2019-2020学年福建省三明市三地三校高一(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年福建省三明市三地三校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．1. 已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合M＝{2, 3, 4}，P＝{1, 3, 6}，则集合M∩P是（）A.{3}B.{1, 2, 3, 4, 6}C.{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}D.{5, 7, 8}2. 下列函数是偶函数的是（）A.y=xB.y=x2，x∈[0, 1]C.y=x−12 D.y=2x2−33. 下列函数中，在区间(0, +∞)上是增函数的是（）A.y＝|x|B.y＝3−xC.y=1xD.y＝−x2+44. 当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a−x与y＝log a x的图象为（）A. B.C. D.5. 函数f(x)=e x+x−2的零点所在的一个区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)6. 已知函数f(x)={x2(x>0)π(x=0)0(x<0)，则f[f(−10]等于（）A.π2B.100C.πD.07. 设a=log123，b=(12)3，c=312，则（）A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c8. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.y＝lg x2，y＝2lg xB.y=x,y=√x33C.y=|x|,y=(√x)2D.y＝1，y＝x09. 在用二次法求方程3x+3x−8＝0在(1, 2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)< 0，则方程的根落在区间（）A.(1, 1.25)B.(1.25, 1.5)C.(1.5, 2)D.不能确定10. 给出如下三个等式：①f(a+b)=f(a)+f(b)；②f(ab)=f(a)+f(b)；③f(ab)=f(a)×f(b)．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是( )A.f(x)=x2B.f(x)=3xC.f(x)=2xD.f(x)=ln x11. 函数f(x)＝(a−2)x2+(a−1)x+3是偶函数，g(x)＝(b2−2b−2)x2−b(b>0)为幂函数，则log b a＝（）A.3B.1C.−3D.012. 若函数f(x)={(a−2)x,x≥2,(12)x−1,x<2是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是()A.(−∞, 2)B.(−∞,138] C.(0, 2) D.[138，2)二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13 函数y＝a x−1+5(a>0且a≠1)，无论a取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为________．14不等式log12(4x−3)>1的解集是________．15 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x−3，则f(−2)＝________．16设偶函数f(x)的定义域为[−5, 5]，若当x∈[0, 5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)>0的解集是________三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 计算：（1）64−13−(−18)0+2512；（2）log a2+log a12+log35−log315(a>0且a≠1)18 已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|4<x<7}．（1）分别求A∩B，(∁R B)∪A；（2）已知C＝{x|a+1<x<2a−1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．（1）求证：log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M,N>0)．（2）已知a＝log32，3b＝5用a，b表示log3√60．19 已知函数f(x)=x+1x−1(x≠1)．（1）利用定义证明f(x)在(−∞, 1)上是减函数；（2）当x∈[−5, −3]时，求f(x)的最小值和最大值．20 某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y＝kx+b的关系（图象如图所示）．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价-成本总价）为S元，①求S关于x的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．21设函数f(x)＝ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值．（2）若f(1)>0，试求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（3）若f(1)=32,g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)[1,+∞)上的最小值为−2，求m．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省三明市三地三校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】∵M＝{2, 3, 4}，P＝{1, 3, 6}，∴M∩P＝{3}．2.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断【解析】根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以−x代替x后，所得到的函数值不变，函数是偶函数，检验各个选项中的函数是否满足这两个条件．【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以−x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数．经检验只有D中的函数满足条件．故选D.3.【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据一次函数的图象与性质，可得函数y＝|x|在区间(0, +∞)上是增函数，y＝3−x在区间(0, +∞)上是减函数．根据反比例函数的图象与性质，可得y=1x在区间(0, +∞)上是减函数；根据二次函数的图象与性质，可得函数y＝−x2+4在区间(0, +∞)上是减函数．由此即可得到本题的答案．【解答】对于A，当x>0时，函数y＝|x|＝x，显然是区间(0, +∞)上的增函数，由此可得A项符合题意；对于B，由于一次函数y＝3−x的一次项系数k＝−1为负数，∴函数y＝3−x在区间(0, +∞)上不是增函数，故B不符合题意；对于C，反比例函数y=1x图象分布在一、三象限，在两个象限内均为减函数因此y=1x在区间(0, +∞)上不是增函数，可得C项不正确；对于D，因为二次函数y＝−x2+4的图象是开口向上的抛物线，关于x＝0对称所以函数y＝−x2+4在区间(0, +∞)上是减函数，可得D项不正确4.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当a>1时，根据函数y＝a−x在R上是减函数，而y＝logax的在(0, +∞)上是增函数，结合所给的选项可得结论．【解答】当a>1时，根据函数y＝a−x在R上是减函数，故排除A、B；而y＝logax的在(0, +∞)上是增函数，故排除D，5.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】将选项中各区间两端点值代入f(x)，满足f(a)⋅f(b)<0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f(0)=−1<0，f(1)=e−1>0，f(0)f(1)<0，所以零点在区间(0, 1)上.故选C．6.【答案】C【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出f(−10)＝0．从而f[f(−10]＝f(0)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)={x2(x>0)π(x=0)0(x<0)，∴f(−10)＝0．f[f(−10]＝f(0)＝π．7.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】根据a=log123<0，b=18，c=√3>1，从而得出a、b、c的大小关系．【解答】解：由于a=log123<log121=0，b=18，c=√3>1，可得c>b>a，故选A．8.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】A．y＝lg x2，的定义域为{x|x≠0}，y＝2lg x的定义域为(0, +∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B．y=√x33=x，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；C．y＝(√x)2＝|x|，函数的定义域为[0, +∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D．y＝x0＝1，函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．9.【答案】B【考点】二分法的定义【解析】根据函数的零点存在性定理，由f(1)与f(1.5)的值异号得到函数f(x)在区间(1, 1.5)内有零点，同理可得函数在区间(1.25, 1.5)内有零点，从而得到方程3x+3x−8＝0的根所在的区间．【解答】∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1, 1.5)内函数f(x)＝3x+3x−8存在一个零点又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25, 1.5)内函数f(x)＝3x+3x−8存在一个零点，由此可得方程3x+3x−8＝0的根落在区间(1.25, 1.5)内，故选：B．10.【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】本题可以用排除法来解答，根据f(ab)＝f(a)⋅f(b)，可排除A；根据f(a+b)＝f(a)+f(b)，可排除B；f(ab)＝f(a)+f(b)可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．【解答】解：A中，若f(x)=x2，f(ab)=(ab)2，f(a)⋅f(b)=a2⋅b2，f(ab)=f(a)⋅f(b)，故③成立.B中，若f(x)=3x，f(a+b)=3(a+b)，f(a)+f(b)=3a+3b，f(a+b)=f(a)+f(b)，故①成立.D中，若f(x)=ln x，f(ab)=ln ab=ln a+ln b=f(a)+f(b)，故②成立．C中，若f(x)＝2x，f(a+b)=2a+b，f(a)+f(b)=2a+2b，f(a+b)=f(a)+f(b)不一定成立，故①不成立；f(ab)=2ab，f(a)+f(b)=2a+2b，f(ab)=2a⋅2b，f(ab)=f(a)+f(b)不一定成立，故②不成立；f(ab)=f(a)⋅f(b)不一定成立，故③不成立.故选C.11.【答案】D【考点】幂函数的性质【解析】根据函数f(x)是偶函数求出a的值，由g(x)为幂函数求出b的值，再计算logba的值．【解答】函数f(x)＝(a−2)x2+(a−1)x+3是偶函数，所以a−1＝0，解得a＝1；由g(x)＝(b2−2b−2)x2−b(b>0)为幂函数，得b2−2b−2＝1，即b2−2b−3＝0，解得b＝−1或b＝3；当b＝−1时logba无意义，当b＝3时logba＝log31＝0．12.【答案】B【考点】函数单调性的性质指数函数的单调性与特殊点【解析】由函数是单调减函数，则有a−2<0，且注意2(a−2)≤(12)2−1．【解答】解：∵函数f(x)={(a−2)x，x≥2，(12)x−1，x<2是R上的单调减函数，∴{a−2<0，2(a−2)≤(12)2−1.∴a∈(−∞,138].故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13【答案】(1, 6)【考点】指数函数的图象与性质【解析】根据函数y＝a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1)，利用平移可得答案．【解答】∵函数y＝a x，(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标是(0, 1)，∴函数y＝a x的图象经过向右平移1个单位，向上平移5个单位，∴函数y＝a x−1+5(a>0且a≠1)的图象经过(1, 6)，【答案】(34, 78)【考点】指、对数不等式的解法【解析】由题意利用对数函数的性质可得0<4x−3<12，由此求得不等式的解集．【解答】由不等式log12(4x−3)>1可得，0<4x−3<12，求得34<x<78，14【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由奇函数性质得，f(−0)＝−f(0)，可得f(0)的值；再借助x>0时，f(x)＝2x−3，可将f(−2)转化为f(2)求解．【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，又x>0时，f(x)＝2x−3，所以f(−2)＝−f(2)＝−(22−3)＝−1．15【答案】(−2, 0)∪(0, 2)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数的图象可知，先求出当x∈[0, 5]时，f(x)>0的解集，然后根据偶函数的图象关于y轴对称可求当x∈[−5, 0]时的解集，从而可求．【解答】根据函数的图象可知，当x∈[0, 5]时，f(x)>0的解集为(0, 2)，根据偶函数的图象关于y轴对称可知，当x∈[−5, 0]时，f(x)>0的解集为(−2, 0)，综上可得，不等式的解集为：(0, 2)∪(−2, 0)，三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16【答案】原式=43×(−13)−1+512×2，=14−1+5=174；原式log a(2×12)+log3515，=log a1−log313，＝0−1＝−1．【考点】对数的运算性质【解析】（1）利用指数的运算性质即可求解；（2）利用对数的运算性质即可求解/【解答】原式=43×(−13)−1+512×2，=14−1+5=174；原式log a(2×12)+log3515，=log a1−log313，＝0−1＝−1．17【答案】∵A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|4<x<7}，∴A∩B＝{x|4≤x<6}，∵∁R B＝{x|x≤4或x≥7}∴，∁R B)∪A＝(−∞, 6)∪[7, +∞)．若C＝⌀，则a+1≥2a−1，则a≤2；若C≠⌀，则4≤a+1<2a−1≤7，解之得3≤a≤4；综上a≤2或3≤a≤4．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】第一问求集合交并补，第二问由集合包含关系，讨论参数．【解答】∵A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|4<x<7}，∴A∩B＝{x|4≤x<6}，∵∁R B＝{x|x≤4或x≥7}∴，∁R B)∪A＝(−∞, 6)∪[7, +∞)．若C＝⌀，则a+1≥2a−1，则a≤2；若C≠⌀，则4≤a+1<2a−1≤7，解之得3≤a≤4；综上a≤2或3≤a≤4．18【答案】设loga M＝m，logan＝n，a m＝M，a n＝N，∴MN =a ma n=a m−n，∴m−n=log a MN，即loga mn =logaM−logaN．∵3b＝5，∴b＝log35∴log3√60=12log360=12log3(4×3×5)=12(21og32+2+log35)=12(1+2a+b)．【考点】对数的运算性质【解析】（1）先设loga M＝m，logan＝n，然后根据指数与对数的互化可求M，N，然后根据指数的运算性质可求；（2）由3b＝5，可得b＝log35，然后结合对数的运算性质即可求解．【解答】设loga M＝m，logan＝n，a m＝M，a n＝N，∴MN =a ma=a m−n，∴m−n=log a MN，即loga mn =logaM−logaN．∵3b＝5，∴b＝log35∴log3√60=12log360=12log3(4×3×5)=12(21og32+2+log35)=12(1+2a+b)．19【答案】证明：由题意，设x1<x2<1，则f(x2)−f(x1)=x2+1x2−1−x1+1x1−1=(x2+1)(x1−1)−(x1+1)(x2−1)(x2−1)(x1−1)=2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∵x1<1，x2<1，∴x1−1<0，x2−1<0，∴(x2−1)(x1−1)>0．又∵x1<x2，∴x1−x2<0，∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(−∞, 1)上是减函数．根据（1），可知f(x)在[−5, −3]上是减函数．∴f(x)max＝f(−5)=23，f(x)min＝f(−3)=12．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】本题第（1）题根据定义法证明，先设x1<x2<1，然后比较f(x2)−f(x1)与0的大小即可；第（2）题根据第（1）题的结论即可得到最大、最小值的取值点，计算可得结果．【解答】证明：由题意，设x1<x2<1，则f(x2)−f(x1)=x2+1x2−1−x1+1x1−1=(x2+1)(x1−1)−(x1+1)(x2−1)(x2−1)(x1−1)=2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∵x1<1，x2<1，∴x1−1<0，x2−1<0，∴(x2−1)(x1−1)>0．又∵x1<x2，∴x1−x2<0，∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(−∞, 1)上是减函数．根据（1），可知f(x)在[−5, −3]上是减函数．∴f(x)max＝f(−5)=23，f(x)min＝f(−3)=12．20【答案】由图象可知，{400=k×600+b300=k×700+b，解得，{k=−1b=1000，所以y＝−x+1000(500≤x≤800)．①由（1）S＝x×y−500y＝(−x+1000)(x−500)＝−x2+1500x−500000，(500≤x≤800)．②由①可知，S＝−(x−750)2+62500，其图象开口向下，对称轴为x＝750，所以当x＝750时，S max＝62500．即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）首先根据一次函数y＝kx+b的表达式代入数值化简，然后求出k，b并求出一次函数表达式．（2）①通过（1）直接写出s的表达式并化简②根据二次函数判断最值． 【解答】由图象可知，{400=k ×600+b300=k ×700+b ，解得，{k =−1b =1000，所以y ＝−x +1000(500≤x ≤800)． ①由（1）S ＝x ×y −500y＝(−x +1000)(x −500)＝−x 2+1500x −500000，(500≤x ≤800)． ②由①可知，S ＝−(x −750)2+62500， 其图象开口向下，对称轴为x ＝750， 所以当x ＝750时，S max ＝62500．即该公司可获得的最大毛利润为62500元， 此时相应的销售单价为750元/件．21【答案】∵ f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，∴ k −1＝0，∴ k ＝1，经检验k ＝1符合题意； ∵ f(1)>0，∴ a −1a >0，又a >0且a ≠1，∴ a >1，易知在R 上单调递增，原不等式化为：f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0， ∴ x >1或x <−4，∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}； ∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0， 解得a =2a =−12（舍去），∴ g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2． 令t ＝f(x)＝2x −2−x ，∵ x ≥1，∴ t ≥f(1)=32， ∴ g(t)＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，当m ≥32时，当t ＝m 时，g(t)min =2−m 2=−2，∴ m ＝2；当m <32时，当t =32时，g(t)min =174−3m =−2，解得m =2512>32，舍去， 综上可知m ＝2． 【考点】函数的值域及其求法 函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）由奇函数性质得f(0)＝0，解出即可；（2）由f(1)>0易知a >1，从而可判断f(x)的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；（3）由f(1)=32可求得a 值，g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2，令t ＝f(x)＝2x −2−x ，g(x)可化为关于t 的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为−2，解出即可； 【解答】∵ f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，∴ k −1＝0，∴ k ＝1，经检验k ＝1符合题意； ∵ f(1)>0，∴ a −1a >0，又a >0且a ≠1，∴ a >1，易知在R 上单调递增，原不等式化为：f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0， ∴ x >1或x <−4，∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}； ∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0， 解得a =2a =−12（舍去），∴ g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2． 令t ＝f(x)＝2x −2−x ，∵ x ≥1，∴ t ≥f(1)=32，∴ g(t)＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，当m ≥32时，当t ＝m 时，g(t)min =2−m 2=−2，∴ m ＝2； 当m <32时，当t =32时，g(t)min =174−3m =−2，解得m =2512>32，舍去， 综上可知m ＝2．。