matlab第5讲byXR

向量V的∞—范数公式：Fra bibliotekV
max vi
1i n
>> V=[-1,1/2,1]; >> vinf=norm(V,inf) vinf = 1
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。 设A是一个m*n的矩阵，V是一个含有n 个元素的列向量，定义：
矩阵的超越函数
矩阵指数expm，计算矩阵指数 e A 。 >> B=expm(L) B=
4.0000 9.0000 1.0000 5.0000 Ps：expm函数与logm函数是互逆的。
矩阵的超越函数
通用矩阵函数 funm ， funm(A,’fun’) 对方阵 A 计算由fun定义的函数的矩阵函数值。 例如：fun是exp时，funm(A,’exp’)与expm(A) 计算结果是一致的。
及：
A=[2,7,3,1;3,5,2,2;9,4,1,7];b=[6,4,2]'; [x,y]=line_solution(A,b) 分别显示其求解结果。
矩阵的条件数
对于有的系数矩阵，个别元素的微小扰 动会引起而发生大的变化的矩阵是病态矩 阵。 称解不因系数矩阵的微小扰动而发生大 的变化的矩阵为良性矩阵。 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩 阵的范数的乘积。即
-1
||X||∞ = 1
-1
向量V的2—范数
公式： V
2

2 v i i 1
n
>> V=[-1,1/2,1]; >> v1=norm(V,1) v1 = 2.5000
向量V的1—范数
公式：
V
1
vi
i 1
n
>> V=[-1,1/2,1]; >> v2=norm(V) v2 = 1.5000
roots(A) ， 用 来 求根的函数， 只需要知道方 程 A 的系数即可。
MATLAB 的数学运算函数，如 sqrt 、 exp 、 log 等都是 作用在矩阵的各个元素上的，例如：
>> A=[4,2;3,6] A= 4 3 2 6
>> B=sqrt(A) B= 2.0000 1.4142 1.7321 2.4495
矩阵的超越函数
>> A=[2,-1;1,0] A= 2 -1 1 0
>> funm(A,'exp') ans = 5.4366 -2.7183 2.7183 0.0000
>> expm(A) ans = 5.4366 -2.7183 2.7183 0.0000
矩阵的超越函数
矩阵平方根sqrtm，计算矩阵A的平方根。
>> A=[4,2;3,6]; >> B=sqrtm(A) B= 1.9171 0.4652 0.6978 2.3823
矩阵的超越函数
矩阵对数 logm ，计算矩阵 A 的自然对数矩阵。
>> A=[4,9;1,5]; >> L=logm(A) L= 1.0639 2.4308 0.2701 1.3340
cond ( A) A A1
• 1-范数下的条件数 cond ( A,1) A A1 1
• 2-范数下的条件数 cond ( A) A 2 A
1 2
1
• ∞-范数下的条件数 cond ( A,inf) A A
1
>> A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9]; >> C1=cond(A) C1 = 87.9754
>> x2=roots(p) x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i
A=compan(p) 是 求矩阵 p 的伴随 矩 阵 ， eig(A) 是 求矩阵 A 的特征 值。
由系数矩阵得 到的伴随矩阵， 该矩阵的特征 值即为方程的 根。
A 2 max A V
V 1
2

1 其中λ1为A’A最大特征值
• >> A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12 ,19,21,3;11,18,25,2,19]; • >> A2=norm(A) • A2 = • 59.3617
A
3.4 矩阵求值
3.4.1 方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行 列式的规则求值，这个值就称为所对应的 行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所 对应的行列式的值的函数是det(A)。
>> A=rand(5) A= 0.8147 0.0975 0.9058 0.2785 0.1270 0.5469 0.9134 0.9575 0.6324 0.9649 >> B=det(A) B= -0.0250
• 2．矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也 等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中， 求矩阵的迹的函数是trace(A)。 >> A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9]; >> trace(A) ans = 16
3.4.3 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在 某种意义下的长度。范数有多种方法定义， 其定义不同，范数值也就不同。
if norm(b)>0
if rank(A)==n
%非齐次方程组
%有唯一解 %方程组有无穷多个解,基础解系
if rank(A)==rank([A,b]) %方程组的相容性条件
x=A\b;
else disp('原方程组有有无穷个解，其齐次方程组的基 解系为y，特解为x'); y=null(A,'r');
0.1576 0.9706 0.9572 0.4854 0.8003
0.1419 0.4218 0.9157 0.7922 0.9595
0.6557 0.0357 0.8491 0.9340 0.6787
3.4.2 矩阵的秩与迹 1．矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在 MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。
end end return %表示终止M函数，返回到调用语句之后。
null(A,'r')--用来求齐次线性方程组的基础解系的， 加上 'r' 则求出的是一组最小正整数解，如果不加， 则求出的是解空间的规范正交基。 如在MATLAB命令窗口，输入命令 A=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2];b=[4,6,12,6]'; [x,y]=line_solution(A,b)
础
x=A\b;
end
else
x=A\b;
%方程组不相容，给出最小二乘解
disp('方程组的最小二乘法解是：');
end
else if rank(A)==n %齐次方程组 %列满秩
x=zero(n,1)
else
%0解
%非0解
disp('方程组有无穷个解，基础解系为x');
x=null(A,'r');
现求解线性方程组
Ax b
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 a x a x L a x b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L L L L L L L L L L L L am1 x1 am 2 x2 L amn xn bm
例3.9 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=[3,-7,0,5,2,-18]; A=compan(p); %A的伴随矩阵 x1=eig(A) %求A的特征值 x2=roots(p) %直接求多项式p的零点
>> p=[3,-7,0,5,2,-18]; >> A=compan(p); >> x1=eig(A) x1 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i
x 1 x 2 x n
2 2 2
|| x ||2
xi2
i 1
x

max x i max( x 1 ,x 2 , ,x n )
1i n
范数意义下的单位向量: X=[x1, x2]T
1 1
||X||2 = 1
-1 1 -1 1
||X||1 = 1
-1 1 -1 1
1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2— 范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
常用的向量范数:
x
1

xi i
1
n
n
x 1 x 2 x n
n max A V max aij V 1 1i m j 1
• >> A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12 ,19,21,3;11,18,25,2,19]; • >> A3=norm(A, inf) • A3 = • 75
A max A V , V 1 A 称为A从属于向量的范数。