2020届全国百师联盟高三开学摸底大联考全国卷Ⅰ数学(文)试题
2020年百校联盟高考(文科)数学(4月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) 含解析
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82819．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO ＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S ＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP 取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S 为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学(文)试题(带答案解析)
………○………学校:_______………○………绝密★启用前2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若复数122iz=-，21z i=+，则12zz=（）A．2i B．2i-C．22i-D．22i+2．已知集合{|31}A x x=-<„，集合(){}2|lg2B x y x==-，则A B=U（）A．[B．(C．[-D．(-3．某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（）A．1336B．1736C．1936D．1184．已知实数,x y满足2,2,0,yx yx⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y-的最小值为（）A．0 B．2 C．2-D．1○…………外…………○…………………○…※※请※※※※在※※装※※订○…………内…………○…………………○…5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，12,F F 为其左、右焦点，12F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 为坐标原点），则椭圆的长轴长为（ ） A ．4 B ．8 C D ．1 6．函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(3,4) 7．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．32升 C ．23升 D ．43升8．如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r （ ）A ．1124a b +r rB ．1536a b +r rC ．2233a b +r rD ．1324a b +r r9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．2020C ．3030D ．101010．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A ．A 来自1班 B ．B 来自1班 C ．C 来自3班 D ．A 来自2班 11．已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13e b f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 12．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD ） A ．48π B ．12π C ．36π D ．9π 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______. 14．已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____. 15．已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设n a n b =，则数列{}n b 的前10项和等于______. 16．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a =，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为______. 三、解答题订…………○……※※答※※题※※订…………○……现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20．已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为. （1）求实数a 的值； （2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程. 21．函数21()ln ,a f x x a R x a =++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性； （2）设()2a g x x =+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集； （2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用复数的除法计算得解.【详解】 由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．D【解析】【分析】先化简集合B,再求A B U 得解.【详解】由题得(B =，因为{|31}A x x =-<…，所以(A B =-U .故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D【点睛】 本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系，当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小.所以min 022=-=-z .故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．B【解析】【分析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解.【详解】由题得c =12bc =222c a b =-，解得b =4a =，所以长轴长为8.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞，函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数， 由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞.故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．B【解析】【分析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解.【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.8．D【解析】【分析】取BC 中点F ，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC 中点F ，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1324a b =+r r . 故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B 【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．A 【解析】 【分析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln 1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以ln3114ln 3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．D 【解析】 【分析】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解. 【详解】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ， 则异面直线AC 与PD 所成的角就是1ACB ∠或其补角.则221cos ACB ∠==所以1x =，32=， 所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解. 【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14．2 【解析】 【分析】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】 由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=.故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．10231024【解析】 【分析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-. 故答案为：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16【解析】 【分析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，22,22c a ab B cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解. 【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点，所以22,22c a ab B cc ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244ac a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17．（1）35；（2）1225+【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b B a C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =，所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =.又3sin sin 610BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124sin 225ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V .所以12ADC ABD S S ==V V 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（1）见解析；（2）17【解析】 【分析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ，所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，FD =BD =3FB =，所以222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯.所以sin 6DBF ∠==，11sin 322BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得h =.所以棱锥A BDF -的高为17. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19．（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ；在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【解析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为.=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心, 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型. 21．（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性；（2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a=++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a ==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．22．（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．23．（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞.【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩， 1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …， 所以实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三文科数学试题(全国1卷)及答案
则 f (3 ) = 8
A. 2 6 4
B. 2 + 6 4
C. 6 2 4
D. 6 2 2
11.在△ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a= 3，b2+c2bc=3，则 2b+3c 的最大值是
A.5 3
B.2 19
C.3 5
D.19 2
12.已知 O 为坐标原点，点 M 是函数 f(x)=2 (x>0)图象上任意一点，过点 M 作直线 MA，MB 分别与 x
已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1，a3• a4=7.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)设 bn=an • 3"，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
21. (本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x+l)2+y 2= 16 的圆心为 M，过点 N(l，0)的动直线 l(l 与 x 轴不重合)与圆 M 交于 E，F 两点， 且过点 N 作 ME 的平行线交 MF 于点 D. (1) 求动点 D 的轨迹方程； (2)设点 D 的轨迹为曲线 C，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 是直线 x=4 上任意点，直线 PA，PN， PB 的斜率分别为 k1,k2,k3，试探求 k1,k2,k3 是否成等差数列？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
33
4
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3
3
2
3
6.已知 a = log0.20. 3，b=log20. 3，c=log0.32，则 a，b，c 的大小关系为
A. a<b<cຫໍສະໝຸດ B. b<c<a
2020届 百师联盟 全国高三模拟考(一)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷四附答案解析
的三棱锥
P
ABC
，点 Q 是三棱锥内部任意一点，Q
到平面 PAB ， PBC ， PAC ， ABC 的距离分别为 D1 ， D2 ， D3 ， D4 ，若
S△PAB 1
S△PBC 2
S△PAC 3
S△ABC 4
K ，则 D1 2D2 3D3 4D4
（
）
A． V K
B． 2V K
C． 3V K
点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin
4
32 2
.
（1）求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）
M
(3,
0)
，直线
l
和曲线
C
交于
A,
B
两点，求
|
1 MA
|
|
1 MB
|
的值.
23．已知函数 f (x) | 2x 1 | | 2x 5 | .
（1）求不等式 f (x) 10 的解集；
6．已知凸四边形 ABCD 的面积为 S ，点 P 是四边形内部任意一点，若点 P 到四条边 AB ， BC ，CD ， DA
的距离分别为 d1 ， d2
， d3 ， d4 ，且满足
AB 1
BC 2
CD 3
DA 4
k
，利用分割法可得
d1
2d2
3d3
4d4
2S k
；类比以上性质，体积为 V
的三棱锥
P
ABC
3．若用列举法表示集合
A
(
x,
y
)
|
2x
x
y
y 6
3
，则下列表示正确的是（
2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷(全国I卷)文科数学试题(带答案解析)
○…………外…………○学○…………内…………○2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷（全国I 卷)文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．()()()1232i i i -+-=（ ） A ．113i + B ．93i + C ．113i -+D ．93i -+3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>4．某学校有高中学生2200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700、700、800.为调查学生参加“春游活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为110的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30B ．35C ．38D ．405．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………装…………○…………订…6．cos525=（ ） A ．4-B ．4C ．4D ．4- 7．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛ ⎝⎭D ．,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．3……○…………订…………______班级：___________考号：_________……○…………订…………10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C ．12D 11．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()11xe f x x+=+的图象在0x =处的切线方程为______.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F A 、B （B 在右侧），2AF 的中点为D ，若2BD AF ⊥，则该双曲线的离心率是______.15．第七届世界军人运动会（以下简称武汉军运会）专题新闻发布会在武汉举行，武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于2019年10月1827日举行，赛期10天.若将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆至少2名志愿者，则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______. 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 三、解答题17．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，…………订…………班级：___________考号：_______…………订…………每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.18．在公比大于1的等比数列{}n a 中，327a =，且2a 、318a +、4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求直线AB 到平面PCD 的距离.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()()ln 21f x a x a x a R =+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a ≥且()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 23．已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69ka b +=，求证：参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()()()()123252113i i i i i i -+-=+-=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】计算出总体的入样比，进行可求得样本中高一年级学生的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1101220020=，则高一年级应抽取的人数是17003520⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样求样本中各层的容量，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】利用诱导公式得()cos525cos15cos 4530=-=--，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】()()()cos525cos 360165cos165cos 18015cos15cos 4530=+==-=-=--()21cos 45cos30sin 45sin 3022224⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】 由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-. 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=. 若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】 由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确； 令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则4SD CD ===则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．20x y +-=【解析】【分析】求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()11x e f x x+=+，()()211x xe f x x -∴=+'，则切线的斜率为()01f '=-， 又()02f =，所以函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，一般要求出切线的斜率和切点坐标，并利用点斜式得出切线方程，考查计算能力，属于基础题.14【解析】【分析】由2BD AF ⊥可得出2AB BF =，利用双曲线的定义求得12AF a =，24AF a =，且有123AF F π∠=，在12AF F ∆利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C的离心率.【详解】 因为2AF 的中点为D ，2BD AF ⊥，所以BD 既是2ABF ∆的中线，又是2ABF ∆的高，所以2ABF ∆是等腰三角形且2AB BF =. 由双曲线定义得1212BF BF AF a -==，212AF AF a -=，24AF a ∴=，又直线AB 123AF F π∠=.在12AF F ∆中，由余弦定理得222244161cos 3032222a c a e e a c π+-==⇒--=⨯⨯，解得12e -=（舍去），12e +=.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，在涉及焦点三角形时，一般利用双曲线的定义来求解转化，考查运算求解能力，属于中等题.15．710【解析】【分析】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5，列举出所有的基本事件，并确定事件“志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算得出所求事件的概率.【详解】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5.以()123,45表示场馆1、场馆2分别分配123、45的志愿者服务.将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()145,23、()234,15、()235,14、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()14,235、()15,234、()23,145、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共20种，其中，志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的情况如下：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共14种， 故志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的概率为1472010P ==. 故答案为：710. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.【详解】 解：由于数列的通项公式为：sin 2n a n π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1sin 12a π==， 当2n =时，22sin 02a π==. 当3n =时，33sin 12a π==-， 当4n =时，44sin 02a π==， 当5n =时，55sin 12a π==， …所以：数列的周期为4，故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题. 17．（1）4.4小时；（2）0.4.【解析】【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=.由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.18．（1）3n n a =；（2）44n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，根据题中条件求得q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得321log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，因为2a 、318a +、4a 成等差数列，所以()324218a a a +=+.即()272271827q q +=+，整理得231030q q -+=，解得13q =（舍去）或3q =. 故3332733n n n n a a q --==⨯=；（2）由（1）得，2323log log 32n n n b a n ===，则()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.故1111111111422314144n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析；（2.【解析】【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE AF ，并推导出AF ⊥平面PCD ，进而可得出BE ⊥平面PCD ；（2）推导出//AB 平面PCD ，可得知直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，即为AF ，进而得解.【详解】（1）如下图，取PD 的中点F ，连接AF 、EF .又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线，所以//EF CD 且12EF CD =. 又//AB CD 且12AB CD =，所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ，所以BE ⊥平面PCD ；（2）因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.由（1）得AF ⊥平面PCD ，则AF 等于点A 到平面PCD 的距离. 因为122AB AD AP CD ====，所以12AF PD ===故点A 到平面PCD，即直线AB 到平面PCD.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了直线到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）216y x =；（2）4.【解析】【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离.【详解】（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =. 联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数()()21a a x f x x+-'=，对实数a 进行分类讨论，分析导数在()0,∞+上的符号变化，进而可得出函数()y f x =在其定义域上的单调区间； （2）由题意得不等式()2ln 210a x a x x +--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()()2ln 21g x a x a x x =+--，可得出()max 0g x ≤，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，求得函数()y g x =的最大值，然后解不等式()max 0g x ≤即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()ln 21f x a x a x =+-()a R ∈的定义域是()0,∞+.()()()2121a a x af x a x x+-'=+-=. ①当210a -≥，即12a ≥时，()210a a x +->，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当210a -<，即12a <时，（i ）若102a <<，则012a a>-. 令()0f x '<，得12a x a >-；令()0f x '>，得012ax a<<-， 此时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减；（ii ）若0a ≤，则()210a x -<，则()210a a x +-<，则()210a a xx+-<.则()0f x '<对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减；当102a <<时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 当12a ≥时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； （2）()2f x x ≤等价于()2ln 21a x a x x +-≤，即()2ln 210a x a x x +--≤. 令()()2ln 21g x a x a x x =+--，则()0g x ≤.()()()()21221x a x ag x x a x x-+'=-+-=-， ①当0a =时，()20g x x x =--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意； ②当0a >时，令()0g x '=，得x a =或12x =-（负根舍去），令()0g x '>，得0x a <<；令()0g x '<，得x a >， 所以函数()y g x =在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. 故()()2max ln 0g x g a a a a a ==+-≤，因为0a >，所以ln 10a a +-≤，令()ln 1h a a a =+-，则函数()y h a =单调递增. 又()10h =，故由ln 10a a +-≤得()()1h a h ≤，得01a <≤. 综上，实数a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．（1）:230l x y +-=，22:40C x y y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积. 【详解】（1）由32x ty t=⎧⎨=-⎩得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得2240x y y +-=，故曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=；（2）因为曲线22:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r，圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为d ==，则弦长5AB ===.又O 到直线:230l x y +-=的距离为5d '==，所以1122555OAB S AB d ∆'=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）分2x -≤、124x -<<、14x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61a b+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得13x <，此时2x -≤；当124x -<<时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得35x <-，此时325x -<<-；当14x ≥时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.所以()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36b a a b =，即12a =，112b =时等号成立，所以6124a b+≥.≥≥【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。
2020年全国I卷百师联盟高三数学(文)试卷二附答案解析
百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e + 6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．47．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．48．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．010．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．812．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈).15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率.（2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数.解析百师联盟2020年全国I 卷高三数学（文）试卷二一、单选题 1．已知集合{}|23Mx x =-<<，{}131|x N x +=>，则M N =I （ ）A ．(1,3)-B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(2,1)(3,)--⋃+∞ 【答案】A【解析】求出集合N ，即求MN ⋂.{}|23M x x =-<<Q ，{}{}1|1|31x x N x x +=>=>-.()1,3M N ∴⋂=-.故选：A .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．复数201912zi i=+-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．25 B ．25i C ．45-D ．45i -【答案】C【解析】根据复数的除法法则和5044332019i i i i ⨯+===-，把z 化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即求复数z的虚部. 【详解】504432224(2)(2)555i i i z i i i i ⨯+++=+=-=--+Q ，∴虚部为45-.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-【答案】C【解析】求出'()f x ，令1x =，即得'(1)f .3'()2(1)1f x x xf =+-Q ，()'2'()321f x x f ∴=+，()''(1)321f f ∴=+，()'13f ∴=-.故选：C .【点睛】本题考查求导数值，属于基础题.4．如图所示，某出租司机9月上旬和10月上旬的日收入(单位：元).设9月上旬和10月上旬收入的中位数分别为1x ，2x ，9月上旬和10月上旬收入的方差分别为21S ，22S ，则下列说法正确的是（ ）A ．12x x <，2212S S < B ．12x x >，2212S S >C ．12x x >，2212S S < D ．12x x <，2212S S >【答案】D【解析】根据茎叶图可求出12,x x ，根据两组数据的分散程度可得21S 与22S 的大小. 【详解】 由茎叶图可得1212134136143144135,143.5,22x x x x ++====∴<， 又9月上旬的数据比10月上旬的数据分散，2212S S ∴>. 故选：D . 【点睛】本题考查茎叶图，属于基础题.5．已知函数31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩则(ln 2)f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e+ 【答案】B【解析】把ln 2x =代入()f x 的解析式中，比较ln21+与3的大小，依此进行，即得(ln 2)f 的值.【详解】31,3()(1),3x e x f x f x x -⎧+≥=⎨+<⎩Q ,()()()()3ln33ln3ln21ln22ln23ln23f f f f e e +-∴=+=+=+===.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.6．如图是某四棱锥的三视图(每个小正方形的面积均为1)，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．8D ．4【答案】A【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，根据体积公式可求. 【详解】由三视图可知，该四棱锥是底面边长为2，高为2的四棱锥，即如图所示四棱锥P ABCD -.118222333V Sh ∴==⨯⨯⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，属于基础题.7．已知a =r ，2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】D【解析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b⋅r rr .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，即2220b a a b -+=r r r rg .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r rr .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ）A ．2nB ．31n -C ．2nD ．31n -【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S .【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题. 9．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-；②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对三个命题逐一判断即可. 【详解】 ①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02xx ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题.故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题. 10．若51sin 86πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-【答案】A【解析】根据诱导公式得31sin 86πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】 解：∵531sin sin 886ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3cos 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2312sin 8πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭117123618=-⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．11．已知点P 为抛物线24C y x =：上一点，且5PF =，以点P 为圆心的圆经过点F 且与y 轴交于A B，两点，则AB =（ ）A ．B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设点(),P a b .由抛物线的定义可得：1PF a =+，求出,a b .由题意圆的半径为5，可求AB .【详解】设点(),P a b .抛物线24C y x =：的焦点()10F ，，准线方程为1x =-. 由抛物线的定义可得：15PF a =+=，4a ∴=，4b ∴=±，所以圆心P 到y 轴的距离为4，圆P 的半径为5，6AB ∴==.故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义和圆的弦长，属于基础题.12．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】由题意可得AC 为直径，则AC 中点即为球心O ，可得2ADCABC π∠=∠=.由3ACD ACB π∠=∠=，可得BCD V 为正三角形. 取BCD V 中心H ，则OHHC ⊥.在Rt OCH V 中求出OH ，即可求点A 到平面BCD 的距离.【详解】由题意知A B C D ，，，四点都在球面上，且AC 为直径，AC ∴中点即为球心O ，如图所示2ADC ABC π∴∠=∠=，4AC =Q ，3ACD ACB π∠=∠=，2BC CD ∴==，又2BD =Q ，BCD ∴△为正三角形.取BCD V 中心H ，连接,OH HC . 则OH⊥面BCD ，OH HC ∴⊥.可求得3CH=，2OC =Q ，3OH ∴=. 又因为AC 中点为O ，所以点A 到面BCD 的距离为点O 到面BCD 的距离的2倍，. 故选：B . 【点睛】本题考查点面距，属于中档题.二、填空题13．已知圆22:(1)(2)9P x y -+-=，动直线l 过原点，则圆P 被直线l 截得的最短弦的长度为_________. 【答案】4【解析】设原点为O ，当动直线l OP ⊥时，圆P 被直线l 截得的弦长最短,即求最短弦长.【详解】设原点为O ，当动直线lOP ⊥时，圆心P 到直线l 的距离最远，此时圆P 被直线l 截得的弦长最短.112l OP k k ∴=-=-，直线l 的方程为12y x =-，即20x y +=.圆心()1,2P到直线l 的距离d ==所以最短弦弦长为4=.故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.14．古神话中的茅山道士会“穿墙术”，在二次根式中的一些带分数的等式也具有“穿墙术”.如…，按照以上规律猜想，若具有“穿墙术”，则n =_________(*n N ∈). 【答案】624【解析】按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，可求n 值. 【详解】==，==== L按照规律可知具有“穿墙术”的等式应为=，若2251624n =-=. 故答案为：624. 【点睛】本题考查合情推理，属于基础题.15．若将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos y x ω=图像重合，则ω的最小值为_________. 【答案】2【解析】函数平移后为sin 66y x πωπω⎛⎫=++⎪⎝⎭与函数cos y x ω=图像重合，根据诱导公式可得2662k πωπππ+=+，k Z ∈，即求ω的最小值.【详解】ω最小时，函数的周期T 最大，所以6T π>.函数平移后为sin co 66y x s x πωπωω⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以2662k πωπππ+=+，k Z ∈，所以2minω=.故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，属于基础题.16．已知函数2()33g x x =+和32()34f x mx x =-+，若方程()()f x g x =存在唯一的实根0x ，且00x >，则实数m 的取值范围为_________.【答案】(,-∞- 【解析】令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.求()'h x ，分0m >和0m <两种情况讨论：当0m >时，需()h x 的极大值小于0；当0m <时，需()h x 的极小值大于0，即得实数m 的取值范围. 【详解】 令()()()3261hx f x g x mx x =-=-+，由题意函数()h x 有唯一的正零点.()'243123h x mx x mx x m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()'0h x =，得0x =或4x m =.当0m >时，40m>，由()'0h x >，得0x <或4x m >；由()'0h x <，得40x m <<.∴函数()h x 在()0-∞，和4,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，40,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()h x ∴的极大值为()01h =.若函数()hx 有唯一的正零点，只需极大值()00h <，无解.当0m <时，40m<，由()'0h x >，得40x m <<；由()'0h x <，得4x m <或0x >.∴函数()h x 在4,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0+∞，上单调递减，4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()h x ∴的极小值为24321h m m ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 若函数()hx 有唯一的正零点，只需极小值40h m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即23210m ->，解得m <-m >0m <Q ，m ∴<-.综上，当m <-()()h x f x =有唯一的正根.故答案为：(,-∞-. 【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，属于较难的题目.三、解答题 17．已知等差数列{}n a 中，49a=，公差0d ≠，且满足2722a a a 、、成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.【答案】（1）21n a n =+；（2）21222n n T n n +++-=.【解析】（1）由2722a a a 、、成等比数列，得27222a a a =，求出d ，即可求出n a ； （2）写出n b ，n T ，分组求和即得. 【详解】（1）2a Q ，7a ，22a 成等比数列，27222a a a ∴=，()()()29392918d d d ∴+=-+，解得2d =或0d =(舍)，()4421n a a n d n ∴=+-=+，即数列{}n a 的通项公式21n a n =+.（2）由（1）知2=212n n nn b a n =+++， 则()()1235721222n nn T +=++++++++L L()()21322121221222nn n n n n ++=+=++-⨯-+-所以数列{}n b 的前n 项和21222n n T n n +++-=.【点睛】本题考查数列的通项公式和数列求和，属于基础题. 18．某快递公司有两种发放薪水的方案：方案一：底薪1800元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为05130008300600600x x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩．，，．，，，， 方案二：底薪2000元，设每月送快递x 单，提成(单位：元)为0514*******x x y x x ≤≤⎧=⎨>⎩．，，．，， 以下该公司某职工小甲在2019年9月份(30天)送快递的数据，（1）从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天，求这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率. （2）请你利用所学的统计学知识为小甲9月份选择合适的发放薪水的方案，并说明理由. 【答案】（1）23；（2）选择方案二，理由见解析. 【解析】（1）列举法求出“从小甲日送快递单数大于15的六天中抽取两天”的所有抽取方式，求出“这两天他送的快递单数恰好都为16单”包含的抽取方式，根据古典概型的概率计算公式即求概率； （2）求出小甲的月送单量，代入两种方案求他的薪水，选择薪水较高的方案. 【详解】（1）小甲日送快递单数为16的有5天，依次编号为a b c d e ，，，，，单数为18的有1天，编号为f ，从中抽取两天，()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e ,,,,,,,,,,,()(),,c f d e ,,()(),,d f e f ,共15种抽取方式.他送的快递单数恰好都为16单共有10种情况， 所以这两天他送的快递单数恰好都为16单的概率为102153=. （2）月送单量114135141215316518420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=， 方案一：薪水11800420082136y =+⨯=．元， 方案二：薪水22000420092378y =+⨯=．元，因为21y y >，所以选择方案二. 【点睛】本题考查古典概型和分段函数的实际应用，属于基础题.19．如图在三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，底面BCD V 为正三角形，2AB BC ==，点E 为BD 中点，点F 为线段AD 上一动点.（1）求证：平面CEF ⊥平面ABD ；（2）当//AB 平面CEF 时，求三棱锥F CDE -的体积.【答案】（1）答案见解析；（2.【解析】（1）证明CE AB ⊥，CE BD ⊥，可证CE ⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，即证面CEF ⊥面ABD ；（2）根据//AB 平面CEF ，得//AB EF .由AB ⊥底面BCD ，得EF ⊥面BCD ，求出EF ，即求三棱锥F CDE -的体积.【详解】（1）证明：AB ⊥Q 面BCD ，CE ⊂面BCD ，CE AB ∴⊥.BCD QV 为正三角形，2BC CD ==，点E 为BD 中点，CE BD ∴⊥，又AB BD B =I，CE ∴⊥面ABD ，又CE ⊂面CEF ，∴面CEF ⊥面ABD .（2）//AB Q面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，//AB EF ∴.又点E 为BD 中点，//EF AB ∴，112EFAB ==. AB ⊥Q 面BCD ，EF ∴⊥面BCD ，21112222ECD BCD S S ∴==⨯⨯=V V ，1113326F CDE ECD V S EF -∴=⨯⨯=⨯=V . 【点睛】本题考查面面垂直，考查求几何体的体积，属于中档题. 20．已知ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2,b a c =+= 求ABC V 的面积S .【答案】(1)3B π=(2)3【解析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角B 的三角函数值，进而求解；（2）由余弦定理求出ac ，即可求出面积. 【详解】 解:(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=可得:()2sinA sinC cosB sinBcosC -=. 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+可得:()2sinAcosB sinB C sinA =+=()0,,0A sinA π∈>Q .∴可得12cosB =又由(0,)B π∈得3B π=又由(0,)B π∈得3B π=.(2)由余弦定理及已知得()222223b a c accosB a c ac =+-=+-84123,3ac ac ∴=-∴=123S acsinB ∴==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题. 21．已知函数()2(1)ln 1f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：当0x >时，1()1(1)f x x x x ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【答案】（1）1；（2）答案见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x=-+.判断函数()f x 的单调性，即可求函数()f x 的最小值；（2）令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0h x ≤.令()12ln x x x xφ=+-，求出()'x φ，判断()x φ的符号，即可证明()0h x ≤.【详解】 （1）定义域为()0,∞+，()'22ln 2f x x x =-+. 令()22ln 2gx x x =-+，则()'2220g x x x=+>， ()'f x ∴在()0,∞+上单调递增，且()'10f =，由()'0f x >解得1x >，由()'0f x <解得01x <<.所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()min 11f x f ==.（2）证明：令()()()()111112ln ,0h x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证()0hx ≤.令()12ln x x x x φ=+-，()()2'210x x xφ-∴=-≤，()x φ∴在()0,∞+上单调递减， 又知()10φ=，∴当01x <<时，()>0x φ；当1x >时，()<0x φ.∴当01x <<时，()()()1<0h x x x φ=-；当1x >时，()()()1<0h x x x φ=-；当=1x 时，()0hx =.综上,()0hx ≤，即1()1(1)f x x x x⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，属于较难的题目. 22．已知函数2()2(1)xf x xe a x =-+.（1）若()f x 在1x =时取得极小值，求()f x 的解析式； （2）当10a e≤<时，判断函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【答案】（1）2()2(1)x f x xe e x =-+；（2）一个零点.【解析】（1）由()f x 在1x =时取得极小值，得()'10f =，求出a e =，再进行检验；（2）()()()'21x f x x e a =+-，令()'0f x =，得1x =-或ln x a =.分0a =和10a e<<两种情况讨论函数()f x 在(,1)-∞上的零点个数. 【详解】（1）定义域为R ，()()()'21x f x x e a =+-.()f x Q 在1x =时取得极小值，所以()'10f =，解得a e =.()()()21x f x x e e ∴'=+-.由()'0f x >，得1x <-或1x >；()'0f x <，得11x -<<.()f x ∴在()11-，上单调递减，在(),1-∞-，()1+∞，上单调递增， ()f x ∴在1x =时取得极小值.a e ∴=，2()2(1)x f x xe e x ∴=-+.（2）由()()()'210x f x x e a =+-=，解得1x =-或ln x a =.当0a =时，()2x f x xe =，令()0f x =得0x =， 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点； 当10a e<<时，ln 1a <-， 由()'0f x >，得ln x a <或1x >-；()'0f x <，得ln 1a x <<-，()f x ∴在()ln a -∞，，()11-，上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减，又()1120f e --=-<，()1240f e a =->，()()2ln ln 0f a a a a =--<，此时()f x 在()1-∞，上有且只有一个零点. 综上所述，当10a e≤<时，()f x 在()1-∞，上有一个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的解析式，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.。
百校联盟2020届高三4月(全国Ⅰ卷)(文科)数学 含解析
百校联盟2020届高三4月（全国Ⅰ卷）（文科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x·ln(x ＋3)＝0}，则A ∪B ＝A.{－1，0，1}B.{－2，－1，1}C.{－2，0，1}D.{－2，－1，0，1}2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ·i ＝1＋i ，则z·z ＝ 2 B.2 C.1 D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝xsinxB.y ＝xlnxC.11x x e y x e -=⋅+ D.21)ln(y x x x =+ 4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝ A.283 B.12 C.383D.13 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.43 B.2 C.83 D.1036.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，3π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。
A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝ A.－2 B.－34 C.－54 D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.349.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为A.2B.2411C.2811D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)＝1x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－2，－1) C.[－2，－1) D.(2，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学(文)试题(解析版)
百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数122i z =-，21z i =+，则12z z =（ ） A. 2i B. 2i -C. 22i -D. 22i +【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数的除法计算得解. 【详解】由题得12(22)(1)42(1)(1)2z i i i i z i i ---===-+-. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知集合{|31}A x x =-<„，集合(){}2|lg 2B x y x==-，则A B =U （ ）A. [B. (C. [-D. (-【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合B,再求A B U 得解.【详解】由题得(B =， 因为{|31}A x x =-<„，所以(A B =-U 故选：D【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A .1336B.1736C.1936D.118【答案】D 【解析】 【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率20136018P ︒==︒. 故选：D【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知实数,x y 满足2,2,0,y x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩„……则x y -的最小值为（ ） A. 0 B. 2C. 2-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求x y -的最小值. 【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，设,z x y y x z =-∴=-，它表示斜率为1，纵截距为-z 的直线系， 当直线经过点A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小. 所以min 022=-=-z . 故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，1222F F =B 为短轴的一个端点，三角形1BF O （O 7 ） A. 4 B. 8C.133+ D. 133+【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出b ，c, 再求出a 得解. 【详解】由题得2c =172bc =，又222c a b =-，解得14b =4a =， 所以长轴长为8. 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ）A. (4,)+∞B. (,2)-∞C. (3,)+∞D. (3,4)【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 【详解】由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞， 函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞. 故选：A【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A. 1升 B.32升 C.23升 D.43升 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质即可直接得解. 【详解】设竹子自下而上各节容米量分别为1a ，2a …7a ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =． 故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.8.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则BE =u u u r（ ）A. 1124a b+r rB.1536a b+r rC.2233a b+r rD.1324a b+r r【答案】D【解析】【分析】取BC中点F，再利用向量的线性运算求解即可.【详解】取BC中点F，则1113122242BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA⎛⎫=+=+=+-=+⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1324a b=+r r. 故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. 3B. 2020C. 3030D. 1010【答案】C【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =⋯可知12343a a a a +=+=⋯=，当2020i =时，101033030S =⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．10.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为、、A B C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，下列推断正确的为（ ） A. A 来自1班 B. B 来自1班 C. C 来自3班 D. A 来自2班【答案】B 【解析】 【分析】由题分析得B 不是来自2班，A 不是来自2班，C 来自2班，再进一步分析得解. 【详解】由题得，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班. 故选：B【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增.若()ln34a f =，13e b f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1ln c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】由题得函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，再求出ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12ln1π-<<-，即得解.【详解】因为函数(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称，所以函数()f x 的图像关于y 轴对称，且(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，又ln31>，所以ln344>，1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 因为2e e π<<， 所以12ln1π-<<-，因为1013e⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以ln3114ln 3eπ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a c b >>. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所） A. 48π B. 12πC. 36πD. 9π【答案】D 【解析】 【分析】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解.【详解】如图，将其补成长方体.设PA x =，连接1B C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是1ACB ∠或其补角.则2212210cos 52222ACB x ∠==⨯⨯+，所以1x =， 所以外接球的半径为2221312222++=， 所以棱锥外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______.【答案】00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题，所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +…. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 14.已知()sin (0,10)3f x A x A πωω⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭在12x π=时取得最大值，则ω=_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈，解之得解.【详解】由图像得1232k πππωπ⨯+=+，k Z ∈.解得122k ω=+，k Z ∈，10ω<，所以2ω=.故答案为：2【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知数列{}n a ，其前n 项和2n S n n =+，设nan b =，则数列{}n b 的前10项和等于______.【答案】10231024【解析】 【分析】先求出2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】当n =1时，11==2a S .2211(1)(1)2(1)n n n a S S n n n n n ++=-=+++--=+，所以2n a n =，(2)n ≥,适合n =1. 所以2n a n =.所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n b 是一个以12为首项，以12为公比的等比数列， 所以{}n b 的前10项和为10101112211023112102412⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-.故答案：10231024【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为______.【解析】 【分析】先求出2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点B 坐标代入双曲线方程得222c a =，即得解. 【详解】由题得2F A 所在的直线方程为()ay x c b =--，与直线b y x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2F B BA =u u u u r u u u r，所以B 为线段2F A 的中点， 所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 将点B 坐标代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=所以222c a =，所以ce a==【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知：()222210cos 6cos 3b B ab C b c a =++-.（1）求cos B ；（2）若2AB =，D 为BC 边上的点，且2BD DC =，56ADC π∠=，求ADC V 的面积. 【答案】（1）35；（2【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得3cos 5B =；（2）由正弦定理得165AD =，再求出sin BAD ∠=ADC V 的面积. 【详解】（1）由()222210cos 6cos 3b B ab C b c a=++-得()222210cos 6cos 3cb B abc C c b c a=++-.所以()22235cos 3cos 2c b c a b Ba C bc+-=+.所以5cos 3cos 3cos b B a C c A =+.所以5sin cos 3sin cos 3sin cos B B A C C A =+. 所以5sin cos 3sin()3sin B B A C B =+= 所以3cos 5B =. （2）由（1）得4sin 5B =， 所以sin sin AD AB B ADB=∠，即24152AD =得165AD =. 又343sin sin 6BAD B π+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭.所以124323sin 225ABD S AB AD BAD +=⨯⨯∠=V . 所以1121632ADC ABD S S +==V V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.如图，三角形DCF 所在平面垂直四边形ABCD 所在平面，2AB AD FC ===，5BC =，90ADC DAB FCD ∠=∠=∠=︒，,N P 分别为,AF BC 的中点.（1）证明：//PN 平面FDC ； （2）求棱锥A BDF -的高.【答案】（1）见解析；（2）41717【解析】 【分析】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ，先证明平面//PMN 平面FDC ，//PN 平面FDC 即得证；（2）设棱锥A BDF -的高为h ，求出43A BDF F ABD V V --==，再解方程 11417333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯=⨯⨯=V 得解.【详解】（1）取AD 中点M ，连接,PM MN ， 因为,P N 分别为,BC AF 的中点，所以//MN FD ，因为MN ⊄平面FDC,FD ⊂平面FDC, 所以//MN 平面FDC .由题得//PM CD ，因为PM ⊄平面FDC,CD ⊂平面FDC, 所以//PM 平面FDC .因为,MN PM ⊂平面MNP,MN PN N ⋂=, 由面面平行的判定定理得平面//PMN 平面FDC ， 又PN ⊂平面PMN ， 所以//PN 平面FDC .（2）由ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2AB AD ==，5BC =，得3CD =，又平面PCD ⊥平面ABCD ，FC CD ⊥，FC ⊥平面ABCD .1111422232323A BDF F ABD V V AB AD FC --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.设棱锥A BDF -的高为h ，2213FD FC CD +=，2222BD AD AB +=.3FB =，所以222cos 26BD FB FD DBF BD FB +-∠==⨯⨯.所以sin DBF ∠==，11sin 322BDF S BD FB DBF =⨯⨯⨯∠=⨯=V 114333A BDF BDF V S h h -=⨯⨯==V .得17h =.所以棱锥A BDF -. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握和计算水平.19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）13【解析】 【分析】（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这2人中有1人月支付金额超过3000元的概率. 【详解】（1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关. （2）由（1）得10x =，所以在抽取的6人中，月支付金额在[100,2000]的有3人，记为123,,A A A ；在(2000,3000)的为2人，记为12,B B ；3000以上的为1人，记为C .则从6人中抽取两人，共有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()1,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()2,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()3,A C ，()12,B B ，()1,B C ()2,B C 15种取法.其中共有()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()1,B C ，()2,B C 5种符合条件， 所以51153P ==. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.已知圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R ，点()3,3P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为（1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）2或4；（2）22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【解析】 【分析】(1)由题点P 与圆心的连线与弦垂直,即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数a 的值即可.(2)根据圆的性质可得点M 的轨迹为(),1a 为圆心,,再根据(1)中的两种情况求解即可. 【详解】（1）由圆22:()(1)13()C x a y a -+-=∈R 得到圆心坐标为(),0a 点()3,3P 在圆内,<解得06a <<,由圆的弦的性质可知,点P 与圆心的连线与弦垂直, 即点P 为弦的中点时,过点P 的弦长最短在过点P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为=解得2a =或4,（符合06a <<）.（2）由（1）可知,2a =或4a =时,因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,,所以,点M 的轨迹为(),1a 为圆心, 所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型. 21.函数21()ln ,a f x x a R x a=++∈. （1）讨论函数f (x )的单调性； （2）设()2ag x x=+，当a >0时，证明：()()0f x g x -≥恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x-'=-=，再对a 分情况讨论，分别分析函数()f x 的单调性； （2）要证()()0f x g x -…，只需证120a lnx x a ++-…，设1()2a h x lnx x a =++-，利用导数得到()h x 在x a =时取得极小值，所以()()11min h x h a lna a ==+-，再令()11m a lna a=+-，利用导数得到()m a 在1a =时取得极小值，所以最小值为()10m =，从而得出当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【详解】解：（1）由题意可知0x >，22122()a x af x x x x -'=-=， ①当0a „时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当0a >时，i ．当02x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，ii ．当2x a =时，()0f x '=，iii ．当2x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a +∞上单调递增；（2）要证()()0f x g x -…，所以只需证120a lnx x a++-…， 设1()2a h x lnx x a =++-，则221()a x a h x x x x-'=-=， 当(0,)x a ∈时，()0h x '<；当x a =时，()0h x '=；当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在x a =时取得极小值，即为最小值()()11min h x h a lna a==+-，令()11m a lna a =+-，则()22111a m a a a a-'=-=， 当(0,1)a ∈时，()0m a '<；当1a =时，()0m a '=；当(1,)∈+∞a 时，()0m a '>，()m a ∴在1a =时取得极小值，即最小值为()10m =，∴当0a >时，()0h x …恒成立，即()()0f x g x -…恒成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题． 22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l的最大距离为l 的直角坐标方程.【答案】（1）221169x y +=；（2）50x y -+=或50x y --=. 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）得cos ,4sin .3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=.（2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=. 设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）.①当5a ->0时，max d ==10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,0)-∞；（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后根据()1f x <-，分别解不等式即可；（2）由（1）知()3max f x =，然后根据()|1|f x a -„的解集为实数集R ，可得()|1|max f x a -„，再解关于a 的不等式即可．【详解】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…()1f x <-Q ，1x ∴<-或12211x x -<<⎧⎨-<-⎩，1x ∴<-或10x -<„，0x ∴<，所以不等式的解集为(,0)-∞. （2）由（1）可得()3max f x =若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -…. 解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。
百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题及答案解析(12页)
百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =-<„，集合{|B x y ==，则A B ⋃=（ ）A．[ B．( C．[- D．(-2.已知命题:,(0,1)P x y ∀∈，2x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,1)x y ∀∈，2x y +… B ．,(0,1)x y ∀∉，2x y +…C ．00,(0,1)x y ∃∉，002x y +…D ．00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩„…„则32x y +的最大值为（ ） A ．7B ．5C ．4D ．924.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A ．1336 B ．1736 C ．1936D ．595.已知P 为圆22(1)1x y ++=上任一点，,A B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||3AB =，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．326.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．23升 C ．32升 D ．43升 7.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r ，BC b =u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．1124a b + B ．1536a b +C ．2233a b + D ．1324a b + 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．2020C ．3030D ．10109.()()5102221x xxx +-+的展开式中，含7x 项的系数为（ ）A ．100B ．300C ．500D ．11010.已知函数()sin 0)f x x x ωωω=+->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1014,33⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1014,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19 B ．15 C ．16 D ．1312.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若复数2221iz i-=++，则||z =_____. 14.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A B C 、、，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，来自1班的同学为______.15.数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且221nn n S a =-+，则10S =_____.16.若函数1()e xf x x b a=--在其定义域上的最小值为0，则2a b 最小值为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin()sin a c A c A B b B -++=. （1）求B ；（2）若8a c +=，三角形的面积ABC S =△b .18.如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE BC ⊥，AD DC ⊥，又AD AB ⊥，122AB AD DE CD ====，,,M N P 分别为,,EF BF BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值..19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.函数2()ln 6()a f x a x x a x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，证明：当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为12,B B ，且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r.（1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦,AM AN ，且0AM AN ⋅=u u u u r u u u r，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题．．．．作答.如果多做，则按所做第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷理科数学答案及评分意见1.D【解析】[B =，所以(A B ⋃=-.2.D 【解析】由全称命题,()x M p x ∀∈的否定为x M ∃∈，()P x ⌝可得00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…. 3.A 【解析】由可行域可知，过点(1,2)时，32x y +取得最大值7.4.C 【解析】概率20502601936036P ︒+︒+⨯︒==︒.5.B 【解析】圆心到直线的距离为|37|25--=，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PABS △的最大值为193322⨯⨯=. 6.B 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为127,a a a L ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =. 7.D 【解析】取BC 中点F ，则1111322224BE BC CE BC FA BC BA BC BA BC⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324a b =+. 8.C 【解析】10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =…可知12343a a a a +=+==L 当2020i =时，101033030S =⨯=.9.A 【解析】30()11520(1)krkr k r k T T C C x-+++=-，其中05r 剟，020k 剟，，则23r k +=，所以可取3r =，20k =或4r =，19k =或5r =，18k =，分别代入求和得7x 项得系数为100.10.D 【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个根，则3sin x πω⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有三个根，则233x k ππωπ+=+或223k ππ+.k ∈Z .需2223233πωπππππ++<+…解得144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 11.B 【解析】设四棱锥P ABCD -的高为h ，则三棱锥B CDEE -的高为13h ，2AB a =，则3CD a =，所以11532p ABCD V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDE V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，所以15B CDE P ABCD V V --=12.A 【解析】2F A 所在的直线方程为()a y x c b =--，与直线by x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 为线段FA 的中点，所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=得222c a =，所以ce a==13. 【解析】(2)(1)222(1)(1)i i z i i i --=+=-+-，所以||z =14.B 【解析】由题，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高，所以B 不能来自3班，只能来自1班. 15.9217 【解析】11121a S a ==-，得11a =， 又11112222nn n n n n n S S a a a ++++-==-+-，即11222n n n n a a ++-=-得111222n n n n a a ++-=. 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项12为公差的等差数列，即11(1)2222n na n n =+-⨯=， 所以122n n a n =⨯由错位相减法可得109217S =. 16.21e-【解析】由题，0x x e b a --…恒成立，可转化为直线1y x b a =+与曲线xy e =相切. 设切点坐标为()00,x x e ，则0001,1.x x e x b a e a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得0201x x a b e -=，令1()e t t h t -=，则2()e tt h t -'=可得当2t =时，()h t 取得最小值21e-. 17. 【解析】（1）由()sin sin()sin a c A c A B b B -++=， 得()sin sin sin a c A C c b B -+=. 由正弦定理得22()a c a c b -⨯+=，即222122a cb ac +-=. 所以1cos 2B =，又因为(0,)B π∈ 所以3B π=.（2）由（1）知3B π=，1sin 2ABC S ac B ==△16ac =， 又8a c +=，解得4a =，4c =，所以：2222cos 16b a c ac B =+-=，得4b =. 18.【解析】（1）证明：因为,P N 分别为,BC BF 的中点，所以PN CF P ，因为四边形EDCF 为矩形，所以DE CD ⊥ 又因为DE BC ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，所以PN BC ⊥ 取CD 中点H ，连接,,PH BH MH ，则MH CF PN P P ，所以点,,,M N P H 同在平面MNP 内.在BHC △中，2BH AD ==，2CH CD AB =-=，90BHC ∠=︒，P 为BC 中点， 所以HP BC ⊥又因为PN 交HP 于点P ，所以BC ⊥平面MNP .（2）由（1）知,,AD DE CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,4,2)F ，因为,M N 分别为,EF BF 中点，可得(0,2,2)M ，(1,3,1)N ，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0,0.n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即220,2220.x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩ 令1x =，可得1y =，0z =，所以(1,1,0)n =r.所以cos ,||||n MN n MN n MN ⋅〈〉==r u u u u rr u u u u r r u u u u r .所以MN 与平面BCF3=. 19.【解析】 （1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得30x =，所以在抽取的9人中，月支付金额在[100,1000]的有1人，在(1000,2000]的为2人，在(2000,3000]的为3人，3000以上的为3人，则46495(0)42C P Y C ===，31634910(1)21C C P Y C ===，2263495(2)14C C P Y C ===. 1363491(3)21C C P Y C ===， 所以分布列为510514()0123422114213E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以Y 的数学期望为43. 20.【解析】（1）222226()6a a x ax a f x x x x-++'=+-=. 令()0f x '=，得2260x ax a -++=， 解得12a x =，23a x =-. ①当0a =时，()60f x '=-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当0a >，02a >，03a -<，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，02a <，03a ->，()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当0a >时，由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. ①当22a <，即04a <<时，()f x 在(0,2]的最大值 max ()ln 5ln 5222a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为04a <<，所以ln ln 2ln 12a e <<=. 所以ln 502a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ②当22a …，即4a …时，()f x 在(0,2]内单调递增. max ()(2)ln 2122a f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 因为4a …，ln 2ln 12a e <=<. 所以ln 202a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ln 21202a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. 综合①②可知当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.【解析】（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意2c a =，① 1112(,)(,)2F B F B c b c b ⋅=⋅-=u u u u r u u u u r ，②又222c a b =-，③由①②③得24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）由题可知，(0,2)A -，直线,AM AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ， 则直线AN 斜率为1k-. 设直线AM 方程为(2)y k x =+，与椭圆方程联立得22(2),440.y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214161640k x k x k +++-=.① 方程①的一根为2-，设(),M M M x y ， 则22164214M k x k --=+，得222814M k x k -=+， 所以()2M M y k x =+，得2414M k y k =+ 得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得（将k 换为1k -）得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 则()()()()232222242222442012020514428284416161611144MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-------+-++. 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭. 令0y =，则()()()()()222222221616428624645545454k k k k x k k k k --+---=+===-++++. 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当50a ->时，max d ==，解得10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.23.【解析】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…31,1,()1211,1 2.x f x x x -<--⎧<-⇔⎨-<--<<⎩„ 解得0x <，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -….解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+ b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π3，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2, 0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|+1|QT|为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax+1x ，g(x)=exx−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点（1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x +2|+|x −1|−a ． （1）当a ＝4时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m+n +2m+3n =s 时，求3m +4n 的最小值．2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x ⋅ln(x +3)0}，则A ∪B ＝（ ） A.{−1, 0, 1} B.{−2, −1, 1} C.{−2, 0, 1} D.{−2, −1, 0, 1}【解答】∵A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{0, −2}， ∴A ∪B ＝{−2, −1, 0, 1}．2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅i ＝1+i ，则z ⋅z =() A.√2 B.2 C.1 D.0【解答】 ∵z ⋅i ＝1+i ，∴z =1+i i =(1+i)(−i)−i =1−i ，则z ⋅z =|z|2=(√2)2=2．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y ＝xsinx B.y ＝xlnx C.y =x ⋅e x −1e x +1D.y =xln(√x 2+1−x) 【解答】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)＝xsinx ＝f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y ＝xlnx ，其定义域为(0, +∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y ＝x ⋅e x −1e +1，其定义域为R ，有f(−x)＝(−x)⋅e −x −1e +1=x ⋅e x −1e +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y ＝2+1−x)，其定义域为R ，有f(−x)＝(−x)ln(√x 2+1+x)＝xln(√x 2+1−x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2，则S 3＝（ ） A.283 B.12C.383D.13【解答】∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0 ，解得a 1=9,q =13，∴S 3=9(1−133)1−13=13．5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43 B.2C.83D.103【解答】根据三视图，可知几何体为四棱锥P −ABCD ， 体积V =13×2×2√2×√2=83．6.已知函数f(x)＝2cos 2x −cos(2x −π3)，则下列结论正确的个数是（ ） ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增； ③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称． A.1 B.2 C.3 D.4【解答】f(x)＝2cos 2x −cos(2x −π3)＝cos2x +1−12cos2x −√32sin2x =12cos2x −√32sin2x +1=cos(2x +π3)+1，∴T =2π2=π，①对；由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得x ∈[kπ−2π3, kπ−π6]，k ∈Z ，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ−2π3, kπ−π6]，②错；∵x ∈[0, π2]时，2x +π3∈[π3, 4π3]，cos(2x +π3)∈[−1, 12]，函数f(x)在[0, π2]上的最大值为32，③错，∵2x +π3=kπ，x =kπ2−π6，k ∈Z ，④对，7.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN →⋅AB →= （ ）A.−2B.−34C.−54D.54【解答】因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN →⋅AB →=12(CA →+CM →)⋅AB →=12(−AC →+12CB →)⋅AB → =12[−AC →+12(AB →−AC →)]⋅AB → =12(12AB →−32AC →)⋅AB → =14AB →2−34AB →⋅AC → =1×22−3×2×3×1 =−54．8.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A.13 B.12C.25D.34【解答】由题意可知，满足条件的时间段为7:50∼8:00，8:20∼8:30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =2050=25．9.已知函数f(x)=log 12(x 2−ax +a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−∞, 1]B.[−12, 1] C.(−12, 1] D.(−12, +∞)【解答】∵y =log 12x 在(0, +∞)上为减函数，∴y ＝x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解得−12≤a ≤1． 10.若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0 ，则z ＝|x −y +1|的最大值为（ ）A.2B.2411C.2811D.3 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：令t ＝x −y +1，得y ＝x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线， {4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511, −211)；平移直线y ＝x +1−t ，当直线y ＝x +1−t 经过点C(1511, −211)时，直线y ＝x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y ＝x +1−t 与AB 重合时，直线y ＝x +1−t 的截距最大，A(0, 12) 此时t min ＝0−12+1=12，∴z ＝|x −y +1|的取值范围是：[12, 2811]． 故z ＝|x −y +1|的最大值为2811．11.如图所示，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ）A.9πB.10πC.12πD.14π【解答】由题意可知，PD ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102， 故R =√1+(√102)2=√142，故S ＝4π×144=14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x >0)，若a =√1−x 2>0，则f(x)的取值范围是（ ） A.[−√2−1, −1) B.(−2√2, −1) C.[−2√2, −1) D.(−√2, 0)【解答】由a =√1−x 2得，a 2+x 2＝1，不妨设a ＝cosα，x ＝sinα，其中α∈(0,π2)，则y =sinα+cosαsinαcosα−1，令t =sinα+cosα=√2sin(α+π4)∈(1,√2]，sinαcosα=t2−12，∴1y=t 2−32t =t2−32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数， ∴y ∈[−2√2,−1)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________． 【解答】从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为553，14.已知函数f(x)＝x 3−5x +a ，直线2x +y +b ＝0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为________． 【解答】由f(x)＝x 3−5x +a ，得f ′(x)＝3x 2−5， ∵直线2x +y +b ＝0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0, y 0)，则3x 02−5=−2，∴x0＝1或x0＝−1，∴y0＝a−4或y0＝a+4，即切点坐标为(1, a−4)或(−1, a+4)，代入直线中，得a+b＝2或a+b＝−2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．【解答】设t=yx，由题意知t≥2，则yx +9x2x+y=t+9t+2，令f(t)＝t+9t+2，t≥2，∵f′(x)＝1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，16.F1、F2是双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是________+√2）．【解答】当x＝c时，c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a故M(c, b2a)如图只要∠MF1F2<45∘即可，则tan∠MF1F2<tan45∘＝1，即b2a2c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2−a2<2ac，即c2−2ac−a2<0，则e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2又e>1，∴1<e<1+√2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC 的面积S ． 【解答】因为a 2＝b 2+bc ⇒a 2+c 2−b 2＝c 2+bc ； ∴a2+c 2−b 22ac=c+b 2a；∴b +c ＝2acosB ；由正弦定理得：sinB +sinC ＝2sinAcosB ，∴sinB +sin(A +B)＝2sinAcosB ⇒sinB ＝sin(A −B)； 因为都是三角形内角；∴A ＝2B ；又由sinC +tanBcosC ＝1．得sin(B +C)＝cosB ； ∴sinA ＝cosB ；∴sinB =12．∴B =π6，A =π3．由（1）可知C =π2．∴△ABC 为直角三角形． 又因为AP →⋅CP →=0⇒PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b ＝2，所以：BC ＝2√3，AB ＝4， 设O 为AC 的中点，连接BO ， 则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP ＝BO −PO =√1+(2√3)2−1=√13−1． 设∠OCP ＝α，则∠COP ＝π−2α， ∴sinα=PAAC =12PA ；cosα=PCAC =12PC ； ∴S =12PA ⋅PC ＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC 中，sin∠COB ＝sin(π−2α)＝sin2α=BCBO =√3√13=2√3913． ∴当BP 取得最小值时(√13−1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，填表如下；≈3.333<3.841，K2=20(2×4−6×8)28×12×10×10没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A, B, C)，(A, B, D)，(A, B, E)，(A, C, D)，(A, C, E)，(A, D, E)，(B, C, D)，(B, C, E)，(B, D, E)，(C, D, E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π3，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【解答】证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2√3，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×√22−(√102)2=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P−BCE＝V B−PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．20.动圆P过定点A(2, 0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【解答】设P(x, y)，由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH＝2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x−2)2+y2=√x2+4，整理可得y2＝4x(x≠0)；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P(0, 0)也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，假设存在Q(a, 0)满足题意，设S(x1, y1)，T(x2, y2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a(t1≠0)，联立{x=t1y+ay2=4x，整理可得y2−4t1y−4a＝0，∴y1+y2＝−4t1，y1y2＝−4a，∴x1+x2＝t1(y1+y2)+2a＝4t12+2ax1x2=116y12y22=a2，∵QS2＝(x1−a)2+y12=(x1−a)2+4x1＝x12+(4−2a)x1+a2，QT2＝(x2−a)2+y22=(x2−a)2+4x2＝x22+(4−2a)x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+(4−2a)x1+a2+x22+(4−2a)x2+a2＝(x1+x2)2+(4−2a)(x1+x2)−2x1x2+2a2＝(x1+x2)(x1+x2+4−2a)−2x1x2+2a2＝(4t12+2a)(4t12++4)，QS2⋅QT2＝16a2(t12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS2+QT2QS⋅QT=2t12+a2a(t12+1)，当a＝2时，上式=14与t1无关为定值，所以存在Q(2, 0)使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足1|QS|+1|QT|为定值14．21.已知函数f(x)＝ax+1x ，g(x)=exx−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【解答】∵f(x)＝ax+1x ，∴f′(x)=a−1x=ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，由f′(x)＝0，得x=±√aa（舍负），当x∈(0,√aa )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(√aa,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．由f(x)<g(x)，得e x−ax2−x−1>0，设ℎ(x)＝e x−ax2−x−1(x>0)，则ℎ′(x)＝e x−2ax−1，令H(x)＝e x−2ax−1，则H′(x)＝e x−2a，当a≤12时，∵x∈(0, +∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数，∴H(x)＝ℎ′(x)>ℎ′(0)＝0，∴ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数，∴ℎ(x)>ℎ(0)＝0成立，即f(x)<g(x)成立．当a>12时，由H′(x)＝e x−2a＝0，解得x＝ln2a，x∈(0, ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数，x∈(ln2a, +∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数，∴ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a−1−2aln2a，设t(a)＝2a−1−2aln2a(a>12)，则t′(a)＝−2ln2a<0，∴t(a)在(12,+∞)上为减函数，∴t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0∴∃x0∈(0, +∞)，当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数，当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数，又ℎ(0)＝0，∴当x∈(0, x0)时，ℎ(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞,12]．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点（1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2＝1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2＝0． 所以圆心(1, 1)到直线x +y +2＝0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1． 由于圆心到直线的最小距离d ＝2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√． （1）当a ＝4时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R ，设a 的最大值为s ，当正数m ，n 满足12m+n +2m+3n =s 时，求3m +4n 的最小值． 【解答】a ＝4时，|x +2|+|x −1|−4≥0，当x <−2时，−x −2−x +1−4≥0，解得x ≤−52； 当−2≤x ≤1时，x +2−x +1−4≥0，解得x ∈⌀；当x>1时，x+2+x−1−4≥0，解得x≥32，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤−52或x≥32}；∵函数f(x)的定义域为R，∴|x+2|+|x−1|−a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x−1|，又|x+2|+|x−1|≥|x+2−x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴12m+n +2m+3n=3，且m>0，n>0，∴3m+4n＝(2m+n)+(m+3n)=13[(2m+n)+(m+3n)]⋅(12m+n+2m+3n)=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n 2m+n ]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m=1+2√215,n=3+√215时取等号，∴3m+4n的最小值为1+2√23．。