2017-2018学年度必修1模块测试

泉州市2013—2014学年度高一年第一学段新课程模块水平测试 2013.11
数 学（必修1）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
必考卷（共100分）
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．D ； 8．B.
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.
9．6- ； 10．1>a ； 11．0=a ； 12．)5,1( .
三、解答题（本大题共4小题，第13，14各10分，第15,16题各12分，共44分．解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤.）
13．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵全集U =R ，}4{<=x x B ，∴}4{≥=x x B C U . ……………3分 又∵{}15A x x =-<≤， ∴}54{}4{}51{)(≤≤=≥≤<-=x x x x x x B C A U ．…………5分 （Ⅱ）∵{}15A x x =-<≤， {}
C x x a =≥，A C ⊆，
∴1a ≤-．…………………10分
14.(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）12648()93
=，…………2分 93333
1log 4log 6log 2log 6log 13-=-==-，……………4分 ∴原式=85133
-=．……………………5分
3π=-，…………………………………………………7分
223233111()[()]()92733
---===；……………………………8分 2ln 2ln 44==e e ，…………9分
故原式=3942ππ-+-=+．………………10分
15. (本小题满分12分)
解（Ⅰ）由表中数据特征，可初步判断函数)(x f 在 (]2,0为减函数，在[)+∞,2为增函
数．……………4分（注：区间和单调性各1分）
（Ⅱ）证明：任取12,(0,2)x x ∈，并设12x x <，…………………………………5分
12121244()()()f x f x x x x x -=+-+1212
12
()(4)x x x x x x --=．………………8分 2021<<<x x ，120x x ∴-<，1204x x <<，1240x x -<，… 10分
0)()(21>-∴x f x f ，即)()(21x f x f >，……………………11分
)(x f ∴在)2,0(为减函数．……………………12分
[说明：证明)(x f 在[)+∞,2为增函数，参照解答类似给分.]
16. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）当(1,1)x ∈-时，12
()log (1)0f x x =+=，得0(1,1)x =∈-.………………3分
当[1,3)x ∈时，22
()44(2)0f x x x x =-+-=--=，得2[1,3)x =∈.………5分
故函数()f x 存在两零点，分别是0x =与2x =．…………………6分
（Ⅱ）依题意，作出()f x 的图像如图所示，……………………………………………9分
由图像可知该函数的单调减区间为(1,1)-和
(2,3)．……………12分
选考卷（共50分）
四、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
17．D ； 18．B ； 19．C ； 20．D.
五、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分8分.
21．7； 22．③④.
六、解答题（本大题共2小题，第23题10分，第24题12分，共22分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤.）
23. (本小题满分10分)
解：（Ⅰ）设当动车拖挂x 节车厢时，每天来回y 趟，
则依题意可设b kx y +=．……………………1分
由x=6时y=16，x=8时y=12，得方程组:166128k b k b
=+⎧⎨
=+⎩ ， 解得：2k =-，28b =，………4分 ∴所求的函数解析式为228y x =-+.……………5分
（Ⅱ）设每天营运S 节车厢，
则22(228)2282(7)98S xy x x x x x ==-+=-+=--+.………8分
当7x =时, y=14且max 98S =.
此时，每天的最多运营人数为100×98=9800（人）. ………9分
答：这列火车每天来回14趟，才能使运营人数最多，
且每天最多运营人数为9800人. …10分
24. (本小题满分12分) （Ⅰ）证明：)(x f 在定义域I 内是奇函数，
∴对任意的x I ∈， 恒有()()0f x f x +-=．………………1分
由()log ()a f x g x =，得()()f x g x a =.………………2分
∴对任意的x I ∈， 恒有()()()()0()()1f x f x f x f x g x g x a a a a -+-⋅-====.
……………………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：因为12x ≤≤，所以2a ax a ≤≤，
当1a >时，取以a 为底的对数得log log ()log (2)a a a a ax a ≤≤．………5分 由于函数()log ()a f x ax =在区间[1,2]上的最大值是2，
所以log (2)2a a =，22a a =，解得2a =．……………6分
当01a <<时，取以a 为底的对数得log (2)log ()log 1a a a a ax a ≤≤=．
函数()log ()a f x ax =在区间[1,2]上的最大值是1，不合题意. ……7分
综上所述：2a =．…………………………………8分
解法二：当1a >时，
函数()log ()a f x ax =在区间[1,2]上取得最大值2，
当且仅当真数ax x g =)(在区间[1,2]上取得最大值2
a ，
∵1a >，函数ax x g =)(在区间[1,2]上为增函数，
∴22a a =，解得2a =．……………6分 当01a <<时，
函数()log ()a f x ax =在区间[1,2]上取得最大值2，
当且仅当真数ax x g =)(在区间[1,2]上取得最小值2
a ，
∵01a <<，ax x g =)(在区间[1,2]上为增函数，
∴ax x g =)(的最小值2a a =，解得0a =或1a =，均不合题意．……………7分 综上所述：2a =．…………………………………8分
（Ⅲ）记()f x 在区间[3,4]的最小值为M ，3()x h x a -=在区间[3,4]的最大值为N .
则“对任意的12,[3,4]x x ∈，都有231()x f x a ->” ⇔M N >. ……9分
依题意，2()0g x ax x =->在[3，4]上恒成立，
∴考察二次函数2()0g x ax x =->的图象可得，
1132a a <<， 即13
a >且()g x 在[3,4]上单调递增, ∴(3)()(4)g g x g ≤≤，
∵已知01a <<，
∴log (4)()log (3)a a g g x g ≤≤，且3(4)()(3)x h h x a h -≤=≤
故()f x 的最小值(4)log (4)log (164)a a M f g a ===-，
()h x 的最大值0(3)1N h a ===. ……11分
设存在实数a ，使得对任意的12,[3,4]x x ∈，都有231()x f x a
->， 则实数a 必须满足M N >，即log (164)a a -＞1，解得415
a <
． 综上所述：满足题设的实数a 的取值范围是14(,)315
a ∈．…………………12分。