云南民族大学附属中学2018届高三下学期第二次月考数学(理)试卷(含答案)

2018届云南民族大学附属中学高三下学期第二次月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数z满足，则复数z的实部与虚部之和为
A. B. C. 1 D. 0
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
3.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，
且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
A. B. C. D.
4.若，且，则的最小值是
A. 5
B.
C.
D.
5.荐函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B. C. D.
7.设分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于两
点，，若，则椭圆E的离心率为
A. B. C. D.
8.已知函数为的零点，为图象的
对称轴，且在上单调，则的最大值为
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
9.给出如下四个命题：
若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
命题“若，则”的否命题为“若，则”；
“
”的否定是“”；
在
中，“”是“”的充要条件．
其中正确的命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知函数满足，且当时，成立，若
，则的大小关系是
A. B. C. D.
11.已知函数定义域是，则的定义域是
A. B. C. D.
12.函数的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.的内角的对边分别为，若，则______．
14.曲线在点处的切线方程为______．
15.若满足约束条件，则的最小值为______．
16.已知直线l：与圆交于两点，过分别作l的垂线
与x轴交于两点，若，则______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
17.的内角的对边分别为，已知的面积为．
求；
若，求的周长．
18.如图，四棱锥中，底面
为线段
AD上一点，为PC的中点．
证明：平面PAB；
求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
19.已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于两点，交C
的准线于两点．
Ⅰ若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明；
Ⅱ若的面积是的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
20.已知数列的前n项和是等差数列，且．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ令，求数列的前n项和．
21.已知函数有两个零点．
Ⅰ求a的取值范围；
Ⅱ设是的两个零点，证明：．
四选做题（10分）
22.已知函数．
Ⅰ在图中画出的图象；
Ⅱ求不等式的解集．
23.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．写出的普通方程和的直角坐标方程；
设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
1. D
2. A
3. B
4. A
5. D
6. B
7. D
8. B
9. C10. B11. A12. A
13.
14.
15.
16. 4
17. 解：由三角形的面积公式可得，
，
由正弦定理可得，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
周长．
18. 证明：法一、如图，取PB中点G，连接，
为PC的中点，
，且，
又，且，
，且，
则，且，
四边形AMNG为平行四边形，则，
平面平面PAB，
平面PAB；
法二、
在中，过N作，垂足为E，连接ME，
在中，由已知，得，
，
，则，
在中，
，
由余弦定理得：，
，
而在中，，
，即，
，则平面PAB．
由底面ABCD，得，又，
，则平面PAB．
，
平面平面PAB，则平面PAB；
解：在中，由，得
．
，则，
底面平面PAD，
平面平面PAD，且平面平面，
平面PAD，则平面平面PAD．
在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角．在中，由N是PC的中点，得，
在中，由，得，
．
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
19. Ⅰ证明：连接，
由及，得，
，
是PQ的中点，
，
≌，
，
，
，
．
Ⅱ设，
，准线为，
，
设直线AB与x轴交点为N，
，
的面积是的面积的两倍，
，即．
设AB中点为，由得，又，
，即．
中点轨迹方程为．
20. 解：Ⅰ，
时，，
时，；
，
．
，
，
，
，
，
；
Ⅱ，
，
，
可得
，
．
21. 解：Ⅰ函数，
，
若，那么，
函数只有唯一的零点2，不合题意；
若，那么恒成立，
当时，，此时函数为减函数；
当时，，此时函数为增函数；
此时当时，函数取极小值，
由，可得：函数在存在一个零点；
当时，，
，
令的两根为，且，
则当，或时，，
故函数在存在一个零点；
即函数在R是存在两个零点，满足题意；
若，则，
当时，，
，
即恒成立，故单调递增，
当时，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由得：
函数在R上至多存在一个零点，不合题意；
若，则，
当时，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，
即恒成立，故单调递增，
故函数在R上单调递增，
函数在R上至多存在一个零点，不合题意；
若，则，
当时，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由得：
函数在R上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为
证明：Ⅱ是的两个零点，
，且，且，
，
令，则，
，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设，则，设，
则恒成立，
即在上为增函数，
恒成立，
即恒成立，
令，
则，即．
22. 解：Ⅰ，
由分段函数的图象画法，可得的图象，如右：
Ⅱ由，可得
当时，，解得或，即有
；
当时，，解得或，
即有或；
当时，，解得或，即有或．
综上可得，或或．
则的解集为．
23. 解：曲线的参数方程为为参数，
移项后两边平方可得，
即有椭圆：；
曲线的极坐标方程为，
即有，
由，可得，
即有的直角坐标方程为直线；
由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值．
设与直线平行的直线方程为，
联立可得，
由直线与椭圆相切，可得，
解得，
显然时，取得最小值，
即有，
此时，解得，
即为
另解：设，
由P到直线的距离为
，
当时，的最小值为，此时可取，即有。