12全排列和对换
组合数学12种状态公式
组合数学12种状态公式组合数学是一门研究集合的组合方式和性质的数学学科。
在组合数学中，有许多重要的状态公式被广泛应用于不同的领域。
本文将介绍其中的12种状态公式，并探讨它们的应用。
1. 排列公式（Permutation Formula）排列是从一组元素中选取若干个元素进行排列组合的方式。
排列公式可以表示为P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素个数。
排列公式在密码学、密码破解、组合优化等领域有广泛的应用。
2. 组合公式（Combination Formula）组合是从一组元素中选择若干个元素形成一个子集的方式。
组合公式可以表示为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选择的元素个数。
组合公式在概率论、统计学、图论等领域有重要的应用。
3. 多项式系数公式（Binomial Coefficient Formula）多项式系数是组合数学中的一种重要概念，表示在多项式展开中各项的系数。
多项式系数公式可以表示为C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，其中n表示元素的总数，k表示选择的元素个数。
多项式系数公式在概率论、统计学、组合优化等领域有广泛的应用。
4. 二项式定理（Binomial Theorem）二项式定理是组合数学中的重要定理，用于展开(x + y)^n的多项式表达式。
根据二项式定理，(x + y)^n可以展开为n+1个项的和，每一项的系数由多项式系数公式给出。
二项式定理在代数学、概率论等领域有广泛的应用。
5. 斯特林公式（Stirling Formula）斯特林公式是用于近似计算阶乘的公式，可以表示为n! ≈ sqrt(2πn) * (n/e)^n，其中n为正整数，e为自然对数的底。
斯特林公式在概率论、统计学、数论等领域有重要的应用。
6. 贝尔数（Bell Numbers）贝尔数是组合数学中的一种数列，表示将n个元素划分为不同的非空子集的方式的总数。
全排列和对换解析
全排列和对换是组合数学中的重要概念，用于描述排列和组合的规律和性质。
全排列是指将n个不同元素按照一定顺序排列成一个有序序列的方法数。
全排列可以用递归的方式定义，即P(n)表示n个元素的全排列个数，则有：
P(n) = n * P(n-1)
其中，P(1) = 1。
例如，当n=3时，全排列的个数为：
P(3) = 3 * P(2) = 3 * 2 = 6
即有6种不同的排列方式，分别是(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)。
对换是指将两个元素交换位置的一种操作。
对换可以用递归的方式定义，即C(n, k)表示从n 个不同元素中取出k个元素的组合个数，则有：
C(n, k) = n * (C(n-1, k-1) + C(n-1, k))
其中，C(1, 0) = 1，C(n, 0) = 1。
例如，当n=3，k=2时，从3个不同元素中取出2个元素的组合个数为：
C(3, 2) = 3 * (C(2, 1) + C(2, 2)) = 3 * (1 + 2) = 7
即有7种不同的组合方式，分别是(1,2)、(1,3)、(2,3)、(2,1)、(3,1)、(3,2)、(2,1,3)。
需要注意的是，对换是一种破坏性的操作，它会改变原有的排列或组合的顺序。
因此，在计算全排列和组合的个数时，对换应该被视为一种额外的操作，需要在计算结果中加以考虑。
全排列的生成算法
全排列的生成算法全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。
任何n 个字符集的排列都可以与1～n的n个数字的排列一一对应，因此在此就以n个数字的排列为例说明排列的生成法。
n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。
所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。
每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。
全排列的生成法通常有以下几种：字典序法递增进位数制法递减进位数制法邻位交换法递归类算法1.字典序法字典序法中，对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。
例如对于5个数字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。
按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。
字典序算法如下：设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即j=max{i|pi<pi+1}2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）3）对换pi，pk4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p’’=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。
例如839647521是数字1～9的一个排列。
从它生成下一个排列的步骤如下：自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4 839647521在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5 839647521将5与4交换 839657421将7421倒转 839651247所以839647521的下一个排列是839651247。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线代1-2全排列和对换
•奇排列：逆序数为奇数的排列; •偶排列：逆序数为偶数的排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.
(1) 217986354.
217986354
解: 该排列逆序数为:
0 1001344 5
t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列.
1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个; 2. 排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法.
(2) n(n–1)(n–2) ···2 1 解: n (n–1) (n–2) ···2 1
0 1 2 ···(n–2) (n–1)
于是此排列的逆序数为:
t = 0+1+2+ ···+(n–2)+(n–1) nn 1,
2 当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时 为奇排列.
四、对换与排列奇偶性的关系
定理1: 排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论1: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排 列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论2: n个自然数的所有排列中奇偶排列各占一半.
证明: 先考虑相邻对换的情形. 例如 a1 a2 ···al a b b1 ···bm 对换 a与b a1 a2 ···al b a b1 ···bm 即除 a, b 外, 其它元素的逆序数不改变.
当 a<b 时, 对换后 a 的逆序数增加1, b 的逆序数不变; 当 a>b 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1; 因此, 相邻对换排列改变奇偶性.
行列式概念
全排列算法解析(完整版)
void Permutation(int A[], int m, int n) {
int i, int temp; if(m = = n)
{ for(i = 0;i<n;i++) { if(i != n-1) printf("%d ",A[i]); //有加空格 else printf("%d" A[i]); //没加空格 } //直接输出，因为前 n-1 个数已经确定，递归到只有 1 个数。 printf("\n"); return;
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
线性代数(同济六版)知识点总结
个
2.矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于 0。
常用：
1）对于 n 阶方阵 A，R(A)=n(称 A 满秩)?
?A 可逆
2）若 ，则 R(A)=R(B) 3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 3.给定向量组 A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数 k1,k2,…,km，表达式
k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合。k1,k2,…,km 称为这个线性组合的系数． 4.给定向量组 A：a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm，使得
：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，B 就变成了所求的
二、矩阵的秩
1.k 阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
5.伴随矩阵：其中 是 的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）
A11 A21
An1
6.逆矩A阵：B对为于A A的n1阶逆2 方矩阵阵A，A22，记如为果有 n。A阶且n方2A阵的B逆，注矩使阵意得的是：第A唯B元=j一B素A行的=E第。，的则i代列称数（A 余可类逆子似，式于转置是）位于
全排列和对换
则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
二、对换的定义
定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换． 例如：
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形．
定义：当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称 这两个元素组成一个逆序．
例如：在排列32514中，
逆序
32514
逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序．
定义：排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．
排列 i1i2 … in 的逆序数通常记为 t ( i1i2…in ) ． 奇排列：逆序数为奇数的排列． 偶排列：逆序数为偶数的排列．
§2 全排列和对换
定义：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排 列．n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示．
问题：把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？ 显然 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n! 即 n 个不同的元素一共有 n! 种不同的排法．
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因 而是偶排列．
线性代数1.2全排列与逆序数
的奇偶性， .
而标准排列是
0 )，因此知推论成立
推论2：n元排列中（n>1,n！个排列）奇排列偶排列 各占一半。
计算排列的逆序数的方
法 :
设 p 1 p 2 p n 为 n 个自然数的一个排列，
考虑元素 p i ( i 1、、 n )， 2 p i 前面的元素有 t i 个，
如果比 p i大的且排在
就是说 pi 这个元素的逆序数为t i .
全体元素的逆序数 即是这个排列的逆序数 之和 . t t1 t 2 t n
n 个不同元素的所有排列
的种数，通常用
Pn 表示 .
Pn n ( n 1) 3 2 1 n!
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中， 3排在首位，逆序数为 0； 2前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为 0； 1前面比1大的数有三个（3、2、5）,故逆序数为3； 4前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 ( 32514 ) 0 1 0 3 1 5 .
解
n 1 n ( n 1 )( n 2 ) 321 n 2
t ( n 1) ( n 2 ) 2 1
n( n 1) 2
,
当 n 4k ,
4 k 1时为偶排列，
4 k 3时为奇排列 .
ti ,
i1
n
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.
(1 ) 217986354 ;
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t ( 217986354 )
线性代数(同济六版)知识点总结
0 a11a22...ann
副三角跟副对角相识
an1 an2 ... ann
对角行列式：
副对角行列式：
λ1 λ2
λ 1λ 2...λn
λn
6. 行列式的性质：
λ2
λ1
n ( n1 )
(1) 2 λ 1λ 2 λ n
λn
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
②互换行列式的两行（列），行列式变号。
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做 aij 的余子式，记为 Mij
代数余子式：记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理
a11 a12 (b1 j c1 j ) a1n
a21 a22 (b2 j c2 j ) a2n
an1 an2 (bnj cnj ) ann
a11 a12 b1 j a1n a11 a12 c1 j a1n
a21
a22
b2 j
a2n
a21
a22
c2 j
a2n
(3) ( A)T AT ; (4) ( AB)T BT AT .
设 A 为 n 阶方阵，如果满足
，即
，则 A 为对称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
12基本的组合计数公式
集合的排列
定义12.1 从 n 元集 S 中有序、不重复选取的 r 个元素 称为 S 的一个 r 排列，S 的所有 r 排列的数目记作
P(n,r)
定理12.1
P(n,
r
)
(n
n! r
)!
nr
0 n r
证明 使用乘法法则
推论1 S 的环排列数 = P(n, r) r
132-27
n C(n 1,r 1) r
射函数有多少个？
有 nn 个函数 有n！个双射函数
132-4
例2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
(3) C(n, r)=C(n1,r1)+C(n1,r)
132-28
证明方法
方法1：公式代入并化简 方法2：组合证明
实例：证明 C(n, r) = C(n, nr) 证 设 S ={1, 2, …, n}是n元集合，对于S 的任意 r-组合 A={a1, a2, …, ar}，都存在一个S 的 nr 组合SA与之对应. 显然不同的 r 组合对应了不同的 nr 组合，反之也对，因 此 S 的 r 组合数恰好与 S 的(nr)组合数相等.
132-16
例3
6个人围坐在圆桌上，有多少种不同的坐法？通过 转圈得到的坐法视为同一种坐法。
解 6个人围坐在圆桌上，
F
E
有120种不同的坐法。
B
1-2-全排列和对换
则此排列的逆序数为 tt1t2Ltn
r t a 1 L t a l r b r a t b 1 L t b m
r t ( r a r b ) ( t a t b ) ( r a t a ) ( r b t b )
当 a b 时， ra ta 1 ，rb t b ， r t 1 ．
当 a b 时， ra t a ， rb tb 1 ， r t 1 ．
.
7
二、对换的定义
定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如：
a1Lal abb1Lbm a 1L a lab 1L b m bc 1L c n
a1Lal bab1Lbm a 1L a lbb 1L b m ac 1L c n
a1Lal bab1Lbm
r t a 1 L t a l r b r a t b 1 L t b m
.10ຫໍສະໝຸດ t t a 1 L t a l t a t b t b 1 L t b m a1Lal abb1Lbm
a1Lal bab1Lbm r t a 1 L t a l r b r a t b 1 L t b m
因此相邻对换改变排列的奇偶性．
.
12
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
a 1L a lab 1L b m bc 1L c n
12全排列和对换
作业：
P21 习题一 2.(2)(4)(5)(6)
14
kg2k [1 (2k 1)]gk k 2,
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
8
2 2k12k 122k 232k 3L k 1k
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
2
二、全排列的逆序数
先规定一个标准次序.
如自然次序： 1 2 3 4 L (n 1) n
逆序：两个元素的次序与标准次序不同，就说有
1个逆序. 逆序数：排列中所有逆序的总数. n 6时， 12 3456 ---标准次序
偶排列： 14 2 356 ---有 2 个逆序
42
逆序数
43
奇排列： 3 21456 ---有 3 个逆序
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5 18. (2) n (n 1) (n 2) L 3 2 1
0 1 2 L n3 n2 n1
t 0 1 2 L (n 3) (n 2) (n 1) n(n 1) . 2
21
31
32
3
逆序数的计算方法
方法1 分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，它们 之总和即为所求排列的逆序数.
例1 求排列32514的逆序数.
解
32514
0 1 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
4
方法2
分别计算出排在 1,2, … n-1 的位置上的数后面比 它小的数码之和，即分别算出 1,2, … n-1 这 n-1
全排列——邻位对换法
全排列——邻位对换法（算法）全排列——邻位对换法一个能够快速生成全排列的算法叫做邻位对换法，它之所以较快，是因为邻位对换法中下一个排列总是上一个排列某相邻两位对换得到的，只需一步，就可以得到一个新的全排列，而且绝不重复，但是由于每将n从一端移动到另一端后，就需要遍历排列2次，来寻找最大的可移数m，所以速度得到了限制。
它的原理是：[n]的全排列可由[n-1]的全排列生成：给定[n-1]的一个排列п,将n 由最右端依次插入排列п ，即得到n 个[n]的排列：P1 P2 … P(n-1) nP1 P2 … n P(n-1)n P1 P2 … P(n-1)对上述过程，一般地，对i，将前一步所得的每一排列重复i次，然后将i由第一排的最后往前移，至最前列，正好走了i次,下一个接着将i放在下一排列的最前面，然后依次往后移，一直下去即得i元排列。
考虑{1,2…n}的一个排列，其上每一个整数都给了一个方向，如果它的箭头所指的方向的邻点小于它本身，我们称整数k是可移的。
显然1永远不可移，n除了以下两种情形外，它都是可移的:(1) n是第一个数，且其方向指向左侧(2) n是最后一个数，且其方向指向右侧于是，我们可按如下算法产生所有排列：1，开始时：存在排列123…n，除1外，所有元素均可移，即方向都指向左侧。
2，当最大元素n可移动时，将其从一端依次移动到另一端，即可得到n-1个全排列；当n移动到某一端后，不能再移动，此时寻找最大的可移数m，将m与其箭头所指的邻数(这个数当然不会是N，否则怎么可移)互换位置，这样就又得到一个新的全排列；将所得新排列中所有比m大的数p的方向调整，即改为相反方向，这样使得n又成了可移数。
3，重复第2步直到所有的元素都不能移动为止。
以4个元素的排列为例，首先生成全排列1 2 3 4；找到最大的可移数4，将4与其箭头所指的邻数互换位置，可以生成3个新排列：1 2 4 31 42 34 1 2 3因为没有比4更大的数p，所以无需调整p的方向。
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定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明：略
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
12
四、小结
➢ n个不同的元素的所有排列种数为 n!. ➢ 排列具有奇偶性. ➢ 逆序数的计算方法:
计算每个元素的逆序数， 其和为所求排列的逆序数.
解 (1) 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 10 01 3 44 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5 18. (2) n (n 1) (n 2) L 3 2 1
0 1 2 L n3 n2 n1
t 0 1 2 L (n 3) (n 2) (n 1) n(n 1) . 2
n个不同的元素的所有排列的种数： Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
2
二、全排列的逆序数
先规定一个标准次序.
如自然次序： 1 2 3 4 L (n 1) n
逆序：两个元素的次序与标准次序不同，就说有
1个逆序. 逆序数：排列中所有逆序的总数. n 6时， 12 3456 ---标准次序
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2 ,
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
9
练习 求下列排列的逆序数 (1) 13572468 (2) 13578642
7
2 2k12k 122k 232k 3L k 1k
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
2k 1 0 2k 3 0 2k 5
10
t (2k -1) 0(2k 3) 02k 5L 10
偶排列： 14 2 356 ---有 2 个逆序
42
逆序数
43
奇排列： 3 21456 ---有 3 个逆序
21
31
32
3
逆序数的计算方法
方法1 分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，它们 之总和即为所求排列的逆序数.
例1 求排列32514的逆序数.
解
32514
6
例3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1 nn 1n 2L 321
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
nn 1n 2 321
n 2
t (n -1) n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
10
三、对换（了解）
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a bb b1 bm a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al bbaa b1 bm a1 al b b1 bm aa c1 cn
教材21页2.(5)(6)的n 4时情况.
(1) 1 3 5 7 2 4 6 8 (n 4)
00 0 0 3 2 1 0
一般地
(n 1) (n 2)
1 3 L (2n 3)(2n 1) 2 4 L (2n 2)(2n)
0 0 L 0 0 (n 1)(n 2)L 1 0
kg2k [1 (2k 1)]gk k 2,
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
8
2 2k12k 122k 232k 3L k 1k
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
§1.2 全排列和对换
一、全排列 二、排列的逆序数 三、对换 四、小结
1
一、全排列
定义1 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素 的全排列(或排列).
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的 的排法
例如 1, 2有 2 个全排列：1 2， 2 1
1, 2, 3有 6 个全排列：
123 132 213 231 312 321
13
作业：
P21 习题一 2.(2)(4)(5)(6)
14
0 1 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
4
方法2
分别计算出排在 1,2, … n-1 的位置上的数后面比 它小的数码之和，即分别算出 1,2, … n-1 这 n-1
个元素的逆序个数，这些元素的逆序个数的总和 即为所求排列的逆序数.
5
例2 求下列排列的逆序数 (1) 217986354 (2) n(n 1)(n 2)L 321