线性的，则作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 15．12 20,59⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据的等差中项的性质得到a d b c +=+，根据概率和为1得到1a b c d +++=,即可求出12a d +=,即可得出()3P X =的值; 根据a ，b ，c ，d 均大于0，又a b <，则设公差0t >， 根据1232a d a t +=+=，和12302a t =->，可得106t <<，结合()10E X t =的取值范围，根据公式()()()25D X E X =-,即可求出()D X 的取值范围．【详解】解:因为a ，b ，c ，d 成等差数列，所以a d b c +=+，又1a b c d +++=，所以12a d +=． 所以()()()13332P X P X P X a d ===+=-=+=， 由题意a ，b ，c ，d 均大于0，又a b <，则设公差0t >， 由1232a d a t +=+=，所以12302a t =->，所以106t <<， 因为()533100,3E X a b c d t ⎛⎫=--++=∈ ⎪⎝⎭， 所以()()()()()()()()()22223113D X a E X b E X c E X d E X =--+--+-+-=()()()()()()222095,59a d b c E X E X ⎛⎫+++-=-∈ ⎪⎝⎭，故()D X 的取值范围为20,59⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为:(1) 12;(2) 20,59⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差、等差数列的性质,属于中档题. 16．2 【解析】 【分析】由重要不等式知()24x y xy --≤，再由题意得()()2231314x y xy x y ≤-=-+-，解出不等式即可求出答案． 【详解】解：由221x y xy =++得()213x y xy -=-，又由重要不等式知()24x y xy --≤（当且仅当x y =-时取等号），∴()()2231314x y xy x y ≤-=-+-，化简得()24x y -≤，得22x y -≤-≤， ∴x y -的最大值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查重要不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．17．【解析】 【分析】设射线l 的方程为y kx =,再联立直线与椭圆和圆的方程,再结合弦长公式可得OM ON ⋅关于k 的解析式OM ON ⋅=,在换元令1t k =+结合二次函数的最值问题求解OM ON ⋅的最大值即可.【详解】设射线l 的方程为y kx =,联立2222y kx x y =⎧⎨+=⎩得N x =, 联立()()22,112y kx x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,得2221M k x k +=+,所以M N OM ON ⋅==令1t k =+,则()2222221224332312112223321k t t t t tt k +-+⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭+,所以()22121321k k +≥+,即≤当32t =,即12k =时取等号,所以OMON ⋅的最大值为故答案为：【点睛】本题考查椭圆和圆的方程,方程思想、二次函数的最值的求法,需要根据题意设射线的方程,联立圆与椭圆的方程结合弦长公式求出所求量关于斜率k 的表达式,进而换元利用二次函数的性质求解最值.属于难题.18．（Ⅰ）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z∈． （Ⅱ）415【解析】【分析】（Ⅰ）把2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求出7cos 29α=-，进一步求出α的正弦及余弦，令()βααβ=--，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）()22sin cos cos 22f x x x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=， 所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()4sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．19．【解析】 【分析】（Ⅰ）取AE 的中点F ，连接MF 、FD ，只需证明四边形MFDC 为平行四边形，因为点M为AB 的中点，所以////MF BE DC ，且12MF BE =，则易证. （Ⅱ）先证明BE ⊥平面AD E ，作AH DE ⊥于H ，再证明AH ⊥平面CDEB ，所以ACH ∠为直线CA 与平面BCDE 所成的角，利用1122ADE S AE DF AH DE =⋅⋅=⋅⋅V ，求出AH ，则直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值可求． 【详解】 （Ⅰ）证明：取AE 的中点F ，连接MF ，FD ， 因为点M 为AB 的中点， 所以//MF BE ，且12MF BE =， 又因为//BE CD 且2BE CD =， 所以//MF CD ，MF CD =，所以四边形MFDC 为平行四边形，所以//MC FD ， 又因为FD ⊂平面ADE ，MC ⊄平面ADE ， 所以//CM 平面ADE ．（Ⅱ）解：因为4AB =，2BE CD ==2AE =， 所以222BE AE AB +=，所以AE BE ⊥， 又BE AD ⊥，AD AE A ⋂=， 所以BE ⊥平面AD E ， 又BE ⊂平面CDEB ， 所以平面ADE ⊥平面CDEB ，作AH DE ⊥于H ，因为平面ADE I 平面CDEB DE =， 所以AH ⊥平面CDEB ，连接CH ，所以ACH ∠为直线CA 与平面BCDE 所成的角．因为BE ⊥平面ADE ，所以BE DE ⊥，在直角梯形BCDE 中，作CG BE ⊥于G ，则四边形CDEG 为矩形，CD EG ==则BG =GC DE ===因为BE AD ⊥，所以CD AD ⊥，在直角三角形ACD 中，AD =又DF MC == 在ADE V 中，1122ADE S AE DF AH DE =⋅⋅=⋅⋅V所以2AH ⨯=所以AH =所以sin 13A A H AC CH ==∠，所以直线CA 与平面BCDE 所成角的正弦值为13． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面角的计算，同时考查空间想象能力、运算求解能力以及逻辑推理能力，中档题． 20．（Ⅰ）21n a n =-．12n n b -=．（Ⅱ）()()111222n n n n T n ++=-+-【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知2222S a =-,及212S a a =+,23a =,可求得11a =,利用2n ≥,1=n n n a S S --,化简可得12n n a a --=,即可证得数列{}n a 为等差数列,根据公式即可求得{}n a 的通项公式,由数列{}n b 为非负的等比数列,根据已知求得34b =,2q =,根据等比数列的通项公式即可得解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得122112n n n C -==--,即可知2nn nC n n =⋅-,设212222n A n =⨯+⨯++⨯L ,()1122n n B n +=+++=L ,利用错位相减法即可求得A ,根据分组求和即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）当2n =时，2222S a =-， 又因为212S a a =+，23a =，所以11a =，()1n n S na n n =--，则当2n ≥时，()()()11112n n S n a n n --=----， 两式相减并化简得12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以21n a n =-．因为134a b =，所以34b =，因为2745b b b b =，0n b >，27416b b b =，所以516b =， 所以2534b q b ==，又0q >，所以2q =， 所以3132n n n b b q--==． （Ⅱ）由（Ⅰ）得122112nn n C -==--，所以2nn nC n n =⋅-，设212222n A n =⨯+⨯++⨯L ， 所以231212222n A n +=⨯+⨯++⨯L ， 两式相减得()1122n A n +=-+，设()1122n n B n +=+++=L ，所以()()111222n n n n T A B n ++=-=-+-． 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系证明数列为等差数列,考查等比数列的通项公式和求和公式、等差数列的通项公式、错位相减法、分组求和法,属于基础题. 21．（Ⅰ）3m =，曲线C 的方程为()242x y =+；（Ⅱ）0．【解析】 【分析】解：（Ⅰ）由题意得21m -=，则3m =，设(),M x y 为曲线C 上任意一点，由题意得()()22213x y y ++=+，化简即可；（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程并消元，可求得2223b k =+，且(),P P P x y ，联立直线与曲线C 的方程消元，可得221222212242268123y y b k b b y y b k b⎧+=+=+-⎨=-=-⎩， 而13AF y =+，23BF y =+，根据三角形面积公式，将数据代入到FAP FBP AFAP AF S S BF BP BF-=-V V 即可求出结论． 【详解】 解：（Ⅰ）由()0,1F-知该椭圆的焦点在y 轴上，∴21m -=，解得3m =， 设(),M x y 为曲线C 上任意一点，由题意得()()22213x y y ++=+，化简得()242x y =+，∴3m =，曲线C 的方程为()242x y =+；（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),P P P x y ，由22326y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，得()222324260k x kbx b +++-=， ∴22482472k b ∆=-+， ∵直线l 与椭圆只有一个交点P ， ∴0∆=，∴2223b k =+， 且22232P kb k x k b -==-+，3P P y kx b b=+=，① 由()242y kx b x y =+⎧⎨=+⎩，得()22222480y b k y b k -++-=， ∴221222212242268123y y b k b b y y b k b ⎧+=+=+-⎨=-=-⎩，② 由曲线C 的定义知13AF y =+，23BF y =+， 设点F 到直线l 的距离为d ，∴1212FAP FBPd AP AF AFS S BF BF d BP ⋅-=-⋅V V AP AF BP BF =-112233P P y y y y y y -+=--+()()()()()()122122333P P P y y y y y y y y y -+--+=-+，将①②代入分子()()()()122133P P y y y y y y -+--+=()()1212236P Py y y y y y -+-++()()22332123322660b b b b b ⎛⎫=--+-+-+⨯= ⎪⎝⎭，∴0FAP FBP AFS S BF-=V V ． 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题． 22．（Ⅰ）1b =；（Ⅱ）(],42ln 2-∞-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设切点P 的坐标为()(),t f t ，根据题意得出()()00f t f t ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可求得实数b 的值；（Ⅱ）构造函数()()g x f x ax =-，求得()221ax x g x x-+-'=，然后分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，根据题意得出()min 0g x ≥，可得出a 与b 所满足的不等关系，通过构造函数，利用导数可求2+a b 的取值范围.【详解】（Ⅰ）设切点P 的坐标为()(),t f t ，()n 1l b x f x x=+-Q ，()211f x x x -'=，由题意可得()()21101ln 0f t t tf t t b t ⎧=-=⎪⎪⎨'⎪=+-=⎪⎩，解得11t b =⎧⎨=⎩，因此，1b =；（Ⅱ）设()1ln g b x x ax x =+--，则()222111ax x g x a x x x-+-'=--=， ①当0a =时，()21x g x x -'=， 当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以()y g x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11g x g b ==-，令()min 0g x ≥得1b ≤，所以22a b +≤；②当0a <时，易知210ax x -+-=有两个根1x 、2x ，且有12221211x x a x x --==， 不妨令12x x <，又1210x x a=<，所以10x <，20x >，由题意舍去1x ， 所以当()20,x x ∈时，()0g x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()y g x =在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 所以()()22222min 22221112l 0ln n 1ln 1g x g x a x x b x b x b x x x x ⎛⎫==+--=+---=+--≥ ⎪⎝⎭， 得222ln 1b x x ≤+-，所以222221422ln 2x a b x x x -+≤++-， 又22210ax x -+-=，所以22210x a x -=<，得201x <<， 令()()2ln 142201x h x x x x x -=++-<<，则()23252x x x h x -+'=，令()0h x '=，解得12x =或2x =（舍）， 所以()y h x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()max 142ln 22h x h ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以242ln 2a b +≤-； ③当0a >时，若22a b +>，取12ab m e +-=，则1m >， 所以()11111022a f m am b am b a m m m⎛⎫-=+-+--=-+-< ⎪⎝⎭，不符合题意． 综上所述，2+a b 的取值范围为(],42ln 2-∞-． 【点睛】本题考查利用函数的切线方程求参数，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-==+-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.2221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626511052x x y +-==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．总结：本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A.B.C. D.【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6 B. π3 C. 2π3D. 5π6 【答案】B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 总结：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ． 总结：秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =- D. 2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，2455410,4240052S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 总结：本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y += 【答案】B 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③【答案】C 【分析】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．总结：化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. 86πB. 46πC. 26πD. 6π 【答案】D 【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D. 【详解】,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。