2020人教B数学必修3 第7章 7.1 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
高中数学 第七章 三角函数 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案(含解析)新人教B版必修第三册-
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．熟记特殊角的弧度数．[填一填]1．度量角的单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的1360为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.2．角度制与弧度制的换算3．特殊角的弧度数4.弧度制下的公式如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．(1)弧度数公式：α＝lr ；(2)弧长公式：l ＝αr ；(3)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2.[答一答]比较弧度制与角度制的异同．提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的1360所对的圆心角的大小．(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.类型一概念的理解[例1]下列说法不正确的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C．根据弧度的定义，180°一定等于π radD．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关[解析]根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．[答案] D根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.[变式训练1]下列命题中，真命题是(D)A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．类型二 角度制与弧度制的互化[例2] 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.[变式训练2] (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解：(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型三 弧度制和角度制的简单应用[例3] 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；②与β角终边相同的角的表示．解答本题可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式． [解] (1)－570°＝－196π＝－4π＋56π，750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝k ·360°＋β1(k ∈Z )，由－720°<θ<0°，得－720°<k ·360°＋108°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－73π＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°和－420°.迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k 值，也可使用赋值法，对k 在其本身取值范围内取特殊值.[变式训练3] 用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合．解：(1)题图(1)中，以OB 为终边的330°角与－30°角的终边相同， －30°＝－π6，而75°＝75×π180＝5π12，阴影部分(不包括边界)位于－π6与5π12之间且跨越x 轴的正半轴．所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－π6＋2k π<α<5π12＋2k π，k ∈Z ；(2)题图(2)中，以OB 为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×π180＝－3π4，而135°＝3π4，阴影部分(不包括边界)位于－3π4与3π4之间且跨越x 轴的正半轴． 所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－3π4＋2k π<α<3π4＋2k π，k ∈Z .类型四 弧长公式与扇形面积公式的应用[例4] 求解下列各题．(1)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形面积；(2)若一扇形的周长为60 cm ，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？[分析] 利用弧长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组．求最值时可构造成面积关于r (或角θ)的二次函数．[解] (1)圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm.∴扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．(2)设扇形半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S . 则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r ＝225－(r －15)2.当r ＝15时，面积S max ＝225(cm 2)． 此时θ＝l r ＝60－2r r ＝60－2×1515＝2.∴当半径为15 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为225 cm 2.(1)给出周长(即间接给出弧长)及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.(2)求面积最值，本题可以以r 为变量建立面积关于半径r 的二次函数，也可以建立关于θ角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.(3)使用弧度数公式|α|＝lr 时，应注意α是弧度数，且三个量l ，r ，α中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角α的方向和旋转的圈数.[变式训练4] (1)在半径为12 cm 的圆上，有一条弧的长是18 cm ，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；(2)已知扇形OAB 的面积为1 cm 2，它的周长是4 cm ，求该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数．解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝l r ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S ＝12lr ＝12×18×12＝108(cm 2)．(2)设该扇形的圆心角为α，半径为r ，周长为P ，依题意知：⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12lr ＝1，P ＝l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad.所以该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数为2 rad.类型五 弧度制的实际应用[例5] 视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5′.试求： (1)离人10m 处，人所能阅读的最小文字的大小如何？(2)要看清长宽均为5m 的大字标语，人离标语最远距离为多少米？[分析] 解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题．本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长．第(2)问是已知弧长、圆心角求半径．[解] (1)设该文字的长宽均为l m ，则l ≈10α，其中视角α＝5′≈0.001 454弧度． ∴l ＝10×0.001 454＝0.014 54 m ≈1.45 cm.故视力正常的人，在10 m 远处能阅读最小为1.45 cm 见方的文字；(2)设人离标语x m 处，对5 m 见方的文字所张的视角是5′，约为0.001 454弧度，则x ≈lα≈50.001 454≈3 439 m.故视力正常的人，最远能在约3 439 m 远处看清5 m 见方的文字．本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段(即文字的长度与宽度).[变式训练5] 如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P 、Q 第一次相遇所用的时间为4 s ．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3·4＝43π的位置，则x C ＝－4·cos π3＝－2，y C ＝－4·sin π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为43π·4＝163π；Q 点走过的弧长为83π.1．下列各式中，正确的是( D ) A ．π＝180 B ．－15°＝π12C ．1 rad ＝πD ．90°＝π2rad解析：π＝180°，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A 错；－15°＝－π12，故B 错；1 rad ＝180°π，故C 错．2．若α＝－4，则α是( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由－32π<－4<－π，知－4是第二象限角．3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( C ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.解析：|α|＝lr＝150100＝1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.。
高中数学人教B版必修三《7.1.2弧度制及其与角度制的换算》优秀教案
7.1.2《弧度制及其与角度制的换算》教案教学课时：共1课时教学目标：1、知道弧度制的概念，感知引入弧度制的意义，体会引入弧度制的必要性；熟记弧度制与角度制的换算公式，并能准确的进行弧度与角度的互化．2、通过弧度制的概念的引入过程，体会极限思想——“以直代曲”的数学转化思维策略，培养学生的数学抽象与数学建模核心素养，体会数学抽象的层次性；进一步强化数形结合思想的应用意识．3、体会事物是普遍联系的、形式与内容相统一的哲学观点，提升不断进取、勇于创新的品质．教学重点：理解弧度制的意义、正确地进行弧度制与角度制的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．教学过程：一、情境与问题教学引言：我们熟知同一种物质的属性可以有不一样的度量单位。
如度量重，可以用千克、磅等不同的单位制。
又如度量一条线段的长，可用尺、米做单位来度量，前者叫”市制”，后者叫做”公制”．于是我们很容易能联想到度量角，也可以采用不同的单位制。
除了我们熟知的角度制，今天我们来一起认识下弧度制．【设计意图】类比现实生活中称量与长度的度量制引出弧度制，减轻弧度制“从天而降”的弊端，自然合理地提出课题，激发学生的好奇心和求知欲．问题1：什么是角度制？【学生活动】通过学生自主回顾，自主组织数学语言去科学表述概念．教师适时、适度引导学生从：图示、1o的确立、实际使用测量工具等来诠释角度制。
【设计意图】通过学生自主回顾，构建角度制定义的代数形式与几何形式思维的对应．确立圆对角的度量的几何直观作用，明确设立一种度量制度的关键要素．【答案】角度制：是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度，称为角度制。
教师引导语：角度制是对角的大小的一种几何刻画，角度不是一个纯粹的实数．为了从数学的角度让角也去参与构建函数模型，我们就有必要从代数的角度用实数度量角的大小，为此弧度制应运而生．弧度制从字面上解理：有弧、有度。
这让我们自然会关注到圆，联想到这种方法应与圆心角所对的弧有关。
高中数学人教B版必修三《7.1.2弧度制及其与角度制的换算》习题含答案
7.1.2《弧度制及其与角度制的换算》习题含答案一、选择题1.下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76 π D ．π12化成度是15° 2.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( )A .扇形的面积不变B .扇形的圆心角不变C .扇形的面积增加到原来的2倍D .扇形的圆心角增加到原来的2倍3.若α＝－3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.若α是第四象限角，则π－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π6B ．π3C ．3D ．36.将1920°转化为弧度数为( )A ．163B ．323C ．16π3D ．32π3 7．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4B ．－π4C ．π4D ．3π48.集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( )A ．B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}9．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 110．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)11．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 12.已知,则角α的终边所在的象限是( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题13．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．14．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2.15．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长＝________，半径＝ ． 16．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．三、解答题17．已知角α＝1200°.(1)将α改写成β＋2k π (k ∈Z , 0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．18.已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？19.某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t=0时,点A 与钟面上标12的点B 重合.设秒针端点A 转过的路程为d cm,所形成的扇形面积为S cm 2, 求当t ∈[0,60]时d 与S 关于时间t (s)的函数关系式．20．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．7.1.2弧度制及其与角度制的换算答案一、选择题1. C 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11.C 12. A 、B二、填空题13.π5，π3，7π15 14. 360π 15. π3，2 16. 2π5 ，9π10 ，7π5 ，19π10三、解答题17. 解析：(1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π，∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角． (2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16.∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3. 18. 解析：(1)因为α＝60°＝π3rad ，所以l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm). (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12．故扇形圆心角为12rad. (3)由已知得l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.19. 解析：因为秒针的旋转方向为顺时针, 所以t s 后秒针端点A 转过的角α=-rad,所以秒针端点A 转过的路程为d=|α|·r=(cm), 所以转过的扇形面积为S=|α|·r 2=(cm 2).所以d=(t ∈[0,60]),S=(t ∈[0,60]). 答：d=(t ∈[0,60]),S=(t ∈[0,60])20.解析： 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝4π3的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为4π3×4＝16π3， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝2π3×4＝8π3.。
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？
[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度 后再计算，否则结果出错．
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【例 3】(1)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心
角的弧度数是( )
A．1 rad
B．2 rad
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角度制与弧度制的转换中的注意点 1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键. 由它可以得：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数. 2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.
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3在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统 一，如 α＝2kπ＋30°，k∈Z 是不正确的写法.
D．(2k＋1)π＋23π(k∈Z)
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C [选项 A 中113π＝2π＋53π，与角53π 终边相同，故 A 项错；2kπ －23π，k∈Z，当 k＝1 时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π 有相同的 终边，B 项错；2kπ－130π，k∈Z，当 k＝2 时，得[0,2π)之间的角为23π， 与23π 有相同的终边，故 C 项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当 k＝0 时， 得[0,2π)之间的角为53π，故 D 项错．]
π π π 5π π 2π 3π 5π _6__ _4__ _3__ _1_2_ _2__ _3__ _4__ 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 _π_
7π _6__
5π 4
4π 3
3π __2_
5π 3
7π 11π _4__ 6
高中数学人教B版高一数学必修三《7.1.2弧度制及其与角度制的互换》基础练习含答案
7.1.2《弧度制及其与角度制的互换》基础练习含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共12小题）1．将弧度化成角度为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．120°化成弧度制为（）A．B．C．D．3．﹣150°的弧度数是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．4．把π弧度化为角度是（）A．210°B．240°C．270°D．300°5．将315°化为弧度为（）A．B．C．D．6．60°的圆心角所对的弧长为6π，则该圆弧所在圆的半径为（）A．1B．10C．18D．367．半径为4，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．πD．8．若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（）A．3倍B．2倍C．倍D．倍9．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角为（）A．1B．2C．3D．410．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A．B．C．D．12011．已知α＝﹣，则下列4个角中与角α终边相同的是（）A．B．C．D．﹣12．已知α＝﹣2rad，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共2小题）13．已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为10cm，则扇形的面积为cm2．14．已知半径为1的圆O上的一段圆弧AB的长为3，则圆心角∠AOB＝（用弧度制表示），扇形OAB的面积为．三．解答题（共6小题）15．把下列各角度换算为弧度（精确到0.001）（1）15°（2）8°30′（3）﹣100°16．已知．（1）写出与角α终边相同的角的集合；（2）写出在（﹣5π，π）内与角α终边相同的角的集合．（1）求弦AB所对圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．18．已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R．（1）若α＝60°，R＝6cm，求该扇形的弧长；（2）若扇形的周长为12cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．（1）若这个扇形面积为10，且α为锐角，求α的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小和弦长AB．20．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．7.1.2《弧度制及其与角度制的互换》答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：∵πrad＝180°，即1 rad＝，∴rad＝×＝120°．故选：C．2．【解答】解：∵1°＝，∴120°＝120×＝．故选：C．3．【解答】解：∵1°＝rad；∴﹣150°×＝﹣．故选：B．4．【解答】解：∵π＝180°，∴π＝×180°＝240°．故选：B．5．【解答】解：315°＝315×＝．故选：D．6．【解答】解：60°的圆心角所对的弧长为6π，由60°＝，所以该圆弧所在圆的半径为r＝＝18．故选：C．7．【解答】解：半径为4，圆心角为的扇形的弧长为：l＝＝π．故选：C．8．【解答】解：∵，∴，∴扇形的圆心角变为原来的3倍，故选：A．9．【解答】解：根据扇形的面积公式S＝lr，可得：6＝×6r，解得：r＝2，再根据弧长公式l＝rα，可得扇形的圆心角α＝＝＝3．故选：C．10．【解答】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，面积为S＝30×16÷4＝120；扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．故选：B．11．【解答】解：与α＝﹣终边相同的角的集合为{β|，k∈Z}．取k＝6时，β＝．∴与角α终边相同的是．故选：C．12．【解答】解：α＝﹣2rad≈﹣2•57.30°＝﹣115°，在第三象限，故选：C．二．填空题（共2小题）13．【解答】解：设扇形的半径为r，由题意可得：2r+2r＝10，解得r＝．则扇形的面积S＝2×＝．故答案为：．14．【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，则l＝3，r＝1，可得圆心角∠AOB＝＝3，扇形OAB的面积S＝lr＝＝．故答案为：3，．三．解答题（共6小题）15．【解答】解：（1）15°＝15×＝≈0.262；（2）8°30′＝8.5°＝8.5×＝≈0.148．（3）﹣100°＝﹣100°×＝﹣≈﹣1.745．16．【解答】解：（1）与角α终边相同的角的集合S＝{β|β＝+2kπ，k∈Z}，（2）当k＝0时，β＝，当k＝﹣1时，β＝﹣当k＝﹣2时，β＝﹣，故在（﹣5π，π）内与角α终边相同的角的集合为{﹣，﹣，} 17．【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆O中，弦AB的长为6，则△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，即α＝，（2）根据题意，由（1）的结论，l＝α×r＝2π，S＝rl＝6π．18．【解答】解：（1）l＝αR＝×6＝2πcm，故扇形的弧长为2πcm；（2）依题意得：2R+l＝12，即l＝12﹣2R，∴S＝•l•R＝（12﹣2R）R＝﹣R2+6R，由二次函数可得，当R＝3时，S有最大值9cm2，此时l＝6，得α＝＝2．∴当α＝2时，扇形有最大面积S＝9cm2．19．【解答】解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，（1）由题意知，解得：，或，∴α＝＝或5；∵α为锐角，∴α＝．（2）∵2r+l＝14，∴S＝lr＝•l•2r≤（）2＝×72＝，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，面积取得最大值，∴r＝，∴弦长AB＝sin1×2＝7sin1．20．【解答】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为{a|2kπ﹣≤a≤2kπ+，k∈Z}（2）图（2）阴影部分内的角的集合为{a|kπ+≤a≤kπ+，k∈Z}。
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第七章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
（2）（方法1）-750°＝-750×
180
＝-
25 6
.
750
（方法2）设-750°角的弧度数为α，则 180 ＝ ，
所以α＝-
25 6
.即（方法1）-
7 9
＝-
7 9
×
180
＝-140°.
（方法2）设-
7 9
n
＝n°，则 180
7
1 2
������������2.
又因为������＝������������，所以
������＝
1 2
������������.
【注意】 （1）采用弧度制时，弧长公式和扇形面积公式简单明了， 但是要注意使用它们的前提是“弧度制”，若角是以“度” 为单位，则应先化为弧度，再利用公式. （2）由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于 ������，������，������，������四个量，可“知二求二”.这实质上是方程思想的 应用.
二、弧度制与角度制的换算
（1）正角的弧度数是一个正数； （2）负角的弧度数是一个负数； （3）零角的弧度数是0. 在角度制与弧度制互化时，应注意： 因为半径为r的圆周长为2πr，所以周角的弧度数是 2πr r＝2π，于是360°＝2π rad，因此
180°＝π rad.
由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：
知识梳理 一、度量两种角的制度（弧度制与角度制）
角度制 弧度制
定义 1度角 定义 1弧度角
用度数作为单位来度量角的单位制
用周角的 1
360
作为一个单位，称为1度角，
记作1°
以弧度为单位来度量角的单位制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为 1弧度的角.它的单位符号时rad，读作弧度.
高中数学人教B版必修第三册 第七章 7.1.2
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．知识点一 角度制与弧度制 1．角度制(1)定义：用度作单位来度量角的制度．(2)1度的角：把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度.1度等于60分，1分等于60秒．即1°＝60′，1′＝60″. 2．弧度制(1)定义：以弧度为单位来度量角的制度．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．(3)弧度数的计算公式：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，则α＝l r .思考 比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 知识点二 弧度制与角度制的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π radπ rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0.017 45 rad 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 角度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝角度数知识点三 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αr .(2)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2.思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．1．18°＝________ rad. 答案π102.3π10＝________. 答案 54°3．若α＝π4，则α是第________象限角．答案 一4．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．答案 6π解析 扇形的面积为12×62×π3＝6π.一、弧度制的概念例1 下列说法正确的是( )A ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径B ．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C ．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角 答案 A解析 对于A ，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确；对于B ，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C ，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C 错误；对于D ，用弧度表示的角也可以不是正角，故D 错误． 反思感悟 对弧度制定义的三点说明(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． (2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad ”可以省略不写，如2 rad 可简写为2.(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的． 跟踪训练1 下列各说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 答案 D解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是错误的，A ，B ，C 均正确． 二、弧度制与角度制的换算例2 (1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度． ①112°30′；②－300°；③2；④－2π9.解 ①112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5π8；②－300°＝－300×π180＝－5π3；③2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°； ④－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. (2)把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解 －1 480°＝－1 480×π180＝－749π＝－10π＋16π9，因为3π2<16π9<2π，所以16π9是第四象限角，故－1 480°是第四象限角．反思感悟 弧度制与角度制的换算(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：角度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝角度数． (2)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π(k ∈Z )是π的偶数倍，而不是整数倍．(3)角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练2 (1)已知α＝15°，β＝π10，r ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，则α，β，r ，θ，φ的大小关系为____________________． 答案 α<β<r <θ＝φ(2)如图所示，则终边在阴影部分内的角的集合为(用弧度制表示)______________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪－π6＋2k π≤α≤π3＋2k π，k ∈Z 解析 60°＝π3，－30°＝－π6，则题图中阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪－π6＋2k π≤α≤π3＋2k π，k ∈Z .三、与扇形的弧长、面积有关的计算例3 已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为R cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10， ①12lR ＝4. ②①代入②，得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)． 当R ＝4时，l ＝2，此时，θ＝24＝12(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.延伸探究已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1， 因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积． 解 已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．长度等于直径长的圆弧所对的圆心角大小为2弧度D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案 D解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．若α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 C3．把14π9化为角度是( )A ．270°B ．280°C ．288°D ．318° 答案 B 解析14π9＝14π9×⎝⎛⎭⎫180π°＝280°. 4．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.7π4－8π C.π4－10π D.7π4－10π 答案 D解析 －1 485°＝－1 485×π180＝－33π4＝7π4－10π，故选D. 5．已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是________． 答案 2解析 ∵S ＝12lR ＝R 2，∴l ＝2R ，∴lR＝2，故圆心角为2 rad.1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的换算． (3)扇形的弧长与面积的计算．2．方法归纳：消元法解方程组，配方法． 3．常见误区：弧度与角度混用．1．－120°化为弧度为( )A ．－5π6B ．－π2C ．－2π3D ．－3π4答案 C解析 由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C.2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案 B解析 ∵l ＝αR ，∴α＝lR.当R ，l 均变为原来的2倍时，α不变． 而S ＝12αR 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 A ，B 中弧度与角度混用，不正确． 9π4＝2π＋π4，所以9π4与π4的终边相同． －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°的终边相同．故选C.4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18 答案 B解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－14π3.5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界)．故选C. 6.5π12rad ＝________度，________rad ＝－480°. 答案 75 －8π3解析5π12＝5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝75°， －480°＝－480×π180＝－8π3.7．终边在直线y ＝－x 上的角的集合为(用弧度制表示)______________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝－π4＋k π，k ∈Z 8．在直径长为20 cm 的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为________ cm. 答案55π6解析 ∵165°＝π180×165＝11π12(rad)，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm)．9．已知角α＝－1 725°，β＝26π5.(1)将α，β改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间[－4π，0)上找出与角α终边相同的角． 解 (1)α＝－1 725°＝－1 725×π180＝－115π12＝5π12－10π，又0<5π12<π2，故α是第一象限角． β＝26π5＝6π5＋4π，又π<6π5<3π2，故β是第三象限角． (2)与α终边相同的角为α1＝5π12＋2k π，k ∈Z ， 又－4π≤α<0，令k ＝－1，得α1＝－19π12，令k ＝－2，得α1＝－43π12.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·32AB ＝12×10×53＝253，∴S 弓形＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎫2π3－3.11．已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为( ) A ．α－β＝π＋2k π(k ∈Z ) B ．α＋β＝0 C ．α＋β＝2k π(k ∈Z ) D ．以上都不对答案 A解析 由已知可得α－β＝π＋2k π(k ∈Z )．12．已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r ＝________，圆心角为________．答案 2 π9解析 设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为2π9，面积为2π9＝12×2π9×r ，解得r ＝2，由于扇形的弧长为2π9＝rα＝2α，解得α＝π9.13．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3解析 由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.因为k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3.14．如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为________．答案4π3解析 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3.∴AB ＝AF sin ∠ABF＝2，即R ＝2.∴S ＝12αR 2＝4π3.15．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．答案 2∶3解析 如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a 3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23. 16．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4 秒，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
高中数学人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(1)
人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(1)一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.一个半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长为A. 60RB.C.D. R2.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A. 4cm2B. 2cm2C. 4πcm2D. 1cm23.单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是()A. −24π5B. 12π5C. 14π5D. 24π54.在△ABC中，如果sinA=√3sinC，B=30°，b=2，则△ABC的面积为()A. 4B. 1C. √3D. 25.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为()m．A. π3B. π6C. 60D. 16.设扇形的周长为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A. 4cm2B. 1cm2C. 3cm2D. 2cm27.已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A. 8B. 2C. 4D. 18.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积是()A. 4πB. 8πC. 4D. 89.已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为3cm，则扇形的面积为()A. 3cm2B. 6cm2C. 9cm2D. 18cm210.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是()年．A. 己巳B. 甲申C. 戊寅D. 丙戌二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 一个扇形的面积是，它的周长是，则圆心角的弧度数是．12. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD⏜、弧DE⏜、弧EF⏜的圆心依次是A、B、C，如果AB=3，那么曲线CDEF的长是______．13. 若一扇形的圆心角为3π4，半径为2cm，则该扇形的面积为______cm2．14. 半径等于，圆心角为的扇形的周长是．15. 将150°化成弧度数是______．16. 圆锥表面积为πa，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面半径为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm，则扇形的弧长为________cm．14设2 a=5 b=100，则．15方程的解的个数是________．16若定义域为的函数是偶函数，则的单调递减区间是18. 已知时钟经过1小时20分钟，回答下列各题(1)分针划过多少弧度？时针划过多少角度？(2)若时针划过的扇形面积为π时，求时针的长度。
新教材人教b版必修第三册712弧度制及其与角度制的换算课件
解析 (1)BD=x,则BE=x,AD=AG=EC=FC=2-x,
Байду номын сангаас
在扇形DBE中,
︵
DE
的长为
π 3
x,所以S扇形DBE=
1 2
×
π 3
x2=
π 6
x2,
同理,S扇形DAG=
1 2
×
π 3
×(2-x)2=
π 6
(2-x)2.
∵
︵
DG
与
︵
EF
无重叠,∴CF+AG<AC,
即2-x+2-x<2,则x>1.
又三个扇形都在三角形内部,则x≤ 3 ,∴x∈(1, 3 ]. (2)∵S△ABC= 3 ,
∴S =S -S -S -S 阴影 △ABC 扇形DBE 扇形DAG 扇形ECF
= 3 - π [x2+2(2-x)2]
6
=
3
-
π 6
3
x-
4 3
2
8 3
,
∴当x= 4 时,S阴影取得最大值,为 3 - 4π .故当BD长为 4 百米时,草坪面积最大,最大面
180 6 ⑦ 4 3 2 ⑧ 3
3π 4
π
5π 6
270° 360°
2π
3π 2
第七章 三角函数
3 | 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数),则
扇形的弧长 扇形的面积
l= nπr
180
S= nπr2
360
l=⑨ αr
S= 1lr=⑩
2
1
2 αr2
第七章 三角函数
7.1.2弧度制及其与角度制的换算课件高一数学人教B版
(4)755°=35°+720°=36+4π,它是第一象限角.
规律方法 用弧度制表示角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α+2kπ,k∈Z时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是
整数倍.
(2)注意角度制和弧度制不能混用.
变式训练2[2023内蒙古临河校级期末]下列说法正确的是( A )
A.终边在 y 轴上的角的集合为{α 丨
角所对的弧长为( AC )
68π
A. 9 米
34π
B. 9 米
C.13.6 米
D.198 米
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5.[探究点三·2023湖南怀化期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富
的数学名著,其中卷一《方田》记载:“今有宛田,下周八步,径四步问为田几
4
解析 2 025°=5×360°+225°,又225°=
α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为
5π
4
5π
,故24025°化成
+10π.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B)
2.[探究点二]若α=-3,则角α的终边在( C )
A.第一象限
2πr,所以周角的弧度数是 r =2π,于是
rad,因此 180°=π rad.由此得到弧度制与角度制的换算公式:
rad=;
360°
rad= 2
=
180°
≈57°18'.
360°=2π
2
1°=
人教B版高中数学必修第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大．( × ) (2)圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等．( × ) (3)用弧度表示的角都是正角．( × )
2．做一做
(1)在半径为 5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为(
)
4π A. 3 cm
解析 答案
题型二 弧度制与角度制的换算
例 2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－51π2； 3.5.
[解] 112°30′＝2225×1π80＝58π. 36°＝36×1π80＝π5. －51π2＝－51π2×1π80°＝－75°. 3．5＝3.5×1π80°≈3.5×57.3°＝200.55°(或 200°33′)．
x轴
{α|α＝kπ，k∈Z}
y 轴正半轴 y 轴负半轴
y轴 坐标轴
α|α＝π2＋2kπ，k∈Z α|α＝－π2＋2kπ，k∈Z
α|α＝π2＋kπ，k∈Z α|α＝k·2π，k∈Z
5．与角 α 终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 注意：(1)用弧度表示区域角的实质是角度表示区域角在弧度制下的应 用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一． (2)用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并， 这一点容易出错．
[跟踪训练 1] 下列叙述中正确的是( ) A．1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B．1 弧度是长度为半径的弧 C．1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D．大圆中 1 弧度的圆心角与小圆中 1 弧度的圆心角一样大 解析 弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1 弧 度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选 D.
20版新教材人教B版数学必修三7.1.2(数学)
【习练·破】 1.扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的 半径和圆心角.
【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧
l 2r 8，①
长为l
cm,半径为r
cm,依题意有
1 2
l
r 4，②
由①②,得r=2,所以l=8-2r=4,θ= l =2.
r
故所求扇形的半径为2,圆心角为2 rad.
【解析】因为15°= ,所以面积S= 1 αR2= 1 ×
12
2
2 12
×36= 3π(cm2).
2
答案: 3 π cm2
2
类型一 弧度与角度的互化
【典例】1.(1)将112°30′化为弧度为________.
(2)将- 5 rad化为角度为________.
12
2.已知α =15°,β = ,γ =1,θ =105°,φ= 7 ,试比
4
4
44
+45°,
所以-315°也与45°终边相同.
2.330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为
弧度,即- ,而75°=75× 5，
6
180 12
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
{ | 2k 2k 5，k Z}.
6
12
【内化·悟】 1.用弧度制表示终边相同的角时,应注意哪几个问题? 提示:需要注意①一个题目中不能用两种单位表示; ②0<α <2π ,k∈Z.
2.用弧度表示终边落在阴影部分角的集合时,应先求 哪些量? 提示:先求边界OA,OB所表示的角.
【类题·通】 1.弧度制下与角α 终边相同的角的表示 在弧度制下,与角α 的终边相同的角可以表示为 {β |β =2kπ +α ,k∈Z},即与角α 终边相同的角可以 表示成α 加上2π 的整数倍.
教学设计1：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算教学目标1．了解弧度制，明确1弧度的含义．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度数的计算公式及应用.教学知识梳理1．度量角的单位制(1)角度制用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360；60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制①弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0.③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B.280° C ．288°D.318°【解析】8π5×180°π＝288°，故选C.【答案】C2．终边在第一、四象限的角的集合可表示为________．【答案】⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π∪⎝⎛⎭⎫2k π，2k π＋π2，k ∈Z 3．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.【解析】圆心角为42＝2(rad)．【答案】2 教学案例类型1 弧度与角度的互化例1 (1)在半径不等的两圆内，1弧度的圆心角( )A ．所对的弧长相等B ．所对的弦长相等C ．所对的弧长等于各自的半径D ．所对的弦长等于各自的半径【解析】根据弧度制的规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即选C.【答案】C(2)将下列各角度化成弧度：①－240°；②750°； (3)将下列各弧度化成角度：①2π5；②19π4.【解】(2)①－240°＝－240×π180＝－4π3；②750°＝750×π180＝25π6.(3)①2π5＝2π5×180°π＝72°； ②19π4＝19π4×180°π＝855°. 【知识点拨】角度制与弧度制的互化实质是利用比例关系，π180°＝角α的弧度数角α的角度数.变式训练1 －225°化为弧度为( )A.3π4 B.－7π4C ．－5π4D.－3π4【解析】－225°＝－225×π180＝－5π4 弧度，故选C.【答案】C类型2 用弧度制表示角例2 (1)将－1 485°表示成2k π＋α，k ∈Z 的形式，且(0≤α＜2π)； (2)用弧度表示阴影部分角的集合(含边界)．【解】(1)∵－1 485°＝－5×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，∴－1 485°＝－10π＋7π4.(2)①S ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π≤α≤5π12＋2k π，k ∈Z . ②S ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－π4＋k π≤α≤k π，k ∈Z . 【知识点拨】 常见角的弧度制表示：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴 的非正半轴上的角的集合为ββ＝2k π＋3π2，k ∈Z ；终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为ββ＝2k π＋π2，k ∈Z ；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合为ββ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)第一象限角为⎩⎨⎧β⎪⎪⎭⎬⎫2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角为⎩⎨⎧β⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角为⎩⎨⎧ β⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角为⎩⎨⎧ β⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z . 变式训练2 始边与x 轴正半轴重合，终边所在直线与y 轴夹角为π6的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π±π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π±π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π3，k ∈Z【解析】终边所在直线与y 轴夹角为π6的角有π3或－π3或2π3或4π3，所以所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π±π3，k ∈Z ，故选B.【答案】B类型3 与弧长、扇形面积有关问题例3 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝4. ∴l ＝4，r ＝2， ∴θ＝lr ＝2.【答案】2(2)已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40， ∴l ＝40－2r ，(0＜r ＜20)∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10(cm)时，扇形的面积最大，这个最大值为100(cm 2)，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【知识点拨】 有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目， 解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|·r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．变式训练3 已知扇形OAB 的圆心角为4，其面积是2 cm 2，则该扇形的周长是( )A ．8 cm B.6 cm C ．4 cmD.2 cm【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，∴l ＝4r ，则S ＝12lr ＝2，∴2r 2＝2，∴r ＝1(cm)．∴扇形的周长为l ＋2r ＝4＋2＝6(cm)，故选B.【答案】B 基础知识达标知识点一 弧度制表示角1．下面与角23π3终边相同的角是( )A.43πB.π3C.5π3D.2π3【解析】23π3＝6π＋5π3，∴5π3与23π3终边相同，故选C.【答案】C2．－29π12的终边所在的象限是第________象限．【解析】－29π12＝－2π－5π12，－5π12是第四象限角．【答案】四知识点二 弧度制与角度制的互化 3．下列结论不正确的是( )A.π3＝60° B.5π4＝225° C ．－45°＝－π4D.－115°＝－5π8【解析】－115°＝－115×π180＝－23π36，故D 不正确．【答案】D4．已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试判断α，β，γ，θ，φ的大小．解：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12＜π10＜1＜7π12，故α＜β＜γ＜θ＝φ.知识点三 扇形的面积公式5．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3【解析】由题可得S ＝12lr ＝12α·r 2＝12×2π3×22＝4π3. 【答案】D。
新高考 高中数学 必修三 课件+类型题7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
解析 (1)202°30′＝202.5°＝4025×18π0＝98π. (2)－152π＝－152π×18π0°＝－75°. (3)解法1 (化为弧度)： α＝15°＝15×1π80＝1π2，θ＝105°＝105×18π0＝71π2. 显然1π2＜1π0＜1<172π. 故α<β<γ<θ＝φ.
解法2 (化为角度)： β＝1π0＝1π0×18π0°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝172π×18π0°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ＝φ.
3．在半径为5的圆中，43π的圆心角所对的弧长为( )
40π A. 3
20π B. 3
10π C. 3
8π D. 3
解析 l＝r·α＝5×43π＝203π. 答案 B
4．若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所
夹的扇形面积为( )
A．4 cm2
B．2 cm2
C．4π cm2
D．2π cm2
加深理解：弧度制与实数之间的对应关系 角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在 角的集合与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系，即每一个 角都有唯一的一个实数(例如这个角的度数或弧度数)与它对 应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(例如弧度数或度 数等于这个实数的角)与它对应．
牢记：弧度制下与角度制下的扇形弧长和面积公式
练：将下列角度与弧度互化 (1)480°； (2)－1120°； (3)－136π； (4)16π.
3
解析 (1)480°＝480×1π80＝83π； (2)－1120°＝－1120×1π80＝－596π； (3)－136π＝－163π×18π0°＝－390°； (4)163π＝136π×18π0°＝960°.
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自主预习 探新知
1.角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为 角度制
．角度制规
定 60 分等于 1 度，60 秒等于 1 分． (2)弧度制：长度等于 半径长 的圆弧所对的 圆心角
为 1 弧度的
角，记作 1 rad .以 弧度 为单位来度量角的制度叫做弧度制．
[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，
否则产生混乱，正确的表示方法应为αα＝2kπ＋π6，k∈Z
或{α|α＝
k·360°＋30°，k∈Z}．
5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长
απr l＝_1_8_0_°_
区别 为度量单位； ②定义不同 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与
联系 圆的半径大小无关的定值
1.下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
l＝_α_r_
扇形的面积
απr2 S＝___3_6_0_°_
S＝_12_l_r _＝___12_α_r_2
思考 2：在弧度制下的扇形面积公式 S＝12lr 可类比哪种图形的面 积公式加以记忆？
[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
1.1 080°等于( ) A．1 080 C．31π0
B．1π0 D．6π
D [1 080°＝180°×6，所以 1 080°化为弧度是 6π.]
2.与角23π 终边相同的角是( )
A．131π
B．2kπ－23π(k∈Z)
C．2kπ－130π(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋23π(k∈Z)
C [选项 A 中113π＝2π＋53π，与角53π 终边相同，故 A 项错；2kπ －23π，k∈Z，当 k＝1 时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π 有相同的 终边，B 项错；2kπ－130π，k∈Z，当 k＝2 时，得[0,2π)之间的角为23π， 与23π 有相同的终边，故 C 项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当 k＝0 时， 得[0,2π)之间的角为53π，故 D 项错．]
[答案] D
角度制与弧度制的转换
【例 2】 设角 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们 终边相同的所有角．
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息： (1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角 35π，－73π； (2)终边相同的角的表示． 解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成 2kπ＋ α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将 β1、β2 用角度制表示，再将 其写成 β＋k·360°(k∈Z)的形式．
2.角的弧度数的计算
在半径为 r 的圆中，若弧长为 l 的弧所对圆心角为 α rad，则 α＝ l __r__.
3.角度与弧度的互化
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 0 __
π π π π 5π π 2π 3π 5π 12 _6__ _4__ _3__ _1_2_ _2__ _3__ _4__ 6
角度制与弧度制的转换中的注意点 1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键. 由它可以得：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数. 2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 _π_
7π _6__
5π 4
4π 3
3π __2_
5π 3
7π _4__
11π 6
_2_π_
思考 1：某同学表示与 30°角终边相同的角的集合时写成 S＝{α|α ＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
[解](1)要确定角 α 所在的象限，只要把 α 表示为 α＝2kπ＋ α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由 α0 所在象限即可判定出 α 所在的象限．
α1＝－570°＝－169π＝－4π＋56π， α2＝750°＝265π＝4π＋π6. ∴α1 在第二象限，α2 在第一象限．
(2)β1＝35π＝108°，设 θ＝β1＋k·360°(k∈Z)， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°， ∴k＝－2 或 k＝－1， ∴在－720°～0°间与 β1 有相同终边的角是－612°和－252°. 同理 β2＝－420°且在－720°～0°间与 β2 有相同终边的角是－60°.
3.圆心角为π3弧度，半径为 6 的扇形的面积为________． 6π [扇形的面积为12×62×π3＝6π.]
合作探究 提素养
弧度制的概念
【例 1】 下列命题中，假命题是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．1 rad 的角比 1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角 度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制， 角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D 项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]
弧度制与角度制的区别与联系 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
学习目标
核心素养
1.通过弧度制概念的学习，培养学 1.了解弧度制，能熟练地进行弧度
生的数学抽象核心素养． 制与角度制之间的换算．(重点)
2.借助角度与弧度的互化、扇形的 2.掌握弧度制中扇形的弧长公式
弧长与面积的计算，培养学生的数 和面积公式．(难点)