数学初二平行四边形判定典型例题
平行四边形的判定含答案
平行四边形的判定一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．62．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．165．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．平行四边形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 解：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，故此选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故此选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故此选项不符合题意；D、当四边形ABCD是菱形时，∠ABD＝∠CBD，故此选项符合题意；故选：D．3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）解：∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝6，∵B（﹣8，2），∴C（﹣2，2），故选：D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．16解：∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，∴BO＝，∴BD＝10，∴△COD的周长＝OD+OC+CD＝5+3+4＝12，故选：C．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等解：A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，∴选项D符合题意；故选：D．9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C解：A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；故选：D．10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．故选：D．11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直解：A、两组邻边相等的四边形是筝形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D解：A、AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，错误；B、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；C、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；故选：A．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C解：D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故选：A．14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个解：①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，故选：A．二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥EC，∵点E是CD的中点，∴，∵，∴AB＝EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝4，，∴，∵，∴AB＝2，∴S平行四边形ABCE＝AB•AC＝2×4＝8．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（ASA），∴EO＝FO，∵AE＝CF，∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO，∵BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，即BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠ACB＝∠DFE，∴∠ACF＝∠DFC，∴AC∥DF，又∵AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，PD＝9﹣t．①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．即6﹣2t＝t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，解得：t＝3．所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．∵AE＝DF，AE∥DF．∴四边形AEDF为平行四边形，∴EO＝FO，AO＝DO，又∵AB＝CD，∴AO﹣AB＝DO﹣CD，∴BO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°；∵将AC绕点E旋转∴ED＝CE，EF＝AE∴△EDC是等边三角形，∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝∠EDC＝60°，∴FD＝AC＝BC，∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，∴∠CDE＝∠ABC＝∠EF A＝60°，∴AB∥FD，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即：BF＝DE又∵∠1＝∠2，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝BC，又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．解：∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，又∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，F是BE的中点，∴BF＝EF，BD＝CD，∴DF∥CE，∴AD∥CE，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ECA，在△DAF和△ECF中，∴△DAF≌△ECF（ASA），∴CE＝AD，∴四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，在Rt△DEC和Rt△BFC中，，∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），∴EC＝AF，∴EC﹣EF＝AF﹣EF即AE＝FC；（2）∵Rt△DEC≌Rt△BFC，∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥DC，又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF＝AD，AB＝AC，∠F AD＝∠BAC＝60°，又∵∠F AB＝∠F AD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠F AB＝∠DAC，且AF＝AD，AB＝AC∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）∵△AFB≌△ADC，∴∠ABF＝∠C＝60°．又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵BE＝FC，∴BE+CE＝FC+CE，即BC＝FE，∵AB∥DF，AC∥DE，∴∠ABC＝∠DFE，∠ACB＝∠DEF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴AB＝DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．。
(完整版)平行四边形性质和判定习题(答案详细)(可编辑修改word版)
平行四边形性质和判定习题L如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE1BD于E- CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF：X _勒（2）若N分别为边AD、BC±的点，且DM=BN.试判断四边形MENF的形状——必说明理由）.2.如图所示，UAECF的对角线相交于点0, DB经过点O分別与AE, CF” p交于B. D.求证：四边形ABCD是平行四边形•3・如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BF=DE, AE丄BD・CF丄BD,垂足分别为E, F.（1）求证J A ABE=A CDF：（2）若AC与BD交于点0,求证：AO=CO.4・已知：如图，他ABC中，^BAC=90\DE.DF是△ABC的中位线，连接EF、EF=AD・5・如图，已知D是A ABC的边AB上一点，CEIIAB,DE交AC于点0,且OA=0C,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关并加以证明・B AD.求证:。
（不CNCBAFED FE系E6・如图，已知，UABCD中，AE=CF, M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形•7・如图，平行四边形ABCD, E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF,连接AE. EG CF, FA ・求证：四边形AECF 是平行四边形•& 在UABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE. DF ・求证：四边形BEDF 是平 行四边形・DBIIAC,且DB 丄AC. E 是AC 的中点，求证：BC=DE ・2如图，在梯形ABCD 中，ADIIBC, AD=24cm. BC=30cm,点P 自点A 向D 以IcmZs 的速度运动，到D 点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形•问当P. Q同时10. 已知脣 点即停止. 出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？IL 如图：已知D 、E 、F 分别是A ABC 各边的中点, 求证：AE 仃DF 互相平分.如图所示, 9・ED13.如图，已知四边形ABCD中，点E, F. G, H分别是AB、CD、AC. BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分・14.如图J oABCD 中，MNIIAC.试说明MQ=NP.15.已知：如图所示「平行四边形ABCD的对角线AC, BD柑交于点6 EF经过点0并且分别和AB. CD相交于点E, F,点G, H分别为OA, 0C的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.-46 如制已知的ABCD中,E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH. 连接GE、EH、HF、FG.（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，尖余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17.如图，在A ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.（1）求证J AF=CE：（2）如果AC=EF,且ZACB=135\试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论・18,如图平行四边形ABCD 中.mBC=6（几 点E 、F 分別在CD.BC 的延长线上，AE||BD ・ EEhBB 垂足为点F, DF=2 （1） 求证：D 是EC 中点； （2） 求FC 的长.19.如图，已知A ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 匕 厶EFB=60。
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
八年级数学(下)第十八章《平行四边形的判定》同步练习(含答案)
八年级数学（下）第十八章《平行四边形的判定》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为A．30 B．40C．50 D．无法计算【答案】B2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C的度数为A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】A【解析】∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°，∵∠D=120°，∴∠C=60°．故选A．3．四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3【答案】B【解析】根据对角相等的四边形是平行四边形，A．1∶2∶3∶4，对角不相等，不能；B．2∶3∶2∶3，对角相等，能；C．2∶2∶3∶3，对角不相等，不能；D．1∶2∶2∶3，对角不相等，不能，故选B．4．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C6．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为A．20 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE =12BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．7．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形A．AE=CF B．DE=BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【答案】BD选项：∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO ，∴DE∥BF，在△DOE和△BOF中，DOE BOF DEO BFO OD OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．故选B．8．如图，E，F分别是□ABCD的边AB，CD的中点，则图中平行四边形的个数共有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=FC=12DC，AE=EB=12AB，∵DC=AB，∴DF=FC=AE=EB，∴四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，∴DE∥FB，AF∥CE，∴四边形FHEG是平行四边形，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是__________．【答案】三角形的中位线等于第三边的一半10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB=4，∠F=∠CDE，则BF的长为__________．【答案】4【解析】因为∠F=∠CDE，所以AB∥CD，因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，因为点E是BC边的中点，所以ED=EF，又因为∠F=∠CDE，∠DEC=∠FEB，所以△ECD≌△EBF，所以BF=CD，所以BF=AB，因为AB=4，所以BF=4，故答案为：4．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF，BD，请你只添加一个条件：__________，使得四边形BDFC为平行四边形．【答案】DE=EC（答案不唯一）【解析】答案不唯一，比如：BD∥CF，构成两组对边分别平行的四边形是平行四边形；DF=BC，构成一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；DE=EC，可以证明BE=EF，构成对角线相互平分的四边形是平行四边形，等等．故答案：DE=EC（答案不唯一）．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足__________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．【答案】AE=CF（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．【解析】∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形，故AE与DF互相平分．14．如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵AE=CF，∴FD=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥FB，DE=FB．∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN．∵DE∥FB，∴四边形MENF是平行四边形．15．如图，点M，N在线段AC上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．求证：∠1=∠2．16．如图1，平行四边形ABCD中，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）在旋转过程中，线段AF与CE的数量关系是__________．⊥，当旋转角至少为__________︒时，四边形ABEF是平行四边形，并证明（2）如图2，若AB AC此时的四边形是ABEF是平行四边形．【解析】（1）相等，理由如下： 如图，在ABCD 中，AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠1=∠2，在△AOF 和△COE 中，1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOF ≌△COE （ASA ）， ∴AF =CE ．（2）当旋转角为90︒时，90COE ∠=︒，如图，又∵AB ⊥AC ， ∴∠BAO =90°， ∠AOF =90°， ∴∠BAO =∠AOF ， ∴AB ∥EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， 即：AF ∥BE ， ∵AB ∥EF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．。
平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形一、知识点复习（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3、三角形的重心（1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。
二、典型例题讲解模块1：平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中，CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。
例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。
（1）求CAE ∠的度数。
（2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF 。
试证明四边形CDEF 是平行四边形。
例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。
变式练习：1.如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点，连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。
2.如图，已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形。
3.如图，四边形ABCD 中，BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。
ABE ∆的周长是cm 25，四边形ABCD 的周长是cm 37，那么=AD cm 。
题型2：添加条件证明平行四边形例题4：如图，在四边形ABCD 中，ACB DAC ∠=∠，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件不能是（ ）A 、BC AD =B 、OC OA = C 、CD AB = D 、 180=∠+∠BCD ABC例题5：A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①CD AB //；②CD AB =；③AD BC //；④AD BC =这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有 种。
八年级数学下册平行四边形的判定练习题
BDCAO图1FEDCBA图2F E D CBA HG FEOAB C DOM ABCD图1FE DCB A4321图3F ED CBA H G 图2F E DCB A八年级数学下册平行四边形的判定练习题识记知识1）定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∵ , ∴四边形ABCD 是平行四边形.2）定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.3）定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.4）定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.5）定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∴四边形ABCD 是平行四边形. 二、平行四边形性质与判定的综合应用例1： 如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。
求证：四边形BFDE 是平行四边形变式一：在□ABCD 中，E ，F 为AC 上两点，BE//DF ．求证：四边形BEDF 为平行四边形．变式二：在□ABCD 中，E,F 分别是AC 上两点，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 为平行四边形想一想：在□ABCD 中， E ，F 为AC 上两点， BE ＝DF ．那么可以证明四边形 BEDF 是平行四边形吗？例2：如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。
求证：EG 和HF 互相平分。
练习1、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC：1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 2、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC = 6cm ,P ,Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？1、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
八年级平行四边形专题练习(含答案)
中考专题复习平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。
（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。
变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。
娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。
例1图 O F E D CB A 例2图探索与创新：【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。
初二数学平行四边形的判定试题
初二数学平行四边形的判定试题1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BCB．AB=DC，AD=BCC．AO=CO，BO=DOD．AB∥DC，AD=BC【答案】D【解析】A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意.2.下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等B．一组对角相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相平分【答案】D【解析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法知D正确．3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB=DC B．∠1=∠2C．AB=AD D．∠D=∠B【答案】D【解析】A、符合条件AD∥BC，AB=DC，不符合平行四边形的判定方法，故本选项错误；B、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故本选项错误；C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故本选项错误；D、∵D∥BC，∴∠1=∠2，∵∠B=∠D，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．4.如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件 _______（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）【答案】AD=BC（答案不唯一）【解析】可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．5.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点．若再增加一个条件________（答案不惟一），就可推得BE=DF．【答案】AE=CF或∠AEB=∠CFD或∠ABE=∠CDF【解析】∵平行四边形ABCD中两组对边平行且相等，∴要使BE=DF.则当AE=CF、∠AEB=∠CFD或∠ABE=∠CDF时，满足BE=DF．6.如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD=11-x，BC=x-5，则当x=_______时，四边形ABCD是平行四边形．【答案】8【解析】∵BD⊥AD，BD⊥BC，∴AD∥BC，只要AD=BC，四边形ABCD是平行四边形．因为AD=BC，所以11-x=x-5，x=8．7.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明：∵CF∥BE，∴∠FCD=∠EBD．∵D是BC的中点，∴CD=BD．∵∠FDC=∠EDB，∴△CDF≌△BDE（ASA）．（2）解：四边形BECF是平行四边形．理由：∵△CDF≌△BDE，∴DF=DE，DC=DB．∴四边形BECF是平行四边形．【解析】（1）利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF；（2）根据（1）的结论和平行四边形的判定容易证明四边形BECF是平行四边形．8.如图，在△ABC中，D是BC上的点，O是AD的中点，过A作BC的平行线交BO的延长线于点E，则四边形ABDE是什么四边形？并说明理由．【答案】四边形ABCD是平行四边形，理由是：∵AE∥BC，∴∠EAO=∠ODB，∠AEO=∠DBO，∵O是AD的中点，∴AO=OD，∵在△AOE和△DOB中∵∠EAO＝∠BDO，∠AEO＝∠DBO， AO＝OD，∴△AOE≌△DOB，∴OB=OE，∵AO=OD，∴四边形ABDE是平行四边形．【解析】根据平行线性质求出∠EAO=∠ODB，∠AEO=∠DBO，证△AOE≌△DOB，推出OB=OE，根据平行四边形的判定求出即可．9.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF，ME∥NF，∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴MF∥NE，∴四边形MFNE是平行四边形．【解析】利用平行四边形的判定定理及定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．10.在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点．（1）当点P在BC边上，过点P分别作PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交AC于点E，如图1．证明：AB=PD+PE；（2）当点P在△ABC外部时，过点P分别作PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交AC于点E，交BC于点F，请你在图2中画出相应的图形，并直接写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系．（不必说明理由）【答案】（1）证明：PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE是平行四边形，∴PD=AE，AD=PE，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠DPB=∠C，∴∠B=∠DPB，∴DP=DB，∴PD+PE=BD+AD=AB；（2）已知如图： PE+PD-PF="AB"【解析】（1）证平行四边形ADPE，推出PD=AE，PE=AD，根据等腰三角形性质推出∠B=∠C=∠DPB，推出DP=DB即可；（2）PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PE+PD-PF=AB，如图2中，PD=AE可证，EF=PE-PF=CE，即PE+PD-PF=AC=AB．。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。
平行四边形的判定练习题(含(答案))
平行四边形的判定及中位线知能点1 平行四边形的判定方法1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形4．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC ，连接AE ，分别交BC ，BD 于点F ，G ，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ，求证：AB=2OF ．12．如图所示，在ABCD 中，EF ∥AB 且交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，BF•交于点M ，连接CF ，DE 交于点N ，求证：MN ∥AD 且MN=12AD ．13．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OE ∥BC 交CD•于E ，•若OE=3cm ，则AD 的长为（ ）． A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm15．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，•则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积．规律方法应用17．如图所示，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，•并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD 中，AB=2AD ，∠A=60°，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF=1cm ，那么对角线BD 的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC 中，E 为AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 于点D ．• 试说明：（1）DE ∥BC ．（2）DE=12（BC-AC ）．开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）•△AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）×（2）×（3）∨（4）∨（5）∨（6）× 5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//12AB，即AB=2OF．12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ． 又∵EF ∥AB ，∴EF ∥CD ．∴四边形ABEF ，ECDF 均为平行四边形．又∵M ，N 分别为ABEF 和ECDF 对角线的交点． ∴M 为AE 的中点，N 为DE 的中点， 即MN 为△AED 的中位线． ∴MN ∥AD 且MN=12AD ． 13．4 14．B15．解：EFGH 是平行四边形，连接AC ，在△ABC 中，∵EF 是中位线，∴EF //12AC ． 同理，GH //12AC ． ∴EF //GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形． 16．解：∵EF ，DE ，DF 是△ABC 的中位线， ∴EF=12AB ，DE=12AC ，DF=12BC ． 又∵AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm ，∴EF=5cm ，DE=3cm ，DF=4cm ，而32+42=25=52，即DE 2+DF 2=EF 2． ∴△EDF 为直角三角形． ∴S △EDF =12DE ·DF=12×3×4=6（cm 2）． 17．解：∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点． ∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12AB ． ∴AB=2MN=2×20=40（m ）．故A ，B 两点间的距离是40m ． 18．解：连接DE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB //CD ． ∵DF=12CD ，AE=12AB ， ∴DF //AE ．∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=1cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2cm ．∵AB=2AD ，∴AB=2AE ，∴AD=AE ． ∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°， ∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE 是等边三角形，∴DE=AE ． ∵AE=BE ，∴DE=BE ，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°． ∴∠ADB=∠3+∠4=90°． ∴BD=222221AB AD -=-=3（cm ）．19．解：延长AD 交BC 于F ．（1）∵AD ⊥CD ，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠FCD ． 在△ACD 与△FCD 中，∠ADC=∠FDC ，DC=DC ，∠ACD=∠FCD ． ∴△ACD ≌△FCD ，∴AC=FC ，AD=DF ．又∵E 为AB 的中点，∴DE ∥BF ，即DE ∥BC ．（2）由（1）知AC=FC ，DE=12BF ． ∴DE=12（BC-FC ）=12（BC-AC ）． 20．解：AE=CF ．理由：过E 作EG ∥CF 交BC 于G ， ∴∠3=∠C ．∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°． ∴∠C=∠BAD ，∴∠3=∠BAD ． 又∵∠1=∠2，BE=BE ， ∴△ABE ≌△GBE （AAS ），∴AE=GE ． ∵EF ∥BC ，EG ∥CF ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴GE=CF ， ∴AE=CF ．21．答案不唯一，如AB=CD 或AD ∥BC ． 22．1223．解：（1）在□ABCD 中，AD=CB ，AB=CD ，∠D=∠B ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴DF=12CD ，BE=12AB ，∴DF=BE ， ∴△AFD ≌△CEB ．（2）在□ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ． 由（1）得BE=DF ，∴AE=CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．。
北师大版八年级数学下册 平行四边形的性质与判定 专题(附答案)
北师大版八年级数学下册平行四边形的性质与判定专题(附答案)综合滚动练：平行四边形的性质与判定一、选择题（每小题4分，共32分）1.在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A 的度数是（）。
A。
100° B。
120° C。
80° D。
60°2.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）。
A。
AB∥CD B。
AB＝CD C。
AC＝BD D。
OA＝OC3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）。
A。
4∶3∶3∶4 B。
7∶5∶5∶7 C。
4∶3∶2∶1 D。
7∶5∶7∶54.平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是（）。
A。
(－2，1) B。
(－2，－1) C。
(－1，－2) D。
(－1，2)5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）。
A。
BE＝DF B。
BF＝DE C。
AE＝CF D。
∠1＝∠26.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E。
若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）。
A。
8 B。
10 C。
12 D。
147.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于（）。
A。
40° B。
50° C。
60° D。
80°8.（2017·龙东中考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（）。
A。
22 B。
20 C。
22或20 D。
18二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知AB∥CD，添加一个条件使得四边形ABCD为平行四边形。
数学八年级平行四边形性质与判定4套练习及答案
平行四边形练习题1平行四边形的性质（一） 一、选择题1.平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为（ ） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定2.平行四边形的周长为24cm ，相邻两边的差为2cm ，则平行四边形的各边长为（ ） A.4cm ，4cm ，8cm ，8cm B.5cm ，5cm ，7cm ，7cm C.5.5cm ，5.5cm ，6.5cm ，6.5cm D.3cm ，3cm ，9cm ，9cm3. 如.则∠A.28C.324. 在5A.6.在□A100二、填7. .8. 9.10.. ∠C 11. 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有对12.如图所示，在ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，CD 至E ，连结EF ，则∠E+∠F= 三、解答题13. 在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝∠C ，求证：四边形ABCD 是平行四边形. 14. 在□ABCD 中, ∠A+∠C=160°, , 求∠A,∠C,∠B,∠D 的度数第11题图 第12题图15. .如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长.16. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且AE ∥CF ，AE 与CF 相等吗？说明理由.课时一答案：一、1.B ，提示：平行四边形的两邻角的和为180°，所以它们的角平分线的夹角为90°；2.B ，提示：设相邻两边为,,ycm xcm 根据题意得⎩⎨⎧=-=+212y x y x ，解得⎩⎨⎧==57y x ；3. B ，提示：根据平行四边形的性质对角相等得∠D ＝∠ABC=120°，邻角互补得∠CAB +∠CAD+∠D =180°，则∠CAB =180°-32°-120°=28°；4. D ，提示：根据平行四边形的对角相等，得对角的比值相等故选D ；5.A ；6.B ，由题意得∠A =60°，根据平行四边形的邻角互补，得∠B =180°-60°=120°； 二、7.3提示：°11.4；三角形三、∴AD 14.解:又∵∠∵在□∴∠B 15. 解：∵∵∴16. AE =平行四边形的性质（二）1. 如图所示，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长x 的取值范围是________.2.长为（ A.8.3 3. ，交AD4.为（ A.155. 已知ABCD ，求证：6. 为E 、7.已知O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，△AOB 的面积为1，则平行四边形的面积为（ ）第3题图A.1B.2C.3D.48.平行四边形的对角线分别为y x ,，一边长为12，则y x ,的值可能是下列各组数中的（ ） A.8与14 B.10与14 C.18与20 D.10与28 9. □ABCD 中，若,6,10,30cm AB cm BC B ===∠ 则□ABCD 的面积是 .10. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45°，且AE+AF=则平行四边形ABCD 的11.点E ，F 分别在AC,AB 上，且DE ∥求证：12. M 、N ，•点（1（2第10题图 第11题图课时二答案：1. 10＜x ＜22，提示：根据三角形的三边关系得11215<<x ，解得2210<<x ；2. B ；3. BC =AD =4.8；4.A ；提示：根据面积法求出邻边的比为3∶2，则邻边为7.5，5，则面积为7.5×2=15cm 2；5. 证明：∵ABCD ,∴OA =OC ,DF ∥EB ∴∠E =∠F ,又∵∠EOA =∠FOC ∴△OAE ≌△OCF ,∴OE =OF ；6. OE =OF , 在□ABCD 中，OB=OD ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ∴∠BEO ＝∠DFO ，又∠7.D 边，若11.∴∠B=12. （ 在∴∠平行四边形的判定（一） 一、选择题1.下列条件中不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB ∥CD ，AB=CD C.AB=CD ，AD ∥BC D. AB ∥CD ，AD ∥BC2.已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，分别添加下列条件之一：①AB ∥CD ；② AB=CD, ③AD=BC ，④∠A=∠C ，⑤∠B=∠D ，能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.13.4. 5.为平行四边形，6.如图所示，ABCD E 、7.如图所示，在ABCD 且8. 9.ABCD 行四边形.10. 如图所示，BD 是ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥四边形AECF 为平行四边形.11. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线A C、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形.12.CE课时三答案：一、1.C ；2.B ，提示：AD ∥BC ，添加条件①③④能使四边形ABCD 成为平行四边形;3.C ；4.B ；二、5. AD =BC （或AB ∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ）；6.30°，6，9；7.对角线互相平分；8. 3； 三、9.在ABCD 中，AD=CB,AB=CD,∠D ＝∠B ，∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF=BE ， 又∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴AE=CF ，∴四边形AECF 是平行四边形. 10. 证明：∵ABCD∴AB =CD ,AB ∥CDAE ∴11. 12. 证明：BC ∴又 ∴△BE ∴BE ∴连结 BO ∴又 AE ∴EO ∴∴BE DF ∴∥课时四平行四边形的判定（二）1.如图所示，D 、E 、F 为△ABC 的三边中点， 则图中平行四边形有（ ） A.1个 B2个 C 3个 D.4个2. D 、为20A.153.4.□分别是5. 连结6. (1)(2)7. BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ，路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路，路线是B →D ，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站，请说明理由.第1题图第6题图8. 如图所示，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=12BE．9..10.是OA11.如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？第9题图第10题图课时四答案：1.C;2.D ，提示：根据三角形中位线的性质定理：;21,21DEF LMN ABC DEF L L L L ∆∆∆∆== 3.26或22，提示：当两腰上的中位线长为3时，则底边长为6，腰长为10，三角形的周长为26，当两腰上的中位线长为5时，则底边长为10，腰长为6，三角形的周长为22；4.平行四边形 ；5.平行四边形；6.证明：(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ．∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E 是AD 的中点，∴ AE=DE ．∴△ABE ≌△DFE ．(2)四边形ABDF 是平行四边形．∵△ABE ≌△DFE∴AB=DF 又AB ∥CF ．∴四边形ABDF 是平行四边形．7.解：∵BA ∥DE ，BD ∥AE ，∴四边形ABDE 是平行四边形∴AB=DE ，BD=AE ，又EF=FC 且AF ∥BC ，EC ⊥BC ，∴DE=DC ，∴EA+AE+EF=BD+DC+CF ，∴二人同时到达F 站.8.证明：(1)∵BD=CD ，∴∠BCD=∠1．∵ ∠l=∠2，∠BCD=∠2．∴CD ∥AB ．(2) ∵ CD ∥AB ∴∠CDA=∠3．∠BCD=∠2=∠3．且BE=AE ．且∠CDA=∠BCD ．∴DE=CE ．在△BDE 和△ACE 中， DE=CE ，∠DEB=∠CEA ，BE=AE ．∴△BDE ≌△ACE(3) ∵△BDE ≌△ACE∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°．∴∠ACH=90°一∠BCH又CH ⊥AB ，．∴ ∠2=90°一∠BCH∴∠ACH=∠2=∠1=∠4．AF=CF∵∠AEC=90°一∠4，∠ECF=90°一∠ACH∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF ．CF=EF ．∴ EF=AFO 为AB 中点，OF 为△ABE 的中位线 ∴OF=12BE 9. 线段AC 与EF 互相平分.理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB ∥CD ,即AE ∥CF ，AB =CD ，∵BE =DF ，∴AE =CF∴四边形AECF 是平行四边形，∴AC 与EF 互相平分.10.是平行四边形,△AOE ≌△COF .11是平行四边形，四边形AMCN 、BMDN 是平行四边形.。
八年级数学下册第十八章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定练习人教版
18.1.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定（1）1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=CO = cm，DO=BO= cm时，四边形ABCD为平行四边形．（3）若∠A=65°，∠B=115°，那么当∠C=°，∠D= °时，四边形ABCD为平行四边形．2、一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A、88°，108°，88°B、88°，104°，108°C、88°，92°，92°D、88°，92°，88°3、在四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD是平行四边形，则应满足的条件是（）A、∠A+∠C=180°B、∠B+∠D=180°C、∠A+∠B=180°D、∠A+∠D=180°4、下列能判定四边形一定为平行四边形的个数有（）（1）两组对边分别相等的四边形。
（2）两组对边分别平行的四边形。
（3）两组对角分别相等的四边形。
（4）有两组邻角分别互补的四边形。
（5）两组对角线互相平分的四边形。
（6）两条对角线相等的四边形。
A、2B、3C、4D、55、已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．6、如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点。
PFED CBA求证：四边形EFGH 是平行四边形。
7、如图，在四边形ABCD 中，AD=12，DO=BO=5，AC=26，∠ADB=90°。
求BC 的长和四边形ABCD 的面积。
8、如图，ABC ∆是等边三角形，P 是三角形内任一点，,//,//BC PE AB PDAC PF //，若ABC ∆周长为12，求PD+PE+PF 的值．18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2）一、选择——基础知识运用1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A ．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对边分别相等D．一组对边平行且相等2．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（）A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°3．分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（）①再加上条件“BC=AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．③再加上条件“AO=CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．A．①和② B．①③和④C．②和③D．②③和④5．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（3，1）B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）二、解答——知识提高运用6．如图，凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求证：ABCD是平行四边形。
初中数学平行四边形经典例题讲解(3套)
平行四边形经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE ．A B EFC【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【答案】解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A DCBA D BC连接∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A D BC连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=DEF CA B【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)． （2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．如图，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．A D C BE B C E DA F P F【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF⊥∴∠+∠=°2390四边形ABCD为正方形∴∠=∠=°90B C∴∠+∠=°1390∠=∠12°，∠=∠==DAM ABE DA AB90∴△≌△DAM ABE∴=DM AE=AE EP∴=DM PE∴四边形DMEP是平行四边形．解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在AB边上取一点M，使AM BE=，连接ME、MD、DP．，°=∠=∠=AD BA DAM ABE90∴△≌△Rt RtDAM ABE，∴=∠=∠DM AE14∠+∠=°15904590∴∠+∠=°∴⊥AE DMAE EP⊥∴⊥DM EP∴四边形DMEP为平行四边形B CE D AF P5 41 M6．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．yx O【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线解：（1）根据题意，得0 4202.a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，yx OB AD C(x =m ) (F 2)F 1E 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2）当EDB AOC △∽△时， 得AO CO ED BD =或AO CO BD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=， ∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∵点1F 在抛物线的图象上， ∴22(1)3(1)22m m m -=--+--， ∴2211140m m -+=，∴(27)(2)0m m --=， ∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEF S =⨯=． 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，， ∴166ABEF S =⨯=．注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．7．已知：如图在ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F 。
平行四边形性质和判定习题(答案详细)
平行四边形性质和判定习题1．如图,已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示,▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF 交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD,CF⊥BD，垂足分别为E,F．（1)求证：△ABE≌△CDF；（2)若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证:EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O,且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知,▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证:四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证:四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中,分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE、DF．求证:四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm,BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D 点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q 同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点,求证：AE与DF互相平分．12．已知:如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图,已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G,H分别为OA,OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点,BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2)若点G、H分别在线段BA和DC上,其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1)求证:AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1)求证:D是EC中点；(2）求FC的长．19．如图,已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．如图,四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．(1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形?如果是，请证明之,如果不是，请说明理由．23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内(如图2)，△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．24．如图1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM,连接DE．探究:(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;(2）请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;（3）经历（2）之后,如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明；（注意:错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC"，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．。
(完整版)平行四边形的性质及判定典型例题
平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。
重点突围：专题05 平行四边形的判定与性质(原卷版)-人教八下期中综合复习
八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05平行四边形的判定与性质【典型例题】1．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若△ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东安丘·八年级期末）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC 的延长线上，若△DCE＝128°，则△A＝（）A．32°B．42°C．52°D．62°2．（2022·山东龙口·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB△AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（）A B．8cm C．3cm D．3．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图，直线EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD 面积的（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12 4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE △AC ，交AD 于点E ，连接CE ，若△CDE 的周长为8，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．205．（2022·福建泉港·八年级期末）如图，点E 、F 分别是▱ABCD 边AD 、BC 的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG =DH ．则下列结论中不正确的是（ ）A ．GF EH =B ．四边形EGFH 是平行四边形C ．EG FH =D ．EH BD ⊥6．（2022·安徽庐江·九年级期末）如图①，在▱ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B 运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ，y 是x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a 值为（ ）A ．B ．C ．14D ．18二、填空题7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分△ABC，与AD 交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为___．8．（2022·全国·八年级课前预习）四边形ABCD中，AD△BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个条件即可）．9．（2022·山东莱芜·八年级期末）如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为_____．10．（2021·广东阳东·一模）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，△D＝108°，则△BAC＝___．11．（2021·山东任城·七年级期中）如图，四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC，且△BAD、△ADC 的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．12．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期末）在四边形ABCD中，AD△BC，BC△CD，BC ＝10cm，M是BC上一点，且BM=4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为_____时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 为平行四边形，△BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：BE ＝CD ；(2)连接BF ，若BF ⊥AE ，△BEA ＝60°，AB ＝2，求平行四边形ABCD 的面积．14．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于О点，DE AC ⊥于E 点，BF AC ⊥于F ．(1)求证：四边形DEBF 为平行四边形；(2)若20AB =，13AD =，21AC =，求DOE △的面积．15．（2022·全国·八年级）已知，在ABCD中，E是AD边的中点，连接BE．（1）如图①，若BC=2，求AE的长；（2）如图②，延长BE交CD的延长线于点F，求证：FD=AB．16．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE DF∥，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的13的所有三角形．17．（2021·全国·八年级课时练习）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F是BD 上的两点．BE DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由；（1）当,∠满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由．（2）当AEB∠与CFD18．（2021·江苏射阳·九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，△ACB＝△CAD＝90°，点E在BC上，AE△DC，EF△AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分△BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．19．（2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若△B＝30°，△CAB＝45°，AC=，求AB的长．20．（2022·山东莱芜·八年级期末）点E 是▱ABCD 的边CD 上的一点，连接EA 并延长，使EA ＝AM ，连接EB 并延长，使EB ＝BN ，连接MN ，F 为MN 的中点，连接CF ，DM ．(1)求证：四边形DMFC 是平行四边形；(2)连接EF ，交AB 于点O ，若OF ＝2，求EF 的长．21．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，△ABC ，△BCD 的平分线分别交AD 于点E ，F ，线段BE ，CF 相交于点G ．（1）问：线段BE 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝3，CF ＝4，求BE 的长．22．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校八年级期末）如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OB 和OD 上，且AEB CFD ∠=∠．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若90AEB =︒∠，4AE =．且45EAF ∠=︒，求线段AC 的长．23．（2021·浙江下城·八年级期末）在四边形ABCD中，已知AD△BC，△B＝△D，AE△BC于点E，AF△CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．24．（2022·江苏·八年级专题练习）已知如图，在▱ABCD中，点F是▱ABCD内一点，AB△BF，AB＝BF，过点F作FE△AD，垂足为点E．(1)如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；(2)如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)证明题专题训练(含答案)
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形． 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。
初二数学下册知识点《平行四边形的判定》150题及解析
初二数学下册知识点《平行四边形的判定》150题及解析副标题一、选择题（本大题共72小题，共216.0分）1.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．2.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如对角线垂直的等腰梯形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选：B．根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠APE，∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4.顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（）A. 5种B. 4种C. 3种D. 1种【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理可得出答案．【解答】解；当①③时，四边形ABCD为平行四边形；当①④时，四边形ABCD为平行四边形；当③④时，四边形ABCD为平行四边形；故选C．5.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．6.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. AB∥DC，AD∥BCB. AB=DC，AD=BCC. AO=CO，BO=DOD. AB∥DC，AD=BC【答案】D【解析】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选：D．根据平行四边形判定定理进行判断．本题考查了平行四边形的判定．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．8.下列说法错误的是A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【解析】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．根据平行四边形的判定定理进行分析即可．此题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．9.下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AD∥BC，AB∥CDB. AB∥CD，AB=CDC. AD∥BC，AB=DCD. AB=DC，AD=BC【答案】C【解析】解：A、由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B、由AB∥CD，AB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C、由AD∥BC，AB=DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；D、由AB=DC，AD=BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：C．根据平行四边形的判定方法一一判断即可；本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．10.在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种【答案】B【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、②④、①③、③④．故选：B．根据平行四边形的判定方法中，①②、②④、①③、③④均可判定是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AB∥DC，AD=BCB. AB∥DC，AD∥BCC. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD【答案】A【解析】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．12.在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边相等，一组对角相等C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线【答案】C【解析】解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选：C．根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．13.顺次连接一个四边形各边中点得到一个平行四边形，则原四边形( )A. 一定是平行四边形B. 一定是梯形C. 一定是等腰梯形D. 可以是任意四边形【答案】D【解析】【分析】本题考查了中位线的性质和平行四边形的判定，掌握中位线定理是解决问题的关键.由中位线定理可知EH∥BD，EH=BD，同理可证FG∥BD，FG=BD，所以得到FG∥EH，FG=EH，故四边形EFGH为平行四边形.从证明可以看出，对原四边形没有要求，任意四边形即可.【解答】解：连接BD，∵E，H为AB，AD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH=BD.同理，FG∥BD，FG=BD.∴FG∥EH，FG=EH.∴四边形EFGH为平行四边形.∴顺次连接四边形各边中点得到一个平行四边形，则原四边形可以是任意的四边形.故选D.14.已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，则（）①②A. 四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形B. 四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形C. 四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形D. 四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定以及新定义问题等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.【解答】解：∵四边形ABCD是等对角线四边形，∴AC=BD，∵题图①中四边形EFGH的四个顶点分别是是四边形ABCD四条边的中点，∴EH//BD，EH=BD，GF//BD，GF=BD，HG//AC，HG=AC，EF//AC，EF=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EH=HG，∴EFGH是菱形，∴四边形EFGH不是等对角线四边形.∵题图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，∴四边形ACLK、四边形KBDN、四边形KLMN是平行四边形，∴AC=KL，KN=BD，∵AC=BD，∴KL=KN，∴KLMN是菱形，∴四边形KLMN不是等对角线四边形.故选B.15.下列说法错误的是（）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】D【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；D、一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形，不一定是平行四边形；故选：D．根据平行四边形的定义即可判断；本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．16.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理有关知识，若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以.【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以.故选D.17.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )A. AD＝BCB. CD＝BFC. ∠A＝∠CD.∠F＝∠CDF【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定.把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D 为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB，则四边形ABCD是平行四边形. 本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【解答】解：∵∠F＝∠CDE，∴CD∥AF，在△DEC与△FEB中，，∴△DEC≌△FEB（ASA），∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，∴AB∥DC，∵AB＝BF，∴DC＝AB，∴四边形ABCD为平行四边形．故选D.18.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. OA=OC，OB=ODB. AD∥BC，AB∥DCC. AB=DC，AD=BCD. AB∥DC，AD=BC【答案】D【解析】解：A、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；B、∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；C、AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；D、AB∥DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．故选：D．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．19.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．20.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A. 当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【解析】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴选项D不正确；故选：B．由平行四边形的判定方法得出选项A不正确、选项B正确；由矩形和正方形的判定方法得出选项C、选项D不正确．本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．21.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.22.下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A. AD∥BC，AB∥CDB. AB∥CD，AB＝CDC. AD∥BC，AB＝DCD. AB＝DC，AD＝BC【答案】C【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定方法，根据平行四边形的判定方法一一判断即可.【解答】解：A.由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B.由AB∥CD，AB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C.由AD∥BC，AB=DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；D.由AB=DC，AD=BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；故选C.23.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．24.点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种【答案】B【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．故选：B．根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、②④均可判定是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3种来判定．25.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．26.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．27.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】A【解析】解：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接各边中点E、F、G、H，连接AC、BD，∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°．28.已知四边形ABCD，有以下四个条件：（1）AB=AD，AB=BC；（2）∠A=∠B，∠C=∠D；（3）AB∥CD，AB=CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据平行四边形的判定定理知，（1），（2）不符合是平行四边形的条件；（3）（4）满足四边形是平行四边形．故选：B．平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．29.下列说法中错误的是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形D. 两条对角线相等的菱形是正方形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等、平分进行判定即可得出结论．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．【解答】。
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##教育学科培训师辅导讲义
讲义编号
学员编号年级初二课时数 2 学员姓名辅导科目数学学科培训师钟老师总课次数剩余课次数教务长签字
课题平行四边形判定典型例题
备课时间2014年3月29日授课时间2014年3月30日
教学目标熟练掌握平行四边形的判定定理，并能灵活运用其定理进行几何相关应用
重点、难点
考点及考试要求灵活运用平行四边形性质及判定定理进行几何相关应用
教学内容
平行四边形的性质
①平行四边形的对边平行且相等四边形ACBD为平行四边形⇒AB CD
∥、AD BC
∥
②平行四边形的对角相等；四边形ACBD为平行四边形
A C
B D
⇒∠=∠∠=∠
，
③平行四边形的对角线互相平分四边形ACBD为平行四边形OA OC OB OD
⇒==
，
④平行四边形是中心对称图
形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称。
四边形ABCD为平行四边形，E、F在AD，BC上，且线段EF过点O⇒OE＝OF
平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形．
2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形
5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
典型例题
1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状．
2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别
与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连
接EF、AD．求证：EF=AD．
5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，
DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
10．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．
11．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
12．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）
13．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED 的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
15．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
16．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．
（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．
课后作业
1．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．
2．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2
（1）求证：D是EC中点；
（2）求FC的长．
3．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．。