材料力学内部习题集及参考答案

精心整理第二章 轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径d ＝20mm,长L =40m ，材料的弹性模量E =200GPa ，容重γ＝80kN/m 3,杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN ，试求此杆的：⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移∆。

解：首先作直杆的轴力图⑶当α（⑷取A 2-2解：距离A 2-3解:取2-4c 、n (1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？ (3) 当n ＝1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？解：（１）轴力图如图（a ）所示。

根据nc ε=σ： 112()nl l F c l a A ∆∆== 12n n n F l ac A∆=则 12(21)n nnacF l l l A +∆=∆+∆=（２）采用叠加法。

单独作用F 1时，轴力图如图（b ）所示。

1()nl F c a A ∆= 1n n F l ac A ∆=单独作用F 2时，轴力图如图（c ）所示。

2(2nl F c a A ∆= 22n n F l ac A ∆=则 3nnacF l A ∆=（３）当n =1时，上述两解答相同。

结论：只有当ε与σ成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。

2-5试求图示构架点C 的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA 。

解：取C 点分析受力情况，如图（b ）所示，得,0CD BC F F F == 因此只有CD 杆有伸长CD FLl EA=100mm 2，()c ， 1=20mm ，解：(1).容易求得AC 杆、BD 杆的轴力分别为从而AC 杆、BD 杆的伸长量若要AB 梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即12l l ∆=∆.于是,()1222112244.Fl l x Fl xE d lE d lππ-=(2).当30, 1.08F kN x m ==时，两拉杆横截面上的正应力分别为2-8图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC 方向作用两力F ＝20kN ，各杆弹性模量E =200GPa ，横截面面积A ＝500mm 2，L ＝1m ，试求：(1) AC 之间的相对位移△AC ，(2) 若将两力F 改至BD 点，则BD 点之间的相对位移△BD 又如何？解：(1)取A 节点为研究对象，受力分析如图(b)由平衡方程：0AXF=∑,cos450AB F F ︒-=得2AB AD F F === 同理，可得：B 节点受力分析如图(c)0XF=∑，20cos45ABBD F F kN -==-︒AB ,BC ,CD ,DA 四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应变能相同，可求得整个杆件应变能为：所以32242.58.5mm 1010B V F ε⨯∆===⨯. 2-10图示结构，已知四根杆AC 、CB 、AD 、BD 的长度均为a ,抗拉刚度均为EA ,试求各杆轴力，并求下端B 点的位移。

解：(1)以B 结点为研究对象，受力图如图（a ）所示 由0xF=∑得34F F =得34F F ==以刚性杆为研究对象，受力图如图（b ）所示 由0xF=∑得12F F =F由0yF=∑得12F F ==(2)由于1，2杆的伸长变形，引起CD 刚性杆以及B 结点的下降（如图（c ）） 由于3，4杆的伸长引起B 点的继续下降（如图（d ））则12B B B l l l ∆∆+∆==2-11重G =500N,边长为a =400mm 的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。

已知此麻绳在290N 的拉力作用下将被拉断。

(1) 如麻绳长为1.7m 时，试问此时绳是否会拉断？ (2) 如改变ɑ角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G =500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.即F ⨯而cos α2-12梁BC 移动,解：2本题要求F 的容许值最大，即当力F 作用在距离B 点x 的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即2BD EC F F =此时，对力的作用点求矩得： 解得：3L x=此时，由竖直方向的受力平衡得：2-13图示结构，AC 为刚性杆,BD 为斜撑杆,荷载F 可沿杆AC 移动,试问：为使BD 杆的重量最轻,BD 杆与AC 杆之间的夹角θ应取何值？解：如图所示，取整体为研究对象，对A 点取钜，由0AM=∑得：而[]BDBD F A σ=⨯则1sin 2[]2BD BD BD BD FLA l W A l θσγ⨯=⨯=⨯⨯ 要想使重量最轻，应该使sin2θ最大，即2θ=90º 解得：θ=45º2-14铰接桁架承受水平力F =150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB 杆和CD 杆所需的横截面面积。

解：由零杆的判别条件知，图中BC 杆为零杆。

取整体为研究对象，对A 点取钜，由0AM=∑得：2-15应力。

解：应变能max σ=2-16解：其中：22211(3)2a 922F L F F aU EA EA EA ⨯=== 则：2221291922F a F a F aU U U EA EA EA=+=+= 第三章扭转3-1直径d =400mm 的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力τmax =100Mpa ，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。

解：法1距圆心ρ处切应力为 阴影部分扭矩0.1()0.052d 73.6Me ρρτπρρ=⋅=⎰k m N⋅法2:距离圆心ρ处切应力为()max2dρρττ= 73.6=kN3-2将空心管B 和实心杆A 牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。

管B 和杆A 材料的剪切弹性模量分别为G B 和G A 。

试分别求出该组合杆承受扭矩M T 时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。

答：实心杆：max 2ATA PAA PAB PB PAD M G I G I G I I τ=⋅+，空心管：max2B TB PBA PAB PB PBD M G I G I G I I τ=⋅+解：设实心杆受扭矩a M ，空心管受扭矩b M ，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，且ϕ3-3 解：即：max τ=查表可得，当1hm b==时，0.208β= 所以[][]3max 0.588p T r ωττ≤=正正所以降低为：00162.5k -=3-4受扭转力偶作用的圆截面杆，长L =1m ，直径d ＝20mm ，材料的剪切弹性模量G ＝80GPa ，两端截面的相对扭转角φ＝0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变γ、横截面上的最大切应力τmax 和扭转力偶矩M e 。

答：γ=1×10－3，τmax ＝80MPa ，M e ＝125.6N •m解：由公式P Ml GI ϕ=,P I =432d π得出M e ＝125.6N •m且max τ=P M W =8125.615710-⨯=80MPa ， 由G τγ=，得G τγ==6980108010--⨯⨯=3110-⨯. 3-5圆截面橡胶棒的直径d ＝40mm ，受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86º，如杆长L ＝300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的G ＝2.7MPa ，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩M e 。

解：490864180o o o γπ=-==rad 所以 1.047φ=radmax τ所以F 的重物，解：则∆ϕAC ∆ϕ得Fb （1）得M 解：x M ∑1T =对2-2截面，有0x M ∑=,2()0T m L x T ---+=.2()T xT T L x T L L=--=. 作出扭矩图. (2)杆的应变能2222202()()()d d d 22224L LL Lpp pp x x TT T T x T L L L V x x x GI GI GI GI ε-==+=⎰⎰⎰.第四章 弯曲应力4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。

(a)Fs M +q l 240M 图+qa 429qa 327qa 12M 图(c)(d)222(d)解：（a ）1、计算支反力由平衡方程：0AM=∑即32022B a a F a qa qa ⋅+⋅-⋅=得2B qaF =0Y =∑即0AB FF qa qa ++-=得2A qaF =-2、列剪力、弯矩方程AC 段：2()()(0)222S qaqx qaF x qx M x xx a =-=-<<CB 段：2233()()(2)222S qaqx qa F x qx M x x qa a x a =-+=-+-<<3、作剪力、弯矩图（b ）10A M =∑0Y =∑2AB 段：S F 3（c ）10A M =∑0Y =∑2AC 段：S F CB 段：S F 3（d ）10AM=∑0Y =∑2AC 段：233()()(0)424S qa qx qa F x qx M x x x a =-+=-+<< CB 段：232255()2()(2)24646S qx qa qx qa qa F x qx M x qx x a x a a a =-+=-++<<3、作剪力、弯矩图 4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。

解：（a ）1、计算支反力由平衡方程：0AM=∑即2220B F a qa a qa a qa ⋅+⋅-⋅-=得B F qa =C(e)(c)(d)0Y =∑即20AB FF qa qa +--=得2A F qa =2、列剪力、弯矩方程 CA 段：()()(0)S F x qa M x qax x a =-=-<<AB 段：225()2()2(3)22S qx qa F x qx qa M x qax a x a =-+=-+-<<3、作剪力、弯矩图（b ）10A M =∑0Y =∑2CA 段：S F AD 段：S F DB 段：S F 3（c ）10AM=∑0Y =∑2AB 段：S F BC 段：S F 3（d ）10A M =∑0Y =∑2AC 段：S F CD 段：2277()()(2)6262S qa qx qa qa F x qx M x x a x a =-+=-+-<<DB 段：2555()()(23)662S qaqa qa F x M x x a x a =-=-+<<3、作剪力、弯矩图（e ）1、计算支反力由平衡方程：0C M =∑即2022C a qaM qa qa a +⋅+⋅-=得2C M qa =-0Y =∑即0CFqa qa --=得2C F qa =Fs M ++--qa qaqa qaqa 22qa 22F 图Fs 图M 图N -qa +qa2qa+qa 2qa 23qa 2F 图Fs 图M 图N 2、列剪力、弯矩方程 AB 段：2()0()(0)2S qa F x M x x a ==<<BC 段：22()()(2)2S qx F x qx M x qa a x a =-=-+<<3、作剪力、弯矩图（f ）10A M =∑0Y =∑2CA 段：S F AD 段：S F DB 段：S F 34-3解：4-4解：4-5解：（a ）10A M =∑0X =∑0Y =∑2AB 段：N F BC 段：NF 3（b ）1、计算支反力由平衡方程得223Ax Ay A F qa F qa M qa=-== 2、列内力方程 AB 段：22()()2()23(02)2N S qx F x qaF x qx qa M x qax qa x a =-=-+=-+-<<BC 段：11111()0()()(0)N S F x F x qaM x qax x a ===-<<3、作内力图（c ）1、计算支反力由平衡方程得22A D MMF F aa=-= 2、列内力方程 AB 段：002N S M F F M a ===+--M 2aM2a M 2a MMmBC 段：()0()()(02)22N S M M F x F x M x x x a aa ==-=-<<CD 段：111110(0)()()0()(2)2N S x a M F x F x M x Ma x a a<<⎧=-==⎨-<<⎩3、作内力图（d ）1、计算支反力由平衡方程得322Ax Ay Dy qa qa F qa F F ===2、列内力方程AB 段：3()()()(02)2N S qa F x F x qa M x qax x a =-=-=-<<BC 2211133()()()2(0qx qax qaF x qaF x qx M x qa =-=-+=-+-CD 3由由4FL Fa =-即4La = 4-8试推导梁受均布弯曲力偶m 时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。