2017年秋季新版华东师大版八年级数学上学期12.3.1、两数和乘以这两数的差学案
华师大版八年级数学上册第十二章第二节12.3.1两数和乘以这两数的差同
华师大版数学八年级上册第十二章第二节12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习一、选择题1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A．(x+y)(－x－y) B．(2x+3y)(2x－3z)C．（－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)答案：C解答：只有两数和乘以两数差时才能用平方差公式，由此只有C符合要求．故选C．分析：根据平方差公式的形式直接找出答案．2．在下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A．(x+1)(1+x) B．(12a+b)(b-12a) C．(-a+b)(a-b) D．(x2-y)(x+y)答案：B解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,故选B．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．3．观察下列各式，能用平方差公式计算的是（）A.（-a+b）(b-a)B. (2x+1)(-2x-1)C. (－5y+3)(5y+3)D. (－2m+n)(2m－n)答案：C解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,，故选C．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．4．乘积等于m2－n2的式子是（）A. (m－n)2B.(m－n)(－m－n)C.(n－m)(－m－n)D.(m+n)(－m+n)答案：C解答：解：(m－n)2=m2－2mn+n2;(m－n)(－m－n)= -m2+n2; (n－m)(－m－n)= m2－n2; (m+n)(－m+n)= -m2+n2,故选C．分析：将各选项中的式子展开即得．5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.(x－2y)(2y+x)B.(x－2y)(－2y+x)C. (x+y)(y－x)D. (2x－3y)(3y+2x)答案：B解答：(x－2y)(2y+x)=x2-4y2; (x－2y)(－2y+x)= (x－2y)2; (x+y)(y－x)=y2-x2; (2x－3y )(3y +2x )=4x 2-9y 2,故选B ．分析：根据平方差公式形式直接选出． 6．下列各式中计算正确的是（ ）A.(a +b )(－a －b )=a 2－b 2B. (a 2－b 3)(a 2+b 3)=a 4－b 6C.(－x －2y )(－x +2y )=-x 2－4y 2D.(2x 2+y )(2x 2－y )=2x 4－y 4答案：B解答：(a +b )(－a －b )=-a 2-b 2+2ab ; (a 2－b 3)(a 2+b 3)=a 4－b 6; (－x －2y )(－x +2y )=x 2-4y 2; (2x 2+y )(2x 2－y )=4x 4－y 2，故选B ．分析：先根据平方差公式计算得出结果．7．下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 答案：C解答：(－2a －b )(2a +b )=- (2a +b )2,其他选项都符合，故选C ． 分析：根据平方差公式形式直接得出答案．8．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A. )6)(6(x y x y --+-B. (6)(6)y x y x -+-C. (6)(6)x y x y ++D.)6)(6(x y x y ---答案：D解答：22(6)(6)36y x y x y x -+--=-,222(6)(6)(6)3612y x y x y x y xy x -+-=--=-+-，22(6)(6)1236x y x y x xy y ++=++，22(6)(6)36y x y x y x ---=-+，故选D ．分析：根据平方差公式将各式展开．9．(4x 2－5y )需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－4x 2－5y B.－4x 2+5y C.(4x 2－5y )2D.(4x +5y )2答案：A解答：所选式子必须与(4x 2－5y )有一项相同，一项互为相反数，故选A ． 分析：根据平方差公式直接得出． 10．有下列运算： ①2229)3(a a =②2251)51)(15(m m m -=++- ③532)1()1()1(--=--a a a ④626442++=⨯⨯n m n m ， 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C.③④ D. ②④ 答案：B解答：222(3)81a a =，故①错误，2251)51)(15(m m m -=++-，故②正确，532)1()1()1(--=--a a a ，故③正确，2624642m n m n ++⨯⨯=，故④错误，故选B ．分析：分别计算出每一个式子的值．11．有下列式子：①)3)(3(y x y x +-- ②)3)(3(y x y x ---③)3)(3(y x y x -+- ④)3)(3(y x y x ++-，其中能利用平方差公式计算的是（ ）A. ①②B. ②③C.③④D. ②④ 答案：D解答：)3)(3(y x y x +--=-(3x +y )2,故①不能，22(3)(3)9x y x y x y ---=-+，故②能，2(3)(3)(3)x y x y x y -+-=--，故③不能，22(3)(3)9x y x y x y -++=-+，故④能，故选D ．分析：利用平方差公式计算既可得出．12．a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1 D.1－2a 4答案：B解答：a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2) = a 4+(1－a 2) (1+a 2) = a 4+(1－a 4) =1， 故选B ．分析：利用平方差公式计算既可得出．13．用平方差公式计算))((d c b a d c b a ++--++，结果是（ ） A. 22)()(d c b a --+ B. 22)()(d b c a --+ C. 22)()(d c d a --+ D.22)()(d a b c --+答案：B22()()[()()][()()]()()a b c d a b c d a c b d a c b d a c b d ++--++=++-+--=+--故选B ．分析：利用平方差公式计算得出，把(a +c )看成一个整体，把（b -d ）看成一个整体．14．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n +1）（3n -1）-（3-n ）（3+n ）的整数是（ ） A ．3 B ．6 C ．10 D ．9 答案：C解答：（3n +1）（3n -1）-（3-n ）（3+n ） =9n 2-1-9+n 2=10n 2-10所以代数式能被10整除， 故选C ．分析：利用平方差公式计算得出． 15．)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n的值是（ ）A ．12-nB ．122-nC ．421n -D ．1222-n答案：C解答：解：原式=（22-1）（22+1）（24+1） (22)+1） =（24-1）（24+1）…（22n +1）， =（28-1）（28+1） (22)+1）， =（22n-1）（22n+1）， =24n-1， 故选C ．分析：利用平方差公式，逐步计算． 二、填空题16．已知622=-y x ，3=+y x ，则=-y x ． 答案：2解答：22()()3()6x y x y x y x y -=+-=-=，所以2x y -=， 故填：2.分析：利用平方差公式的逆运算得出．17．计算：(2x +5)(2x －5)－(4+3x )(3x －4)= ．答案: －5x 2-9解答：(2x +5)(2x －5)－(4+3x )(3x －4)=（4x 2－25）—（9x 2－16） =4x 2－25－9x 2+16=－5x 2-9 故填－5x 2-9.分析：先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项. 18．如果a +b =2006,a －b =2,那么a 2－b 2=________. 答案：4012分析：利用平方差公式的逆运算计算得出．19．若))(())((B A B A c b a c b a +-=+-++，则=A ，=B . 答案：a +c ;b解答：()()[()][()]()()a b c a b c a c b a c b A B A B ++-+=+++-=-+． 分析：利用单平方差公式把原式变形，注意a +c 看成是一个整体． 20．2004×2006-20052= ．答案：-1解答：2004×2006－20052=(2005－1)(2005+1)－20052=20052－1－20052=-1．分析：利用平方差公式进行简便运算． 三、解答题21．运用平方差公式计算： （1）)4)(4(-+ab ab ； 答案：2216a b - 解答：解：2222(4)(4)()416ab ab ab a b +-=-=-（2）)14)(14(---a a ； 答案：2116a -解答：222(41)(41)(1)(4)116a a a a ---=--=- （3）)4)(2)(2(422++-n n ny y y ； 答案：816ny-解答：解：224448(2)(2)(4)(4)(4)16n n n n n n y y y y y y -++=-+=-（4）)12()12)(12)(12(42++++nΛ． 答案：解：2424224224442(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)21n n n n n n n n ++++=-++++=-+++=-+++=-++=-+=-L L L L L分析：利用平方差公式计算得出． 22．化简：1(2)(2)(8)2a b a b b a b +---． 答案：解答：解：)8(21)2)(2(b a b b a b a ---+2224214b ab b a +--=ab a 212-= 分析：利用平方差公式和整式乘法运算法则计算． 23．两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数.. 答案：解：设这个两个数的十位上的数字是x ,则这两个两位数是(10x +6)和(10x +4), 由题意得：(10x +6)2-(10x +4)2=220 解这个方程得：x =5答：这两个两位数分别是：56和54.分析：根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．24．先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-． 答案：解：原式2242a a a =--+ 24a =-． 当1a =-时，原式2(1)4=⨯--=-6分析：先利用平方差公式和整式乘法法则化简，再代入求值． 25．观察： 32-12=8; 52-32=16; 52-32=16; 72-52=24; 92-72=32. ……（1）根据上述规律，填空：132-112= ,192-172= . 答案：48 72解答：解：132-112=（13+11）（13-11）=24×2=48192-172=（19+17）（19-17）=36×2=72（2）你能用含n的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？答案：解：（2n+1）2-（2n-1）2=8n．证明：∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n答：两个连续奇数的平方差是8的整数倍分析：先利用平方差公式将式子展开，再合并同类项即可．初中数学试卷。
八年级数学上册 12.3 乘法公式 1《两数和乘以这两数的差》教案2 (新版)华东师大版
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
（七）拓展深化，发展思维
问题7：计算：
（1）98×（－102）；（2） ．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（四）总结归纳，发现新知
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（五）剖析公式，发现本质
在平方差公式 中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即 ；
教学重难点
利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，分析公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．
教学过程
（包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）
（一）创设情境，引出课题
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（m+2）（m-2）=
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》一. 教材分析《12.3.1两数和乘以这两数的差》是华东师大版八年级上册数学的一节内容。
这部分内容主要让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。
在教材中，通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这个公式。
在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习这节内容时，已经有了一定的代数基础，比如掌握了有理数的乘法、加法等。
但部分学生可能对这个公式理解不够深入，不能灵活运用。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生理解和掌握这个公式。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法。
2.难点：如何引导学生发现这个公式的规律，并能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现这个公式的规律。
2.实例讲解法：通过例题和练习题，帮助学生理解和掌握这个公式。
3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示例题和练习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
3.教学道具：准备一些教学道具，如黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学道具，引导学生回顾已学过的有理数乘法、加法的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过课件展示本节课的主要内容，引导学生观察、思考，发现两数和乘以这两数的差的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组找出几个实例，验证这个规律。
第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差
10. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去一个边 长为 b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积； (2)这个题从几何角度验证了哪个公式？
解：(1)阴影部分的面积为 a2－b2 或(a＋b)(a－b)； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
7. 如果(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，那么 a＋b 的值 为 ±8 ．
【解析】∵(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，∴(a＋b)2－1＝63， (a＋b)2＝64，∴a＋b＝±8.
8. 计算：
(1)(12x－31)(－13－12x)； 解：原式＝19－14x2； (2)12(1＋21)(1＋14)(1＋116)； 解：原式＝(1－12)(1＋21)(1＋14)(1＋116)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/12021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月1日星期三2021/9/12021/9/12021/9/1 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/12021/9/1September 1, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/12021/9/12021/9/12021/9/1
3. 平方差公式逆用：a2－b2＝ (a＋b)(a－b)
数学华东师大版八年级上册12.3.1两数和乘以这两数的差
§12.3.1两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。
过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
情感与态度：形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。
【教学重点】对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、情境屋，请君入内问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。
让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。
）二、探究园，任你驰骋1.自学指导自学教材30页至32页。
和你的小组合作探讨完成下列内容。
（时间8分钟）1、通过30页的做一做，你能得出平方差公式吗？能否用语言叙述？等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？公式中的a,b可以表示什么？2、通过31页的试一试，你和同学们能懂其意并写出吗？3、例1中的计算题能用多项式乘以多项式的法则计算吗？你用了这个法则了吗？为什么？4 、你和你的同伴会做例2和例3吗？S:学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。
八年级数学上册12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差教案华东师大版(new)
12.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差【基本目标】1。
能说出平方差公式的特点,并会用式子表示.2.能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法。
3。
通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想.【教学重点】掌握平方差公式的特点，牢记公式.【教学难点】具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.一、创设情景，导入新课街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米。
问改造后的长方形草坪的面积是多少？【学生活动】(a+2)（a—2）=a2—4二、师生互动,探究新知【教师活动】你观察式子左边有什么特征？右边的结果又有什么特征？这种发现具有一般性吗?请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论？请用字母表示.【教学说明】在学生发言基础上归纳：（a+b)（a-b）=a2-b2这就是说，两数之和与两数之差的积，等于这两数的平方差.简称平方差公式。
请同学们结合教材P31图形进行面积验证.【教师活动】请同学们给出几个平方差的式子，并让同伴计算.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视及时点评.注意运用公式时应具有平方差公式的特征。
四、典例精析，拓展新知例利用平方差公式计算:（1)59.8×60。
2;（2）（5+1）（52+1）（54+1）(58+1）（516+1）+1/4【分析】(1)可转化为（60—0。
2）（60+0。
2）；（2）先将前面部分乘以（5-1)构造平方差公式，再除以4。
【答案】（1）3599.96（2)532/4【教学说明】第（2)小题可能大多数同学不会做，教师抓住这困惑,是思维的起点,帮助分析如何构造平方差公式。
(52+1）与谁构成平方差，同时注意代数式恒等的要求.五、运用新知，深化理解1。
计算(y+x）（y-x）（x2+y2)（x4+y4）.2.计算(1）20132—2012×2014；（2）3×(4+1）(42+1)+1。
华东师大初中数学八上《12.3.1两数和乘以这两数的差》word教案 (2)
两数和乘以这两数的差教学内容教科书P.30——P.31的内容教学目标知识与技能：能说出平方差公式的特点，并会用式子表示，能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法；过程与方法：使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；情感态度与价值观：通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想。
教学分析重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式。
难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。
关键：抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征。
教学过程一、新课引入。
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。
从而引出课题：平方差公式。
二、知识回顾。
1．多项式乘以多项式的法则： ___________________________。
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果。
3．计算：(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)； (3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
三、引导观察。
1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?(引导学生发现：当a=－b时，(x＋a)(x＋b)=x2－b2，从而得出平方差公式。
)3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?4．你能用图形来验证它的正确性吗?5．你能用语言叙述这个公式吗?四、学例及应用。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3.1两数和乘以这两数的差教学课件(新版)华东师大版
1.两数和乘以这两数的差
导入新课
讲授( jiǎngshòu) 新课
当堂练习
课堂小结
第一页，共18页。
学习目标
1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算 (yùn suàn).（难点）
解: (a 2)(a 2) a2 4
第十三页，共18页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样(zěnyàng)改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2
不对
改正(g（ǎi1z）hè(xn+g2))：(x-2)=x2-4
（2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
第十八页，共18页。
课堂(kètáng)小结
内
容
(nèiróng)
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差
平方差
公式
(gōngsh
ì
)
注
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一 特征，在应用时，只有两个二 意 项式的积才有可能应用平方差 公式；对于不能直接应用公式 的，可能要经过变形才可以应 用
=3x2－5x－ 10.
第十五页，共18页。
解：3.计算(jìsuàn)： 20152 － 2014×2016.
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1) = 20152 － （20152－12 ) = 20152 － 20152+12 =1.
八年级数学上册12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差教学设计新版华东师大版
§12.3.1两数和乘以这两数的差一、背景介绍及教学资料本教材改变了传统教材乘法公式单独成章的模式，而是在学习了整式乘法的基本知识之后直接导入，显得贴切自然，使学生体会到从一般到特殊的思想。
另一方面，新课标对乘法公式的要求是：会推导乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
较之旧大纲，内容减少，要求降低。
当然，乘法公式的推导是初中运用推理方法进行恒等变形的开端，在推导过程中使用了以特殊到一般的归纳推理方法，教学中不仅要求学生记住公式，理解公式，更要深入理解公式中字母的广泛含义。
二、教学设计【教学内容分析】本节课引导学生用所学过的多项式和多项式相乘的法则，动手运算两数和与两数差的积结果，从而让他们体会两数和与两数差的积的结果与这两数的关系，从而得出平方差公式，并通过做一做给出它的几何解释，即增加可信度和印象，也增强学生的学习兴趣。
【教学目标】1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、初步学会运用平方差公式进行计算。
【教学重点、难点】重点是平方差公式的推导及应用。
难点是对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。
【教学准备】展示课件。
【教学过程】bb【教学反思】让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们学习的动力，培养他们良好的学习习惯。
让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。
运用图形来解释和探究公式，显得直观贴切，同时领悟数形结合的数学思想。
教师从学生学习的传授者真正变为学生学生的合作者。
在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识，则由学生自己得出。
这样，即加深了学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴。
两数和乘以这两数的差教案华东师大版八年级数学上册
12.3.1 两数和乘以这两数的差一、学习目标与重难点1．认识平方差公式，并了解公式的意义（ABC ）；2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题（ABC ）;3．核心素养：通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何之间的联系（AB ）. 重点：平方差公式的推导过程.难点：平方差公式的应用.二、教学过程1.复习引入（1）多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（2）注意事项：不漏乘；合并同类项（3）练习题：观察这些式子有什么共同点？提出猜想，引入课题2.自主学习，完成任务（3min ）（1）仔细阅读教材3032页内容，并完成书上空格填写；（2）尝试完成书上课后练习3.预习检测，讲授新知（1）讲授新知①验证公式从数的角度：从几何的角度 黄色纸片的面积可表示为 ；拼成的长方形面积可表示为 . 即 (a+b) (ab)=a 2b 2②新知归纳两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.平方差公式：使用平方差公式时，关键在于找a 与b③新知运用游戏环节4.例题讲解基础过关例1）：（1）(3a+b)(3ab) （2）例1（纲要23页(−2a 2+5b )(−2a 2−5b ) （规范过程，注意打括号）能力提升例2：简便计算：1 002 × 998变式练习（纲要25页例4）：计算22018-20172019⨯例3（纲要24页例2）：若的值为则b a b a b a +=-=-,21,4122（ ）A. 21B.21 变式练习：若a 2−2a −1=0，那么代数式(a +2)(a −2)−2a 的值为 思维拓展，讨论交流，学生展示5.课堂小结（1）什么叫做平方差公式？（2）在应用平方差公式时，关键点是什么？6.课堂练习（1）课本32页练习1、2题（2）单页题卡第一部分—基础巩固三、板书设计。
华东师大版八年级上册课件 12.3.1 两数和乘以这两数的差(1)(共24张PPT)
活动三 知识应用
（2）
1 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(（5）):
（6）
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b-a)；
（3）(-a+b)(a-b)；
（4）(x2-y)(x+y2)；
（5）(-a-b)(a-b)；
（6）(c2-d2)(d2+c2).
2 利用平方差公式计算：
= 20002-22
= y2-4-y2-4y+5
=4000 000 – 4
= - 4y + 1.
= 3 999 996.
当堂训练2 (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2
2.简便计算： (1)498×502; (2)999×1001
利用平方差公式简便计算
(4) 4951 2499
适当调整位置
（2）(-2x-y)(-y+2x)
即两数和与这两数差的积 等于这两个数的平方差.
(-m+n) (-m - n) =m2 -n2.
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的和
这两数的平方差
这两个数的差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个二项 式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相同
(a+b)(a-b)=a2-b2
综合拓展
1.计算 : 20042-2003×2005;
2.应用今天所学的知识,算算:
1234567892-123456788×123456790
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再 把所得的积相加.
华东师大版八年级上册数学导学案：12.3.1两数和乘以这两数的差(无答案)
12.3 乘法公式第一课时两数和乘以这两数的差课标要求：掌握乘法公式（a+b）(a-b)=a2-b2导学目标：1.知识与技能：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
2.过程与方法：由学生自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。
3.情感态度与价值观：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
导学核心点：1.导学重点：平方差公式的推导和运用。
2.导学难点：公式中字母的广泛含义。
3.导学关键：抓住重点，留出更多的时间让学生自主探索。
4.导学方法:自主探索，合作交流。
一、新课引入。
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。
从而引出课题：平方差公式。
二、知识回顾。
1．多项式乘以多项式的法则：______________________________________。
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果。
3．计算：(1)(x＋3)(x－3)；(2)(a＋2b)(a－2b)；(3)(4m＋n)(4m－n)；(4)(5＋4y)(5－4y)。
三、引导观察。
1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?(引导学生发现：当a=－b时，(x＋a)(x＋b)=x2－b2，从而得出平方差公式。
)3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?4．你能用图形来验证它的正确性吗?5．你能用语言叙述这个公式吗?四、学例及应用。
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课题两数和乘以这两数的差
【学习目标】
1．认识平方差公式，并了解公式的意义；
2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题；
3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一．
【学习重点】
理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题．
【学习难点】
理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．
行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式．2．数学方法：由一般到特殊．
3．平方差公式的特征：相同项的平方与相反项的差．情景导入生成问题1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．
2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算的如此快．
自学互研生成能力
知识模块一探究平方差公式
阅读教材P30～P32，完成下面的内容：
1．计算：
(1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)．
解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2.
2．问题：在完成上述计算练习中，你发现了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？
左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差．
3．平方差公式的代数方法推导：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项)
语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．
4．平方差公式结构特征：
(1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是乘式中两项的平方差；
(3)平方差公式的几何解释：
观察教材图12.3.1发现：等式左边可表示为(a ＋b)(a －b)，等式右边可表示为a 2－b 2
，所以(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2．
5．理解平方差公式：
问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？
①(a －3)(a ＋3)；(能) ②(a＋3)(a －2)；(否)
③(－a ＋3)(－a －3)；(能) ④(a＋3)(－a －3)；(否)
⑤(－a －3)(a －3)．(能)
(2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？ 答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数．
(3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？ 答：相同项的平方减去相反项的平方．
学法指导：不能直接使用平方差公式的，首先应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式．
学法指导：1.平方差公式使用需注意：
(1)特点：相同项的平方减去相反项的平方．运用平方差公式进行乘法运算时一定要注意找准相同项和相反项；
(2)注意：公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；
2．运用平方差公式进行简便运算时，要先根据算式中的数的特征将算式写成两数和乘以两数差的形式，再运用平方差公式．
学法指导：多个多项式相乘，要注意观察每个多项式的特点，看是否能用公式化简．
行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
知识模块二 平方差公式的运用
范例1：计算： (1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(2y －x)(－2y －x)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋5y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x －5y ；(4)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)． 解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x 2－4；
(2)原式＝(－x ＋2y)(－x －2y)＝(－x)2－(2y)2＝x 2－4y 2；
(3)原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x 2
－(5y)2＝49x 2－25y 2； (4)原式＝(y 2－3x 2)(y 2＋3x 2)＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4.
仿例：计算：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－32y ；(2)(－2＋x)(－2－x)； (3)(2x ＋y)(2x －y)；(4)(－3x －2y)(2y －3x)．
解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2＝x 24－94
y 2； (2)原式＝(－2)2－x 2＝4－x 2；
(3)原式＝(2x)2－y 2＝4x 2－y 2；
(4)原式＝(－3x ＋2y)(－3x －2y)＝(－3x)2－(2y)2＝9x 2－4y 2.
范例2：利用平方差公式计算：
(1)1998×2002；(2)4023×3913
. 解：(1)原式＝(2000－2)×(2000＋2)＝20002－22＝4000000－4＝3999996；
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫40－23＝402－⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝1600－49＝159959. 交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探究平方差公式
知识模块二 平方差公式的运用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。