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2016年上海杨浦区初三一模数学试卷

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2016~2017上海杨浦区初三数学九年级期末试题及答案

2016~2017上海杨浦区初三数学九年级期末试题及答案

2016~2017上海杨浦区初三数学九年级期末试题及答案一、选择题1．平面直角坐标系内一点P（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（5，﹣1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，﹣1）D．（5，1）2．时钟的时针在不停的旋转，时针从上午的6时到9时，时针旋转的旋转角是（）A．30°B．60°C．90°D．9°3．下列二次函数的图象中经过原点的是（）A．y=x2+1 B．y=2x2+5x C．y=（x﹣2）2 D．y=x2+2x﹣34．下列一元二次方程中有实数根是（）A．x2+3x+4=0 B．3x2﹣4x+4=0 C．x2﹣2x+5=0 D．3x2+2x﹣4=05．从二次根式、、、、2、中任选一个，不是最简二次根式的概率是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（）A．4个 B．6个 C．34个D．36个7．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm8．某化肥厂第一季度生产了m吨化肥，以后每季度比上一季度多生产x%，第三季度生产的化肥为n吨，则可列方程为（）A．m（1+x）2=n B．m（1+x%）2=n C．（1+x%）2=n D．m+m （x%）2=n 9．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（）A．9 B．10 C．12 D．1410．下列说法中正确的是（）A． B．方程2x2=x的根是x=C．相等的弦所对的弧相等D．明天会下雨是随机事件二、填空题11．方程（x﹣2）（x+2）=2x2+2x化为一般形式为．12．已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则的值为．13．三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x2﹣14x+48=0的两个根，则这个三角形是三角形．14．已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1y2．15．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为．16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．三、解答题17．解方程：2x2﹣5x﹣1=0．18．把二次函数y=x2+x﹣2化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标．19．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E 在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．四、解答题20．（8分）已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=cm，边心距r=cm，周长p=cm，面积S= cm2．21．（8分）有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．22．（8分）用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H 时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．五、解答题23．（9分）某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽；（2）若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，请你计算要贴瓷砖的总面积．24．（9分）二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴交于A、B两点（B在A右侧），顶点为C，且A、B两点间的距离等于点C到y轴的距离的2倍．（1）求此抛物线的解析式．（2）求直线BC的解析式．（3）若点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴以及直线BC都相切，求点P的坐标．25．（9分）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．；如图，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时Q走过的路程弧的长为；（1）求此时点Q的坐标；（2）此时PQ是否与⊙O相切？请说明理由．（3）若点Q按照原来的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．2016-2017学年广东省汕头市XX学校九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题1．平面直角坐标系内一点P（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（5，﹣1）B．（5，﹣1）C．（﹣5，﹣1）D．（5，1）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数解答．【解答】解：点P（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（5，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．2．时钟的时针在不停的旋转，时针从上午的6时到9时，时针旋转的旋转角是（）A．30°B．60°C．90°D．9°【考点】钟面角．【分析】时针12小时走360°，时针旋转的旋转角=360°×时间差÷12．【解答】解：∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选C．【点评】解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法．3．下列二次函数的图象中经过原点的是（）A．y=x2+1 B．y=2x2+5x C．y=（x﹣2）2 D．y=x2+2x﹣3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将x=0代入各个选项中，看哪一个的函数值是y=0，即可解答本题．【解答】解；当x=0时，y=x2+1=1，故选项A错误；当x=0时，y=2x2+5x=0，故选项B正确；当x=0时，y=（x﹣2）2=4，故选项C错误；当x=0时，y=x2+2x﹣3=﹣3，故选项D错误；故选B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．下列一元二次方程中有实数根是（）A．x2+3x+4=0 B．3x2﹣4x+4=0 C．x2﹣2x+5=0 D．3x2+2x﹣4=0【考点】根的判别式．【分析】先分别计算各选项中方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：A、△=32﹣4×1×4=﹣7＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=（﹣4）2﹣4×3×4＜0，则方程没有实数根，所以B选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×1×5＜0，则方程没有实数根，所以C选项错误；D、△=22﹣4×3×（﹣4）＞0，则方程有两个不相等的两个实数根．所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．从二次根式、、、、2、中任选一个，不是最简二次根式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的定义以及概率公式计算即可．【解答】解：一共有6个二次根式，其中两个最简二次根式，∴任选一个，不是最简二次根式的概率为=，故选B．【点评】本题考查概率公式、最简二次根式的定义等知识，记住最简二次根式的定义是解题的关键，属于基础题．6．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（）A．4个 B．6个 C．34个D．36个【考点】利用频率估计概率．【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%=6个．故选B．【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率．7．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若AC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm【考点】旋转的性质；弧长的计算．【分析】利用互补计算出∠ACA′=120°，根据旋转的性质，得到顶点A从开始到结束所经过的路径为以点C为圆心，CA为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据弧长公式计算．【解答】解：∵∠ACB=60°，∴∠ACA′=180°﹣∠ACB=120°，∴顶点A从开始到结束所经过的路径长==10π（cm）．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．8．某化肥厂第一季度生产了m吨化肥，以后每季度比上一季度多生产x%，第三季度生产的化肥为n吨，则可列方程为（）A．m（1+x）2=n B．m（1+x%）2=n C．（1+x%）2=n D．m+m （x%）2=n 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】第二季度的吨数为：m（1+x），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为m（1+x）（1+x）=m（1+x%）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产x%．【解答】解：依题意可知：第二季度的吨数为：a（1+x），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为m（1+x）（1+x）=m（1+x%）2，故可得方程：m（1+x%）2=n．故选B．【点评】此题考查了有实际问题抽象一元二次方程的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．9．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（）A．9 B．10 C．12 D．14【考点】切线长定理；直角梯形．【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．【点评】运用切线长定理，将梯形上下底的和转化为梯形的腰AB的长是解答本题的关键．10．下列说法中正确的是（）A． B．方程2x2=x的根是x=C．相等的弦所对的弧相等D．明天会下雨是随机事件【考点】随机事件；二次根式的性质与化简；一元二次方程的解；圆心角、弧、弦的关系．【分析】通过对二次根式的化简求值以及解方程判断出A、B选项错误，再根据圆的知识得到选项C错误．然后根据随机事件的定义解答．【解答】解：A、错误，==5；B、错误，方程2x2=x的根是x=±；C、错误，在同圆或等圆中相等的弦所对的弧相等；D、正确．故选D．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，圆周角定理及随机事件的定义；用到的知识点为：在同圆或等圆中相等的弦所对的弧相等；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．二、填空题11．方程（x﹣2）（x+2）=2x2+2x化为一般形式为x2+2x+4=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：（x﹣2）（x+2）=2x2+2x化为一般形式为x2+2x+4=0，故答案为：x2+2x+4=0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a ≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则的值为﹣．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的特点，可得a、b的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，已知点A（a，2）与点B （﹣1，b）关于原点O对称，则a=﹣（﹣1）=1，b=﹣2，故则的值为﹣．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，注意与关于x、y轴对称点的性质的区分记忆．13．三角形的一边是10，另两边是一元二次方程的x2﹣14x+48=0的两个根，则这个三角形是直角三角形．【考点】根与系数的关系；勾股定理的逆定理．【分析】设三角形的另外两边分别为a、b，根据根与系数的关系求得a、b的值，然后再根据三角形的三边关系判定三角形的形状即可．【解答】解：设三角形的另外两边分别为a、b，∵另两边是一元二次方程的x2﹣14x+48=0的两个根，∴解方程得到a=6，b=8，∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形．故答案为直角．【点评】本题考查了根与系数的关系及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是求得三角形的另外两条边的长．14．已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1＞y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求得函数的对称轴为x=0，再判断A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴左侧，从而判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵函数y=x2+1的对称轴为x=0，∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴左侧，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小．∵﹣1＜﹣2∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】此题考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．15．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2（cm2）．【考点】扇形面积的计算．【分析】在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt △OBC 中，OC=2cm ，∠BOC=60°， ∴∠OBC=30°，∴OB=4cm ，BC=2cm ，则S 扇形OAB ==（cm 2），S △OBC =OC ×BC=2（cm 2），故S 重叠=S 扇形OAB +S △OBC =+2（cm 2）故答案为：+2（cm 2）．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式，难度一般．16．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y=ax 2上，将Rt △OAB 绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为 （，2） ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D （0，2），且DC ∥x 轴，从而求得P 的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P 的坐标．【解答】解：∵Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y=ax 2上， ∴4=4a ，解得a=1， ∴抛物线为y=x 2， ∵点A （﹣2，4）， ∴B （﹣2，0）， ∴OB=2，∵将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，∴D点在y轴上，且OD=OB=2，∴D（0，2），∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，∴P点的纵坐标为2，代入y=x2，得2=x2，解得x=±，∴P（，2）．故答案为（，2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．三、解答题17．解方程：2x2﹣5x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：2x2﹣5x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，x=，x1=，x2=．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．18．把二次函数y=x2+x﹣2化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式．【分析】根据配方法的操作整理即可得解；根据a小于0确定出抛物线开口向下，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴，分别令x=0，y=0可得与坐标轴的交【解答】解：y=x2+x﹣2，=（x2+2x+1），=（x+1）2﹣；∵a=＞0，∴二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（﹣1，），对称轴为直线x=﹣1．令x=0，y=﹣2；令y=0，x=﹣1，∴与y轴交点坐标为（0，﹣2）；与x轴交点坐标为（﹣1，0）和（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．19．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E 在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理，得到=，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E=∠O，据此即可求出∠DEB的度数；（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴=，∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC=BC，即AB=2AC，在Rt△AOC中，AC===4，则AB=2AC=8．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．四、解答题20．已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=2cm，边心距r=cm，周长p=12cm，面积S=6cm2．【考点】作图—复杂作图；正多边形和圆．【分析】（1）作线段AB=a，再作线段AB的垂直平分线，以点A为圆心，以a 的长为半径画圆，交线段AB的垂直平分线于点O，再以O为圆心，以OA的长为半径⊙O，画出⊙O的内接正六边形即可；（2）根据AB=OA=a可得出R的长，由锐角三角函数的定义得出边心距r的值，=6S△OAB即可得出结论．进而可得出周长p，根据S正六边形ABCDEF【解答】解：（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×=cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，=6S△OAB=6××2×=6（cm2）．∴S正六边形ABCDEF故答案为：2，，12，6．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知正六边形的作法及特点是解答此题的关键．21．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．【考点】列表法与树状图法；分式的定义．【分析】（1）列举出不放回的2次实验的所有情况即可；（2）看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）树状图：列表法：（2）共有6种情况，能组成的分式的有，，，4种情况，所以P分式=．【点评】此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．用到的知识点为：分母中含有字母的式子是分式．22．用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D 按逆时针方向旋转．（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H 时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）可通过证CG=HE，来得出BG=FH的结论，那么关键是证明三角形DCG和DHE全等，已知的条件有DC=DF，一组直角，而通过同角的余角相等我们可得出∠GDC=∠HDF，由此可构成两三角形全等的条件，因此可得出GC=FH，进而可得出BG=EH（2）结论仍然成立，也是通过证明三角形FDH和三角形DCG全等来得出结论的，即可得FH=CG，已知EF=BC，那么就能得出BG=EH．【解答】解：（1）BG=EH．∵四边形ABCD和CDFE都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，在△CDG和△FDH中∴△CDG≌△FDH（ASA），∴CG=FH，∵BC=EF，∴BG=EH．（2）结论BG=EH仍然成立．同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，∴BG=EH．【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质．根据所求条件来确定出自己要求证的全等三角形是解题的关键．然后看缺什么条件再证什么条件即可．五、解答题23．某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽；（2）若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，请你计算要贴瓷砖的总面积．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）可先设出游泳池的长和宽，然后根据条件表示出矩形空地的长和宽，然后根据矩形空地的面积是1798平方米来列方程求解．（2）本题的关键是求出5个面的面积，有了（1）的长和宽，告诉了游泳池的高，可以用矩形的面积=长×宽计算出着5个面的面积，也就求出了贴瓷砖的面积．【解答】解：（1）设游泳池的宽为x米，依题意得，（x+6）（2x+8）=1798，整理得x2+10x﹣875=0，解得x1=25，x2=﹣35（负数不合题意，舍去），所以x=25，2x=50．答：游泳池的长为50米，宽为25米．（2）（25+50）×2×3+25×50=1700（平方米）．答：要贴瓷砖的总面积是1700平方米．【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．24．二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴交于A、B两点（B在A右侧），顶点为C，且A、B两点间的距离等于点C到y轴的距离的2倍．（1）求此抛物线的解析式．（2）求直线BC的解析式．（3）若点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴以及直线BC都相切，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先把m当作已知条件求出点C的坐标及抛物线与x轴的交点坐标，再由A、B两点间的距离等于点C到y轴的距离的2倍即可得出m的值，进而得出结论；（2）根据（1）中m的值可得出B、C两点的坐标，利用待定系数法可得出直线BC的解析式；（3）设点P（1，n），过点P作PD⊥BC，根据（2）中直线BC的解析式可知∠OBC的度数，故可用n表示出PC的长，进而得出结论．【解答】解：（1）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+m，∴顶点为C（1，m+1），与x轴交于A（1﹣，0）、B（1+，0）．∵A、B两点间的距离等于点C到y轴的距离的2倍，∴（1﹣）﹣（1+）=2，解得m=0，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；（2）∵由（1）知，m=0，∴B（2，0），C（1，1）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；（3）如图，设点P（1，n），过点P作PD⊥BC，∵由（2）知直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴∠AEB=45°．∵∴PC=n，∴1﹣n=n，∴n=﹣1，∴点P（1，﹣1）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与坐标轴的交点问题及用待定系数法求一次函数的解析式，切线的性质等知识，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．25．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．；如图，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时Q走过的路程弧的长为；（1）求此时点Q的坐标；（2）此时PQ是否与⊙O相切？请说明理由．（3）若点Q按照原来的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）先求出∠BOQ，再用含30°角的直角三角形的性质求出OC，CQ即可；（2）用三角函数先求出∠OPQ，再求出∠OQP的度数即可得出结论；（3）先求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．【解答】解：（1）如图1，过点Q作QC⊥OA，设∠BOQ=n，∵Q走过的路程弧的长为，∴=，∴n=30°，∴∠BOQ=30°，在Rt△OCQ中，∠COQ=90°﹣30°=60°，OQ=1，∴OC=，CQ=，∴Q（，）；（2）如图1，∵P（2，0），∴OP=2，∴CP=OP﹣OC=，在Rt△COP中，tan∠OPQ==，∴锐角∠CPQ=30°，∴∠OPQ+∠POQ=90°，∴∠OQP=90°，∴OQ⊥PQ，∵点Q在⊙O上，∴PQ与⊙O相切；（3）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照原来的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则点Q再绕点O顺时针旋转150°，即：Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处（如图2）．设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点．∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，∴QP=，∵OQ•OP=QP•OC，∴OC==，∵OC⊥QD，OQ=1，∴QC=，∴QD=．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的判定，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是判断出点PQ是⊙O的切线和点Q再过5秒时的位置，是一道涉及知识点比较多的中考常考题．。

2016年上海中考数学一模试卷和答案含奉贤,浦东,青浦,静安,闸北,嘉定,宝山,虹口,黄浦9区试卷和答案

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2016年奉贤区调研测试九年级数学2016.01（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（▲） A ．△ABC 放大后，∠B 是原来的4倍； B ．△ABC 放大后，边AB 是原来的4倍； C ．△ABC 放大后，周长是原来的4倍； D ．△ABC 放大后，面积是原来的16倍2.抛物线()212y x =-+的对称轴是（▲）A ．直线2x =；B ．直线2x =-；C ．直线1x =；D ．直线1x =-．3.抛物线223y x x =--与x 轴的交点个数是（▲） A . 0个 ； B ．1个； C ． 2个 ； D ． 3个．4.在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且有12AD AE DB EC ==，BC =18,那么DE 的值为（▲）A ．3 ；B ．6 ；C ．9 ；D ．12． 5.已知△ABC 中,∠C =90°，BC =3，AB =4，那么下列说法正确的是（▲） A ．3sin 5B =； B ． 3cos 4B = ； C ．4tan 3B =； D ．3cot 4B =6.下列关于圆的说法，正确的是（▲） A ．相等的圆心角所对的弦相等；B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦；C ．经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线；D ．相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.已知3x =2y ，那么xy=▲； . 8.二次函数342+=x y 的顶点坐标为▲；9. 一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比i =▲；10.如果抛物线k x k y -+=2)2(的开口向下，那么k 的取值范围是▲；11.从观测点A 处观察到楼顶B 的仰角为35°，那么从楼顶B 观察观测点A 的俯角为▲； 12.在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （-1，3），如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为▲；13.如图，△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE//BC ，若DE =2AD ，AE=2，那么EC =▲； 14.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足BP APAP AB=，那么AP 的长为▲cm ；. 15.⊙O 1的半径11r =，⊙O 2的半径22r =，若此两圆有且仅有一个交点，那么这两圆的圆心距d =▲；16.已知抛物线(4)y ax x =+，经过点A (5,9)和点B （m,9）,那么m =▲；17.如图，△ABC 中，AB =4，AC =6，点D 在BC 边上，∠DAC =∠B ,且有AD =3，那么BD的长为▲；18.如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=AD =6，cotB =21，将边AB 绕点A 旋转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B ’（点B ’不与点B 重合），那么 sin ∠CAB ’=▲. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒--︒+︒60sin 260tan 2130cos 45sin 422．第13题图BA DC E第17题图B ADC第18题图B20.（本题满分10分，每小题5分）如图，已知AB//CD//EF ，AB:CD:EF=2:3:5，=. （1）=BD （用a 来表示）；（2）求作向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.（本题满分10分，每小题5分）为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB 进行改造，在斜坡中点D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE 的长约为多少米？（2）在距离坡角A 点27米远的G 处是商场主楼，小明在D 点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH 高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin 36°=0.6，cos 36°=22.（本题满分10分，每小题5分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点B 为CD 的中点，CD =AE =5. （1）求⊙O 半径r 的值；（2）点F 在直径AB 上，联结CF ，当∠FCD =∠DOB 时，求AF 的长.E AB F第20题图CD第21题图F E ABOCD23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，∠AEB =∠ADC . （1）求证：△ADE ∽△DBC ；（2）联结EC，若2CD AD BC =⋅，求证：∠DCE =∠ADB .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点A （2,0），直线AB 与抛物线交于点B ， 且∠BAO =45°.（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标； （2）在直线AB 上是否存在点D ，使得△BCD为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标， 若不存在，说明理由.25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC =∠A ，联结BE . （1）求证：AC BE BC AD ⋅=⋅；（2）设AD =x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； （3）当ABC BDE S S ∆=41△时，求tan ∠BCE 的值.EA B第20题图CDAE第25题备用图A2016学年九年级第一学期期末测试参考答案与评分标准 2016.01一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23； 8．（0,3）；9．2k <-； 10．1 11．35°； 12．10103； 13．4； 14．5； 15．1或3； 16．-9； 17．72； 18．1010或2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（1）原式=2+24222⎛⨯ ⎝⎭...................................（4分）=(13+244-+（4分） = -1 .......................（2分） 20．解：（1）13a …………………………………………………（5分）（2）向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量分别为GE 、AG．图形准确……………………………………………（3分） 结论正确……………………………………………（2分）21.解：（1）由题意得，AB =60米，∠BAC =30°，∠BEF =36°，FM//CG∵点D 是AB 的中点 ∴BD =AD =12AB =30................................................（1分） ∵DF//AC 交BC 、HG 分别于点F 、M ， ∴∠BDF =∠A=30°，∠BFE =∠C=90° 在Rt △BFD 中，∠BFD =90°，cos BDF DF BD ∠=，30DF =， 25.5DF =≈............（1分） sin BF BDF BD∠=1230BF =. 15BF =…………………………（1分）在Rt △BFE 中，∠BFE =90°，tan BEF BFEF ∠=，0.715EF =，EF =21.4………（1分） ∴DE=DF-EF =25.5-21.4=4.1≈4（米）答：平台DE 的长约为4米. ………………………………………………………（1分）（2）由题意得，∠HDM =30°，AG =27米，过点D 作DN ⊥AC 于点N在Rt △DNA 中，∠DNA =90°cos DAC AN AD ∠=30AN =AN =（1分）sin DN DAN AD∠= 1230DN = 15DN =...................（1分）∴27DM NG AN AG ==+=……………………………………（1分）在Rt △HMD 中，∠HMD =90° tan HDM HMDM ∠=15HM =+453930153915≈+=++=+=MG HM HG 米…（1分）答：主楼GH 的高约为45米………………………………………………………（1分） 22．解：(1) ∵OB 是半径，点B 是CD 的中点∴OB ⊥CD ，CE=DE =12CD =…（2分）∴222ODED OE =+ ∴()()2225-5r r =+ 解得 r =3…………（3分）(2) ∵OB ⊥CD ∴∠OEC=∠OED =90°……………………………………………（1分） 又∵∠FCE=∠DOE ∴△FCE ∽△DOE ∴EF CEED OE=…………………………（2分）= 得52EF =……………………………………………………（1分）∴ 52AF AE EF =-=……………………………………………………………（1分） 23.（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ………………………………………（2分） ∵ ∠ADC+∠C=180° ∠AEB+∠AED=180°又∵∠AEB =∠ADC ∴∠C =∠AED …………………………………………（2分） ∴△ADE ∽△DBC ……………………………………………………………（2分） （2） ∵△ADE ∽△DBC∴AD DBDE BC =∴AD BC DB DE ⋅=⋅…………………………………………（1分） ∵2CD AD BC =⋅ ∴2CD DB DE =⋅∴CD DEDB CD =………………………………………………………………………（1分） ∵∠CDB =∠CDE∴△CDE ∽△BDC ………………………………………………………………（2分） ∴ ∠DCE =∠DBC ………………………………………………………………（1分） ∵∠ADB =∠DBC∴∠DCE =∠ADB ………………………………………………………………（1分）24．解：（1）将原点（0,0）和点A （2，0）代入2y x bx c =++中0042cb c=⎧⎨=++⎩ 解得20b c =-⎧⎨=⎩ 22y x x =-………………………（3分）∴顶点C 的坐标为（1，﹣1（2）过点B 作BG ⊥x 轴，垂足为点G ∵∠BGA =90°，∠A =45° ∴∠GBA=45° 设点A （x ，22x x -） 则22x x -=2-x ∴点B （-1，3设直线AB ： 0y kx b k =+≠（） 将点A （2，0）、B （-1，3）代入203k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩ 直线AB ：y =设点D （x ，2x -+）则BC =CD =BD 若△BCD 为直角三角形①∠BCD =90° ∴222BC CD BD += 即(222+= 解得73x =∴7133D ⎛⎫⎪⎝⎭点，-……………………………………………（2分）② ∠BDC =90°∴222BDCD BC += 即(222+=解得 1221x x ==-，（舍去） ∴点D （2，0）…………………（2分）综上所述：()712,033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭点，-或25．解：（1）∵CE ⊥CD ∴∠DCE =∠BCA =90︒∵∠EDC =∠A ∴△EDC ∽△BAC ∴EC BCDC AC=……………（2分） ∵∠DCE =∠BCA ∴∠DCE -∠BCD =∠BCA -∠BCD 即∠BCE=∠DCA ……（1分）∵ECBCDC AC = ∴△BCE ∽△ACD ………………………………（1分）∴BCACBEAD= 即AC BE BC AD ⋅=⋅………………………………………（1分） （2）∵△BCE ∽△ACD ∴∠CBE =∠A ∵∠BCA=90° ∴4AC ，∠ABC+∠A=90°∴∠CBE+∠ABC=90°即∠DBE=90°……………………（1分）∴DE ==∵BC AC BE AD =，34BE x = ∴ 3=4BE x ()2113153==52248BDE x x S BD BE x x ∆-⋅-⋅=……………………………………（1分） ∵ △CDE ∽△CAB ∴22121165CDE ABC S DE x x S AB ∆∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ ∵11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ ∴2312=685CDE S x x ∆-+……………………（1分） 即()21=S 60540BDE CDE S S x x ∆∆+=-<<……………………………（2分） （3）11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ 由14ABC S S ∆=得 21531684x x -=⨯ ∴2540x x -+=1214x x ==，…………………………（1分）过点D 作DF ⊥AC 于点F ∴∠DFA=∠BCA =90°∴ DF ∥BC ∴DF AD AFBC AB AC == 当x =1时，3455DF AF ==，，165CF AC AF =-=………………………………（1分） 在Rt △DFC 中，∠DFC =90° t a n 3DF DCF ==∠∵∠BCE=∠DCA ∴3an 16t BCE =∠当x =4时，得121655DF AF ==， CF =3tan DCF DFCF∠==，即tan ∠∴综上所述：6an 331t BCE =∠或．2016浦东一模一. 选择题1. 如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:8； D. 1:16；2. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，若5AB =，4BC =，则sin A 的值为（ ）A.34； B. 35； C. 45； D. 43； 3. 如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AD AB DE BC =； B. ::AD DB DE BC =； C. ::AD DB AE EC =； D. ::AE AC AD DB =；4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A. 0a <，0b <，0c >； B. 0a <，0b <，0c <； C. 0a >，0b >，0c >； D. 0a >，0b >，0c <；5. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A. 2AC AD AB =⋅；B. 2CD CA CB =⋅； C. 2CD AD DB =⋅； D. 2BC BD BA =⋅； 6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似；B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；二. 填空题7. 已知13x y =，那么x x y =+ ； 8. 计算：123()3a ab -+=；9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1:5000000的地图上，上海与杭州的图 上距离约 厘米；10. 某滑雪运动员沿着坡比为100米，则运动员下降的垂直高度为 米；11. 将抛物线2(1)y x =+向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 ； 12. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴为直线2x =，若此抛物线与x 轴的 一个交点为(6,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是 ；13. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，AD a = ，那么用向量a表示向量AG为 ；14. 如图，△ABC 中，6AC =，9BC =，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CAD B ∠=∠， 那么CD 的长是 ；15. 如图，直线1AA ∥1BB ∥1CC ，如果13AB BC =，12AA =，16CC =，那么线段1BB 的 长是 ；16. 如图是小明在建筑物AB 上用激光仪测量另一建筑物CD 高度的示意图，在地面点P 处 水平放置一平面镜，一束激光从点A 射出经平面镜上的点P 反射后刚好射到建筑物CD 的 顶端C 处；已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，且测得15AB =米，20BP =米，32PD =米，B 、P 、D 在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是 米；17. 若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点(,0)A m 、(,0)B n ，与y 轴交于点(0,)C c ，则称 △ABC 为“抛物三角形”；特别地，当0mnc <时，称△ABC 为“正抛物三角形”；当0mnc > 时，称△ABC 为“倒抛物三角形”；那么，当△ABC 为“倒抛物三角形”时，a 、c 应分 别满足条件 ；18. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的 一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE = ；三. 解答题19. 456tan302cos30︒︒︒+-；20. 二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴；21. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，联结BE 并延长交CD 的延 长线于点F ，交AC 于点G ；（1）若2FD =，13ED BC =，求线段DC 的长； （2）求证：EF GB BF GE ⋅=⋅；22. 如图，l 为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上 由西向东匀速行驶，依次经过点A 、B 、C ，P 是一个观测点，PC l ⊥，PC =60米，4tan 3APC ∠=，45BPC ︒∠=，测得该车从点A 行驶到点B 所用时间为1秒； （1）求A 、B 两点间的距离；（2）试说明该车是否超过限速；23. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，DE BC ⊥交AB 于点E ，AD AC =，EC 交AD 于点F ；（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）求证：3FC EF =；24. 如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ； 问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的 三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；25. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与点A 、D 不重合），45EBM ︒∠=，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点M ；（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）联结EG ，如图2，设AE x =，EG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当M 为边DC 的三等分点时，求EGF S 的面积；21、22、23、24、25、2016青浦、静安一模一. 选择题 1.的相反数是（ ）A.B. C.2； D. 2-； 2. 下列方程中，有实数解的是（ ）A. 210x x -+=； B. 1x =-；C.210x x x -=-； D. 211xx x-=-； 3. 化简11(1)x ---的结果是（ ） A.1x x -； B. 1xx -； C. 1x -； D. 1x -； 4. 如果点(2,)A m 在抛物线2y x =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到 点A '，那么A '坐标为（ ）A. (2,1)；B. (2,7)；C. (5,4)；D. (1,4)-；5. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD 是高，如果AD m =，A α∠=，那么BC 的长为（ ）A. tan cos m αα⋅⋅；B. cot cos m αα⋅⋅；C.tan cos m αα⋅； D. tan sin m αα⋅；6. 如图，在△ABC 与△ADE 中，BAC D ∠=∠，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满 足下列条件中的（ ）A. AC AB AD AE =；B. AC BC AD DE =；C. AC AB AD DE =；D. AC BCAD AE=；二. 填空题7. 计算：23(2)a -= ； 8. 函数3()2x f x x -=+的定义域为 ；9. 1x =-的根为 ；10. 如果函数(3)1y m x m =-+-的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围为 ；11. 二次函数261y x x =-+的图像的顶点坐标是 ；12. 如果抛物线225y ax ax =-+与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐标是 ；13. 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，如果1AE =，2CE =，那么:EF BF 等于 ；14. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，点G 是重心，如果1sin 3A =，2BC =，那么GC 的长 等于 ；15. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，设AB a = ，BC b = ，那么CD =（用向量a 、b的式子表示）；16. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，6AB =，5BC =，4AC =，如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 的长等于 ；17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，如果5AB =，8BC =，4sin 5B =，那么tan CDE ∠= ； 18. 将平行四边形ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D '，点C 落到C '，且点C '、B 、C 在一直线上，如果13AB =，3AD =，那么A ∠的余弦值为 ；三. 解答题19. 化简：222266942x x x x x x x---++--，并求当123x =时的值；20. 用配方法解方程：22330x x --=；21. 如图，直线43y x =与反比例函数的图像交于点(3,)A a ，第一象限内的点B 在这个反比 例函数图像上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，且1tan 3α=：（1）求点B 的坐标；（2）求OAB ∆的面积；22. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向 前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°，求该电 线杆PQ 的高度（结果精确到1米）；（备用数据：sin 26.60.45︒=，cos 26.60.89︒=，tan 26.60.50︒=，cot 26.6 2.00︒=，sin 33.70.55︒=，cos33.70.83︒=，tan 33.70.67︒=，cot 33.7 1.50︒=）23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD AD AC ==，AD 与CE 相交于点F ，2AE EF EC =⋅； （1）求证：ADC DCE EAF ∠=∠+∠；（2）求证：AF AD AB EF ⋅=⋅；2124. 如图，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相 交于点C ，与直线112y x =+相交于点A 、D ，CD ∥x 轴，CDA OCA ∠=∠；（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；25. 已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角 线AC 上，且CE AD =，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ，设AD x =，△AEF 的面积为y ；（1）求证：DCA EBC ∠=∠；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积；22静安区2015学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2016.1一、选择题：1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．C ． 二、填空题：7．68a -； 8．2-≠x ； 9．4=x ； 10．31<<m ； 11．（3, -8）； 12．（2, 5）； 13．31； 14．2； 15．b a 21--； 16．2； 17．21； 18．135． 三、解答题：19．解：原式＝ )2()3()2)(2()3)(2(2--÷-+-+x x x x x x x ············································································ （4分） ＝)3()2()2)(2()3)(2(--⋅-+-+x x x x x x x ··············································································· （1分） ＝3-x x． ········································································································ （2分） 当3321==x时，原式＝231311333+-=-=-． ································· （3分） 20．解：023232=--x x , ····································································································· （1分） 23232=-x x , ············································································································ （1分） 16923)43(2322+=+-x x , ······················································································· （2分） 1633)43(2=-x , ·········································································································· （2分） 43343±=-x , ········································································································· （2分）433231+=x ,433232-=x ． ·············································································· （2分）2321．解：（1）∵直线x y 34=与反比例函数的图像交于点A （3，a ）， ∴334⨯=a =4，∴点的坐标A （3，4）． ······························································ （1分） 设反比例函数解析式为xky =， ············································································· （1分）∴12,34==k k ，∴反比例函数解析式为xy 12=． ··········································· （1分）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， 由31tan ==OB BH α，设BH =m ，则OB =m 3，∴B （m 3，m ） ························ （1分） ∴mm 312=，2±=m （负值舍去）， ······································································ （1分） ∴点B 的坐标为（6，2）． ······················································································ （1分）（1） ····································· 过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，OBH AEHB OAE OAB S S S S ∆∆∆-+=梯形············································································ （1分） =BH OH EH BH AE OE AE ⋅-⋅++⋅21)(2121 ··············································· （1分） ==⨯⨯-⨯++⨯⨯26213)24(2143219． ······················································ （2分）22．解：延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意得．由题意，得PH ⊥AB ，AB =30，∠PAH =26 .6°，∠PBH =45°，∠Q BH =33.7°， 在Rt △QBH 中，50.1cot ==∠QHBHQBH ，设QH =x ，BH =x 5.1， ···················· （2分） 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =x 5.1，··············································· （2分） 在Rt △PAH 中，00.2cot ==∠PHAHPAH ，AH =2PH =x 3， ··································· （2分） ∵AH –BH =AB ，∴305.13=-x x ，20=x ． ························································· （2分） ∴PQ =PH –QH =105.05.1==-x x x ． ····································································· （1分） 答：该电线杆PQ 的高度为10米． ················································································· （1分）2423．证明：（1）∵EC EF AE ⋅=2，∴AEECEF AE =． ·························································· （1分） 又∵∠AEF =∠CEA ，∴△AEF ∽△CEA ． ······················································· （2分） ∴∠EAF =∠ECA ， ··························································································· （1分） ∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACD ， ······································································· （1分） ∵∠ACD =∠DCE +∠ECA =∠DCE +∠EAF ． ····················································· （1分）（2）∵△AEF ∽△CEA ，∴∠AEC =∠ACB ． ······························································· （1分）∵DA =DB ，∴∠EAF =∠B ． ················································································ （1分） ∴△EAF ∽△CBA ． ····························································································· （1分）∴ACEFBA AF =． ··································································································· （1分） ∵AC =AD ，∴ADEFBA AF =． ················································································ （1分） ∴EF AB AD AF ⋅=⋅． ···················································································· （1分）24．解：（1）∵直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （–2，0）、B （0，1）．∴OA =2，OB =1． ······················································ （2分） ∵CD //x 轴，∴∠OAB =∠CDA ，∵∠CDA =∠OCA ，∴∠OAB =∠OCA ． ············· （1分） ∴tan ∠OAB =tan ∠OCA ， ························································································· （1分） ∴OCOA OA OB =，∴OC 221=， ·················································································· （1分） ∴4=OC ，∴点C 的坐标为（0，4）． ································································ （1分） （2）∵CD //x 轴，∴BOBCAO CD =． ················································································· （1分） ∵BC =OC –OB=4–1=3,∴132=CD ，∴CD =6，∴点D （6，4）． ························ （1分） 设二次函数的解析式为42++=bx ax y ， ···························································· （1分）⎩⎨⎧++=+-=,46364,4240b a b a ………………（1分） ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,41b a ········································· （1分） ∴这个二次函数的解析式是423412++-=x x y ． ················································· （1分）25．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ． ········································································ （1分）又∵AD =CE ，AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB ． ······························································ （2分） ∴∠DCA ＝∠EBC ． ··································································································· （1分） （2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．AE =AC –CE =x -10．。

2016上海市各区县初三一模数学试题及答案

2016上海市各区县初三一模数学试题及答案

2016上海长宁区初三数学一模试题（满分150分） 2016.1.6 一、选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. A.1:2 B.1：4 C.1：2 D.2：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.21 D.2 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016杨浦初三一模数学试卷分析

2016杨浦初三一模数学试卷分析

杨浦2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 试 卷 2016.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是……………（ ▲ ） （A ）222+=x y ；（B ）2)2(2+=x y ； （C ）2)2(2-=x y ；（D ）222-=x y ． 2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是………………………………………（ ▲ ） （A ）斜边长分别是10和5的两直角三角形； （B ）腰长分别是10和5的两等腰三角形； （C ）边长分别为10和5的两菱形； （D ）边长分别为10和5的两正方形．3．如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，a BA =，b BC =，那么DA 等于…（ ▲ ）（A ）b a -21； （B ）b a 21-； （C ）a b -21； （D ）a b 21-．4．坡比等于1∶3的斜坡的坡角等于 ……………………………………………（ ▲ ） （A ）︒30；（B ）︒45； （C ）︒50；（D ）︒60．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是…………………（ ▲ ） （A ）∠A =∠E 且∠D =∠F ； （B ）∠A =∠B 且∠D =∠F ； （C ）∠A =∠E 且AB EFAC ED =；（D ）∠A =∠E 且AB FDBC DE=． 6．下列图像中，有一个可能是函数20)y ax bx a b a =+++≠（的图像，它是…（ ▲ ）（A ） （B ） （C ） 1 x y x y11 1 AC（第3题图）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y y -=，那么xy = ▲ ．8．如图，已知点G 为△ABC 的重心，DE 过点G ，且DE //BC ， EF //AB ，那么:CF BF = ▲ ． 9．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，AD =2，DB =1，BC =6，要使DE ∥AC ，那么BE = ▲ ．10．如果△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边之比为3:4:6，△DEF 的最长边是10cm ，那么△DEF 的最短边是 ▲ cm ．11．如果AB //CD ，23AB CD =，AB 与CD 的方向相反，那么AB = ▲ CD ． 12．计算：︒-︒30cot 60sin = ▲ . 13．在△ABC 中，∠C =90°，如果1sin 3A =，AB =6，那么BC = ▲ ． 14．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么c 的值是 ▲ . 15．抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ▲ ．16．如果1(1,)A y -，2(2,)B y -是二次函数2+y x m =图像上的两个点，那么y 1 ▲ y 2（请填入“>”或“<”）．17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线1x =-，且与y 轴的交点在x 轴下方，那么这个二次函数的解析式可以 是 ▲ ．18．如图，已知将△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折， 点A 恰好落在边BC 的中点M 处，且AM =BE ，那么 ∠EBC 的正切值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量a 、b ． 先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）ba（第19题图） ACDE · G（第8题图）（第18题图）E20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知二次函数20)y ax bx c a =++≠（的图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示:x … -1 0 2 4 … y…-511m…求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m 的值．21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ． 求：（1）AF :FC 的值；（2）EF :BF 的值．22．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分） 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A 、C 两点处测得该塔顶端F 的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD ＝20 m ，高度DC ＝33 m ． （1） 试用α和β的三角比表示线段CG 的长；（2） 如果=48=65αβ︒︒，，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG 的值（结果精确到1m ）．（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，点F 在边AB 上，BA BF BC ⋅=2，CF 与DE 相交于点G ． （1）求证：DF AB BC DG ⋅=⋅； （2）当点E 为AC 中点时，求证：2EG AFDG DF=．AB C DE F （第21题图） （第23题图）ABCDE GF （第22题图）E24．（本题满分12分，其中每小题各4分）已知在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线4+=x y 经过A 、C 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ =2AO ．求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线4+=x y 上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为6（如图1），点E 为边AB 上的动点，点F 在射线AD 上，且∠ECF =∠B ，直线CF 交直线AB 于点M ． （1） 求∠B 的余弦值；（2） 当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图形，并求BM 的长；（3） 当点M 在边AB 的延长线上时，设BE =x ，BM =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．A B C D（图1）A B C D （备用图） （第25题图） A O B Cy （第24题图）杨浦区2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 答 案 2016.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2． D ； 3． B ； 4． A ； 5． C ； 6． C ； 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.53； 8.1:2； 9.2；10. 5； 11.32-；12. 13.2； 14.5；15.x=1；16.<；17.221y x x =---等；18.23；三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+-------------------------（1分） 2a b =-+----------------------------------------------------------------------（4分）画图正确4分（方法不限），结论1分．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）由题意可得：154211c a b c a b =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩-----------------------------------（3分）解得：1=-24c a b =⎧⎪⎨⎪=⎩，即解析式为2241y x x =-++---------------------------（3分）（2）∵222412(1)3y x x x =-++=--+，∴顶点坐标是（1,3）, ------（2分）∴当x=4时，y=-15，即m=-15. ------------------------------（2分）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）解：（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ，∵AD//BC ， ∴DE DM EC BC =,AF AMFC BC=-------------------------------------------（2分） ∵点E 为边DC 的中点，∴DM=BC ，∵BC=2AD ，∴DM=2AD ，∴AM=AD+DM=3AD, ----------------------------------（1分）∴3322AF AD FC AD ==------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵AD//BC ，∴32FM AM BF BC ==,1EM DEBE EC==,-------------（1分,1分）∴52BM BF =,21BM BE =∴54BE BF =,---------------------------------------（1分） ∴14EF BF =-----------------------------------------------------------------------（2分） 22．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分） 解：（1）如图，延长AD 交FG 于点E ．在Rt △FCG 中，tan β＝FGCG ，∴tan FG CG β=⋅----------------------（2分）在Rt △F AE 中，tan α＝FEAE ，∴tan FE AE α=⋅------------------------（1分）∵FG －FE ＝EG ＝DC =33，∴tan tan =33CG AE βα⋅-⋅-----------------------------------------------（1分） ∵AE=AD+DE=AD+CG =20+CG ， ∴tan 20+)tan =33CG CG βα⋅-⋅（， ∴3320tan tan tan CG αβα+=-.----------------------------------------------------------（2分）（2）∵tan FG CG β=⋅，∴33tan 20tan tan tan -tan FG βαββα+⋅=-------（1分）∴33 2.1+20 1.1 2.1FG=2.1-1.1⨯⨯⨯ = 115.5≈116．--------------------------（2分）答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG 约是116 m ．-------------------------（1分）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分） （1） 证明：∵BA BF BC ⋅=2，∴BC BABF BC=，------------------------------------（1分） 又∵∠B=∠B ，∴△BCF ∽△BAC ，------------------------------------------（2分） ∵DE //BC ，∴△FDG ∽△FBC ，----------------------------------------------（1分）∴△FDG ∽△CBA ，--------------------------------------------------------------（1分）∴FD DGCB BA=，即DF AB BC DG ⋅=⋅.----------------------------------（1分） (2) 证明：∵DF AB BC DG ⋅=⋅，∴DF BCDG AB=， ∵△BCF ∽△BAC ，∴=BC CFAB AC,----------------------------------------------------（1分） ∵E 为AC 中点, ∴AC=2CE ，∴1=2CF CFAC CE,∴12BC CF AB CE =----------------（1分） ∵△BCF ∽△BAC ，∴∠BCF=∠BAC,又∵DE //BC ，∴∠EGC=∠BAC,而∠ECG=∠FCA, ∴△CEG ∽△CFA ，------------------------------------------------(2分)∴CF AFCE EG =，----------------------------------------------------------------------------（1分） ∴12DF AF DG EG =,即2EG AF DG DF=---------------------------------------------------（1分）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线4+=x y 经过A ，C 两点，∴A （-4,0），C （0,4），--------------（2分）∵抛物线c bx x y ++-=221过点A 、C ， ∴抛物线的表达式是2142y x x =--+。

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

初三上2016年杨浦区一模

初三上2016年杨浦区一模

2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣2【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（0，2），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+2．故选A．2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，故选：D．3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．【解答】解：△在△ABC中，D是边BC的中点，△==，△=﹣=﹣．故选B．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．△A=△E且△D=△F B．△A=△B且△D=△FC．△A=△E且D．△A=△E且【解答】解：A、△D和△F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、△A=△B，△D=△F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、△A=△E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( ) A．B．C．D．【解答】解：在函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）中，当a＜0，b＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，一定经过点（0，a+b），点（0，a+b）一定在y轴的负半轴，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（1，0），则a+b+a+b=0，得a与b互为相反数，则y=ax2﹣ax=ax（x﹣1），则该函数与x轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（0，1），则a+b=1，只要a、b满足和为1即可，故选项C 正确；故选C．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=．【解答】解：△，△2y=3（x﹣y），整理，得3x=5y，△=．故答案为．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE△BC，EF△AB，那么CF：BF=1：2．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于H．△点G为△ABC的重心，△AG=2GH．△DE△BC，△CE：AE=GH：AG=1：2，△EF△AB，△CF：BF=CE：AE=1：2．故答案为1：2．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC平行，那么BE=2．【解答】解：BE=2，理由是：如图：△AD=2，DB=1，△AB=2+1=3，△BC=6，BE=2，△=，△△B=△B，△△BED△△BCA，△△BED=△C，△DE△AC．故答案为：2．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是5cm．【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，△△ABC与△DEF相似，△3a：x=6a：10，△x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．11．如果AB△CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=﹣．【解答】解：△AB△CD，2AB=3CD，与的方向相反，△2=﹣3，△=﹣．故答案为：﹣．12．计算：sin60°﹣cot30°=【解答】解：原式=﹣=﹣．13．在△ABC中，△C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=2．【解答】解：sinA==，得BC=AB×=6×=2，故答案为：2．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为5．【解答】解：△y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+4+1=x2﹣4x+5，△c的值为5．故答案是：5．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=1．【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=﹣=1．故答案为x=1．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1＜y2（填“＜”或者“＞”）【解答】解：△二次函数y=x2+m中a=1＞0，△抛物线开口向上．△x=﹣=0，﹣1＜﹣2，△A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，△y1＜y2．故答案为：＜．17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为y=﹣x2﹣2x﹣1．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．△图象的开口向下，△a＜0，可取a=﹣1；△对称轴是直线x=﹣1，△﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；△与y轴的交点在x轴的下方，△c＜0，可取c=﹣1；△函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M 处，且AM=BE，那么△EBC的正切值是．【解答】解：设AM与BE交点为D，过M作MF△BE交AC于F，如图所示：△M为BC的中点，△F为CE的中点，△MF为△BCE的中位线，△MF=BE，由翻折变换的性质得：AM△BE，AD=MD，同理：DE是△AMF的中位线，△DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，△BD=3a，MD=AM=2a，△△BDM=90°，△tan△EBC===．故答案为：．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【解答】解：=+3﹣﹣=﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣1024…y…﹣511m…求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．【解答】解：（1）依题意，得，解得；△二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．21．如图，梯形ABCD中，AD△BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，△AD△BC，△△DEH△△CEB，△=，△点E为边DC的中点，△DE=CE，△DH=BC，而BC=2AD，△AH=3AD，△AH△BC，△△AHF△△CFB，△AF：FC=AH：BC=3：2；（2）△△DEH△△CEB，△EH：BE=DE：CE=1：1，△BE=EH=BH，△△AHF△△CFB，△FH：BF=AF：FC=3：2；设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，△EH=a，△EF=FH﹣EH=3a﹣a=a，△EF：BF=a：2a=1：4．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）【解答】解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ，则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE△BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．【解答】证明：（1）△BC2=BF•BA，△BC：BF=BA：BC，而△ABC=△CBF，△△BAC△△BCF，△DE△BC，△△BCF△△DGF，△△DGF△△BAC，△DF：BC=DG：BA，△DF•AB=BC•DG；（2）作AH△BC交CF的延长线于H，如图，△DE△BC，△AH△DE，△点E为AC的中点，△AH=2EG，△AH△DG，△△AHF△△DGF，△=，△．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ△AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的表达式为y=﹣x+4；（2）PQ=2AO=8，又PQ△AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；（3）△MCO=△CAB=45°，①当△MCO△△CAB时，=，即=，CM=．如图1，过M作MH△y轴于H，MH=CH=CM=，当x=﹣时，y=﹣+4=，△M（﹣，）；当△OCM△△CAB时，=，即=，解得CM=3，如图2，过M作MH△y轴于H，MH=CH=CM=3，当x=3时，y=﹣3+4=1，△M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且△ECF=△B，直线CF交直线AB于点M．（1）求△B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH△BC于H，如图1所示：则AO=OC=3，BO=4，△S△ABC=BC×AH=AC×BO=×6×4=12，△×5×AH=12，解得：AH=，由勾股定理得：BH===，△cos△B===；（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：△四边形ABCD为菱形，△△FAC=△ACB，△△ECF=△B，△△ABC△△ECF，△=，即=，解得：EF=，△BC△AF，△△MBC△△MAF，△===，△=，解得：BM=；（3）作EH△BC于H，作EG△BC交CF于G，如图3所示：由（1）知cos△B=，BE=x，△BH=x，EH===x，△CE===，△EG△BC，△△GEC=△ECB，，△△BCE△△CEG，△，则EG==，△，整理得：y=，即y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．。

2016杨浦一模数学卷

2016杨浦一模数学卷

初三一轮数学检测卷（2016杨浦一模）一. 选择题1. 将抛物线向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（）A. ；B. ；C. ；D. ；2. 以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）A. 斜边长分别是10和5的两直角三角形；B. 腰长分别是10和5的两等腰三角形；C. 边长分别为10和5的两菱形；D. 边长分别为10和5的两正方形；3. 如图，已知在△中，是边的中点，，，那么等于（）A. ；B. ；C. ；D. ；4. 坡比等于的斜坡的坡角等于（）A. 30°；B. 45°；C. 50°；D.60°；5. 下列各组条件中，一定能推得△与△相似的是（）A. 且；B. 且；C. 且；D. 且；6. 下列图像中，有一个可能是函数（）的图像，它是（）A. B. C. D.二. 填空题7. 如果，那么；8. 如图，已知点为△的重心，过点，且∥，∥，那么；9. 已知在△中，点、分别在边和上，，，，要使∥，那么；10. 如果△与△相似，△的三边之比为，△的最长边是10，那么△的最短边是；11. 如果∥，，与的方向相反，那么；12. 计算：；13. 在△中，，如果，，那么；14. 如果二次函数配方后为，那么的值是；15. 抛物线的对称轴是直线；16. 如果、是二次函数图像上的两个点，那么（请填入“”或“”）；17. 请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线，且与轴的交点在轴下方，那么这个二次函数的解析式可以是；18. 如图，已知将△沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的正切值为；三. 解答题19. 如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：；（不要求写作法，要指出所作图中表示结论的向量）20. 已知二次函数（）的图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：…-1024……-511…（1）求这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中的值；21. 如图，梯形中，∥，，点为边的中点，交于点，求：（1）的值；（2）的值；22. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的、两点处测得该塔顶端的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度；（1）试用和的三角比表示线段的长；（2）如果，，请求出信号发射塔顶端到地面的高度的值（结果精确到1）；（参考数据：，，，，，）23. 已知，如图，在△中，点、分别在边、上，∥，点在边上，，与相交于点；（1）求证：；（2）当点为中点时，求证：；24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，直线经过、两点；（1）求抛物线的表达式；（2）如果点、在抛物线上（点在对称轴左边），且∥，，求点、的坐标；（3）动点在直线上，且△与△相似，求点的坐标；25. 已知菱形的边长为5，对角线的长为6,（如图1），点为边上的动点，点在射线上，且，直线交直线于点；（1）求的余弦值；（2）当点与点重合时，试画出符合题意的图形，并求的长；（3）当点在边的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；。

2016届上海杨浦区初三数学一模试卷+答案(完美word版)

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第 1 页 共 7页杨浦区2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 试 卷 2016.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是……………（ ▲ ） （A ）222+=x y ；（B ）2)2(2+=x y ； （C ）2)2(2-=x y ；（D ）222-=x y ． 2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是………………………………………（ ▲ ） （A ）斜边长分别是10和5的两直角三角形； （B ）腰长分别是10和5的两等腰三角形； （C ）边长分别为10和5的两菱形； （D ）边长分别为10和5的两正方形．3．如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，a BA =，b BC =，那么DA 等于…（ ▲ ）（A ）b a -21； （B ）b a 21-；（C ）-21； （D ）21-．4．坡比等于1∶3的斜坡的坡角等于 ……………………………………………（ ▲ ） （A ）︒30；（B ）︒45； （C ）︒50；（D ）︒60．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是…………………（ ▲ ） （A ）∠A =∠E 且∠D =∠F ；（B ）∠A =∠B 且∠D =∠F ； （C ）∠A =∠E 且AB EFAC ED=；（D ）∠A =∠E 且AB FDBC DE=． 6．下列图像中，有一个可能是函数20)y ax bx a b a =+++≠（的图像，它是…（ ▲ ） （A ）（C ）（D ）二、填空题：（本大题共12题，每题分，满分48分）7．如果x y y -，那么xy = ▲ 8．如图，已知点为△ABC 的重心，EF //AB ，那么:CF BF = ▲ ．9．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，AD =2，DB =1，BC =6，要使DE ∥AC ，那么BE = ▲ ． 10．如果△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边之比为3:4:6，△DEF 的最长边是10cm ，那么△DEF 的最短边是 ▲1 1C（第3题图）A D（第8题图）第 2 页 共 7页cm ．11．如果AB //CD ，23AB CD =，AB 与CD 的方向相反，那么AB = ▲ CD ． 12．计算：︒-︒30cot 60sin = ▲ .13．在△ABC 中，∠C =90°，如果1sin 3A =，AB =6，那么BC = ▲ ． 14．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么c 的值是 ▲ .15．抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ▲ ．16．如果1(1,)A y -，2(2,)B y -是二次函数2+y x m =图像上的两个点，那么y 1 ▲ y 2（请填入“>”或“<”）． 17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线1x =-，且与y 轴的交点在x 轴下方，那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ ．18．如图，已知将△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折， 点A 恰好落在边BC 的中点M 处，且AM =BE ，那么 ∠EBC 的正切值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、． 先化简，再求作：13(3)()22a b a b +-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知二次函数20)y ax bx c a =++≠（的图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示:求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m 的值． 21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ． 求：（1）AF :FC 的值； （2）EF :BF 的值．22．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A 、C 两点处测得m ，高度DC ＝33m ．该塔顶端F 的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD ＝20（1） 试用α和β的三角比表示线段CG 的长； 到地面的高度（2） 如果=48=65αβ︒︒，，请求出信号发射塔顶端（第19题图） BCF（第21题图）（第18题图）E（第22题图）E第 3 页 共 7页FG 的值（结果精确到1m ）．（参考数据：sin 48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）23．（本题满分12分，其中每小题各6分） 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，点F 在边AB 上，BA BF BC ⋅=2，CF 与DE 相交于点G ． （1）求证：DF AB BC DG ⋅=⋅；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2EG AFDG DF=． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）已知在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，直线4+=x y 经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ =2AO ．求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线4+=x y 上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题4已知菱形ABCD 的边长为5，对角线ACF 在射线AD 上，且∠ECF =∠B ，直线CF 交直线AB 于点M ．（1） 求∠B 的余弦值；（2） 当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图形，并求BM 的长；（3） 当点M 在边AB 的延长线上时，设BE =x ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．杨浦区2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 答 案 2016.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2． D ； 3． B ； 4． A ； 5． C ； 6． C ； 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.53； 8.1:2； 9.2； 10. 5； 11.32-； 12. 13.2； 14.5；15.x=1；16.<；17.221y x x =---等； 18.23； 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）A B C（图1）A B CD （备用图）题图）A OB C（第24题图）（第23题图）C第 4 页 共 7页19．解：13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+-------------------------（1分） 2a b =-+----------------------------------------------------------------------（4分）画图正确4分（方法不限），结论1分．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）由题意可得：154211c a b c a b =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩-----------------------------------（3分）解得：1=-24c a b =⎧⎪⎨⎪=⎩，即解析式为2241y x x =-++---------------------------（3分）（2）∵222412(1)3y x x x =-++=--+，∴顶点坐标是（1,3）, ------（2分）∴当x=4时，y=-15，即m=-15. ------------------------------（2分） 21．（本题满分10分，其中每小题各5分） 解：（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ，∵AD//BC ， ∴DE DM EC BC =,AF AMFC BC=-------------------------------------------（2分） ∵点E 为边DC 的中点，∴DM=BC ，∵BC=2AD ，∴DM=2AD ，∴AM=AD+DM=3AD, ----------------------------------（1分）∴3322AF AD FC AD ==------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵AD//BC ，∴32FM AM BF BC ==,1EM DEBE EC==,-------------（1分,1分）∴52BM BF =,21BM BE =∴54BE BF =,---------------------------------------（1分） ∴14EF BF =-----------------------------------------------------------------------（2分） 22．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分） 解：（1）如图，延长AD 交FG 于点E ．在Rt △FCG 中，tan β＝FGCG ，∴tan FG CG β=⋅----------------------（2分） 在Rt △FAE 中，tan α＝FE AE，∴tan FE AE α=⋅------------------------（1分） ∵FG －FE ＝EG ＝DC =33，∴tan tan =33CG AE βα⋅-⋅-----------------------------------------------（1分） ∵AE=AD+DE=AD+CG =20+CG ，第 5 页 共 7页∴tan 20+)tan =33CG CG βα⋅-⋅（，∴3320tan tan tan CG αβα+=-.----------------------------------------------------------（2分）（2）∵tan FG CG β=⋅，∴33tan 20tan tan tan -tan FG βαββα+⋅=-------（1分）∴33 2.1+20 1.1 2.1FG=2.1-1.1⨯⨯⨯ = 115.5≈116．--------------------------（2分）答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG 约是116m ．-------------------------（1分） 23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分） （1） 证明：∵BA BF BC ⋅=2，∴BC BABF BC=，------------------------------------（1分） 又∵∠B=∠B ，∴△BCF ∽△BAC ，------------------------------------------（2分） ∵DE //BC ，∴△FDG ∽△FBC ，----------------------------------------------（1分）∴△FDG ∽△CBA ，--------------------------------------------------------------（1分）∴FD DGCB BA=，即DF AB BC DG ⋅=⋅.----------------------------------（1分） (2) 证明：∵DF AB BC DG ⋅=⋅，∴DF BCDG AB=， ∵△BCF ∽△BAC ，∴=BC CFAB AC,----------------------------------------------------（1分） ∵E 为AC 中点, ∴AC=2CE ，∴1=2CF CFAC CE,∴12BC CF AB CE =----------------（1分） ∵△BCF ∽△BAC ，∴∠BCF=∠BAC,又∵DE //BC ，∴∠EGC=∠BAC,而∠ECG=∠FCA, ∴△CEG ∽△CFA ，------------------------------------------------(2分) ∴CF AFCE EG=，----------------------------------------------------------------------------（1分）∴12DF AF DG EG =,即2EG AFDG DF=---------------------------------------------------（1分） 24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线4+=x y 经过A ，C 两点，∴A （-4,0），C （0,4），--------------（2分）∵抛物线c bx x y ++-=221过点A 、C ， ∴抛物线的表达式是2142y x x =--+。

2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案解析

2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案解析

2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣22．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( ) A．B．C．D．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=__________．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=__________．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=__________．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是__________cm．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=__________．12．计算：sin60°﹣cot30°=__________13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=__________．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为__________．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线__________．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1__________y2（填“＜”或者“＞”）17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为__________．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是__________．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（0，2），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+2．故选A．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，形状相同的图形称为相似形．3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先由在△ABC中，D是边BC的中点，可求得，然后由三角形法则求得．【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC的中点，∴==，∴=﹣=﹣．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．【点评】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( )A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】探究型．【分析】根据函数y=ax2+bx+a+b（a≠0），对a、b的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．【解答】解：在函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）中，当a＜0，b＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，一定经过点（0，a+b），点（0，a+b）一定在y轴的负半轴，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（1，0），则a+b+a+b=0，得a与b互为相反数，则y=ax2﹣ax=ax（x﹣1），则该函数与x轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（0，1），则a+b=1，只要a、b满足和为1即可，故选项C 正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】先由已知条件可得2y=3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得的值．【解答】解：∵，∴2y=3（x﹣y），整理，得3x=5y，∴=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d，则ad=bc．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=1：2．【考点】三角形的重心．【分析】连接AG并延长，交BC于H．先根据重心的性质，得出AG=2GH．再由平行线分线段成比例定理，得出CF：BF=CE：AE=GH：AG=1：2．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于H．∵点G为△ABC的重心，∴AG=2GH．∵DE∥BC，∴CE：AE=GH：AG=1：2，∵EF∥AB，∴CF：BF=CE：AE=1：2．故答案为1：2．【点评】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等．三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=2．【考点】平行线分线段成比例；相似多边形的性质；相似三角形的性质．【分析】求出=，根据相似三角形的判定得出△BED∽△BCA，推出∠BED=∠C，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：BE=2，理由是：如图：∵AD=2，DB=1，∴AB=2+1=3，∵BC=6，BE=2，∴=，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴∠BED=∠C，∴DE∥AC．故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，能推出△BED∽△BCA是解此题的关键．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是5cm．【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题．【分析】设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10，即可求出x=5．【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，∴3a：x=6a：10，∴x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=﹣．【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，可得2=﹣3，继而求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，∴2=﹣3，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到2=﹣3是解此题的关键．12．计算：sin60°﹣cot30°=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式=﹣=﹣．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=2．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：sinA==，得BC=AB×=6×=2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为5．【考点】二次函数的三种形式．【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+4+1=x2﹣4x+5，∴c的值为5．故答案是：5．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣进行计算．【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=﹣=1．故答案为x=1．【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1＜y2（填“＜”或者“＞”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x 的增大而减小，可判断y1＜y2．【解答】解：∵二次函数y=x2+m中a=1＞0，∴抛物线开口向上．∵x=﹣=0，﹣1＜﹣2，∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为y=﹣x2﹣2x﹣1．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣=﹣1，c＜0，由此举例得出答案即可．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=AM=2a，即可得出结果．【解答】解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：∵M为BC的中点，∴F为CE的中点，∴MF为△BCE的中位线，∴MF=BE，由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，同理：DE是△AMF的中位线，∴DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，∴BD=3a，MD=AM=2a，∵∠BDM=90°，∴tan∠EBC===．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=BE，DE=MF是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【解答】解：=+3﹣﹣=﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）把x=4，y=m代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标．【解答】解：（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．（1）延长BE交直线AD于H，如图，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，则有=，【分析】易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后证明△AHF∽△CFB，再利用相似比可计算出AF：FC的值；（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，则BE=EH=BH，由△AHF∽△CFB得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH=a，接着可计算出EF=FH﹣EH=a，然后计算EF：BF的值．【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，∵AD∥BC，∴△DEH∽△CEB，∴=，∵点E为边DC的中点，∴DE=CE，∴DH=BC，而BC=2AD，∴AH=3AD，∵AH∥BC，∴△AHF∽△CFB，∴AF：FC=AH：BC=3：2；（2）∵△DEH∽△CEB，∴EH：BE=DE：CE=1：1，∴BE=EH=BH，∵△AHF∽△CFB，∴FH：BF=AF：FC=3：2；设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，∴EH=a，∴EF=FH﹣EH=3a﹣a=a，∴EF：BF=a：2a=1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长即可．（2）根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x•tanβ即可求得．【解答】解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ，则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得=，然后利用等线段代换即可得到．【解答】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴△BAC∽△BCF，∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF，∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴△AHF∽△DGF，∴=，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的表达式为y=﹣x+4；（2）PQ=2AO=8，又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；（3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO∽△CAB时，=，即=，CM=．如图1，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，当x=﹣时，y=﹣+4=，∴M（﹣，）；当△OCM∽△CAB时，=，即=，解得CM=3，如图2，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，当x=3时，y=﹣3+4=1，∴M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出P、Q关于直线x=﹣1对称是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形得出CM的长是解题关键．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】相似形综合题．【分析】（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，由菱形的性质得出AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面积求出AH=，由勾股定理得出BH，即可得出结果；（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB，证出△ABC∽△ECF，得出对应边成比例=，求出EF，由平行线得出△MBC∽△MAF，得出==，即可得出结果；（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B=，BE=x，得出BM=x，由勾股定理得出EM=x，CE==，由平行线得出∠GEC=∠ECB，，证出△BCE∽△CEG，得出对应边成比例，得出EG==，代入比例式即可得出y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示：则AO=OC=3，BO=4，∵S△ABC=BC×AH=AC×BO=×6×4=12，∴×5×AH=12，解得：AH=，由勾股定理得：BH===，∴cos∠B===；（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠FAC=∠ACB，∵∠ECF=∠B，∴△ABC∽△ECF，∴=，即=，解得：EF=，∵BC∥AF，∴△MBC∽△MAF，∴===，∴=，解得：BM=；（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：由（1）知cos∠B=，BE=x，∴BH=x，EH===x，∴CE===，∵EG∥BC，∴∠GEC=∠ECB，，∴△BCE∽△CEG，∴，则EG==，∴，整理得：y=，即y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【点评】本题是相似形综合题目，考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式才能得出结果．。

杨浦区2016学年度第二学期初三质量调研数学试卷

杨浦区2016学年度第二学期初三质量调研数学试卷

杨浦区2016学年度第二学期初三质量调研数学试卷（2017年4月）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）()A 实数； ()B 有理数； ()C 有序实数对； ()D 有序有理数对2.所得的结果是（ ）()A ； ()B -； ()C ; ()D -3.通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率。

因此频率分布直方图的纵轴表示( )()A 组距频数()B 组距频率()C 组数频率()D 组数频数4.如果用A 表示事件“若a b >，则a c b c +>+”，用()P A 表示“事件A 发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）()()1A P A =()()0B P A =()0()1C P A <<()()1D P A >5.下列判断不正确的是（ ）()A 如果AB =CD,那么AB =CD ; ()B a b b a +=+()C 如果非零向量a =.k b (k ≠0)，那么a b ； ()D AB +BA =0 6.下列四个命题中真命题是( )()A 矩形的对角线平分对角； ()B 平行四边形的对角线相等； ()C 梯形的对角线互相垂直； ()D 菱形的对角线互相垂直平分二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.请写出两个不相等的无理数，使它们的乘积为有理数，这两个数可以是________. 8. 化简：22y xx y--=________________. 9.在实数范围内分解因式：32a a -=_______________.10.不等式组3732x x +>⎧⎨->-⎩的解集是_______________.11.3=的解是____________________.12.已知点(2,1)A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，那么当0x >时，y 随x 的增大而_____________________.13.如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位，那么此时抛物线的表达式是_____________.14.右表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数.则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是_______________________.15.如图，已知：△ABC 中，90C ∠=，40,AC BD =平分ABC ∠交AC 于D ,:5:3,AC DC =则D 点到AB 的距离_______________.16.正十二边形的中心角是___________度.17.如图,在甲楼的底部B 处测得乙楼的底部D 点的仰角为α,在甲楼的顶部A 处测得乙楼的顶部D 点的俯角为β,如果乙楼的高10DC =米,那么甲楼的高AB =__________米. 18.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=°，4,AC CB == 将△ABC 翻折,使得点B 与边AC 的中点M 重合,如果折痕与边AB 的交点为E ,那么BE 的长为______________.三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）计算：11022127()382)3--÷+-20. （本题满分10分） 解方程：31131x x-=+-第17题图第18题图第15题图A乙楼C甲楼AADCDBB21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）已知：如图，在ABC 中，3=45tan ,14.4ABC A AB ∠︒==，（1）求ABC 的面积；（2）若以C 为圆心的圆C 与直线AB 相切，以A 为圆心的圆A 与圆C 相切，试求圆A 的半径.22、（本题满分10分，第（1）、（2）小题个分，第（3）小题6分）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x 千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为1y 元和2y 元，已知1y 、2y 关于x 的函数图像分别为如图所示的折线OAB 和射线OC .（1）当x 的取值为_______时，在甲乙两家店所花的钱一样多？ （2）当x 的取值为_______时，在乙店批发比较便宜？（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB 的表达式，并写出定义域.第21题图BCA第22题图23.（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，四边形ABCD 中，DB BC ⊥,DB 平分ADC ∠，点E 为边CD 的中点，AB BE ⊥.（1）求证：2BD AD DC =⋅;（2）联结AE ，当BD BC =时，求证：ABCE 为平行四边形.E 第23题图CABD如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线1x =,与x 轴的一个交点为(1,0)A -，顶点为B ，点(5,)C m 在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1）求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2）联结AB ，求B ∠的正切值；（3）点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当CGM 与ABE 相似时，求点M 的坐标.第24题图已知：以O 为圆心的扇形AOB 中，=90AOB ∠︒，点C 为 AB 上一动点，射线AC 交射线OB 于点D ，过点D 作OD 的垂线交射线OC 于点E ，联结AE . （1）如图1，当四边形AODE 为矩形时，求ADO ∠的度数； （2）当扇形的半径长为5，且6AC =时，求线段DE 的长；（3）联结BC ，试问：在点C 运动的过程中，BCD ∠的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.（图1）（图2）OO EE第25题图ADCDAB CB。

上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第2425题

上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第2425题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16(1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得122m=±．此时P(122,0)+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE＝x，EHEM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH∽△ECM．图2 图3（2）如图3，延长BG交AD于N．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．在Rt△ABN中，AB＝6，所以AN＝AB tan∠1＝34AB＝92，BN＝152．如图2，由AD//BC，得92 AH ANEH BE x==．由△ABH∽△ECM，得68AH ABEM EC x==-．所以y＝EHEM＝AH AHEM EH÷＝6982x x÷-＝12729xx-．定义域是0＜x＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE⊥CD，联结DE，使得∠EDC＝∠A，联结BE．（1）求证：AC·BE＝BC·AD；（2）设AD＝x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S△BDE＝14S△ABC时，求tan∠BCE的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得BC EC AC DC=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S＝S四边形BDCE＝S△BDC＋S△BEC＝6276540x x-+＝21640x-+．定义域是0＜x＜5．（3）如图3，由△ACD∽△BCE，得AC BCAD BE=，∠A＝∠CBE．由43x BE=，得BE＝34x．由∠A＝∠CBE，∠A与∠ABC互余，得∠ABE＝90°（如图4）．所以S△BDE＝1133(5)(5) 2248BD BE x x x x⋅=-⨯=--．当S△BDE＝14S△ABC＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x--=，得x＝1，或x＝4．图4 图5 图6 作DH⊥AC于H．①如图5，当x＝AD＝1时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝35，AH＝45AD＝45．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝416455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝316．②如图6，当x＝AD＝4时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝125，AH＝45AD＝165．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝164455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝3．综合①、②，当S△BDE＝14S△ABC时，tan∠BCE的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3．由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)． S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BO BF CO ==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H．设AD EF x AB AF ==． （1）当x＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDH EBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点．因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2． （2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EF x AG AF==． 所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ．因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ．因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ．所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON的面积为332，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN边上的高为3．当S△DON＝332时，DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝42，BC ＝25，AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ． 由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝42＝32． 因此sin ∠ACB ＝BH BC ＝3225＝310．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得341m ±=． 图2 所以点P 的横坐标m ＝341+．如图1，已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝1 2．点D在AC边的延长线上，且DB2＝DC·DA．（1）求DCCA的值；（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G．①如图2，当CE＝3BC时，求BFFG的值；②如图3，当CE＝BC时，求BCDBEGSS△△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E运动，可以体验到，当CE＝3BC 时，BD//AE，BG是直角三角形ABE斜边上的中线．当CE＝BC时，△ABF≌△BEH，AF ＝2EH＝4CF．满分解答（1）如图1，由DB2＝DC·DA，得DB DADC DB=．又因为∠D是公共角，所以△DBC∽△DAB．所以DB BC CDDA AB BD==．又因为tan∠BAC＝BCAB＝12，所以12CD BD=，12BD DA=．所以14CD DA=．所以13DCCA=．（2）①如图4，由△DBC∽△DAB，得∠1＝∠2．当BF⊥CA时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DCCA=，当CE＝3BC时，得DC BCCA CE=．所以BD//AE．所以13BDEA=，∠2＝∠E．所以∠3＝∠E．所以GB＝GE．于是可得G B是Rt△ABE斜边上的中线．所以23BDGA=．所以23BF BDFG GA==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x ≤555-． 定义域中x ＝555-的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE x GB HBx x===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C 为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时，或者点P落在以BC为直径的圆上时，△PCB是直角三角形．满分解答（1）将B(3, 0)、C(0,－3)分别代入y＝x2＋bx＋c，得930,3.b cc++=⎧⎨=-⎩．解得b＝－2，c＝－3．所以二次函数的解析式为y＝x2－2x－3．（2）如图2，如果四边形POP′C为菱形，那么PP′垂直平分OC，所以y P＝32 -．解方程23 232x x--=-，得2102x±=．所以点P的坐标为2103(,)22+-．图2 图3 图4 （3）由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝(x－1)2－4，得A(－1, 0)，顶点M(1,－4)．在Rt△AOC中，OA∶OC＝1∶3．分两种情况讨论△PCB与△AOC相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB＝BC＝3，tan∠BDC＝12，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H．（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE＝x，CM＝y，求y关于x 的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）联结GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半．还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直．满分解答（1）在Rt△BCD中，BC＝3，tan∠BDC＝BCDC＝12，所以DC＝6，DB＝35．如图2，当点F是线段BH的中点时，DF垂直平分BH，所以DH＝DB＝35．此时CH＝DB－DC＝356．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH与∠CDE都是∠BHD的余角，所以∠CBH＝∠CDE．由tan∠CBH＝tan∠CDE，得CH CECB CD=，即336CH x-=．又因为CH//AB，所以CH MCAB MA=，即332CHy=+．因此3632xy-=+．整理，得32(3)3xyx-=+．x的取值范围是0＜x＜3．（3）如图4，不论点E在BC上，还是在BC的延长线上，都有12BG ABGD DC==，12CH CE=．①如图5，如果GF⊥BC于P，那么AB//GF//DH．所以13BP PF BGBC CH BD===．所以BP＝1，111(3)366PF CH CE x===-．由PF//DC，得PF PEDC CE=，即12(3)(3)363xxx---=-．整理，得242450x x-+=．解得21611x=±．此时21611BE=-．②如图6，如果GF⊥DC于Q，那么GF//BE．所以23QF DQ DGCE DC DB===．所以DQ＝4，2(3)3QF x=-．由QF//BC，得QF QHBC CH=，即21(3)2(3)3213(3)2x xx---=-．整理，得223450x x--=．解得3341x±=．此时3341BE+=．图4 图5 图6如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A(－3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，抛物线的顶点为M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，△COP与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1）将A(－3,0)、C(0,－3)分别代入y＝ax2＋2ax＋c，得960,3.a a cc-+=⎧⎨=-⎩解得a＝1，c＝－3．（2）由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得顶点M的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN⊥y轴于N．由A(－3,0)、C(0,－3)、M(－1,－4)，可得OA＝OC＝3，NC＝NM＝1．所以∠ACO＝∠MCN＝45°，AC＝32，MC＝2．所以∠ACM＝90°．因此tan∠MAC＝MCAC＝13．（3）由y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，得B(1, 0)．所以AB＝4．如图3，在△COP与△ABC中，∠OCP＝∠BAC＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC=时，332CP=．解得22CP=．此时点P的坐标为(－2,－1)．当CP ACCO AB=时，323CP=．解得924CP=．此时点P的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DE CG 的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形． 满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ． 因此2DE DB CG CB==．图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DB GB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE 236x +所以y ＝EG ＝22BE 22362x +2272x +． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE＝2CG ，所以 x ＝AE ＝AD －DE ＝62CG -．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==． 所以113622442CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==． 所以2212622555CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ：如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面22GB CB EB DB ==，另一方面2cos 452HB GB =︒=，所以GB HB EB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝EN 2x ． 又因为CG 22)x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝32所以y ＝EG ＝22EN GN +＝222()(32)2x +＝2272x +． 如图10，第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ，也可以求斜边EG ＝y ：由于CG ＝2DE ＝2(6)x -，所以CP ＝GP ＝2CG ＝1(6)2x -＝132x -． 所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -． 所以y ＝EG ＝22GQ EQ +＝2211(3)(3)22x x ++-＝2272x +．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值；（2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=． （2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)． 因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3． （3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CA x CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答 （1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CA x PD CP ===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CA x PD CP==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AH BH＝3，所以BH ＝x ． 设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m x x m -=-． 整理，得81x m x =-． 所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC中，BA＝10x，cos∠ABC＝10，BC＝81xx-．①如图4，当BA＝BC时，解方程8101xxx=-，得41105x=+．②如图5，当AB＝AC时，BC＝2BH．解方程821xxx=-，得x＝5．③如图6，当CA＝CB时，由cos∠ABC＝10，得1102AB BC=．解方程11081021xxx⨯=⨯-，得135x=．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝32，∠ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)． 如图4，当CD BC CB BA =时，32432=．解得92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠BCD＝45°，AD＝3，BC＝9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE＝∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G．（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG＝2时，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG＝2存在两种情况，对应的DE也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么MN＝AD＝3．在Rt△ABM中，BM＝3，∠B＝45°，所以AM＝3，AB＝32．在Rt△AMC中，AM＝3，MC＝6，所以CA＝35．如图4，由AD//BC，得∠1＝∠2．又因为∠APE＝∠B，当E、D重合时，△APD∽△CBA．所以AP CBAD CA=．因此335AP=．解得此时AP＝95．（2）如图5，设（1）中E、D重合时点P的对应点为F．因为∠AFD＝∠APE＝45°，所以FD//PE．所以AF ADAP AE=，即95353x y=+．因此53y x=-．定义域是95＜x≤35．图3 图4 图5（3）如图6，因为35CA =，95AF =，所以65FC =． 由DF //PE ，得21332FP DG FC DC ===．所以25FP =． 由DF //PE ，95259552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB ＝22，抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB ＝22B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO ＝2，BA ＝BC 10BD ＝32如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )101322x y==+-．图2 图3当点E在射线BA上时，∠EBO＝∠DBC．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD=时，102232=．解得2103BE=．此时1013222103x y==+-．解得x＝43-，y＝0．所以E4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC=时，322210=．解得6105BE=．此时1013622105x y==+-．解得x＝45-，y＝85-．所以E48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ＝90°－12∠BAD．设A、P两点间的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设AEPE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝12∠BAD．因为∠BEQ＝90°－12∠BAD，所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt△ABH中，AB＝5，BH＝4，所以AH＝3．所以tan∠BEQ＝tan∠ABH＝34．图2（2）如图3，由于∠BEQ＝∠ABH，∠BEQ＝∠AEP，∠ABH＝∠ADH，所以∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A是公共角，所以△BEF∽△ABF．如图4，因为∠DBP是公共角，所以△BEF∽△BDP．所以△ABF∽△BDP．所以AB BDBF DP=．因此585BF x=-．所以5(5)8BF x=-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x=-=--=+．如图5，因为∠DAF是公共角，所以△AEP∽△ADF．所以5401539(539)8AE ADyPE FD xx====++．定义域是0≤x≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP：①当EP＝EA时，由于△AEP∽△ADF，所以DF＝DA＝5（如图6）．此时BF＝3，HF＝1．作QM⊥BD于M．在Rt△BMQ中，∠QBM＝60°，设BQ＝m，那么12BM m=，3QM m=．在Rt△FMQ中，132FM m=-，tan∠MFQ＝tan∠HF A＝3，所以QM＝3FM．解方程313(3)2m m=-，得BQ＝m＝933-．②如图7，当AE＝AP时，E与B重合，P与D重合，此时Q与B重合，BQ＝0．③不存在PE＝P A的情况，因为∠P AE＞∠P AH＞∠AEP．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝42，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似： ①当CM AB CO AC =时，442CM =．解得32CM =．此时M (－3, 1)（如图3）． ②当CM AC CO AB =时，4246CM =．解得823CM =．此时M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ． 在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =． 解方程22442(1)333x x x -++=-，得5x =±．所以F 454(5,)-．图2 图3 图4。

2016杨浦初三数学三模

2016杨浦初三数学三模

杨浦区2015学年度第二学期初三模拟测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2016.5一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列分数中，能化为有限小数的是（A ）31; （B ）51; （C ）71; （D ）91. 2.下列运算正确的是 （A ）2a a a =+; （B ）322a a a =•; （C ）a a a =÷23; （D ）532)(a a =.3.如果12)21(2-=-a a ，那么（A ）21<a ; （B ）21≤a ; （C ）21>a ; （D ）21≥a . 4.下列一组数据：—2、—1、0、1、2的平均差和方差分别是（A ）0和2; （B ）0和2; （C ）0和1; （D ）0和0.5.下列四个命题中，真命题是（A ）矩形的对角线平分对角; （B ）菱形的对角线互相垂直平分;（C ）梯形的对角线互相垂直; （D ）平行四边形的对角线相等.6.如果圆O 是ABC ∆的外接圆，BC AC =，那么下列四个选项中直线l 必经过圆心O 的是（A ）AB l ⊥; （B ）AB l 平分; （C ）C l ∠平分; （D ）⋂AB l 平分.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.用代数式表示实数)0(>a a 的平方根： .8.在实数范围内因式分解：=+-2232xy y x x . 9.已知方程231122=---x x x x ，如果设12-=x x y ，那么原方程转化为关于y 的整式方程为 . 10.一次函数b kx y +=的图像如图所示，则当x 的取值范围是 时，能使0>+b kx .11.某公司承担了制作600个道路交通指引标记的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务。

如果设原计划x 天完成，那么根据题意，可以列出的方程是： .12.一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为 .13.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为 .14.已知a AB =，b AC =，那么=BC （用向量a ，b 的式子表示）15.已知：在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BC DE //，DB AD 2=，6=BC ，那么=DE . 16.a 的值应该是 .17.将等边沿着射线BC 方向平移，点A 、B 、C 分别落在点D 、E 、F 处，如果点E 恰好是BC 边的中点，那么AFE ∠的正切值是 .18.如图，在ABC ∆中，AB=AC=10，BC=12，点P 为BC 边上一动点，如果以P 为圆心，BP 为半径的圆P 与以AC 为直径的圆O 相交，那么点P 离开点B 的距离BP 的取值范围是 .（第10题图） （第18题图）三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 先化简，再求值：21416222+----+x x x x ，其中23-=x . 20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+-=.42,322y xy x xy21.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点)2,5(-A 向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO ，点C 在线段AO 上，且AC ：CO=2:3，反比例函数xk y =的图像经过点C ，与边AB 交于点D 。

上海各区初三数学一模卷

上海各区初三数学一模卷

上海各区初三数学一模卷Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT2016学年上海市杨浦区初三一模数学试卷一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A. 2:1 B. 2:3 C. 3:1 D. 3:22. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ）A. 100tan αB. 100cot αC. 100sin αD. 100cos α3. 将抛物线22(1)3y x =-+向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ） A. 22(1)5y x =-+ B. 22(1)1y x =-+ C. 22(1)3y x =++ D. 22(3)3y x =-+4. 在二次函数2y ax bx c =++中，如果0a >，0b <，0c >，那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 5. 下列命题不一定成立的是（ ）A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B. 两个等腰直角三角形相似C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D. 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似6. 在△ABC 和△DEF 中，40A ︒∠=，60D ︒∠=，80E ︒∠=，AB FDAC FE=，那么B ∠的度数是（ ）A. 40︒B. 60︒C. 80︒D. 100︒ 二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 线段3cm 和4cm 的比例中项是 cm 8. 抛物线22(4)y x =+的顶点坐标是9. 函数2y ax =(0)a >中，当0x <时，y 随x 的增大而10. 如果抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠过点(1,2)-和(4,2)，那么它的对称轴是 11. 如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，:1:3DE BC =，那么:EF AB 的值为12. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，如果2BC AD =，那么:ADC ABC S S ∆∆的值为13. 如果两个相似三角形的面积之比是9:25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形中与之相对应的中线长是 cm 14. 如果3a b c +=，2a b c -=，那么a = （用b 表示） 15. 已知α为锐角，tan 2cos30α︒=，那么α= 度16. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P 处出发，走了13米到达M 处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是1:i =17. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图像时，列出了如下表格：那么该二次函数在0x =时，y =18. 如图，△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，BD AC ⊥于点D ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么EFD ∠的正切值是 三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 如图，已知△ABC 中，点F 在边AB 上，且25AF AB =，过A 作AG ∥BC交CF 的延长线于点G ；（1）设AB a =，AC b =，试用向量a 和b 表示向量AG ； （2）在图中求作向量AG 与AB 的和向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20. 已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)B -和点(2,3)C ；（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点(2,1)--，试确定平移的方向和平移的距离.21. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ABD C ∠=∠，4AD =，9BC =，锐角DBC ∠的正弦值为23；（1）求对角线BD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积.22. 如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A 处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B 处的货轮发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C 处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到与客轮相逢所用的时间.23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、G 分别在边AB 、BC 上，ACD B ∠=∠，AG 与CD 相交于点F ； （1）求证：2AC AD AB =⋅；（2）若AD DFAC CG=，求证：2CG DF BG =⋅；24. 在直角坐标系xOy 中，抛物线2443y ax ax a =-++(0)a <的顶点为D ，它的对称轴与x 轴交点为M ； （1）求点D 、点M 的坐标；（2）如果该抛物线与y 轴的交点为A ，点P 在抛物线上，且AM ∥DP ，2AM DP =，求a 的值；25. 在Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC BC ==，点P 为边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），点P 关于直线AC 、AB 的对称点分别为M 、N ，联结MN 交边AB 于点F ，交边AC 于点E ；（1）如图，当点P 为边BC 的中点时，求M ∠的正切值；（2）联结FP ，设CP x =，MPF S y ∆=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AM ，当点P 在边BC 上运动时，△AEF 与△ABM 是否一定相似若是，请证明；若不是，试求出当△AEF 与△ABM 相似时CP 的长；参考答案一. 选择题1. D2. B3. D4. C5. C6. B 二. 填空题7. (4,0)- 9. 减小 10.32x =11. 23 12. 1213. 20 14. 45b15. 60 16. 2.4 17. 3 18. 12三. 解答题19.（1）2233AG a b =-；（2）略；20.（1）223y x x =-++；（2）向上平移4个单位； 21.（1）6BD =；（2）26； 22.2t =；23.（1）略；（2）略；24.（1）(2,3)D 、(2,0)M ；（2）32a =-或12a =-；25.（1）13；（2）344x x y -=(02)x <<；（3）相似；2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分）一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果y x 32=，那么下列各式中正确的是（ ）（A ）32=y x ； （B ）3=-y x x ； （C ）35=+y y x ； （D ）52=+y x x ． 2．如果一斜坡的坡比是4.2:1，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ） （A ）512； （B ）125； （C ）135； （D ）1312． 3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是2)1(2-=x y ，那么原抛物线的表达式是（ ）（A ）2)3(22--=x y ； （B ）2)3(22+-=x y ； （C ）2)1(22-+=x y ； （D ）2)1(22++=x y ．4．在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，联结DE ，那么下列条件中不能判断ADE ∆和ABC ∆相似的是( ) （A ）BC DE //； （B ）B AED ∠=∠；（C ）ACABAD AE =； （D ） BCACDE AE =． 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是︒60，那么此时飞机与监测点的距离是( )（A ）6000米； （B ）31000米； （C ）32000米； （D ）33000米．6．已知二次函数3422-+-=x x y ，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( ) （A ）1≥x ；（B ）0≥x ； （C ）1-≥x ； （D ）2-≥x ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9=a ，4=c ，如果线段b 是c a 、的比例中项，那么=b _____．8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，B =b，那么=AC ____．9．如图1，EF CD AB ////，如果2=AC ，5.5=AE ，3=DF ，那么=BD ____．10．如果两个相似三角形的对应中线比是2:3，那么它们的周长比是_____． 11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点)(BP AP >，那么请你写出一个关于线段、、BP AP AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：____(答案不唯一)．12．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，如果4=CD ，3=BD ，那么A ∠的正弦值是______．13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1=DE ，那么=AF ______．14．已知抛物线ax ax y 42-=与x 轴交于点B A 、，顶点C 的纵坐标是2-，那么=a ______．15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果4:3:=BC AB ，那么AB 的长是______．16．在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC 、相交于O ，如果ACD BOC ∆∆、的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是______．17．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，5=AC ，3=BC ，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC ∆ 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是______． 18．如图3，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP的值是______．三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：130cos 45tan 45cot 30cot 60sin 2-︒︒+︒-︒-︒．20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）将抛物线442+-=x x y 沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点D C B 、、坐标；（2）BCD ∆的面积．21．（本题共2小题，每题5分，满分10分）如图4，已知梯形ABCD 中，BC AD //，4=AB ，3=AD ，AC AB ⊥，AC 平分DCB ∠，过点D 作AB DE //，分别交BC AC 、于E F 、，设AB a =，=b．求：（1）向量DC （用向量a 、b 表示）；（2）B tan 的值．图F A BCDE 图ABCDA B C D EF图1图AB CD EF22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图5，一艘海轮位于小岛C 的南偏东︒60方向、距离小岛120海里的A 处，该海轮从A 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东︒45方向的B 处．（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（结果保留根号）； （2） 如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到小时）．（参考数据：41.12≈，73.13≈）．23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）如图6，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，B DAB ∠=∠，点E 在边AC 上，满足CE AD CD AE ⋅=⋅． （1）求证：AB DE //；（2）如果点F 是DE 延长线上一点，且BD 是DF 和AB 的比例中项，联结AF ．求证：AF DF =．图6AD E24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）如图7，已知抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E ．（1）求点D 的坐标；（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值；（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM ∆和ABC ∆相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分）如图8，已知ABC ∆中，3==AC AB ，2=BC ，点D 是边AB 上的动点，过点D 作BC DE //，交边AC 于点E ，点Q 是线段DE 上的点，且DQ QE 2=，联结BQ 并延长，交边AC 于点P ．设x BD =，y AP =．（1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）当PEQ ∆是等腰三角形时，求BD 的长；（3）联结CQ ，当CQB ∠和CBD ∠互补时，求x 的值．2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案初三数学 试卷BA C备用图图8Q PDBACE（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．如果y x 32=，那么下列各式中正确的是（ B ） （A ）32=y x ； （B ）3=-y x x ； （C ）35=+y y x ； （D ）52=+y x x ． 2．如果一斜坡的坡比是4.2:1，那么该斜坡坡角的余弦值是（ D ） （A ）512； （B ）125； （C ）135； （D ）1312． 3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是2)1(2-=x y ，那么原抛物线的表达式是（ C ）（A ）2)3(22--=x y ； （B ）2)3(22+-=x y ； （C ）2)1(22-+=x y ； （D ）2)1(22++=x y ．4．在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，联结DE ，那么下列条件中不能判断ADE ∆和ABC ∆相似的是( D ) （A ）BC DE //； （B ）B AED ∠=∠；（C ）ACABAD AE =； （D ） BCAC DE AE =．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是︒60，那么此时飞机与监测点的距离是( C )（A ）6000米； （B ）31000米； （C ）32000米； （D ）33000米．6．已知二次函数3422-+-=x x y ，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( A ) （A ）1≥x ； （B ）0≥x ； （C ）1-≥x ； （D ）2-≥x ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9=a ，4=c ，如果线段b 是c a 、的比例中项，那么=b __6___．8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，B C =b，那么=AC __b a-__．9．如图1，EF CD AB ////，如果2=AC ，5.5=AE ，3=DF ，那么=BD __712__． 10．如果两个相似三角形的对应中线比是2:3，那么它们的周长比是__2:3___．11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点)(BP AP >，那么请你写出一个关于线段、、BP AP AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：__ AB BP AP ⋅=2__(答案不唯一)．12．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，如果4=CD ，3=BD ，那么A ∠的正弦值是___53___．13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1=DE ，那么=AF ___49___．14．已知抛物线ax ax y 42-=与x 轴交于点B A 、，顶点C 的纵坐标是2-，那么=a ___21___． 15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果4:3:=BC AB ，那么AB 的长是___473___． 16．在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC 、相交于O ，如果ACD BOC ∆∆、的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是___16___．17．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，5=AC ，3=BC ，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC ∆ 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是___52___． 18．如图3，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP的值是___13392___．三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分； 满分78分）图FA B C DE图ABCDA B C D EF图119．（本题满分10分）解：原式123113232-+--⨯=232133-++-=332--= 20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）解：（1）由题意，得新抛物线的解析式为542--=x x y ，∴可得)5,0(-C 、)9,2(-D ；令0=y ，得0542=--x x ，解得11-=x 、52=x ；∴点B 坐标是)0,5(．（2）过点D 作y DA ⊥轴，垂足为A ． ∴ADC BOC AOBD BCD S S S S ∆∆∆--=梯形552142219)52(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=15=． 21．（本题共2小题，每题5分，满分10分）解：（1）∵BC AD //∴ACB DAC ∠=∠；又AC 平分DCB ∠∴ACB DCA ∠=∠；∴DCA DAC ∠=∠；∴DC AD =；∵AB DE //，AC AB ⊥，可得AC DE ⊥；∴CF AF =；∴CE BE =．∵BC AD //，AB DE //，∴四边形ABED 是平行四边形；∴AB DE =；∴=DE a AB =，=b 2121=；∴b a21+=．（2）∵ACB DCF ∠=∠，︒=∠=∠90BAC DFC ；∴DFC ∆∽BAC ∆；∴21==CA CF BC DC ；又3==AD CD ，解得6=BC ；在BAC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，∴52462222=-=-=AB BC AC ；∴25452tan ===AB AC B ． 22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分） 解：（1）过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ．由题意，得︒=∠30ACD ；在ACD Rt ∆中，︒=∠90ADC ，∴ACCDACD =∠cos ； ∴3602312030cos =⨯=︒⋅=AC CD （海里）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=∠90BDC ，︒=∠45DCA ，∴BCCDBCD =∠cos ； ∴4.14644.2606602236045cos =⨯≈==︒=CD BC （海里）；∴3.732.7204.146≈=÷（小时）．答：该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离是360海里；它从B 处到达小岛C 的航行时间约为3.7小时．23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分） 23．证明：（1）∵CE AD CD AE ⋅=⋅，∴CDADCE AE =；∵B DAB ∠=∠，∴BD AD =；∴CDBDCE AE =；∴AB DE //． （2）∵BD 是DF 和AB 的比例中项，∴AB DF BD ⋅=2；又BD AD =，∴AB DF AD ⋅=2；∴ADABDF AD =； ∵AB DE //，∴BAD ADF ∠=∠；∴ADF ∆∽DBA ∆；∴1==BDADDF AF ；∴AF DF =．24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）解：（1）∵抛物线32++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；又抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ，解得2=b ；∴322++-=x x y ；∴)4,1(D ．（2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴︒=∠45DCy ；∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ；∴3223cot ===∠DC BC DBC ． （3）由322++-=x x y ，可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中，3==CDBCAO CO ， ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠； 又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠，∴︒=∠=∠45OCB E ； 当EBM ∆和ABC ∆相似时，已可知CBA E ∠=∠；又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；由题意，得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ．∴18)33()3(22=++-x x ，解得561-=x ，02=x （舍去）；∴点M 的坐标是)53,56(--．25．（本题满分14分）解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ．∴21==QE DQ PE DF ；又BC DE //，∴1==ABACBD EC ； ∴x BD EC ==；y x PE --=3；∵AC DF //，∴AB BD AP DF =；即323x y y x =--，∴3239+-=x xy ；定义域为：30<<x ．（2）∵BC DE //，∴PEQ ∆∽PBC ∆；Q PD BACEF∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形；︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2； 即)3(34y -=，解得35=y ，∴353239=+-x x ，解得1912==x BD ； ︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴13239=+-x x ，56==x BD ； ︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合，不合题意．（3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ；又CQB ∠和CBD ∠互补，∴︒=∠+∠180CBD CQB ；∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =， ∴四边形BCED 是等腰梯形；∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠；又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ∆∽QEC ∆；∴EC DQ QE BD =：即222x DQ =，∴2x DQ =，23xDE =； ∵BC DE //，∴AB ADBC DE =；即33223x x -=； 解得 7324254-=x ．2016学年上海市长宁区、金山区初三一模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在平面直角坐标系中，抛物线()212y x =--+的顶点坐标是（ ） A. （-1，2） B. （1，2） C. （2，-1） D. （2，1） 2.在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，那么A ∠的正弦值是（ ）A. 34B.43C. 35D. 453.如图，下列能判断BC ED ∥的条件是（ ） A. ED AD BC AB = B. ED AEBC AC =C.AD AE AB AC = D. AD ACAB AE=4.已知1O 与2O 的半径分别是2和6，若1O 与2O 相交，那么圆心距12O O 的取值范围是（ ）A. 2<12O O <4 <12O O <6 C. 4<12O O <8 D. 4<12O O <10 5.已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（ ）A. 如果a b =，那么a b =；B. 如果a b =-，那么a b ∥C. 如果a b ∥，那么a b =；D. 如果a b =-，那么a b =6.已知等腰三角形的腰长为6cm ，底边长为4cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D.不能确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果()340x y x =≠，那么xy=__________. 8. 已知二次函数221y x x =-+，那么该二次函数的图像的对称轴是__________. 9. 已知抛物线23y x x c =++于y 轴的交点坐标是（0，-3），那么c =__________.10. 已知抛物线2132y x x =--经过点（-2，m ），那么m =___________.11. 设α是锐角，如果tan 2α=，那么cot α=___________.第3题图DEABC12. 在直角坐标平面中，将抛物线22y x =先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是__________. 13. 已知A 的半径是2，如果B 是A 外一点，那么线段AB 长度的取值范围是__________.14. 如图，点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ，GE AB ∥交BC 与E ，若6AB =，那么GE =___________.15. 如图，在地面上离旗杆BC 底部18米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为30°，已知测角仪AD 的高度为米，那么旗杆BC 的高度为_________米.OBA第17题图第16题图第15题图第14题图GEDC DCAACD EB16. 如图，1O 与2O 相交于A B 、两点，1O 与2O 的半径分别是112O O =2，那么两圆公共弦AB 的长为___________.17. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 交于O 点，:1:2DO BO =，点E 在CB 的延长线上，如果:=1:3AOD ABE S S ∆∆，那么:BC BE =_________. 18. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.BAC第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分）19 . （本题满分10分）计算：21tan 45sin 30tan 30cos60cot 303sin 45︒︒⋅︒-︒⋅︒+︒20.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 如图，在ABC ∆中，D 是AB 中点，联结CD . （1）若10AB =且ACD B ∠=∠，求AC 的长.（2）过D 点作BC 的平行线交AC 于点E ，设DE a =，DC b =，请用向量a 、b 表示AC 和AB （直接写出结果）BA第20题图D21.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分） 如图，ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，D 经过点B ，与BC 交于点E ，与AB 交与点F .已知1tan 2A =，3cot 4ABC ∠=，8AD =.求（1）D 的半径；（2）CE的长.第21题图B22.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分） 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AB CD ∥，坝顶宽DC 为6米，坝高DG 为2米，迎水坡BC 的坡角为30°，坝底宽AB 为（）米. （1）求背水坡AD 的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB 的宽度.H G N M D FEBA C第22题图23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 如图，已知正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，联结AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG BE ∥且与AE 交于点G. （1）求证：=GF BF .（2）在BC 边上取点M ，使得BM BE =，联结AM 交DE 于点O .求证：FO ED OD EF ⋅=⋅24.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系中，抛物线22y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），且与y 轴正半轴交于点C ，已知A （2，0） （1）当B （-4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O 为坐标原点，抛物线的顶点为P ，当tan 3OAP ∠=时，求此抛物线的解析式；（3）O 为坐标原点，以A 为圆心OA 长为半径画A ，以C 为圆心，12OC 长为半径画圆C ，当A 与C 外切时，求此抛物线的解析式.DBGEFCA第23题图第24题图25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）已知ABC ∆，5AB AC ==，8BC =，PDQ ∠的顶点D 在BC 边上，DP 交AB 边于点E ，DQ 交AB 边于点O 且交CA 的延长线于点F （点F 与点A 不重合），设PDQ B ∠=∠，3BD =. （1）求证：BDE CFD ∆∆∽；（2）设BE x =，OA y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当AOF∆是等腰三角形时，求BE 的长.D 第25题备用图OQPD FE第25题图B C A2017年崇明县初三数学一模试卷一、选择题：1.如果）均不为，（0y x 3y 5x =，那么y x ：的值是（ ）；35.A ;53.B 83.C 85.D2.在ABC R △t 中，,13,1290∠==°=BC AC A ，那么B tan 的值是（ ）125.A 512.B 1312.C 135.D 3.抛物线23x y =向上平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）)0,2-.(A )-2,0.(B )0,2.(C )2,0.(D4.设),2(),,1(),y -2(321y C y B A ，是抛物线a )1x (y 2++=上的三点，那么321y y y ，，的大小关系为（ ）321y y y .＞＞A 231y y B.y ＞＞ 123y y y .＞＞C 213y y y .＞＞D5.如图，给出下列条件：①；ACD B ∠∠=②;∠∠ACB ADC =③BC AB CD AC =④,2AB AD AC •=其中不能判定ACD ABC ～△△的条件为（ ）①.A ②.B ③.C ④.D6.如图，圆O 过点C B 、，圆心O 在等腰直角三角形ABC 内部，,6,190∠==°=BC OA BAC ，那么圆O 的半径为（ ）13.A 132.B 23.C 32.D二、填空题7.如果)b -a 2(3b a =+，用a 表示b ，那么b =8.如果两个相似三角形的对应高之比为21：，那么他们的对应中线的比为9.已知线段AB 的长度为4，C 是线段AB 的黄金分割点，且CB CA ＞那么CA 的长度为 ___10.如图，，∥∥FC BE AD 他们依次交直线21l l 、于点C B A 、、和点，、、F E D 如果2,7.53AB DF BC ==,那么DE 的长为11．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，那么PQ为m.12．如果两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为3cm，那么两圆的位置关系是；13．如果一个圆的内接正六边形的周长为36，那么这个圆的半径为；14．如果一条抛物线的顶点坐标为(2,1)-，并过点(0,3)，那么这条抛物线的解析式为；15．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如果在坡度为1:2的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 m.16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（O∠的值∠）为60，A，B，C都在格点上，那么tan ABC是；17．如图，O 的半径是4，ABC ∆是O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，G ，连接EF ，如果1OG =，那么EF为 ；18．如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为 ；三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算： 2sin 30cot 602sin 453tan 60⋅+-20．（本题10分，第一小题6分，第二小题4分）如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE BC ∥，12AD BD =，DA a =，DC b =. （1）请用a 、b 来表示DE ；（2）在原图中求作向量DE 在a 、b 方向上的分向量.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)21. (本题满分10分)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为︒37 旗杆底部B 的俯角为︒45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面25.2米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升（参考数据：60.037sin ≈︒,80.037cos ≈︒,75.037tan ≈︒）22. (本题满分10分)如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，且EF DE 2=，ABC ∆中，边BC 的长度为cm 12，高AH 为cm 8 ，求矩形DEFG 的面积.23. (本题满分12分，其中每小题各6分)如图，在Rt ABC 中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，M 是CD 边上一点，BM DH ⊥于点H ，DH 的延长线交AC 的延长线于点E .求证：（1）AED ∆∽CBM ∆；（2）CD AC CM AE ⋅=⋅.24.(本题满分12分，其中每小题各4分)在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点)3,0(A ，与x 轴的正半轴交于点)0,5(B ，点D 在线段OB 上，且1=OD ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转︒90.得到线段DE ，过点E 作直线x l ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F .（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求EDF ∠cot 的值；（3）点G 在直线l 上，且︒=∠45EDG ，求点G 的坐标.25. (本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分)在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，23cot =A ，26=AC ，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F ，联结BD .（1）求证：BCCE CD PC =； （2）若x PE =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长.参考答案6..A7.53a 8.1:2 9.252 12.内含14.()221y x =-- . 15.253153105 19.56 20（1）.2133DE a b =+ （2）略 米/秒 平方厘米23.略 24.（1）2312355y x x =-++ （2）2 （3）（4，6）或34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 25.（1）略（2)24(04)2x x y x +=<≤ (3)4或42017年上海市宝山区初三数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．第9题图第10题图第12题图10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为．18．如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═，那么CF：DF═．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．20．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设=， =，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB的高．22．直线l：y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m 的解析式，并根据函数图象指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．23．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．24．如图，二次函数y=ax2﹣x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B 出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向故选：A．6．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限故选C．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b，则=．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为1：16．9．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中AC是AD和AB的比例中项．10．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=．11．计算：2（+3）﹣5=2+．12．如图，G为△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长为8．13．二次函数y=5（x﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是y=5（x﹣2）2+2．14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2．15．已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+的图象上两点，则y1＞y2．（填不等号）16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=1：．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．。

上海市杨浦区2016学年度第二学期初三二模数学模拟试卷

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2016学年度第二学期初三质量调研 数 学 试 卷 2017.4（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知线段c b a ,,，求线段x ，使abcx =，下列正确的是……………………（ ▲ ）（A ）（B ） （C ）（D ）2．下列函数解析式是二次函数的是………………………………………………（ ▲ ）（A ））（321-222++=x x y ；（B ）2x y =； （C ）c bx ax y ++=2；（D ）21xy =． 3．下列单项式中，与b a 2是同类项的是…………………………………………（ ▲ ） （A ）b a 22；（B ）22b a ； （C ）2ab ；（D ）ab 3．4名队员的年龄如下表所示：则这12名队员年龄的众数和中位数分别是…………………………………（ ▲ ） （A ）2，19； （B ）18，19； （C ）2,，19.5； （D ）18，19.5． 5．如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且⊙O 的半径长为1，若线段AB 与⊙O 有公共点时m 的取值范围……………………（ ▲ ）（A ）320≤≤m（B ）40≤≤m ； （C ）3321≤≤m ；（D ）41≤≤m ．a ba bx cAB DD ．O6．下列结论中不正确的一项是……………………………………………………（ ▲ ） （A ）方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数；（B ）一组数据1x ，2x ……n x 都减去a 后的平均数为m ，方差为n ，则这组数据的平均数为m a +，方差为n ；（C ）若数据2，6，4，x ，5的中位数为5，则x 可取5，6，7； （D ）一组数据中有2个1x ，3个2x ，4个3x ，则9432321x x x x ++=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：︒-︒30cot 60sin = ▲ .8．不等式组：213(1)552x x x x ->-⎧⎪⎨-<+⎪⎩的解集是 ▲ ．9．如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．10．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是 ▲ .11．如果AB //CD ，23AB CD =，AB 与CD 的方向相反，那么AB = ▲ CD． 12．在⊙O 中，半径长为2cm ，若直线l 与⊙O 相交，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ .13．在⊙O 中，弦AB 长16cm ，圆心到AB 的距离为6cm ，则此圆的弓高为 ▲ . 14．在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么ADE 的面积与ABC 的面积的值是 ▲ ．15．抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是 ▲ ．16．如果1(1,)A y -，2(2,)B y -是二次函数2+y x m =图像上的两个点，那么y 1 ▲ y 2． 17．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是 ▲ . 18．在⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于半径AO 的中点E ，且∠DEB=135°，直径AB=8，则CD= ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：0112)()6cos30|3-︒++-；20．（本题满分10分） 解方程：253111x x x -+=-+；21．（本题满分10分）如图，在⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，过点C 任作两条弦CF 、CE ，交AB 于点H 、G ，求证：GHCGEF CF =．22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）（3）小题各3分）如图，线段AB ，CD 分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量1y （升）、2y （升）关于行驶时间x （小时）的函数图像． （1）写出图中线段CD 上点M 的坐标及其表示的实际意义； （2）求出客车行驶前油箱内的油量；（3）求客车行驶1小时所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量．( 第22题图 )x （小时）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，Rt △ABC 和 Rt △CDE 中，∠ABC =∠CDE =90︒，且BC 与CD 共线，联结AE ，点M 为AE 中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H ． （1）求证：MB =MD ；（2）当AB =BC ，DC =DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形．A B CD E GH M24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，2），联结AC ，若tan ∠OAC=2．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=6，BC=4，∠ABD=∠C ，P 是CD 上的一个动点（P 不与点C 、D 重合）且满足∠BPE=∠C ，交BD 于点E ． （1）求证：△BCP 与△PDE 是相似形；（2）如果CP=x ，BE=y ，求y 与x 之间的函数关系式.；（3）P 点在运动过程中，△BPE 能否成为等腰三角形，若能，求x 的值；若不能，说明理由． （第24题图）2016学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷 答 案 2017.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． B ； 2． B ； 3． A ； 4． B ； 5． C ； 6． A ； 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 8.523x -<<； 9.3≠x ；10. m ＜－4； 11.32-；12.d ≤0＜2cm ； 13.4cm 或16cm ； 14.41；15.直线x=1；16.<；17.18＜r ＜25或1＜r ＜8；18.214；三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：420．（本题满分10分） 解：3=x21．（本题满分10分） 证明：略。

杨浦区2015学年度初三质量调研数学试卷答案 2016

杨浦区2015学年度初三质量调研数学试卷答案 2016

杨浦区2015学年度初三质量调研数学试卷答案2016.4一、选择题1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．C 二、填空题7．-1；8b 等； 9．4m =； 10．2x ≠；11．4； 12．14； 13．1233a b -+ ；14．2.4； 15．0.05；16．2y x=等；17．65；18 三、解答题19．解：原式=1+3+6-（8分）=（2分） 20．解：由213(1)x x ->-，得2x <.-----------------------------------------------（3分）由552x x -<+，得53x >-.------------------------------------------------------------（3分） 所以不等式组的解集为523x -<<.---------------------------------------------------（2分）其非负整数解为0和1.------------------------------------------------------------------（2分） 21. （1）证明：∵∠ACB =90°，N 为AB 的中点，D 为BN 中点，∴1122CN AB CD BM ==，.-----------------------------------------（1分，1分) ∴12CN CD AB BM ==，即CN CD AB BM=.-----------------------------------------（1分) （2）解：联结ND ，∵N 、D 分别为AB 、BM 的中点，∴ND =12AM .-------（1分)∵12CN CD AB MB ==，∴CN CD ND AB MB AM ==.∴△CND ∽△BAM .---------------------（1分) ∴∠NCD =∠ABM . -------------------------------------------------------------------------（1分)作MH ⊥AB 于H ，∵∠A =30°，∴设MH =k ，则AM =2k ，AH .------------（1分)∴AC =2AM =4k ，AB =cos AC A =.---------------------------------------------------（1分)∴BH AB AH =-==.--------------------------------------------（1分)∴cot ∠ABM =BH MH =.----------------------------------------------------------------（1分)22． 解：（1）设y 关于x 函数解析式为y =kx (k ≠0)，--------------------------------（1分） 则600=20k ，得k =30.-----------------------------------------------------------------（1分） 所以y =30x （0<x ≤20）. --------------------------------------------------------------（2分） （2）因为前18分钟内的平均速度与后8分钟内的平均速度之比为2:3，所以设前18分钟内的平均速度为2v ，后8分钟内的平均速度3v .--------（1分） 则21838600v v ⨯+⨯=.--------------------------------------------------------------（2分）解得v =10.--------------------------------------------------------------------------------（1分） 所以，前18分钟内的平均速度为20米/分，行走的路程=360米.----------（1分） 所以，点C 的纵坐标为240.---------------------------------------------------------（1分） 23．证明：（1）∵DC //AB ，∴∠A +∠ADE =180°.-----------------------------------（1分）∵∠A =90°，∴∠ADE =90°.-------------------------------------------------------（1分） ∵纸片沿过点D 的直线翻折，点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ， ∴△ADF ≌△EDF . ∴∠A =∠DEF =90°.且AD =ED .--------------（1分，1分） ∴四边形ADEF 为矩形. -----------------------------------------------------------（1分） ∵AD =ED ，∴矩形ADEF 为正方形.-----------------------------------------（1分） (2) 联结DG ，∵DC //AB ，BG =CD , ∴四边形DCBG 为平行四边形.∴CB =DG .------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵四边形ADEF 为正方形，∴∠A =∠EF A =90°，AD =EF . ∵AG =GF ，∴△DAG ≌△EFG .∴DG =EG .∴CB =EG .----------------------------------------------------------------------------（3分） ∵BG =CD =CE +DE ，∴BG CE >，即BG ≠CE .∵DC //AB ，∴四边形GBCE 为梯形. -------------------------------------------（1分） ∵CB =EG ，∴梯形GBCE 为等腰梯形. ----------------------------------------（1分） 24．解：（1）∵283y ax ax =-+的对称轴是直线x =4,----------------------------（1分）∴B (4，0)，A （0，3）. ∴AB =5.---------------------------------------------------（1分） ∵AB =BD ，且0a <，∴D (4，5).---------------------------------------------------（1分） 将点D 的坐标代入283y ax ax =-+，解得18a =-.∴抛物线的表达式是2138y x x =-++.--------------------------------------------（1分） （2）过点P 作PH ⊥BD 于点H ，∵DP //AB ，∴∠BDP =∠ABD .∵BD //y 轴，∴∠OAB =∠ABD . ∴∠BDP =∠OAB .-----------------------------（1分）∴4tan tan 3PH BDP OAB DH =∠=∠=. ∴设PH =4k ,DH =3k , 0k >,由于点P 在x =4的右侧，∴P 点坐标为（4+4k ,5-3k ）.∵点P 在抛物线上，∴215-3(44)(44)38k k k =-++++.---------------------（1分）整理得2230k k -=，∴30(2k k ==，或舍）.------------------------------------（1分）∴P (101，2).---------------------------------------------------------------------------------（1分）（3）情况一：点G 在x 轴下方，记为1G , ∵点1G 在直线BD 上, ∴∠ABD =∠BA 1G +∠A 1G B , ∵∠A 1G B =12∠ABD ，∴∠BA 1G =∠A 1G B . ∴AB =B 1G ，∵AB =5，∴B 1G =5.--------------------------------------------------------（1分） ∴1154102ABG S ∆=⨯⨯=.-------------------------------------------------------------------（1分） 情况二：点G 在x 轴上方，记为2G ,作AF ⊥BD 于点F ，取2G ，使21G F GF =，∴21AG AG =.∴∠1AG B =∠A 2GB . ∵∠A 1G B =12∠ABD ，∴∠A 2G B =12∠ABD .∴点2G 符合题意. ∵B 1G =5，A （0，3），∴F 1G =8.∴F 2G =8.∴FB =11.---------------------------------（1分）∴21114222ABG S ∆=⨯⨯=.--------------------------------------------------------------------（1分） 25．解：（1）过C 作CE ⊥AB 于点E ，联结CO ,则CO =BO =3.∵tan B =BE =a ， CE =. ∴CB =3a . -------------------------------------（1分） ∴在△COE 中，222OC OE EC =+即229(3)8a a =-+.------------------------------------（1分） ∴23a =.-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴32CB a ==.----------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）方法一：∵△MBC 与△MOC 相似，∠M =∠M ，∴MC MO COMB MC BC==. ∵BC =2,OC =3，∴23MC MB =.-----------------------------------------------------------------------（1分） ∴设MC =2x ，MB =3x ，∴2(3)2(23)x x x =+，解得65x =,∴MC =185, MB =125.------（2分）作OH ⊥DC 于点H , ∵O 为圆心，CD 是弦，∴CH =DH .------------------------------------（1分） 设CH =k ，则在Rt △MHO 中，222OM MH OH =+. 即2221218(3)()9k k +=++-，解得1k =，∴CD =2CH =2. ------------------------------（1分）（3）方法一：延长ON 交BC 的延长线于点G ，过点G 作GQ ⊥AB 于点Q ，∵ON 平分∠DOB ，∴∠GOB =∠GOD .∵OD //BC ，∴∠G =∠GOD .∴∠GOB =∠G .∴GB =OB =3.∵CB =2，∴GC =1.------------------------------------------------------------------------------------（1分）在△GOB 中，∵tan B =GB =3，∴GQ =BQ =1.∴OQ =2，∴OG =.------------------------------------------------------------------------------（2分）∵BC //OD , ∴GC GN DO NO =,即GC OG ONDO NO-=.------------------------------------------------（1分）∴1=,∴ON =.-----------------------------------------------------------------（1分）。

上海各区初三数学一模卷

上海各区初三数学一模卷

2016学年上海市杨浦区初三一模数学试卷一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A. 2:1 B. 2:3 C. 3:1 D. 3:22. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ）A. 100tan αB. 100cot αC. 100sin αD. 100cos α3. 将抛物线22(1)3y x =-+向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ）A. 22(1)5y x =-+B. 22(1)1y x =-+C. 22(1)3y x =++D. 22(3)3y x =-+4. 在二次函数2y ax bx c =++中，如果0a >，0b <，0c >，那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题不一定成立的是（ ）A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B. 两个等腰直角三角形相似C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D. 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似6. 在△ABC 和△DEF 中，40A ︒∠=，60D ︒∠=，80E ︒∠=，AB FD AC FE=，那么B ∠的度数是（ ）A. 40︒B. 60︒C. 80︒D. 100︒二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 线段3cm 和4cm 的比例中项是 cm8. 抛物线22(4)y x =+的顶点坐标是9. 函数2y ax =(0)a >中，当0x <时，y 随x 的增大而10. 如果抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠过点(1,2)-和(4,2)，那么它的对称轴是11. 如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，:1:3DE BC =，那么:EF AB 的值为12. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，如果2BC AD =，那么:ADC ABC S S ∆∆的值为13. 如果两个相似三角形的面积之比是9:25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形中与之相对应的中线长是 cm14. 如果3a b c +=，2a b c -=，那么a = （用b 表示）15. 已知α为锐角，tan 2cos30α︒=，那么α= 度16. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P 处出发，走了13米到达M 处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是1:i =17. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图像时，列出了如下表格：那么该二次函数在0x =时，y =18. 如图，△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，BD AC ⊥于点D ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么EFD ∠的正切值是三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 如图，已知△ABC 中，点F 在边AB 上，且25AF AB =，过A 作AG ∥BC 交CF 的延长线于点G ；（1）设AB a =，AC b =，试用向量a 和b 表示向量AG ；（2）在图中求作向量AG 与AB 的和向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20. 已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)B -和点(2,3)C ；（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点(2,1)--，试确定平移的方向和平移的距离.21. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，ABD C ∠=∠，4AD =，9BC =，锐角DBC∠的正弦值为23；（1）求对角线BD 的长；（2）求梯形ABCD 的面积. 22. 如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A 处时向位于南偏西30°方向且相距12海里的B 处的货轮发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C 处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到与客轮相逢所用的时间.23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、G 分别在边AB 、BC 上，ACD B ∠=∠，AG 与CD相交于点F ；（1）求证：2AC AD AB =⋅；（2）若AD DF AC CG=，求证：2CG DF BG =⋅； 24. 在直角坐标系xOy 中，抛物线2443y ax ax a =-++(0)a <的顶点为D ，它的对称轴与x轴交点为M ；（1）求点D 、点M 的坐标；（2）如果该抛物线与y 轴的交点为A ，点P 在抛物线上，且AM ∥DP ，2AM DP =，求a的值；25. 在Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC BC ==，点P 为边BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），点P 关于直线AC 、AB 的对称点分别为M 、N ，联结MN 交边AB 于点F ，交边AC 于点E ；（1）如图，当点P 为边BC 的中点时，求M ∠的正切值；（2）联结FP ，设CP x =，MPF S y ∆=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AM ，当点P 在边BC 上运动时，△AEF 与△ABM 是否一定相似？若是，请证明；若不是，试求出当△AEF 与△ABM 相似时CP 的长；参考答案一. 选择题1. D2. B3. D4. C5. C6. B二. 填空题7. (4,0)- 9. 减小 10.32x = 11. 23 12. 1213. 20 14. 45b 15. 60 16. 2.4 17. 3 18. 12三. 解答题19.（1）2233AG a b =-；（2）略； 20.（1）223y x x =-++；（2）向上平移4个单位；21.（1）6BD =；（2）26；22.2t =；23.（1）略；（2）略；24.（1）(2,3)D 、(2,0)M ；（2）32a =-或12a =-； 25.（1）13；（2）344x x y -=(02)x <<；（3）相似；2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分）一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如果y x 32=，那么下列各式中正确的是（ ）（A ）32=y x ； （B ）3=-y x x ； （C ）35=+y y x ； （D ）52=+y x x ． 2．如果一斜坡的坡比是4.2:1，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）（A ）512； （B ）125； （C ）135； （D ）1312． 3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是2)1(2-=x y ，那么原抛物线的表达式是（ ）（A ）2)3(22--=x y ； （B ）2)3(22+-=x y ；（C ）2)1(22-+=x y ； （D ）2)1(22++=x y ．4．在A B C ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，联结DE ，那么下列条件中不能判断ADE ∆和ABC ∆相似的是( )（A ）BC DE //； （B ）B AED ∠=∠；（C ）AC AB AD AE =； （D ） BCAC DE AE =． 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是︒60，那么此时飞机与监测点的距离是( )（A ）6000米； （B ）31000米； （C ）32000米； （D ）33000米．6．已知二次函数3422-+-=x x y ，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( )（A ）1≥x ； （B ）0≥x ； （C ）1-≥x ； （D ）2-≥x ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9=a ，4=c ，如果线段b 是c a 、的比例中项，那么=b _____．8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，B =b ，那么=____．9．如图1，EF CD AB ////，如果2=AC ，5.5=AE ，3=DF ，那么=BD ____．10．如果两个相似三角形的对应中线比是2:3，那么它们的周长比是_____．11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点)(BP AP >，那么请你写出一个关于线段、、BP APAB 之间的数量关系的等式，你的结论是：____(答案不唯一)．12．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，如果4=CD ，3=BD ，那么A ∠的正弦值是______．13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1=DE ，那么=AF ______．14．已知抛物线ax ax y 42-=与x 轴交于点B A 、，顶点C 的纵坐标是2-，那么=a ______．15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果4:3:=BC AB ，那么AB 的长是______．16．在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC 、相交于O ，如果ACD BOC ∆∆、的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是______．17．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，5=AC ，3=BC ，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC ∆ 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是______．18．如图3，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP 的值是______． 三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：130cos 45tan 45cot 30cot 60sin 2-︒︒+︒-︒-︒． 20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）将抛物线442+-=x x y 沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点D C B 、、坐标；（2）BCD ∆的面积． 21．（本题共2小题，每题5分，满分10分）如图4，已知梯形ABCD 中，BC AD //，4=AB ，3=AD ，AC AB ⊥，AC 平分DCB ∠，过点D 作AB DE //，分别交BC AC 、于E F 、，设AB a =，=b ．求：（1）向量（用向量a 、b 表示）；（2）B tan 的值．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图5，一艘海轮位于小岛C 的南偏东︒60方向、距离小岛120海里的A处，该海轮从A 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东︒45方向的B 处． （1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（结果保留根号）；（2） 如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：41.12≈，73.13≈）． 23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12图F A B C D E 图2 A B C D A BCD EF图1 图4 A B C D E F如图6，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，B DAB ∠=∠，点E 在边AC 上，满足 CE AD CD AE ⋅=⋅．（1）求证：AB DE //；（2）如果点F 是DE 延长线上一点，且BD 是DF 和AB 的比例中项，联结AF ．求证：AF DF =．24．（本题共3小题，每题4分，满分12分） 如图7，已知抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E ．（1）求点D 的坐标；（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值； （3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM ∆和ABC ∆相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分）如图8，已知ABC ∆中，3==AC AB ，2=BC ，点D D 作BC DE //，交边AC 于点E ，点Q 是线段DE 上的DQ QE 2=，联结BQ 并延长，交边AC 于点P ．设x BD =y AP =． （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当PEQ ∆是等腰三角形时，求BD 的长；（3）联结CQ ，当CQB ∠和CBD ∠互补时，求x 的值．BA C 备用图 图8 QPD B A CE图6 AB C E2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷及答案初三数学 试卷 2017.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果y x 32=，那么下列各式中正确的是（ B ）（A ）32=y x ； （B ）3=-y x x ； （C ）35=+y y x ； （D ）52=+y x x ． 2．如果一斜坡的坡比是4.2:1，那么该斜坡坡角的余弦值是（ D ）（A ）512； （B ）125； （C ）135； （D ）1312． 3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是 2)1(2-=x y ，那么原抛物线的表达式是（ C ）（A ）2)3(22--=x y ； （B ）2)3(22+-=x y ；（C ）2)1(22-+=x y ； （D ）2)1(22++=x y ．4．在A B C ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，联结DE ，那么下列条件中不能判断ADE ∆和ABC ∆相似的是( D )（A ）BC DE //； （B ）B AED ∠=∠；（C ）AC AB AD AE =； （D ） BCAC DE AE =． 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是︒60，那么此时飞机与监测点的距离是( C )（A ）6000米； （B ）31000米； （C ）32000米； （D ）33000米．6．已知二次函数3422-+-=x x y ，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是( A )（A ）1≥x ； （B ）0≥x ； （C ）1-≥x ； （D ）2-≥x ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9=a ，4=c ，如果线段b 是c a 、的比例中项，那么=b __6___．8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，B =b ，那么=__b a -__．9．如图1，EF CD AB ////，如果2=AC ，5.5=AE ，3=DF ，那么=BD __712__． 10．如果两个相似三角形的对应中线比是2:3，那么它们的周长比是__2:3___．11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点)(BP AP >，那么请你写出一个关于线段、、BP APAB 之间的数量关系的等式，你的结论是：__ AB BP AP ⋅=2__(答案不唯一)．12．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，如果4=CD ，3=BD ，那么A ∠的正弦值是___53___． 13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1=DE ，那么=AF ___49___． 14．已知抛物线ax ax y 42-=与x 轴交于点B A 、，顶点C 的纵坐标是2-，那么=a ___21___． 15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果4:3:=BC AB ，那么AB 的长是___473___． 16．在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC 、相交于O ，如果ACD BOC ∆∆、的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是___16___．17．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，5=AC ，3=BC ，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC ∆ 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是___52___．18．如图3，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP 的值是___13392___． 三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分； 满分78分）19．（本题满分10分）解：原式123113232-+--⨯=232133-++-=332--= 20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）解：（1）由题意，得新抛物线的解析式为542--=x x y ，∴可得)5,0(-C 、)9,2(-D ；令0=y ，得0542=--x x ，解得11-=x 、52=x ；∴点B 坐标是)0,5(．（2）过点D 作y DA ⊥轴，垂足为A ．图F A B C D E 图2 A BC D A BC D E F 图1∴ADC BOC AOBD BCD S S S S ∆∆∆--=梯形552142219)52(21⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=15=． 21．（本题共2小题，每题5分，满分10分） 解：（1）∵BC AD //∴ACB DAC ∠=∠；又AC 平分DCB ∠∴ACB DCA ∠=∠；∴DCA DAC ∠=∠；∴DC AD =；∵AB DE //，AC AB ⊥，可得AC DE ⊥；∴CF AF =；∴CE BE =． ∵BC AD //，AB DE //，∴四边形ABED 是平行四边形；∴AB DE =； ∴=DE a AB =，=EC b BC 2121=；∴b a DC 21+=． （2）∵ACB DCF ∠=∠，︒=∠=∠90BAC DFC ；∴DFC ∆∽BAC ∆；∴21==CA CF BC DC ；又3==AD CD ，解得6=BC ； 在BAC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，∴52462222=-=-=AB BC AC ； ∴25452tan ===AB AC B ． 22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分） 解：（1）过点C 作AB CD ⊥，垂足为D ．由题意，得︒=∠30ACD ；在ACD Rt ∆中，︒=∠90ADC ，∴ACCD ACD =∠cos ； ∴3602312030cos =⨯=︒⋅=AC CD （海里）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=∠90BDC ，︒=∠45DCA ，∴BC CD BCD =∠cos ； ∴4.14644.2606602236045cos =⨯≈==︒=CD BC （海里）； ∴3.732.7204.146≈=÷（小时）．答：该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离是360海里；它从B 处到达小岛C 的航行时间约为3.7小时．23．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）23．证明：（1）∵CE AD CD AE ⋅=⋅，∴CDAD CE AE =；∵B DAB ∠=∠，∴BD AD =； ∴CDBD CE AE =；∴AB DE //． （2）∵BD 是DF 和AB 的比例中项，∴AB DF BD ⋅=2；又BD AD =，∴AB DF AD ⋅=2；∴ADAB DF AD =； ∵AB DE //，∴BAD ADF ∠=∠；∴ADF ∆∽DBA ∆；∴1==BD AD DF AF ；∴AF DF =．24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）解：（1）∵抛物线32++-=bx x y 与y 轴交于点C ，∴)3,0(C ；又抛物线32++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），∵OC OB =；∴)0,3(B ；∴0339=++-b ，解得2=b ；∴322++-=x x y ；∴)4,1(D ．（2）∵OC OB =，∴︒=∠=∠45OBC OCB ； ∵)3,0(C ，)4,1(D ，∴︒=∠45DCy ；∴︒=︒⨯-︒=∠90452180DCB ；∴3223cot ===∠DC BC DBC ． （3）由322++-=x x y ，可得)0,1(-A ．在AOC ∆和BCD ∆中，3==CDBC AO CO ， ︒=∠=∠90DCB AOC ，∴AOC ∆∽BCD ∆，∴CBD ACO ∠=∠；又CBD E OCB ACO ACB ∠+∠=∠+∠=∠，∴︒=∠=∠45OCB E ；当EBM ∆和ABC ∆相似时，已可知CBA E ∠=∠；又点M 在线段CA 延长线上，EBA ACB ∠=∠，∴可得ACB EMB ∠=∠； ∴23==BC MB ；由题意，得直线AC 的表达式为33+=x y ；设)33,(+x x M ．∴18)33()3(22=++-x x ，解得561-=x ，02=x （舍去）；∴点M 的坐标是)53,56(--． 25．（本题满分14分）解：（1）过点D 作AC DF //．交BP 于点F ． ∴21==QE DQ PE DF ；又BC DE //，∴1==AB AC BD EC ； ∴x BD EC ==；y x PE --=3； ∵AC DF //，∴AB BD AP DF =；即323x y y x =--，∴3239+-=x x y ；定义域为：30<<x ．（2）∵BC DE //，∴PEQ ∆∽PBC ∆；∴当PEQ ∆是等腰三角形时，PBC ∆也是等腰三角形；︒1当BC PB =时，ABC ∆∽PBC ∆；∴AC CP BC ⋅=2；即)3(34y -=，解得35=y ，∴353239=+-x x ，解得1912==x BD ； ︒2当2==BC PC 时，1==y AP ；∴13239=+-x x ，56==x BD ； Q PD BA CE F︒3当PB PC =时，点P 与点A 重合，不合题意．（3）∵BC DE //，∴︒=∠+∠180CBD BDQ ；又CQB ∠和CBD ∠互补，∴︒=∠+∠180CBD CQB ；∴BDQ CQB ∠=∠；∵CE BD =，∴四边形BCED 是等腰梯形；∴CED BDE ∠=∠；∴CED CQB ∠=∠；又CED ECQ CQB DQB ∠+∠=∠+∠，∴ECQ DQB ∠=∠；∴BDQ ∆∽QEC ∆；∴EC DQ QE BD =：即222x DQ =，∴2x DQ =，23x DE =； ∵BC DE //，∴AB AD BC DE =；即33223x x -=； 解得 7324254-=x ． 2016学年上海市长宁区、金山区初三一模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在平面直角坐标系中，抛物线()212y x =--+的顶点坐标是（ ）A. （-1，2）B. （1，2）C. （2，-1）D. （2，1）2.在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，那么A ∠的正弦值是（ ） A. 34 B.43 C. 35 D. 45 3.如图，下列能判断BC ED ∥的条件是（ ） A. ED AD BC AB = B. ED AE BC AC = C. AD AE AB AC = D. AD AC AB AE= 4.已知1O 与2O 的半径分别是2和6，若1O 与2O 相交，那么圆心距12O O 的取值范围是（ ）A. 2<12O O <4B.2<12O O <6C. 4<12O O <8D. 4<12O O <105.已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（ ）A. 如果a b =，那么a b =；B. 如果a b =-，那么a b ∥第3题图D E ABCC. 如果a b ∥，那么a b =；D. 如果a b =-，那么a b =6.已知等腰三角形的腰长为6cm ，底边长为4cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D.不能确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 如果()340x y x =≠，那么x y=__________. 8. 已知二次函数221y x x =-+，那么该二次函数的图像的对称轴是__________.9. 已知抛物线23y x x c =++于y 轴的交点坐标是（0，-3），那么c =__________.10. 已知抛物线2132y x x =--经过点（-2，m ），那么m =___________. 11. 设α是锐角，如果tan 2α=，那么cot α=___________.12. 在直角坐标平面中，将抛物线22y x =先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是__________. 13. 已知A 的半径是2，如果B 是A 外一点，那么线段AB 长度的取值范围是__________. 14. 如图，点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ，GE AB ∥交BC 与E ，若6AB =，那么GE =___________.15. 如图，在地面上离旗杆BC 底部18米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为30°，已知测角仪AD 的高度为1.5米，那么旗杆BC 的高度为_________米.16. 如图，1O 与2O 相交于A B 、两点，1O 与2O 的半径分别是1，12O O =2，那么两圆公共弦AB 的长为___________.17. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 交于O 点，:1:2DO BO =，点E 在CB 的延长线上，如果:=1:3AOD ABE S S ∆∆，那么:BC BE =_________.18. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19 . （本题满分10分）计算：21tan 45sin 30tan 30cos60cot 303sin 45︒︒⋅︒-︒⋅︒+︒20.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在ABC ∆中，D 是AB 中点，联结CD .（1）若10AB =且ACD B ∠=∠，求AC 的长.（2）过D 点作BC 的平行线交AC 于点E ，设DE a =，DC b =，请用向量a 、b 表示AC 和AB （直接写出结果）21.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，ABC ∆中，CD AB ⊥于点D ，D 经过点B ，与BC 交于点E ，与AB 交与点F .已知1tan 2A =，3cot 4ABC ∠=，8AD =.求（1）D 的半径；（2）CE 的长. 22.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AB CD ∥，坝顶宽DC 为6米，坝高DG 为2米，迎水坡BC 的坡角为30°，坝底宽AB 为（.（1）求背水坡AD 的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB 的宽度.23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，联结AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG BE ∥且与AE 交于点G.（1）求证：=GF BF .（2）在BC 边上取点M ，使得BM BE =，联结AM 交DE 于点O .求证：FO ED OD EF ⋅=⋅24.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系中，抛物线22y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），且与y 轴正半轴交于点C ，已知A （2，0）（1）当B （-4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O 为坐标原点，抛物线的顶点为P ，当tan 3OAP ∠=时，求此抛物线的解析式；（3）O 为坐标原点，以A 为圆心OA 长为半径画A ，以C 为圆心，12OC 长为半径画圆C ，当A 与C 外切时，求此抛物线的解析式.25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）已知ABC ∆，5AB AC ==，8BC =，PDQ ∠的顶点D 在BC 边上，DP 交AB 边于点E ，DQ 交AB 边于点O 且交CA 的延长线于点F （点F 与点A 不重合），设PDQ B ∠=∠，3BD =.（1）求证：BDE CFD ∆∆∽；（2）设BE x =，OA y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当AOF ∆是等腰三角形时，求BE 的长.2017年崇明县初三数学一模试卷一、选择题：1.如果）均不为，（0y x 3y 5x =，那么y x ：的值是（ ）2.在ABC R △t 中，,13,1290∠==°=BC AC A ，那么B tan 的值是（ ）3.抛物线23x y =向上平移2个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）4.设),2(),,1(),y -2(321y C y B A ，是抛物线a )1x (y 2++=上的三点，那么321y y y ，，的大小关系为（ ）5.如图，给出下列条件：①；ACD B ∠∠=②;∠∠ACB ADC =③BC AB CD AC =④,2AB AD AC •=其中不能判定ACD ABC ～△△的条件为（ ）6.如图，圆O 过点C B 、，圆心O 在等腰直角三角形ABC 内部，,6,190∠==°=BC OA BAC ，那么圆O 的半径为（ ）二、填空题 7.如果)b -a 2(3b a =+，用a 表示b ，那么b =8.如果两个相似三角形的对应高之比为21：，那么他们的对应中线的比为9.已知线段AB 的长度为4，C 是线段AB 的黄金分割点，且CB CA ＞那么CA 的长度为 ___10.如图，，∥∥FC BE AD 他们依次交直线21l l 、于点C B A 、、和点，、、F E D 如果2,7.53AB DF BC ==,那么DE 的长为11．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与直线PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R .如果QS =60m ，ST =120m ，QR =80m ，那么PQ 为 m .12．如果两圆的半径分别为2cm 和6cm ，圆心距为3cm ，那么两圆的位置关系是 ；13．如果一个圆的内接正六边形的周长为36，那么这个圆的半径为 ；14．如果一条抛物线的顶点坐标为(2,1)-，并过点(0,3)，那么这条抛物线的解析式为 ；15．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m .如果在坡度为1:2的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为 m.16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（O ∠）为60，A ，B ，C 都在格点上，那么tan ABC ∠的值是 ；17．如图，O 的半径是4，ABC ∆是O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，G ，连接EF ，如果1OG =，那么EF 为 ；18．如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为 ；三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算： 2sin 30cot 602sin 45⋅+20．（本题10分，第一小题6分，第二小题4分） 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE BC ∥，12AD BD =，DA a =，DC b =. （1）请用a 、b 来表示DE ； （2）在原图中求作向量DE 在a 、b 方向上的分向量.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)21. (本题满分10分)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为︒37 旗杆底部B 的俯角为︒45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面25.2米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：60.037sin ≈︒,80.037cos ≈︒,75.037tan ≈︒）22. (本题满分10分)如图，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，且EF DE 2=，ABC ∆中，边BC 的长度为cm 12，高AH 为cm 8 ，求矩形DEFG 的面积. 23. (本题满分12分，其中每小题各6分)如图，在Rt ABC 中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，M 是CD 边上一点，BM DH ⊥于点H ，DH 的延长线交AC 的延长线于点E .求证：（1）AED ∆∽CBM ∆；（2）CD AC CM AE ⋅=⋅.24.(本题满分12分，其中每小题各4分)在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点)3,0(A ，与x 轴的正半轴交于点)0,5(B ，点D 在线段OB 上，且1=OD ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转︒90.得到线段DE ，过点E 作直线x l ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F .（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求EDF ∠cot 的值；（3）点G 在直线l 上，且︒=∠45EDG ，求点G 的坐标.25. (本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分) 在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，23cot =A ，26=AC ，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F，联结BD .（1）求证：BC CE CD PC =； （2）若x PE =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长.参考答案1.B2.B3.D4.C5.C6..A7.53a 8.1:2 9.2 10.3 11.120 12.内含 13.614.()221y x =-- .15.19.56 20（1）.2133DE a b =+23.略 24.（1）2312355y x x =-++ （2）2 （3）（4，6）或34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 25.（1）略（2)24(04)2x x y x +=<≤ (3)4或4 2017年上海市宝山区初三数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（ ）A ．sinA=B ．cosA=C ．tanA=D ．cotA=2．如果C 是线段AB 的黄金分割点C ，并且AC ＞CB ，AB=1，那么AC 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．3．二次函数y=x 2+2x+3的定义域为（ ）A ．x ＞0B ．x 为一切实数C ．y ＞2D ．y 为一切实数4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（ ）A ．的模为3B ．与的模之比为﹣3：1C ．与平行且方向相同D ．与平行且方向相反5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）A ．南偏西30°方向B ．南偏西60°方向C ．南偏东30°方向D ．南偏东60°方向6．二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b ，则= ．8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为 ．9．如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠ABC 时，那么图中 是AD 和AB 的比例中项．第9题图 第10题图 第12题图10．如图，△ABC 中∠C=90°，若CD ⊥AB 于D ，且BD=4，AD=9，则tanA= ．11．计算：2（+3）﹣5= ．12．如图，G 为△ABC 的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG 的长为 ．13．二次函数y=5（x ﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是 ．14．如果点A （1，2）和点B （3，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 的图象上，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 ．15．已知A （2，y 1）、B （3，y 2）是抛物线y=﹣（x ﹣1）2+的图象上两点，则y 1 y 2．（填不等号） 16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i= ．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax 2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a 、b 、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a 、b 、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为 ．18．如图，D 为直角△ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥AB 交AC 于E ，如果△AED 沿DE 翻折，A恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC ═8，tanA ═，那么CF ：DF ═ ．三、解答题：（本大题共7小题，满分78分）19．计算：﹣cos30°+0．20．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ∥BC ，且DE=BC ．（1）如果AC=6，求CE 的长；（2）设=， =，求向量（用向量、表示）．21．如图，AB 、CD 分别表示两幢相距36米的大楼，高兴同学站在CD 大楼的P 处窗口观察AB 大楼的底部B 点的俯角为45°，观察AB 大楼的顶部A 点的仰角为30°，求大楼AB 的高．22．直线l ：y=﹣x+6交y 轴于点A ，与x 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线m 与x 轴的另一个交点为C ，（C 在B 的左边），如果BC=5，求抛物线m 的解析式，并根据函数图象指出当m 的函数值大于0的函数值时x 的取值范围．23．如图，点E 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），作EF ⊥AC 交边BC 于点F ，联结AF 、BE 交于点G ．（1）求证：△CAF ∽△CBE ；（2）若AE ：EC=2：1，求tan ∠BEF 的值．24．如图，二次函数y=ax 2﹣x+2（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E的坐标．25．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF 中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．2017年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知∠A=30°，下列判断正确的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=故选：A．2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．故选：C．3．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A．x＞0 B．x为一切实数C．y＞2 D．y为一切实数故选B4．已知非零向量、之间满足=﹣3，下列判断正确的是（）A．的模为3 B．与的模之比为﹣3：1C．与平行且方向相同D．与平行且方向相反故选：D．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（ ）A ．南偏西30°方向B ．南偏西60°方向C ．南偏东30°方向D ．南偏东60°方向故选：A ．6．二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限故选C ．二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．已知2a=3b ，则= ． 8．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为 1：16 ．9．如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，如果∠ACD=∠ABC 时，那么图中 AC 是AD 和AB 的比例中项．10．如图，△ABC 中∠C=90°，若CD ⊥AB 于D ，且BD=4，AD=9，则tanA= ．11．计算：2（+3）﹣5= 2+ ．12．如图，G 为△ABC 的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG 的长为 8 ．13．二次函数y=5（x ﹣4）2+3向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是 y=5（x ﹣2）2+2 ．14．如果点A （1，2）和点B （3，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 的图象上，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2 ．15．已知A （2，y 1）、B （3，y 2）是抛物线y=﹣（x ﹣1）2+的图象上两点，则y 1 ＞ y 2．（填不等号） 16．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i= 1：2.4 ．17．数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax 2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a 、b 、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a 、b 、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为 （2，﹣1） ．18．如图，D 为直角△ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥AB 交AC 于E ，如果△AED 沿DE 翻折，A恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC ═8，tanA ═，那么CF ：DF ═ 6：5 ．解：∵DE ⊥AB ，tanA ═，∴DE=AD ，∵Rt △ABC 中，AC ═8，tanA ═，。

上海市杨浦区中考数学一模试卷

上海市杨浦区中考数学一模试卷

2017年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题(本大题共６题,每题4分，满分２4分）1．(４分)如果延长线段AB到C,使得,那么AC：AB等于（)A.2:1 Ｂ．2：3ﻩC．３：1 D.3:２2．（４分）在高为1０0米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α,那么楼底到该目标的水平距离是（)A．10０tanαﻩB.100coｔαﻩC．1０0sinαﻩD．１00cosα3.(4分）将抛物线y=2（ｘ﹣1)2＋3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为(）A.ｙ=2(x﹣１)2+5ﻩB.y=2(x﹣１）2+1ﻩＣ．y=2(x+１）2+3 D.y=2（x﹣3)２+3４．（4分)在二次函数y＝aｘ2+bx+c中，如果a>0,ｂ<０，c>0，那么它的图象一定不经过( ）A.第一象限B.第二象限ﻩC．第三象限ﻩD.第四象限５.（4分)下列命题不一定成立的是（)Ａ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B.两个等腰直角三角形相似C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似Ｄ.各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似6.（4分）在△ABC和△DEF中，∠Ａ＝40°，∠Ｄ=60°，∠Ｅ=8０°，，那么∠B的度数是（）Ａ.40°B．60°C.８０°ﻩD．10０°二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分４8分)７.(４分）线段3cm和4cm的比例中项是cm．8.（4分)抛物线ｙ=2（ｘ+4)２的顶点坐标是．9.(４分）函数y＝ax2（a>０）中，当x<0时，y随x的增大而.1０.（4分）如果抛物线y=aｘ２＋bx+c(a≠0）经过点(﹣1，2）和(4，２)，那么它的对称轴是直线.11.（4分）如图,△AＢC中，点D、E、F分别在边ＡＢ、AC、BC上,且DＥ∥BC,E Ｆ∥AＢ，DＥ:BC＝1:3,那么EＦ：AＢ的值为.1２．（４分)如图,在梯形ABCＤ中，AD∥BC，AＣ与BD相交于点Ｏ,如果BC=2ＡＤ,那么S△ADＣ：Ｓ△ABC的值为.13．(4分)如果两个相似三角形的面积之比是9：2５，其中小三角形一边上的中线长是12ｃm，那么大三角形对应边上的中线长是ｃｍ.14．(4分）如果+=３，2﹣=，那么=(用表示)．１5．（４分）已知α是锐角,tanα=２cos30°，那么α=度.1６.（4分)如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发,走了1３米到达M 处,此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1:.17.（４分）用“描点法”画二次函数ｙ=ax2+bx+ｃ（a≠0)的图象时，列出了如下表格:x…12 3 4…ｙ=ａｘ2＋ｂｘ+ｃ…0﹣１03…那么该二次函数在x=0时，y=．18.(4分)如图，△ABC中，AB＝ＡC＝5，BＣ=6，BＤ⊥AC于点D,将△ＢCD绕点Ｂ逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等,如果点Ｃ、D旋转后分别落在点Ｅ、F的位置，那么∠EＦD的正切值是．三、解答题（本大题共7题,满分７８分）19．（１０分)如图,已知△ABＣ中，点F在边AB上，且AＦ=ＡB、过A作ＡG ∥ＢC交CF的延长线于点G．(1)设=,=,试用向量和表示向量;（2)在图中求作向量与的和向量.(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)20．(10分)已知抛物线y＝﹣x2+ｂx＋c经过点Ｂ（﹣1，0）和点C（2,３）. (1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1)，试确定平移的方向和平移的距离.21.（１0分）已知：如图,梯形ABＣD中，AD∥BC，∠ABD=∠C,AD＝4，BC=9,锐角∠DBＣ的正弦值为.求：(１)对角线BD的长;(2）梯形AＢCD的面积．22.（１0分）如图,某客轮以每小时1０海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西3０°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时１４海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间.23.(12分）已知：如图，在△ＡBC中,点D、G分别在边ＡB、BＣ上,∠AＣＤ=∠Ｂ,ＡG与CD相交于点Ｆ．(1）求证：AC２=AD•AB；（2）若=，求证：CG２=DＦ•ＢG．２4．(12分)在直角坐标系xＯy中（如图),抛物线y=ａｘ２﹣4ax+4a+３（a＜０)的顶点为D,它的对称轴与ｘ轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标;(2)如果该抛物线与y轴的交点为A，点Ｐ在抛物线上且AM∥DP,AM=2DＰ，求ａ的值.25.(14分)在Rｔ△ABC中，∠ACB＝9０°,AC=BC=2，点Ｐ为边ＢＣ上的一动点（不与B、C重合）,点P关于直线AC、ＡB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB 于点F，交边AC于点E.（１)如图1，当点P为边BC的中点时,求∠M的正切值;(2）连接FP，设CP=ｘ，S△ＭPＦ=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域;（3）连接AM，当点Ｐ在边BC上运动时,△AEF与△ABＭ是否一定相似？若是，请证明；若不是,请求出当△ＡEF与△ABM相似时ＣP的长.ﻬ20１7年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）１．（4分)(２017•杨浦区一模)如果延长线段AB到Ｃ，使得，那么AC:ＡB等于( )A.２:1 Ｂ．２:３ﻩＣ．3：１ﻩD．3:2【分析】作出图形,用AB表示出AC,然后求比值即可．【解答】解:如图，∵BＣ=AB，∴ＡC=AB+BC=AB＋ＡB＝ＡB,∴ＡC:ＡB=3：２．故选D．【点评】本题考查了两点间的距离，用ＡB表示出AC是解题的关键,作出图形更形象直观.2.（4分)(２０17•杨浦区一模)在高为1０0米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α,那么楼底到该目标的水平距离是(）A．100tanα B．100ｃｏtα C.１0０sinαＤ．１0０cｏsα【分析】根据题意画出图形,利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【解答】解：∵∠BＡC=α，BC＝10０ｍ，∴AＢ=BC•cotα=１00cotαm.故选:Ｂ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．3．（4分)(2０17•金牛区模拟）将抛物线y=2（x﹣1)2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为( )A．y＝2(x﹣1)２＋5ﻩB.y=２（x﹣１）2+1 C.y=2（ｘ+１）2+３ D.y=2（x﹣3）２+3【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解.【解答】解：抛物线ｙ=2(x﹣１)２+3向右平移2个单位,可得y=2(x﹣1﹣2）2+3，即y＝2（ｘ﹣３)２+3,故选:Ｄ.【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.4．（4分)（2017•杨浦区一模)在二次函数y=aｘ2+bx+c中,如果a＞0，ｂ＜0，c ＞0,那么它的图象一定不经过( ）A．第一象限ﻩB.第二象限ﻩC．第三象限Ｄ．第四象限【分析】根据已知条件“a＞0，ｂ＜0，c>0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和ｙ轴的交点、对称轴所在的位置,然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．【解答】解：①∵a>０、ｃ>0，∴该抛物线开口方向向上,且与y轴交于正半轴；②∵ａ＞0,b＜0,∴二次函数y=ax2+bｘ+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0，∴二次函数y=ax2＋bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；综合①②，二次函数ｙ＝ax２+bx+c的图象一定不经过第三象限.故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ａｘ2＋ｂx+c 系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与ｘ轴交点的个数.5.（4分）(201７•杨浦区一模)下列命题不一定成立的是（）Ａ.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似Ｂ.两个等腰直角三角形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立;两个等腰直角三角形相似一定成立；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立;各有一个角等于1０0°的两个等腰三角形相似一定成立,故选：C.【点评】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（4分)（2017•杨浦区一模）在△AＢC和△ＤＥＦ中,∠Ａ=4０°，∠D=６0°，∠E=８0°，，那么∠Ｂ的度数是（）A.40°ﻩＢ.60°C．８0° D．100°【分析】根据可以确定对应角,根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小,即可解题．【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角,故∠B＝∠D=6０°．故选B.【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质,考查了对应边比值相等的性质,本题中求∠Ｂ和∠D是对应角是解题的关键.二、填空题（本大题共1２题,每题４分,满分4８分)７.(４分)(２０1７•杨浦区一模）线段3ｃm和4cｍ的比例中项是２cm.【分析】根据比例中项的概念，a:b=ｂ：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求.【解答】解：设比例中项是xｃm,则:3：x=ｘ:4，x2＝12，ｘ＝±2,∵线段是正值，∴负值舍去,故答案为:2.【点评】本题主要考查了比例线段,理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项的时候,应舍去负数是解答此题的关键．8.（4分)(2０1７•杨浦区一模）抛物线ｙ=2（x＋4）2的顶点坐标是（﹣4，0) ．【分析】由抛物线的解析式可求得答案.【解答】解：∵y=2（x+4）2,∴抛物线顶点坐标为（﹣4,0)，故答案为:（﹣4，０).【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ｙ＝a（x﹣h)2+k中，对称轴为ｘ=h，顶点坐标为（h，k）．９.（4分)（2017•杨浦区一模）函数y=ax2（a>0)中，当x＜０时，y随x的增大而减小.【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．【解答】解：∵y＝aｘ2(a＞０），∴抛物线开口向上,对称轴为y轴，∴当ｘ＜0时,ｙ随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的增减性是解题的关键.10．(4分）（2０17•杨浦区一模）如果抛物线y=ax２+bx+c（a≠0）经过点（﹣１,2）和（4，２）,那么它的对称轴是直线ｘ＝.【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ａx2+bx+c(a≠0)经过点(﹣１，2)和(4，２），∴对称轴为ｘ=＝，故答案为：x＝.【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等是解题的关键.11．(4分)(20１７•杨浦区一模）如图,△ＡBC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB,DE：BC＝1：3,那么EF：AB的值为．【分析】利用DE∥BC可判断△AＤE∽△ABC，利用相似的性质的得==,再利用比例性质得=,然后证明△CＥF∽△ＣＡB,然后利用相似比可得到的值．【解答】解：∵DE∥BＣ，∴△ＡDE∽△ＡＢＣ,∴=＝，∴=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB,∴=＝.故答案为.【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时，主要利用相似进行几何计算.12．（4分)（２01７•杨浦区一模)如图，在梯形ＡＢCD中，AD∥BC，AC与BＤ相交于点O,如果ＢＣ=2AD,那么S△AＤC ：Ｓ△ABC的值为1:2.【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题.【解答】解：∵在梯形AＢCD中,AD∥BC,BC＝2ＡD，设AD与BC间的距离为h，则,故答案为:1：２.【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．１3.(4分)（2017•杨浦区一模)如果两个相似三角形的面积之比是9:２5,其中小三角形一边上的中线长是１2cm，那么大三角形对应边上的中线长是20cm．【分析】因为两个三角形的面积之比9:２５，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线.【解答】解:∵两个相似三角形的面积之比是9：２5，∴大三角形的周长：小三角形的周长是5:3，∵小三角形一边上的中线长是12cm，∴１２÷=20cm,∴大三角形对应边上的中线长是20ｃm.【点评】本题考查对相似三角形性质的理解.（１）相似三角形面积的比等于相似比的平方；(3）相似三角形对应中线的比等于相似比.1４.(4分)(２0１7•杨浦区一模)如果+=３,2﹣＝,那么=(用表示）.【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．【解答】解:∵2﹣＝，∴6﹣3=3,∵+=3,∴＋=6﹣３,∴=.故答案是：．【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较简单,要注意移项要变号.１５．(４分)(2017•杨浦区一模)已知α是锐角,taｎα=2cｏｓ30°，那么α= 60度．【分析】根据30°角的余弦值等于,正切值是的锐角为60°解答即可．【解答】解：∵tanα＝２cｏｓ30°=2×=，∴α＝６０°.故答案为：６0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记3０°、45°、６0°角的正弦值、余弦值、正切值是解此类题目的关键.16.（4分）(20１7•杨浦区一模)如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发,走了1３米到达M处,此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1: 2．4 ．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理,求出水平距离，然后根据定义解答．【解答】解:由题意得，水平距离＝=1２，∴坡比ｉ=5：12=１:2.４.故答案为2．4【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离:水平距离,通常写成1:n的形式，属于基础题．１７.（４分）（20１7•杨浦区一模）用“描点法”画二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c(a≠0)的图象时,列出了如下表格:x…1234…y＝ax2+bx+c…0﹣1 0 3 …那么该二次函数在x=0时，y＝ 3 .【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当ｘ=０时，y的值即可．【解答】解:由上表可知函数图象经过点(1，0)和点(3，0)，∴对称轴为x=2,∴当ｘ=4时的函数值等于当x=０时的函数值,∵当x=4时，y＝3，∴当ｘ=０时，y=3.故答案是:３．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．１８.（４分）（2017•杨浦区一模）如图,△ＡBC中,AＢ=AC=5,BC=６,BD⊥ＡＣ于点Ｄ,将△BＣD绕点B逆时针旋转,旋转角的大小与∠CＢA相等,如果点C、Ｄ旋转后分别落在点Ｅ、F的位置,那么∠ＥFD的正切值是.【分析】作AＨ⊥ＢＣ于H,延长CD交EＦ于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、ＢD、CD、AＤ，根据旋转变换的性质得到∠FBＤ＝∠CBA,证明ＦＢ∥AH,根据四点共圆得到∠EFD=∠GBＤ,求出ｔan∠GBＤ即可.【解答】解：作ＡH⊥ＢC于H,延长CD交EＦ于G，∵AＢ=AC，∴ＢH=ＣH=BC=3,由勾股定理得,AH==4，×BC×ＡH=×AC×BD,即6×4=5×BD，解得,BD＝，∴CＤ==,AD=，∵∠FBD=∠CBA,∴∠FBE=∠DＢC,∵∠DBＣ+∠C＝90°,∠HAC+∠C=90°,∴∠ＦＢＥ＝∠BAＨ，∴ＦB∥AＨ,∴∠FBＣ=∠ＡHC＝90°，∴EF∥BC，∴∠Ｅ=∠ＡBC=∠C＝∠EGＡ，∴AＧ=AE=BE﹣AＢ=BＣ﹣AB=1，∴DG=，∴∠F=∠BＤC＝９0°，∴F、B、Ｄ、Ｇ四点共圆，∴∠EFD＝∠GBD,tan∠ＧBD==，∴∠ＥFD的正切值是,故答案为:．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用,掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键.三、解答题(本大题共7题，满分78分）19．(10分)（2017•杨浦区一模)如图，已知△ＡBC中，点F在边AB上，且AF=A Ｂ、过A作AG∥BC交CF的延长线于点G．(1）设=，=,试用向量和表示向量；（2）在图中求作向量与的和向量．(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)【分析】(１)证△ＡGF∽△BCF得==,即ＡG=CB，由＝(）可得答案；(2)延长CＢ到E,使BE=AG，连接AE,则=．【解答】解:（1)∵AG∥BC，AＦ=AB,∴△ＡＧF∽△BCF，=,∴==,即ＡG=CB,∴＝（）=﹣;（2）如图所示，＝＝.【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向量的基本运算法则是解题的关键.20.（１0分)(2017•杨浦区一模）已知抛物线ｙ=﹣x２+bｘ+c经过点B（﹣1，0）和点Ｃ(２，3）.（1）求此抛物线的表达式;（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣２,﹣1),试确定平移的方向和平移的距离.【分析】(1)待定系数法求解可得;（2）求出原抛物线上x＝﹣2时，ｙ的值,若点(﹣２,﹣5)平移后的对应点为（﹣2,﹣1）,根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式.【解答】解:（１）将点B（﹣1,0)、C(2，3)代入y=﹣x2+bｘ+c,得：，解得:，∴此抛物线的表达式为ｙ=﹣x2+2x＋３；(2）在y=﹣x２＋２x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5,若点(﹣2,﹣５)平移后的对应点为(﹣2,﹣1），则需将抛物线向上平移4个单位．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移,熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．21．(10分）（201７•杨浦区一模）已知:如图,梯形ＡBCD中,AD∥BC,∠ABD＝∠C，AD=4，ＢC=９，锐角∠DBＣ的正弦值为．求：（1）对角线BD的长;（２）梯形AＢCD的面积．【分析】(1)求出△ABD∽△DＣB,得出比例式，即可得出答案；（2)过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可.【解答】解:(１）∵AD∥ＢＣ，∴∠AＤB=∠DBC,∵∠ABD=∠C,∴△ABＤ∽△DCB，∴＝，∵AD=4,BＣ=９,∴BD=6;（2)过D作ＤE⊥ＢC于E,则∠DEB=９0°，∵锐角∠ＤBC的正弦值为，∴siｎ∠DBC==，∵ＢD=6，∴ＤE=4,∴梯形AＢＣＤ的面积为×（AD+BC）×DＥ=×（4＋9)×4=26．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,梯形的性质,解直角三角形等知识点,能求出BＤ的长是解此题的关键．22.（10分)(2017•杨浦区一模)如图,某客轮以每小时1０海里的速度向正东方向航行,到Ａ处时向位于南偏西30°方向且相距1２海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时１4海里的速度出发，在Ｃ处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间.【分析】首先证明AC＝AＢ＝12，根据时间=路程÷速度，计算即可解决问题.【解答】解:如图,由题意，∠ABF=30°，∠CＢF＝60°,∴∠ＦAＢ＝６0°，∠ABＣ=∠C=30°,∴AＣ=AB=１2，货轮从出发到客轮相逢所用的时间＝＝1.2小时.答:货轮从出发到客轮相逢所用的时间1，2小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识,解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．2３.（12分)(20１7•杨浦区一模)已知:如图,在△ABC中，点D、Ｇ分别在边AB、BC上,∠ACD=∠B,ＡG与ＣD相交于点Ｆ．（１）求证：ＡC2=AＤ•ＡＢ;（2)若=，求证:CG2=ＤF•BＧ.【分析】（１）证明△ACD∽△ABＣ，得出对应边成比例AC：AB＝AD：AＣ,即可得出结论；（２)由相似三角形的性质得出∠ADＦ=∠ACＧ,由已知证出△ADＦ∽△ＡCＧ,得出∠DＡF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线,由角平分线得出,即可得出结论.【解答】(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠ＣAD＝∠BAＣ,∴△ＡCＤ∽△ABC,∴AC:ＡB=AD:AC，∴AC２=ＡＤ•ＡB;（2）证明：∵△AＣD∽△AＢＣ，∴∠ＡＤF＝∠ＡCG，∵=，∴△ADF∽△AＣG,∴∠DＡＦ＝∠CＡF，即∠BAＧ=∠ＣＡG，AG是∠ＢAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•ＢG．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．24．（１2分)(2017•杨浦区一模）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝aｘ2﹣４ax+4a+3(a＜0）的顶点为D,它的对称轴与x轴交点为M.(１）求点Ｄ、点M的坐标;（2）如果该抛物线与ｙ轴的交点为Ａ，点P在抛物线上且AＭ∥ＤP，AM=2DP,求a的值．【分析】（1)由y=ａx２﹣4ａｘ+4a＋３=a(x﹣2)2+3,可得顶点D(２,3)，M（２,0）.(2)作PN⊥DM于N.由△ＰDＮ∽△ＭAO，得===,因为OM＝２，OA=﹣４a﹣3，PN=１,所以P（1，a+３)，DＮ=﹣a，根据ＯＡ＝2DN,可得方程﹣4a ﹣３=﹣２a，由此即可解决问题.【解答】解：(1)∵y=ax2﹣4ax＋4a+3=a(x﹣2）2+3,∴顶点D（2，3）,M(２，0）．(２）作PN⊥DM于N.∵ＡM∥DＰ,∴∠PDN=∠AMＧ,∵DＧ∥OＡ，∴∠ＯAM=∠AMG=∠PDN，∵∠PＮＤ=∠AＯM=9０°，∴△PDN∽△ＭAO,∴＝==,∵OM=2，OA=﹣４a﹣3，PN=1,∴P（１,a+3),∴DN=﹣a,∵ＯA＝2DN，∴﹣４a﹣3＝﹣2ａ，∴a=﹣.当点A在y的正半轴上时，如图,∴△PＤＮ∽△MAO，∴＝＝＝，∵OＭ=2，OA＝4ａ＋3，PN=1，∴P（3，a+3),∴DN=﹣a,∵OA=2DN,∴4a+3=﹣2ａ，∴a=﹣，综上所述，满足条件的ａ的值为﹣或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题,用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.25．（1４分)（201７•杨浦区一模)在Ｒｔ△ABC中，∠ＡCB=90°，AC=BC=２，点P为边BC上的一动点(不与B、Ｃ重合),点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、Ｎ,连接ＭN交边AＢ于点F，交边AC于点Ｅ．(1）如图1，当点Ｐ为边BＣ的中点时，求∠Ｍ的正切值；(２)连接FP,设CP=ｘ，S△MＰF＝ｙ，求ｙ关于x的函数关系式,并写出定义域; (3)连接AＭ，当点P在边ＢC上运动时,△AＥF与△ABM是否一定相似？若是,请证明;若不是，请求出当△ＡＥF与△ABM相似时CＰ的长．【分析】(１）先求出CP＝1，利用对称得出∠MBＮ=９０°，BP＝BＰ=3,最后用锐角三角函数的定义即可；（2)先求出ＦG，再利用同角的三角函数相等，得出PＧ，再用三角形的面积公式求解即可；（3）利用对称先判断出AM=ＡP=ＡN,进而得出三角形ＡMN是等腰直角三角形,即可得出∠ＡMN=4５°，得出∠AFＥ=∠AMB,即可判断出△ＡＥＦ∽△BAＭ．【解答】解：(１)如图1，连接BN,∵点Ｐ为边BＣ的中点，∴CＰ=BP=ＢC=1，∵点Ｐ与点M关于ＡC对称,∴CM=CP=1∵∠ACB＝90°,ＡＣ=BＣ＝2,∴∠BAC＝∠ABＣ＝４5°,∵点P与点N关于AＢ对称，∴BＰ=ＢN=1，∠ABN=∠ＡBC=45°，∴∠CＢM=9０°,ＢM＝ＣM+ＢC=3在Rt△MBN中，tａn∠M==;(2)如图2,过点F作FG⊥BC,设PG＝ｍ,∴ＢG=BP﹣ＰG＝2﹣x﹣m，MG＝ＭＰ+PG=2x+m,在Rt△BFG中，∠FＢG＝４5°，∴ＦG＝BG＝2﹣ｘ﹣m,在Ｒt△FMG中,tan∠M==，在Rｔ△MＮB中，tan∠M==,∴，∴m＝,∴FG=2﹣ｘ﹣＝MＰ•FＧ=×2x×[2﹣x﹣]=(0＜x<2）;∴y＝S△MPF(３）△AＥF∽△BAM理由：如图3,连接ＡM,AP，ＡN,ＢN，∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，∴AM=ＡP＝ＡN．∠MAＣ=∠ＰAC,∠PAB=∠NAB,∵∠ＢAC=∠PAC＋∠PＡB=45°，∴∠MAN=∠MAC＋∠ＰAC+∠BＡP+∠NAB=2（∠PAC＋∠PAB）＝９0°,∴∠AＭＮ=４５°=∠ABＣ，∵∠AFE=∠ＡBＣ+∠BMＦ，∠AＭB＝∠AMN＋∠BMF,∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABＭ＝４5°，∴△AEＦ∽△BAＭ.【点评】此题是相似形综合题，主要考查了锐角三角函数,勾股定理,对称的性质,三角形的面积公式,相似三角形的判定和性质,解本题的关键是得出△PＦＭ的边ＰＭ上高和△MＡN是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考题．。

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2016年上海杨浦区初三一模数学试卷
选择题
1.A. B.C. D.将抛物线向上平移个单位后所得抛物线的解析式是（ ）．
y =2x 22y =2+2x 2y =2(x +2)2
y =2(x −2)2y =2−2
x 22.A.斜边长分别是和的两直角三角形 B.腰长分别是和的两等腰三角形
C.边长分别是和的两个菱形
D.边长分别是和的两个正方形
以下图形中一定属于互相放缩关系的是（ ）．
1051051051053.A.B.C.D.如图，已知在中，是边的中点，，，那么等于（ ）．
△ABC D BC =BA −→−a =BC −→−b DA −→−−1
2a b
−a 1
2b
−1
2b a
−b 1
2a
4.A. B. C. D.坡度等于的斜坡的坡角等于（ ）．
1:3√30∘40∘50∘60∘
5.A.B.C.D.下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ）．
且且且且△ABC △DEF ∠A =∠E ∠D =∠F
∠A =∠B ∠D =∠F
∠A =∠E =
AB AC EF
ED ∠A =∠E =AB BC FD
DE
6.下列图象中，有一个可能是函数的图象，它是（ ）
y =a +bx +a +b (a ≠0)x 2
、分别在和上，
E AB BC AD
△ABC
相似，的三边之比为
（a≠0）的图象上部分点的横坐标+bx+c a≠0
x...−1
y...−5
中，点、分别在边、ABC D E AB。

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