工程力学第四章
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工程力学第四章 重心及截面的几何性质
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，
以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 Wi Vi 和W V ，
代入重心公式得：
xC
Vi xi
V
yC
Vi
V
xC
FN Bl W
第二节 截面的几何性质
一、静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
xc
xdA
A
Sy
AA
,
yc
A ydA S x AA
S x yC A , S y xC A
20
解：（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示。
1
单位:mm
2
100
A1 (120 20) 20 2000 mm 2
x1 10 mm
y1
20
120 2
20
70 mm
A2 100 20 2000mm2
x2 50mm y2 10mm
120 20
xC
Ai xi A
第四章
重心及平面图形的几何性质
第一节 第二节
物体重心坐标公式
平面图形的几何性质
本章重点：
计算均质物体的重心坐标。
第一节 重心
重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。
工程力学(第二版)第4章
轴力FN的大小由平衡条件确定，取m-m截面左段为研究 对象，则
∑Fx=0 FN-F=0 FN=F 取m-m截面右段为研究对象， 则
FN和 互为作用力与反作用力， 对同一截面若选取不同 部分为研究对象， 所求得的内力必然大小相等、 方向相反。 为保证无论取左段还是取右段为研究对象， 所求同一截面上 的轴力正负号一致， 对轴力的正负号规定如下： 轴力的方向 与所在横截面的外法线方向一致时， 轴力为正； 反之为负。 也就是说， 杆受拉轴力为正， 受压轴力为负。
(2) 截面法。 与理论力学中计算物系内力的方法相仿，用假想的截面 将杆件截为两部分，任取杆件的一部分为研究对象，利用静 力平衡方程求内力的方法称为截面法。
4.2.2 轴力与轴力图
为了对拉(压)杆进行强度计算，首先分析其内力。设拉杆 在外力的作用下处于平衡(见图4.3 (a))。运用截面法， 将杆件 沿任一截面m-m假想分为两段(见图4.3 (b)、 (c))。因拉(压) 杆的外力均沿杆轴线方向，由其共线力系平衡条件可知，其 任一截面内力的作用线也必通过杆轴线，这种内力称为轴力， 常用符号FN表示。
4.2.1 内力与截面法
(1) 内力。构件内部各部分之间存在着相互作用的力， 它维持构件各部分之间的相互联系和原有形状。若构件受到 外力(主动力和约束反力)作用而发生变形，则其内部各部分 之间相互作用力也随之改变。这个因外力的作用而引起构件 内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。内力 随外力的增大而增大，到达某一限度时就会引起构件破坏。 所以，内力与构件的承载能力密切相关。内力分析是材料力 学的基础。
根据上述现象可作如下假设：横截面变形前为平面，变 形后仍为平面，仅沿轴向发生了平移，此假设称为平面假设。 根据平面假设，任意两横截面间的各纵向纤维的伸长量相同， 即变形相同。由此可知, 它们受力也应相等，内力在横截面上 均匀分布，即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴 线，垂直于横截面，故为正应力, 如图 4.6 (c) 所示，计算公式 为
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
工程力学第4章 力系的平衡
2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
13
建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
14
15
例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
16
17
解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程
工程力学第四章
代入平衡方程
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工程力学第四章
第四章 材料力学概述
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材料力学的分析方法
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工程力学第四章
材料力学的分析方法
分析构件受力后发生的变形，以及由于变 形而产生的内力，需要采用平衡的方法。但 是，采用平衡的方法，只能确定横截面上内 力的合力，并不能确定横截面上各点内力的 大小。研究构件的强度、刚度与稳定性，不 仅需要确定内力的合力，还需要知道内力的 分布。
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工程力学第四章
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“材料力学”的研究内 容
所谓强度是指构件受力后不发生破坏 或不产生不可恢复的变形的能力；
所谓刚度是指构件受力后不发生超过 工程允许的弹性变形的能力；
所谓稳定性是指构件在压缩载荷的作 用下，保持平衡形式不发生突然转变的能 力（例如细长直杆在轴向压力作用下，当 压力超过一定数值时，在外界扰动下，直 杆会突然从直线平衡形式转变为弯曲的平 衡形式）。
工程力学第四章
“材料力学”的研究内 容
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1940年11月，华盛顿州的Tacoma Narrows 桥，由于桥面刚度太差，在42 英里/小时风速 的作用下，产生“Galloping Gertie”(驰振）。
工程力学第四章
“材料力学”的研究内 容
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹 桥发生垮塌，造成：
变形前
变形不协调
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变形不协调
变形协调一致
工程力学第四章
弹性体受力与变形特征
例题1
图示直杆ACB在两端A、B处固定。关 于其两端的约束力有四种答案。试分析 哪一种答案最合理。
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《工程力学(第2版)》电子教案 第四章
P M Mn Mn
30 1000 9550
(4.7)
则有
M 9550 P n
(4.8)
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4.2 功率、转速与转矩间的关系
式(4.8)中，P的单位为kW，M的单位为N·m，n的单位为rpm。 由以上各式可见，当功率P一定时，F与v成反比，或M与ω成
反比。例如，汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引
t0 t dt
(4.2)
式(4.2)表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速
度的正负号表示刚体的转动方向。当时，，刚体往转角的正向转
动，即逆时针转动；当时，，刚体往转角的负向转动，即顺时针
转动。角速度的单位为弧度/秒(rad/s)或简写为1/秒(1/s)。
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4.1 转动方程、角速度和线速度
60 30 (3) 转动刚体上任意一点速度等于该刚体角速度与该点转动
半径的乘积(v=rω)，速度方向沿圆周切线方向。刚体定轴转
动时，刚体上各点速度与该点转动半径成正比。轮缘上的一
点线速度 v dn (m/s)。
60
(4) 刚体转动时，表示转矩、功率、转速三者间关系的公式 很重要，在机械传动中经常用到，即 M 9550 P 。
与速度方向一致），即
P=Fv
对于转动的刚体，如在其上某点A作用一个切向力F，则A点的 线速度v=rω，如图4-5所示。则
P=Fv=F rω=Mω
(4.6)
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4.2 功率、转速与转矩间的关系
式(4.6)中M=Fr，为力F对刚体转轴O点之矩，即转矩的功率
等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积。 功率的单位为瓦特，代号为W，1 W=1 J/s=1 N·m/s。工程
30 1000 9550
(4.7)
则有
M 9550 P n
(4.8)
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4.2 功率、转速与转矩间的关系
式(4.8)中，P的单位为kW，M的单位为N·m，n的单位为rpm。 由以上各式可见，当功率P一定时，F与v成反比，或M与ω成
反比。例如，汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引
t0 t dt
(4.2)
式(4.2)表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速
度的正负号表示刚体的转动方向。当时，，刚体往转角的正向转
动，即逆时针转动；当时，，刚体往转角的负向转动，即顺时针
转动。角速度的单位为弧度/秒(rad/s)或简写为1/秒(1/s)。
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4.1 转动方程、角速度和线速度
60 30 (3) 转动刚体上任意一点速度等于该刚体角速度与该点转动
半径的乘积(v=rω)，速度方向沿圆周切线方向。刚体定轴转
动时，刚体上各点速度与该点转动半径成正比。轮缘上的一
点线速度 v dn (m/s)。
60
(4) 刚体转动时，表示转矩、功率、转速三者间关系的公式 很重要，在机械传动中经常用到，即 M 9550 P 。
与速度方向一致），即
P=Fv
对于转动的刚体，如在其上某点A作用一个切向力F，则A点的 线速度v=rω，如图4-5所示。则
P=Fv=F rω=Mω
(4.6)
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4.2 功率、转速与转矩间的关系
式(4.6)中M=Fr，为力F对刚体转轴O点之矩，即转矩的功率
等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积。 功率的单位为瓦特，代号为W，1 W=1 J/s=1 N·m/s。工程
工程力学第4章
M Fd M B ( F )
即力向一点平移时所附加力偶的力偶矩 等于原力对平移点之矩。
图4-1
力的平移定理是力系向一点简化的理论依据,它不仅给出了 平移作用于刚体上的一个力的等效条件,而且可直接用来分 析和解决工程实际中的力学问题。
例如,用丝螺纹攻螺纹时,必须两手同时用力,且等值反向。若仅在扳手的 一端作用力F(图4-2a),则这个力与作用在中心处的一个力F'和一个矩为M 的力偶等效(图4-2b),这个力偶使丝螺纹转动,而这个力F'却往往容易使丝 螺纹折断。又如图4-3所示转轴上的齿轮受有周向力F作用,将力F平移至 轴心点O,则力F'使轴弯曲,而矩为M的力偶将使轴产生扭转效应。
图4-2
图4-3
4.2
平面一般力系向作用面内一点简化
设刚体受一个平面力系(F1、F2、…、Fn)作用,现将该力系进行简化。为 简单起见,以三个力F1、F2、F3作用在刚体上(图4-4a)为例说明。在力系 作用平面内任选一点O,将该力系向点O简化,点O称为简化中心。应用 力的平移定理,将各力平移至点O,同时加上相应的附加力偶。这样,原 力系变为作用在点O的平面汇交力系(F' 1、F' 2、F' 3),以及力偶矩为 M1=MO(F1)、M2=MO(F2)、M3=MO(F3)的附加力偶系(图4-4b)。
图4-6
4.3
简化结果分析
平面一般力系向简化中心简化,其主矢F'R和对简化中心的主矩MO 可能有四种情况 1)F'R=0,MO=0 主矢和主矩都等于零。说明简化后的平面汇交力 系和平面力偶系都处于平衡状态,因而原平面一般力系是一个平 衡力系。 2)F'R=0,MO≠0 主矢等于零,主矩不等于零。说明原力系简化为一个 合力偶,其力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。若将力系再向其 他简化中心简化,其主矩应等于此合力偶对新简化中心之矩,由力偶 理论知,两者是相同的。说明原力系与一个同平面内的力偶等效。 此时,力系的主矩与简化中心的选择无关。
工程力学第4章
外力、内力与截面法
一、外 力
1.外力的定义：外部物体对构件的作用力，称为外 力，包括载荷和约束力。 2.外力的分类：
表面力： 作用在构件表面的外力。
外力
按作用方式
体积力：作用在构件各质点上的外力。
自重、惯性力
集中力 表面力 分布力 集中力
当力作用面积很小，则可将其抽象为 一个点，这时作用力称为集中力。
轴力
弯矩
FN－轴力：产生轴向的伸长或缩短变形；
FQy 或 FQz －剪力：产生剪切变形； Mx－扭矩：产生扭转变形； My或Mz －弯矩:产生弯曲变形。
§ 5-3
外力、内力与截面法
平面一般问题内力分量有几个？ 答：3个。 轴力：FN； 剪力： FQ； 弯矩：M
30
用截面法确定的内力，是截面上分布内力系 的合成结果，它表明该分布力系的分布规律，为 了该研究构件的强度，只知道内力是不够的，比 如，两根不同粗细的杆件，若他们所受的外力相 同，那么横截面上的内力也是相同的。但是，当 外力增大时，细杆先破坏。这是因为横截面面积 小，内力分布的密集程度大的缘故。 应力—分布在内力一点处的集度
三、截面法
F1 F2 F3
F4
假想截面
为求出平衡构件 在外力作用下指定 截面的内力，可以 假想用一个截面将 弹性体在该处截开。
一分为二，每一 部分在截面处存 在一分布内力系。
根据平衡的要求， 每个截开平衡部 分也必须是平衡 的，所以，作用 在每个部分的外 力必须与截面上 分布的力系相平 衡。
F3
材料力学要研究的内力，指在外力的作用下，构 件各部分之间相互作用力因外力而引起的附加值 ，是一种附加内力。
F1 F3
F2
F4
三、截面法
工程力学第四章
O O
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
20
0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
Z
C
Z
y
a yC
dA
ZC
y
2
ZC
截面对Z轴的惯性矩为：
I Z y dy ( yC a) dy
2 A A
y
yC
IZ
A
2 yC dA 2a
yC dA a A
2 A
截面对形心轴 ZC轴的惯性矩
由ZC轴通过截面 形心，其值为0
2
O
即：I Z I ZC a A
1400 16
50
（2）由平行移轴公式计算惯性矩
Iy
I I I yc 2
(0.24 0.211)m 0.029 m
4
4
0.86m 1.4m3 a A1 (0.7 0.51)2 1.204 m4 z 12 0.24 m 4 A B a b 3 II II 16 16 I yc I y 0 a 2 A2 0.828m 1.334 m yc 12 1.334 ( 0.05 0.51) 2 1.105m 4 c z d 2 y o 4 0.211m C D 430 860
b3
12 0.02m 0.14m3 (0.08 0.0467 )2 m2 2.8 103 m2 12 7.68 106 m4
z A1
2
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0 100
II
yC
y
140
z
20
II II I yc I y 0 a 2 A2
C
z b 3 2 A2 z 0 12 100 3 (0.01m)(0.02m) 0.0467 mm2 2.0 103 mm2 12
100
工程力学课件 第四章 平面一般力系
第4章 平面一般力系
14
3. 力系平衡
0, MO 0 FR
FR′
O
MO
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
15
证明： 如下图所示，显然有
M O ( FR ) FR d M O , M O M O ( F ), M O ( FR ) M O ( F )
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
1
第4章 平面一般力系
前言 §4-1 力线平移定理 §4-2 平面一般力系向一点简化 §4-3 分布荷载 §4-4 平面一般力系的平衡条件
§4-5 平面平行力系的平衡条件 §4-6 物体系统的平衡问题 §4-7 滑动摩擦
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
2
前言
平面一般力系是指位于同一平面内的诸力其作 用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。 工程计算中的很多实际问题都可以简化为平 面一般力系来处理。
FAx A D
B x
arctan
FA y FA x
E F
FAy
P
思考题 4-4 如果例题4-3中的荷载F可以沿AB梁移动，问： 荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力（FT）最大？ 其值为多少？
课程：工程力学
第4章 平面一般力系
33
思考题 4-5 (1) 由右图所示的受力图，试按
M A (F ) 0 M B (F ) 0 F
22
(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。 如坝体所受的水压力等。
A qy y
B C
课程：工程力学
工程力学课件第4章
主矢
F R
F i
主矩
M O
M
O
(
F i
)
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
如何求出主矢、主矩?
F Rx
F ix
F ix
F x
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
若为O1点，如何?
§4-3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
因为 有
FR ( Fx )2 ( Fy )2
Fx Fy
0 0
Mo 0
M O M O (Fi ) (4 4)
平面任意力系的平衡方程（一般式） 平面任意力系的平衡方程有三种形式: 一般式 二矩式 三矩式
AC
FR'x Fix F1 F2 cos 232.9kN
FR'y Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
FR' 大小
FR'
2
F ix
2
F 709.4kN iy
FR' 的方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
cos FR' , j
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
Fx 0
F y
0
M A 0
二矩式
Fx 0 M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
工程力学 第四章 杆件的基本变形
随外力产生或消失 随外力改变而改变 但有一定限度
截 面 法
根据空间任意力系的六个平衡方程
X 0 M
步骤： 1、切开 2、代替
x
Y 0 M
y
Z 0 M
z
0
0
0
求内力和取分离体求约束反力的方法本质 相同。这里取出的研究对象不是一个物体系统或一个完 整的物体，而是物体的一部分。
第四章 杆件的基本变形
杆件的外力与变形特点 内力及其截面法
杆件的外力与变形特点
一、杆件变形的定义 杆件在外力作用下，形状和尺寸的变化。 二、杆件变形的形式 1、基本变形 轴向拉伸与压缩 剪切变形 扭转变形 弯曲变形 2、组合变形 同时发生两种或两种以上的变形形式
轴向拉伸或压缩变形
受力特点：作用线与杆轴重合的外力引起的。
拉 伸
压 缩
变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短， 主要变形是长度的改变
屋 架 结 构 中 的 拉 压 杆
塔 式 结 构 中 的 拉 压 杆
桥 梁 结 构 中 的 拉 杆
剪 切 变形
受力特点：由垂直于杆轴方向的一对大小相等、 方向相反、作用线很近的横向外力引起的。
变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形 主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动。
螺 栓
连 接 键
销钉
螺 栓
扭 转 变 形
受力特点：由垂直于杆轴线平面内的力偶作用引起的
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
对称扳手拧紧镙帽
自 行 车 中 轴 受 扭
桥 体 发 生 扭 转 变 形
弯曲变形
受力特点：是由垂直于杆件轴线的横向力或作用 在杆件的纵向平面内的力偶引起的
变形特点：杆轴由直变弯，杆件的轴线变成曲线。
第四章工程力学
13
4.2 横截面上的正应力
1638年：材料力学的开端 《关于两种新科学的对话》
伽利略像
开创了用实验观察——假 设——形成科学理论的方 法
14
研究方法： 实验观察
4.2 横截面上的正应力
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd
变形后： ab / /cd
22
低碳钢的拉伸试验
4.3 常温静载下材料的力学性能
试验原理：将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加
载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。记下一系列载荷 F 的数
值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。
23
4.3 常温静载下材料的力学性能
低碳钢的拉伸试验
拉伸图（F—ΔL曲线）：以ΔL为横坐标、F为纵
坐标，万能试验机上附有自动绘图设备。
F—ΔL曲线不能反映材料的力学性能：F与ΔL的
对应关系与试件尺寸L有关。
σ—ε曲线（应力—应变曲线）：以F/A=σ作为 纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标。
σ—ε曲线与试件的尺寸无关，反映材料本身的
力学性能。
σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似：A及L均为常数。
– 3kN
9
例 1：图(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的
轴力，并绘出轴力图。
解 ：分别计算AC、CD、DB段的轴力。
AC段：取左段为研究对象，设其上轴力为正 方向。AC段的轴力为 FN1 = F(拉力)
CD段：取左段为研究对象，设其上轴力为正方 向。CD 段的轴力为 FN2=－2F (压力)
4.2 横截面上的正应力
1638年：材料力学的开端 《关于两种新科学的对话》
伽利略像
开创了用实验观察——假 设——形成科学理论的方 法
14
研究方法： 实验观察
4.2 横截面上的正应力
作出假设
理论分析
实验验证
1、实验观察
F
a a b b
c c
F
d d
变形前： ab // cd
变形后： ab / /cd
22
低碳钢的拉伸试验
4.3 常温静载下材料的力学性能
试验原理：将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加
载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。记下一系列载荷 F 的数
值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。
23
4.3 常温静载下材料的力学性能
低碳钢的拉伸试验
拉伸图（F—ΔL曲线）：以ΔL为横坐标、F为纵
坐标，万能试验机上附有自动绘图设备。
F—ΔL曲线不能反映材料的力学性能：F与ΔL的
对应关系与试件尺寸L有关。
σ—ε曲线（应力—应变曲线）：以F/A=σ作为 纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标。
σ—ε曲线与试件的尺寸无关，反映材料本身的
力学性能。
σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似：A及L均为常数。
– 3kN
9
例 1：图(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的
轴力，并绘出轴力图。
解 ：分别计算AC、CD、DB段的轴力。
AC段：取左段为研究对象，设其上轴力为正 方向。AC段的轴力为 FN1 = F(拉力)
CD段：取左段为研究对象，设其上轴力为正方 向。CD 段的轴力为 FN2=－2F (压力)
第四章工程力学
，
M
A
(F ) 0
，
5 FB 1.5P 3.5P 1 0
，
M
B
(F ) 0
M
解得
5 FAx 1.5P 3.5P 1 0
D
(F ) 0
3.5FAy 5FB (3.5 1.5) P 0
FB 31kN
FAx 31kN FAy 50kN
广泛应用：
2
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶 （例绕把、丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。 把未知力系（平面任意力系）变成已知力系
（平面汇交力系和平面力偶系）
二、 平面任意力系向一点简化 主矢和主矩
O 称为简化中心。
注意：对于平面任意力系 ，不论采用哪种形式的平 衡方程 ，其独立的平衡方程的个数只有三个 ，对一个研 究对象来讲，只能解三个未知量,不得多列！
P 10kN , P , 尺寸如图； 例4-4 已知： 1 40kN
求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
F 0
x
FAx FB 0
F1 F1 M1 Fd 1 1 M 0 (F 1) F2 F2 M2 M0 (F2 ) Fn Fn
M o M i M o (Fi )
FR Fi Fi
Mn M0 (Fn )
向一点简化
两个独立的平衡方程！
例4-7 已知： P 1 200kN , P 2 700kN , AB 4m 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解：取起重机，画受力图.
M
A
(F ) 0
，
5 FB 1.5P 3.5P 1 0
，
M
B
(F ) 0
M
解得
5 FAx 1.5P 3.5P 1 0
D
(F ) 0
3.5FAy 5FB (3.5 1.5) P 0
FB 31kN
FAx 31kN FAy 50kN
广泛应用：
2
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶 （例绕把、丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。 把未知力系（平面任意力系）变成已知力系
（平面汇交力系和平面力偶系）
二、 平面任意力系向一点简化 主矢和主矩
O 称为简化中心。
注意：对于平面任意力系 ，不论采用哪种形式的平 衡方程 ，其独立的平衡方程的个数只有三个 ，对一个研 究对象来讲，只能解三个未知量,不得多列！
P 10kN , P , 尺寸如图； 例4-4 已知： 1 40kN
求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
F 0
x
FAx FB 0
F1 F1 M1 Fd 1 1 M 0 (F 1) F2 F2 M2 M0 (F2 ) Fn Fn
M o M i M o (Fi )
FR Fi Fi
Mn M0 (Fn )
向一点简化
两个独立的平衡方程！
例4-7 已知： P 1 200kN , P 2 700kN , AB 4m 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解：取起重机，画受力图.
工程力学理论力学第4章
———合力矩定理
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
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x )dx；MO=xq(x)dx=
l 0
xq
(
x) dx
FR'0，MO0；故可合成为一个合力，且
FR=
l
FR'= 0
q
(
x ) dx
FR大小等于分布载荷图形的面积
合力FR的作用线到O的距离为：
h=MO/FR'=
l xq
0
(x)dx
/
lq
0
(x)
dx
FR的作用线通过分布载荷图形的形心。
NR = 5+1=6
静定
NE = 23=6
二、刚体系统的平衡问题的求解
求解刚体系统平衡问题与求解单一刚体平衡问题的步骤 基本相同，即选择适当的研究对象，画出其分离图和受力图 ，然后列出平衡方程求解。整体或其某个部分作为研究对象 ，并写出相应的平衡方程。
不同之处是，单一刚体平衡问题研究对象的选择是唯一的， 而刚体系则不同，可以选择刚体系统。
y(m)
F4=8kN
F3 =15kN
F’Rx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5
=6+8-9=5 kN
2
h
MO F2 =10kN
4 2O
2 4 x (m)
F’Ry=Fy=-3F2/5-
4F3/5+F4
2
M=12kN.m FR' F1=6kN
Mo=2F1-=3-(46F-12/25+)+8=4(-31F03k/5N)-4F4+M=12 kN.m
同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的 大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的 形心，指向与原力系相同。
例 求梁上分布载荷的合力。 解：载荷图形分为三部分，有
q=0.8
x FR1
FR FR3
kN/m 1
3
FR2
FR1=1.6kN; 作用线距O点1m。 FR2=0.6kN; 作用线距O点3.5m。 O
斜面倾角=15°, b=10cm, h=10cm, d=5cm。求：小车匀速
移动时，缆绳的拉力T 和斜面对前后轮的约束力。
解：研究对象： 小车ABC 分析力： T, TC = G, NA, NB 选轴列平衡方程：
yC E T
dx
TC
B
h
A
FX T Tc sin 0 T Tc sin 1.04kN b b NB
FY FAY + Fc W P 0
mA
(F
)
Q
d 2
P
3L
W
L
+
Fc
2L
0
6PL + 2WL Qd
Fc
4L
45kN
将Fc 代入第二式解得 FAY W + P Fc 15kN
例3. 已知：图示L形杆AOBC自重不计，O处挂一重物重为P，
A、B、C三处均为光滑接触面约束。求：三接触点A、 B、
C上的约束力。
Nc
解：研究对象： L形杆AOBC
分析力：P, NA , NC , NB 列平衡 方程：
MB(F) PLsin Nc 2Lsin 0
C
2L
A
B E 2L
NA
O
LNB D
Nc 0.5P
MD(F) P3Lsin NA2Lsintg 0
P
3P
端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和轴向力 Q=40kN。
L=20cm. 求两轴承的约束力。
解：研究对象： 轮轴
y
P
分析力：W, P, Q, FC , FAX , FAY 选轴列平衡方程：
FAY A
L B
FAX
FX FAX Q 0
FAX Q 40kN W
LL CD
FC
Q dx
Mo F’R
o
一个力 一个力偶
结论：平面任意力系向面内一点的简化，一般 可得一个力和一个力偶。
y
F2
F4
y
F2 F3
y
F1
M2
M3
M
O
F3
F5
M1 F1
M
F4
O
M4
M5 F5
(a)
x
(b)
x
FR'
O
MO
(c)
x
共点力系可合成为一个力FR'（主矢）, 即： FR'=F1+F2+…+Fn=Fi
或用解析法写为: FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
例：求图中分布力系的合力。
解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;
合力的大小： FR=FR2-FR1=5 kN
方向同FR2 ，如图。
FR1
q1=0.F5 KR N/m
A
x
q2=4 KN/m
2m
3m
FR2
合力作用位置(合力矩定理): FRx=3×FR2-1×FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m
三个独立方 程解三个未 知量
(1)平面汇交力系
平衡条件 FR 0 F 0
解析形式 FX 0 FY 0
这就是平面汇交力系的平衡方程：力系的各力分别在二个
坐标轴上的投影之代数和等于零。两个独立方程可解二个
末知量。
y
(2)平面平行力系
（b）多矩式
（a）基本形式
FX = 0 FY = 0 mo(F) = 0
FY NA + NB Tc cos 0
G NA
mA(F) NB 2b Td Tc cosb + Tc sinh 0
NB
Tc
sin (h d ) + Tc
2b
cosb
1.67kN
代入第二式解得 N A TC cos NB 2.19kN
N A 2tg 2.6P
ME (F) P3Lsin NB 2Lsin sin 0
3P
N B 2sin 3P
校核：
Mo (F )
NAL cos
+
NBL
Nc 3L sin
9PL + 3PL 4
3 4
PL
0
例4. 已知：图示小车（自重不计）上悬挂重物重G=4kN, 光滑
主矢
F’R=
F2 R x
+
F2 R y
= 125
kN； 指向如图。
合力FR=FR=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：
h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正负确定，如图。
例2. 重力坝受力情况如图，长度单位为m, AB = 5.7m, G1 =
450kN, G2 = 200kN, P1=300kN, P2 = 70kN, =16o40’。
0.2 2
x
FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。
2m
3m
合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。
设合力FR距O点为x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m
得到 x=6.4/3.1=2.06m
故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。
求力系向A点简化的结果,以及力系的最终简化结果。
解： 先求力系向A点简化的主矢
y3
FRx Fx P1 P2 cos 300 700.958 232.8kN
3.9
FRy Fy G1 G2 P2 sin 670.1kN
9 P1 1.5 G1
4.2 平面一般力系的平衡条件
一、平面力系的平衡条件与平衡方程
F’R =0
Mo = 0
平面任意力系平衡的必要和充分条件是；力系的主矢 和力系对任一点的主矩都等于零。
平面任意力系平衡方程的基本形式
FR ( FX )2 + ( FY )2 0
Mo = mo(F) = 0
FX = 0 FY = 0 mo(F) = 0
y L/2
q
B C
L/2
M
P
D
Fx FAX + P 0
FAX P
L FY FAY q 2 0
FAY
qL 2
mA (F )
P
L 2
q
L 2
L 4
+
M
+
mA
0
L/2FAY A mA FAX x
mA
1 8
qL2
+
1 2
PL
M
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重W=40k外伸
o’
平面力系简化的最终结果，只有三种可能： 一个力；一个力偶；或为平衡力系。
固定端（插入端）约束
P P
mA FAR
FAY mA
A
A FAX
固定端约束的作用为一个大小方向待定的约束 力FAR和一个约束力偶mA，可用三个未知量FAY, FAX , mA 表示。
例1：求图示力系的合力。 解：力系向O点简化，有：
力系的最终简化结果为一合力FR
d M A 2355 3.32m FR 709