第5章 回溯法

X[4]=0
0, 5, 33
X[5]=1 A
X[5]=0
12，6，18
c
X[6]=1
批处理作业调度
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给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理， 然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确 定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作 业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。 批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调 度方案，使其完成时间和达到最小。 t
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第5章 回溯法
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回溯法
• 有许多问题，当需要找出它的解集或者 要求回答什么解是满足某些约束条件的 最佳解时，往往要使用回溯法。 • 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组 织得井井有条的，能避免不必要搜索的 穷举式搜索法。这种方法适用于解一些 组合数相当大的问题。
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4
• 一个复杂问题的解决往往由多部分构成，即，一
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• 应用回溯法解决问题，要求问题的解能表示成一个n 元组(x1,x2,…,xn),其中xi (i=1,2,…n)取自与某个 有限集合si(i=1,2,…,n)。问题的解是使一个规范 函数P (x1,x2,…,xn)得到满足。 • 回溯法解题的大概过程是：不断地用修改过的规范 函数pi (x1,x2,…,xi)去测试正在构造的n元组的部 分向量(x1,x2,…,xi)是否可能导致最优解。如果 (x1,x2,…,xi)不能导致最优解，那么将终止对 (xi+1,xi+2,…,xn)的测试。 • 回溯法求解的问题要求解满足一组约束条件， • 约束条件：显式约束条件，隐式约束条件
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子集和数问题
用回溯法求解的过程也即是生成解空间树的一棵 子树的过程，因为期间将剪掉不能产生可行解的子树 （即不再对这样的子树进行搜索） 。 按照前面关于回溯 算法的基本思想的说明， 搜索是采用深度优先的路线， 算法只记录当前路径。假设当前扩展顶点是当前路径 的 k 级，也就是说当前路径上， xi，1ik 已经确定， 算法要决定下一步搜索目标。此时，有两种情况：
子集和数的
1
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解空间的结构2
2 16
x1=1
3 9
x1=0
17
24
x2=1
3 6 10
x2=0
13 18
x2=1
21
x2=0
25 28
x3=1
4 5
x3=0
7
8 11
x3=1 x3=0
12 14
x323
x3=1
26 27
29
x3=0
30
x4=1
x4=1 x4=1 x4=1 x4=1 x4=1 x4=1 x4=1 x4=0 x4=0 x4=0 x4=0 x4=0 x4=0 x4=0 x4=0
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子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储整个解空 间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。
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回溯法的基本思想
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递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此， 在一般情况下用递归方法实现回溯法。
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } }
ji
tji 作业1
机器1 2
机器2 1
作业2
作业3
3
2
1
3
这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1； 3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20， 21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为 18。
批处理作业调度
k 1i n
, wn}中的元素是按不降的次序排列的，则 合 A{w1 , w2,
上述继续搜索的条件还可以加强为
1ik
wi xi wi M and wi xi wk1 M
k1in 1ik
上述不等式记做 B k 。
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void SumofSub (s,k,r) // 寻找W[1:n]中元素和为M的所有子集。W[1:n]中元素按不降次序排 列，进入此过程时，X[1], . . . , X[k-1] 的值已经确定。 记 s W [ j ] X [ j ] ，r W [ j ] ，假定W[1] M, W [ j ] M 1 j n 1 j k 1 k jn { int M, n; float W[1:n]; bool X[1:n]; float r, s; int k, j; //由于Bk-1=true，因此s + W[k]<= M X[k]=1; // 生成左儿子。 if (s + W[k]= M） print (X[j],j from 1 to k); else if (s + W[k] + W[k+1] <=M ) SumofSub(s+W[k], k+1, r-W[k]); if (s + r – W[k]>=M && s +W[k+1]<=M ) X[k]=0; //生成右儿子 SumofSub (s,k+1,r-W[k]); }
装载问题
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子集和数问题
子集和数问题可以描述成下列的数学问题： 已知：n+1个正数：wi和M。要求找出wi的和数是M的 所有子集。 确定所有向量X= (x1,x2,…,xn) 满足：
xi {0,1}, i 1,2, , n
1 i n
wi xi M
例：若取n=4,(w1,w2,w3,w4)=(11,13,24,7),M=31 则有： (11,13,7) ，(24,7)满足条件,解为 (x1,x2,x3,x4)=（1，1，0，1） (x1,x2,x3,x4) =（0，0，1，1）
个大的解决方案可以看作是由若干个小的决策组
成。很多时候它们构成一个决策序列。
• 解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题
的解空间。解空间中满足约束条件的决策序列称
为可行解。
• 一般说来，解任何问题都有一个目标，在约束条
件下使目标达优的可行解称为该问题的最优解。
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回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策 略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解 空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问 题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根 的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则， 进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
•解空间：排列树
void Flowshop:: backtrack(int i) { if (i > n) { for (int j = 1; j <= n; j++) bestx[j] = x[j]; bestf = f; } else for (int j = i; j <= n; j++) { f1+=m[x[j]][1]; f2[i]=((f2[i-1]>f1)?f2[i-1]:f1)+m[x[j]][2]; f+=f2[i]; class Flowshop { if (f < bestf) { friend Flow(int**, int, int []); private: swap(x,i,j); void Backtrack(int i); backtrack(i+1); int **M, // 各作业所需的处理时间 swap(x,i,j); *x, // 当前作业调度 } *bestx, // 当前最优作业调度 f1-=m[x[j]][1]; *f2, // 机器2完成处理时间 f-=f2[i]; f1, // 机器1完成处理时间 } f, // 完成时间和 }
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0-1背包问题
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旅行商问题
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回溯法的基本思想
(1)针对所给问题，定义问题的解空间；
(2)确定易于搜索的解空间结构；
(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中 用剪枝函数避免无效搜索。
空间上：算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如
果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则
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• 显式约束：对分量xi的取值限定。
• 隐式约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加 的约束。 • 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约 束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
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旅行商问题
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生成问题状态的基本方法
• 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 • 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成 的节点称做活结点 • 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 • 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点 R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩 展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽 搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下 一个儿子（如果存在） • 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成 死结点之前，它一直是扩展结点