31刚体定轴转动的运动学
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刚体的定轴转动定律解析
刚体平动 质点运动
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.
定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。
四、角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r
2
n
r
v
v
r
a
r
五、力矩
z
M Or
d
F
P
M Fd Frsin d: 力臂
FM对 转r轴
z F
的力矩
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为
平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
刚体定轴转动的转动定律的应用
例、如图所示，一个质量为M， 半径为R的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为m的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体m下落的加速度。直棒，其一端固定在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到时的角速度和角加速度。
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
3.3刚体定轴转动中的功与能
−1 1
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
3.1刚体定轴转动的运动学
A
A
A
B
B
B
平动的特点:
rB rA AB
rA rB vA vB
zB3
A3
Bn
An
A1
a A aB
x
O
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
3.1刚体定轴转动的运动学
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 3.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
_____
刚体转动
z
f (t )
d f ' (t ) dt
(运动学方程)
P
d d 2 2 f " (t ) dt dt
II
当 c
0 t 1 2 t t 0 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动,
z ω,
v
且 ， 都相同
v rM
an rM 2
a dv rM dt
O
刚体
rM M θ
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
7-31 刚体定轴转动的力矩 转动定律 转动惯量
r dr
dm 2 rdr
对转动惯量的贡献为: 所以有:
m
2
R
dI r dm 2 r dr
0
I 2
1 2 r dr mR 2
3
常用的几个转动惯量：
质 点：
C R m
I mr 2
均匀圆环：
C R
m
I c mR
2
均匀圆盘： 均匀杆：
I c垂直
1 2 mR 2
3、绕一端轴，杆的转动惯量
x dx
例2、均质细圆环的转动惯量 任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
ω m r
I r dm r
2
2
dm m r
2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量 可看作由半径不同的圆环构成，盘面 m 单位面积的质量为
ω
R
3
0
R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
1 2 I A ml 3
A
C l 2 l 2
m
1 2 I c ml 12
另外一些参见P224表7.1。
3、计算 I 的几条规律:
1）对同一轴 I 具有可叠加性
JC C d J m 2）平行轴定理 平行
I Ii
I Ic md
2
d --两平行轴距离
2） 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
(m1 m2 ) gR M f 1 (m1 m2 m) R 2 2
不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf = 0, m = 0)
T1 T2
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
刚体运动学、转动惯量、定轴转动
作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，作 用在同一条直线上。
02
转动惯量
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体绕某轴转动惯性的物理量，其大小与刚体的质量分布和转 轴的位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以计算出其绕不同轴的转动惯量。常用的计算方法有平行 轴定理、垂直轴定理和惯性积定理等。
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，方向与转动轴线一致，单位为 弧度/秒。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理量，单位为弧度/秒²。
定轴转动的动力学方程
动力学方程
刚体的转动惯量与所受外 力矩之间的关系，表示刚 体转动状态变化的规律。
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理 量，与刚体的质量分布和 转轴位置有关。
HANKS
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刚体的运动形式
平动
刚体的整体相对于某参考系作平行于 某一直线的运动。
转动
刚体绕某一直线或某一固定点作圆周 运动。
刚体运动学的基本定理
牛顿第一定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 除非有外力作用于它迫使它改变这种状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成 反比。
牛顿第三定律
转动惯量的性质
01
02
03
转动惯量是标量
转动惯量只有大小，没有 方向，是一个标量。
转动惯量的正定性
转动惯量总是大于等于零， 即 J ≥ 0。
转动惯量的对称性
对于质量均匀分布的刚体， 其绕主轴的转动惯量最小。
转动惯量在动力学中的应用
1 2
刚体定轴转动的角动量守恒
对于不受外力矩作用的刚体，其绕定轴转动的角 动量是守恒的，即 L = Jω = 常数。
02
转动惯量
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体绕某轴转动惯性的物理量，其大小与刚体的质量分布和转 轴的位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以计算出其绕不同轴的转动惯量。常用的计算方法有平行 轴定理、垂直轴定理和惯性积定理等。
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，方向与转动轴线一致，单位为 弧度/秒。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理量，单位为弧度/秒²。
定轴转动的动力学方程
动力学方程
刚体的转动惯量与所受外 力矩之间的关系，表示刚 体转动状态变化的规律。
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理 量，与刚体的质量分布和 转轴位置有关。
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刚体的运动形式
平动
刚体的整体相对于某参考系作平行于 某一直线的运动。
转动
刚体绕某一直线或某一固定点作圆周 运动。
刚体运动学的基本定理
牛顿第一定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 除非有外力作用于它迫使它改变这种状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成 反比。
牛顿第三定律
转动惯量的性质
01
02
03
转动惯量是标量
转动惯量只有大小，没有 方向，是一个标量。
转动惯量的正定性
转动惯量总是大于等于零， 即 J ≥ 0。
转动惯量的对称性
对于质量均匀分布的刚体， 其绕主轴的转动惯量最小。
转动惯量在动力学中的应用
1 2
刚体定轴转动的角动量守恒
对于不受外力矩作用的刚体，其绕定轴转动的角 动量是守恒的，即 L = Jω = 常数。
3-1 定轴转动刚体的转动惯量
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
c = 2ω t 2 = (π 75) rad ⋅ s −3
1 2 π ω = ct = rad ⋅ s − 3t 2 转子的角速度 2 150 dθ π ω= = rad ⋅ s − 3 t 2 由角速度的定义 d t 150 θ t π −3 2 得 ∫0 d θ = 150 rad ⋅ s ∫0 t d t π −3 3 有 θ = rad ⋅ s t 450
质点的角动量
v L
z
v v
v r
o
x
v L
θ m y
v v
θ
质点以角速度 ω 作半径 的圆运动， 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
v r
v p
v L
L = mr ω
2
v m o r
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
刚体定轴转动的角动量
Lz =
定义
∑ mi Ri v i = ( ∑ mi R )ω
σ， 解 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
m 、半径为R 的均匀圆盘， 例3 一质量为 的均匀圆盘， 求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
r
圆环质量
dm = σ 2π rdr
3
O R R
r dr
圆环对轴的转动惯量
dI = r dm = 2 π σ r dr R σ 3 4 I = ∫ 2 π σ r dr = π R
ω
z
质量离散分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = m R + m2 R + L
2 j 2 1 1 2 2 j
3-1 刚体的定轴转动
d m t / t / 2 2 e 540 πe rad s dt
12
3
刚体力学
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· -1 ．转子的角加速度与时间成正 min 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
3
刚体力学
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
1
3
刚体力学
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： 、a v 等都相同． 刚体平动 质点运动
z
M
F
M r F M Fr sin Fd
O
r
*
d
P
F
i
Fi 0,
d : 力臂 F F F Mi 0 Fi 0, M i 0
i i i
16
3
刚体力学
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分 解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
2
3
刚体力学
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
3
3
刚体力学
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
4
3
刚体力学
一
刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
大学物理——第3章-角动量定理和刚体的转动
M
α
I
有何联系?
13
实验指出,定轴转动的刚体的角加速度 α与刚体所受的合外 力矩 M 成正比,与刚体的转动惯量 I 成反比.
v dω v M = Iα = I dt
v
定轴转动定理
v v F = ma
定轴转动定律在转动问题中的地 位相当于平动时的牛顿第二定律
应用转动定理解题步骤与牛顿第二定律时完全相同.
1 1 2 2 2 Eki = miυi = mi ri ω 2 2
质点质量 整个刚体的动能:
N
圆周运动的速率和半径
1 N 2 2 Ek = ∑Eki = (∑mi ri )ω 2 i=1 i=1
刚体对转轴的转动惯量:I
7
刚体定轴转动动能公式
物体的平动动能(质点动能)
1 2 Ek = Iω 2
角速度 ω 转动惯量 I 物体绕轴的转动惯性
λ :质量线密度 σ :质量面密度 ρ :质量体密度
10
I = ∫ r 2dm
单位: kg m2
转动惯量的大小取决于刚体的质量,质量分布及转轴的位置.
O
O l/2 O′
1 I= ml2 12
O
O O′
1 2 I = ml 3
r
O′
1 I = mr2 4
O′
1 I = mr2 2
11
平行轴
垂直轴
平行轴定理 质量为 m 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为 IC,则对任 一与该轴平行,相距为 d 的转轴的转动惯量:
2 θ 3Rω0 n= = 2π 16π g
26
讨论
用定轴转动的动能定理较之用转动定律求解, 省去了求角加速度,而直接求得,更为简捷.
3-1 定轴转动刚体的角动量和转动惯量
3－1 定轴转动刚体的角动量和转动惯量 －
一、力矩
1、引入 、
外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且还 与力的作用点的位置有关，也和力的方向有关。 与力的作用点的位置有关，也和力的方向有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 力通过转轴： 力通过转轴 •力离转轴远：转动状态容易改变 力离转轴远： 力离转轴远 •力离转轴近：转动状态不易改变 力离转轴近： 力离转轴近 2、力对点的力矩 、 M
二、刚体运动的两种基本形式 1.平动 平动
定义： 定义：
刚体作平动时， 刚体作平动时，它上面的任意 两点的连线保持固定的取向， 两点的连线保持固定的取向， 也就是说， 也就是说，在任意时刻这个连 线总是与初始时刻的这两点的 连线平行。如图所示。 连线平行。如图所示。
特点： 特点：
刚体平动时各点的运动都相 刚体上各点的位移、 同，即：刚体上各点的位移、 速度、加速度都是相同的。 速度、加速度都是相同的。
Liz = mi ri vi cos( − θi ) 2 = mi ri vi sin θi = mi Ri (ω Ri ) = mi Ri2ω
π
因此，刚体绕Z轴的角动量就是刚体上所有质点的 因此，刚体绕 轴的角动量就是刚体上所有质点的 角动量沿Z轴的分量之和 轴的分量之和， 角动量沿 轴的分量之和，即
结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。 结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。 5、单位 、
N·m F2 Fn
p r
F2 P
F1
二、转动惯量的定义 1、刚体的角动量 、
考虑一刚体以角速度ω 绕固定轴Z 转动, 转动,如图 刚体上的每一点在运动过程中都描绘 出一个以Z轴上一点为中心的圆。 轴上一点为中心的圆。
刚体的定轴转轴运动
遗传算法
模拟生物进化过程中的遗传规律，通过基因突变、 交叉和选择等操作寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为模式，通过个 体间的信息交流和协作寻找最优解。
模拟退火算法
借鉴物理中的退火过程，通过随机搜索和局部搜 索结合的方式寻找最优解。
仿真与实验验证
建立刚体定轴转轴运动的数学模型，利用仿真软件进行模拟实验，分析控制策略和优化算法的性能表 现。
04
刚体的定轴转轴运动的实例分析
飞轮的运动分析
飞轮的运动
飞轮是一个刚体，绕某一固定轴旋转， 具有恒定的角速度。飞轮在转动过程 中，其上任意一点都做圆周运动，且 各点的线速度大小相等。
飞轮的动量
飞轮的动能
飞轮的动能与角速度的平方成正比， 与飞轮的质量成正比。
飞轮在转动过程中，其动量的大小与 角速度成正比，方向与角速度方向相 同。
角动量守恒定律
角动量守恒定律
在无外力矩作用的情况下， 刚体的角动量保持不变。
角动量
描述刚体绕定轴转动的物 理量，与刚体的转动惯量 和角速度有关。
外力矩
作用在刚体上的外力矩， 可以改变刚体的角动量。
刚体的动能和势能
刚体的动能
描述刚体平动和转动的动能，与刚体 的质量和角速度有关。
刚体的势能
描述刚体位置与重力势能有关的物理 量，与刚体的位置和重力加速度有关。
05
刚体的定轴转轴运动的控制与优化
控制策略
PID控制
01
通过比例、积分和微分三个环节对误差信号进行控制，实现转
轴运动的精确控制。
模糊控制
02
利用模糊逻辑和模糊集合理论，处理不确定性、非线性和时变
性的控制问题。
模拟生物进化过程中的遗传规律，通过基因突变、 交叉和选择等操作寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为模式，通过个 体间的信息交流和协作寻找最优解。
模拟退火算法
借鉴物理中的退火过程，通过随机搜索和局部搜 索结合的方式寻找最优解。
仿真与实验验证
建立刚体定轴转轴运动的数学模型，利用仿真软件进行模拟实验，分析控制策略和优化算法的性能表 现。
04
刚体的定轴转轴运动的实例分析
飞轮的运动分析
飞轮的运动
飞轮是一个刚体，绕某一固定轴旋转， 具有恒定的角速度。飞轮在转动过程 中，其上任意一点都做圆周运动，且 各点的线速度大小相等。
飞轮的动量
飞轮的动能
飞轮的动能与角速度的平方成正比， 与飞轮的质量成正比。
飞轮在转动过程中，其动量的大小与 角速度成正比，方向与角速度方向相 同。
角动量守恒定律
角动量守恒定律
在无外力矩作用的情况下， 刚体的角动量保持不变。
角动量
描述刚体绕定轴转动的物 理量，与刚体的转动惯量 和角速度有关。
外力矩
作用在刚体上的外力矩， 可以改变刚体的角动量。
刚体的动能和势能
刚体的动能
描述刚体平动和转动的动能，与刚体 的质量和角速度有关。
刚体的势能
描述刚体位置与重力势能有关的物理 量，与刚体的位置和重力加速度有关。
05
刚体的定轴转轴运动的控制与优化
控制策略
PID控制
01
通过比例、积分和微分三个环节对误差信号进行控制，实现转
轴运动的精确控制。
模糊控制
02
利用模糊逻辑和模糊集合理论，处理不确定性、非线性和时变
性的控制问题。
刚体定点转动的欧拉运动学方程
刚体定点转动的欧拉运动学方程刚体定点转动的欧拉运动学方程，是刚体定点转动这一运动形式中所涉及到的方程集合，是描述刚体在固定点绕固定轴自由转动时所用到的理论工具。
在我们的日常生活中，定点转动的现象比比皆是，例如飞盘在空中旋转，跳绳、奥数、乒乓球等。
而了解刚体定点转动的欧拉运动学方程，则能更好的了解和分析这些现象。
下文将从三个方面来介绍刚体定点转动的欧拉运动学方程，分别是定义、欧拉角度和欧拉方程。
一、定义首先，我们需要了解什么是刚体定点转动。
所谓刚体，即为一个形状、大小、密度均不变的物体，而定点转动则是指刚体在一个点固定，以相对于该点的固定轴为转动轴自由转动的运动形式。
例如，一个棒球在另一个人手中做旋转，旋转点固定在手掌上，这就是刚体定点转动。
二、欧拉角度在刚体定点转动的描述中，欧拉角度是非常重要的概念，是欧拉定理的核心所在。
具体来说，欧拉角度是指刚体相对于定轴在三维空间中的旋转方向，包括绕z轴的旋转角度、绕旋转后的y轴的旋转角度、以及绕旋转后的z轴的旋转角度三个部分。
其中，第一、二个旋转计为万向节（pitch）与横摆转（yaw），第三个旋转为滚转角（roll）。
欧拉角度的计算和描述主要分为三个步骤。
首先是固定坐标系的描述，其次是旋转坐标系的描述，最后是刚体坐标系的描述。
三、欧拉方程在刚体定点转动的欧拉运动学方程中，欧拉方程起着重要的作用，是描述刚体在定点转动过程中所受到的力和力矩，以及角加速度和角速度之间关系的方程。
欧拉方程的标准形式为：Iλ̂ + ω̂×Iω + ω×Iω = m r̂其中，I是刚体转动的转动惯量张量矩阵，ω是角速度，r是刚体的质心位置，λ是角加速度，m是刚体的质量。
上述方程包含了转动动能、带时间的角动量和力矩的和式，在刚体运动的描述中具有非常广泛的应用。
总之，刚体定点转动的欧拉运动学方程是描述定点转动过程的理论基础，并与欧拉角度和欧拉方程相结合形成具体的描述方法。
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速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动,
z ω, v O
刚体
且 ， 都相同
v rM
an rM
a dv dt
2
rM M θ
rM
3.1刚体定轴转动的运动学
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 3.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
A
A B A
B
B
平动的特点:
rB rA AB
rA rB vA vB
z M rB B B 1 A
A1 B2
B3
Bn
A3
rA
O x
A2
An
a A aB
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
f (t )
d dt
d dt d
2
_____
刚体转动
z
(运动学方程)
P
f ' (t )
dt
2
f " (t )
II
当
c
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω, v O
刚体
且 ， 都相同
v rM
an rM
a dv dt
2
rM M θ
rM
3.1刚体定轴转动的运动学
3.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 3.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
A
A B A
B
B
平动的特点:
rB rA AB
rA rB vA vB
z M rB B B 1 A
A1 B2
B3
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A3
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A2
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刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
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d dt d
2
_____
刚体转动
z
(运动学方程)
P
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2
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II
当
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